6. a) Se oar - 2ºE RESOLUCAO TRAB 4ºBIM

(1)

Resolução dos exe c c

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

s

FEDCBA

C A P i T U L .O

1

) {

rr rad - 180° _ 30° . rr rad _ ~ d

1 . a x-300 ~ x - 1800 ~ x - 6 ra

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

b ) 15° é';' de 180°, portanto é 1rr2rad.

120° 2 2rr

c ) 1800 . rr rad =

"3 .

rr rad =

3

rad

210° 7

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

t «

d ) 1800 .nrad =

"6 .

rr rad =

6

rad

rt 3rr

e ) 3 . 90° = 3 . "2 rad =

2"

rad

300° 5 5rr

f ) 1800' rr rad =

"3 .

n rad =

3

rad

g ) 20° é a nona parte de 180°, portanto é ~ rad.

150° 5 5rr

h ) 1800 .rtrad =

"6 .

n rad =

6

rad

i) 315° = 7 . 45° = 7 . ~ rad = l . ! i .rad

4

f ) 3 . 180° = 1350 4

g ) 2 . 180° = 40°

9

h )

.Ll, .

180° = 330°

6 )

{

3, 14 rad - 180°

i ~ x= 172°

3 rad - x

{

1800 - 3,14 rad

e ) ~ x= 28,66°

x - 0,5rad

2 . a ) 1~0° = 60°

b ) 180° = 90c

2

c ) 180° = 45°

4

d ) 180° =360

5

2m

3 . -2- = 188,4 ~ 3,14 . r = 188,4 ~ r = 60 m

4 . 1Qmodo:

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a comprimento da circunferência que contém o arco AB

é 2 . n . 8 cm = 16rr cm; como a medida do arco é 120°, seu comprimento é

+.

16rr cm = 1~rr cm = 16,75 cm. 2Qmodo:

2rt ,2 rr e 16rr

120° correspondem a

3"""

rad; dai

3"""

="8 ~ e = -3- cm.

5 . Seja u a distância entre duas marcações sucessivasem AB.

Temos:

AMB = ~ . 2rr . 6u = 6rru 2

ADC = ; . 2rr . 2u = 2rru> a caminhoADCEB

1 tem comprimento

CEB ="2' 2rr . 4u = 4rru 2rru

+

4rru = 6rru. Assim, concluímos que ambos têm o mesmo compri-mento.

6 . a ) Se o arco AB mede 60°, sua medida em radianos é ;. a mesmo raciocínio se aplica ao arco CD.

_ rt erAs) rr . ~

b ) Para o arco AB temos:

"3

= ~ ~ erAs)=

-3-- n e(ãi) rr . R1

Para o arco CD temos:

"3

= -R- ~ e(ãi)= -3-rr . R

2 1

erAs) _ 3 _ ~ _ ~ _

2

e(ãi) - rr· R₁ - R

1 - 3R2 - 3

-3- 2

7 . \85~0= 12; assim, a medida de 15° corresponde a 1rr2rad.

D ' e n e 3,14 e

ai, como a = --;:- ~

12 15 ~ ~

=

15 ~

~ e = 3,925 cm.

8 . Em uma volta, o andarilho percorre a distância de:

2rr' 40 = 80rr = 80· 3,14 = 251,2 (251,2 m) a 'numero di'e vo tas e, portanto, 251 2 =7536 30.

rr rt 18 54

9 . a ) 60° = - rad ~ - = - ~ r = - = 17,19

3 3 r rr

Isto é, r= 17,19 cm.

b ) Se o arco mede 1 rad, por definição, seu comprimento

é igual ao raio; logo, 18 cm.

1 0 . AB = BC = 6 ~ med(BêA) = 30°;

med(ABC) = 120°; med(ABD) = 60°

rr 1

a )

"3

rad b )

"6 .

2rr . 6 cm = 2rr cm

1 1 . {rr-1800 _

k

x-72° ~ x - 5

e e

u = -~r=-~

r a.

157 25 . 125

~ r = ~ = 1 , ou seja, r = m 5

1 2 . a ) 1 2

f---+-'---l3 3 h

a ângulo a. mede 3 . 30° = 90°.

b)

9f----+=l---j _{8 h 30 min}

7 6

Como em 60 minutos o ponteiro menor (das horas) percorre 30°, em 30 minutos ele percorrerá 15°. Assim, o .= 15°.

(2)

Resolução dos exercícios

c)

3