Exemplo Contagem de Células

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Exemplo Contagem de Células

Gilberto A. Paula

Departamento de Estatística IME-USP, Brasil [email protected]

2^oSemestre 2020

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Sumário

1 Contagem de Células

2 Análise Descritiva

3 Modelo EEG

4 Modelo Ajustado

5 Modelo Misto

6 Conclusões Finais

7 Referências

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Contagem de Células

Descrição dos Dados

Vamos considerar um experimento em que30 ratostiveram uma condição de leucemia induzida e foram aleatorizados emtrês grupos de 10 animais. Cada grupo foi tratado com uma droga quimioterápica e cada animal foi observado em quatro ocasiões. As seguintes variáveis foram observadas:

células, número de colônias de células cancerosas wbc, número de células brancas

rbc, número de células vermelhas.

(Myears et al.,2002)

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Sumário

3 Modelo EEG

4 Modelo Ajustado

5 Modelo Misto

7 Referências

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Perfil Contagem de Células

3 2 1

1 2 3 4

10 20 30

Tempo

Células

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Contagem de Células por Tratamento

Tratamento 1 Tratamento 2 Tratamento 3

5101520253035

Células

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Contagem de Células por Tratamento e Tempo

1 2 3 4

010203040

Tempo

Células

Tratamento 1

1 2 3 4

010203040

Tempo

Células

Tratamento 2

1 2 3 4

010203040

Tempo

Células

Tratamento 3

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Dispersão Contagem de Células versus wbc

5 10 15 20 25 30 35

51015202530

Tratamento 1

wbc

células

5 10 15 20 25 30

5101520253035

Tratamento 2

wbc

células

5 10 15 20

10152025

Tratamento 3

wbc

células

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Dispersão Contagem de Células versus rbc

2 3 4 5 6 7 8

51015202530

Tratamento 1

rbc

células

2 4 6 8 10

5101520253035

Tratamento 2

rbc

células

2 3 4 5 6 7 8

10152025

Tratamento 3

rbc

células

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Conclusões Preliminares

Conclusões Preliminares

Os animais que receberam tratamentos 1 e 3 têm em geral um número menor de células.

Em geral o número de células dos animais que receberam tratamentos 2 e 3 diminui com o tempo.

Nota-se uma tendência não linear nos três grupos de animais entre número de células e wbc.

Há indícios de interação entre tratamento e rbc.

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Sumário

3 Modelo EEG

4 Modelo Ajustado

5 Modelo Misto

7 Referências

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Modelo EEG

Modelo EEG-Poisson

Denote pory_ijk o número de células observadas nok-ésimo animal no j-ésimo tempo submetido aoi-ésimo tratamento, parai =1,2,3, j =1,2,3,4 ek =1, . . . ,10. Considere inicialmente o seguinte modelo:

Y_ijk|x_ijk ∼Q(µ_ijk;y_ijk), E(Y_ijk) =µ_ijk e Var(Y_ijk) =σ²µ_ijk, log(µ_ijk) =β₀+β₁trat_i+β₂wbc_ijk+β₃wbc²_ijk +β₄rbc_ijk+ +β₅trat_i∗rbc_ijk,

Corr(Y_ijk,Y_ij⁰_k) =ρ^|j−j⁰^|(=0 em caso contrário),

em queσ²>0 e estrutura de correlação AR(1) para as respostas de cada animal.

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Sumário

3 Modelo EEG

4 Modelo Ajustado

5 Modelo Misto

7 Referências

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Modelo EEG-Poisson

Estimativas

Efeito Estimativa EP-Robusto z-Robusto

Constante 3,2148 0,1592 20,19

Trat2 -0,0648 0,1616 -0,40

Trat3 -0,3058 0,1386 -2,21

Wbc -0,0148 0,0087 -1,70

Wbc2 -0,0007 0,0003 -2,63

Rbc -0,0047 0,0146 -0,32

Rbc*Trat2 0,0336 0,0185 1,81

Rbc*Trat3 0,0375 0,0162 2,31

σ² 1,071

ρ 0,907

(15)

Distância de Cook

0 5 10 15 20 25 30

0.00.10.20.30.40.5

Unidade Experimental

Distância de Cook

(23,4)

(16)

Resíduo de Pearson

−2 −1 0 1 2

−4−2024

Percentil da N(0,1)

Resíduo de Pearson

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Interpretações

Interpretações

Comparação dos valores esperados de células cancerosas entre dois animais de tratamentos 1 e 2 e com o mesmo número de wbc e rbc.

ˆ

µ(Trat1)/ˆµ(Trat2) =exp(0,0648−0,0336∗rbc)

2 4 6 8 10

0.800.850.900.951.00

Trat1/Trat2

rbc

razão de médias

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Interpretações

Interpretações

Comparação dos valores esperados de células cancerosas entre dois animais de tratamentos 1 e 3 e com o mesmo número de wbc e rbc.

ˆ

µ(Trat1)/ˆµ(Trat3) =exp(0,3058−0,0375∗rbc)

2 4 6 8 10

0.951.001.051.101.151.201.25

Trat1/Trat3

rbc

razão de médias

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Sumário

3 Modelo EEG

4 Modelo Ajustado

5 Modelo Misto

7 Referências

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Modelo Misto Poisson

Modelo Misto Poisson

Denote pory_ijk o número de células observadas nok-ésimo animal no j-ésimo tempo submetido aoi-ésimo tratamento, parai =1,2,3, j =1,2,3,4 ek =1, . . . ,10. Considere alternativamente o seguinte modelo:

Y_ijk|(x_ijk,b_ik)^ind∼P(µ_ijk),

log(µ_ijk) =b_ik+β₀+β₁trat_i+β₂wbc_ijk +β₃wbc²_ijk +β₄rbc_ijk+ +β5trat_i∗rbc_ijk,

b_ik ^iid∼N(0, σ_b²), em queσ²_b>0.

(21)

Resíduos Saída Gamlss

5 10 15 20 25 30 35 40

−0.50.00.5

Against Fitted Values

Fitted Values

Quantile Residuals

0 20 40 60 80 100 120

−0.50.00.5

Against index

index

Quantile Residuals

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.00.51.0

Density Estimate

Quantile. Residuals

Density

−2 −1 0 1 2

−0.50.00.5

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sample Quantiles

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Modelo Misto BN

Modelo Misto BN

Denote pory_ijk o número de células observadas nok-ésimo animal no j-ésimo tempo submetido aoi-ésimo tratamento, parai =1,2,3, j =1,2,3,4 ek =1, . . . ,10. Considere alternativamente o seguinte modelo:

Y_ijk|(x_ijk,b_ik)^ind∼BN(µ_ijk, ν),

log(µ_ijk) =b_ik+β₀+β₁trat_i+β₂wbc_ijk +β₃wbc²_ijk +β₄rbc_ijk+ +β5trat_i∗rbc_ijk,

b_ik ^iid∼N(0, σ_b²), em queσ²_b>0.

(23)

Resíduos Saída Gamlss

5 10 15 20 25 30 35 40

−1.0−0.50.00.5

Against Fitted Values

Fitted Values

Quantile Residuals

0 20 40 60 80 100 120

−1.0−0.50.00.5

Against index

index

Quantile Residuals

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.00.20.40.60.81.01.2

Density Estimate

Quantile. Residuals

Density

−2 −1 0 1 2

−1.0−0.50.00.5

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sample Quantiles

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Sumário

3 Modelo EEG

4 Modelo Ajustado

5 Modelo Misto

7 Referências

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Conclusões Finais

Conclusões Finais

Este é um exemplo de dados longitudinais em que o controle de duas covariáveis, wbc e rbc, é muito importante para detectar diferenças entre os tratamentos.

Através do gráfico de perfis fica difícil uma comparação adequada dos tratamentos.

O modelo GEE-Poisson se ajusta de forma adequada aos dados.

A eliminação da medida mais discrepante não altera a inferência.

Para ambos os modelos de intercepto aleatório Poisson e Binomial Negativo o gráfico normal de probabilidade com o resíduo quantílico apresenta indícios de subdispersão.

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Sumário

3 Modelo EEG

4 Modelo Ajustado

5 Modelo Misto

7 Referências

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Referências

Referências

Myers, R.H.; Montgomery, D. C. e Vining, G. G. (2002).

Generalized Linear Models: With Applications in Engineering and the Sciences. New York: Wiley.

Stasinopoulos, M.D., Righy, R.A., Gillian, Z.A., Voudouris, V. e de Bastiani, F. (2017). Flexible Regression and Smoothing Using GAMLSS in R. Chapman and Hall/CRC.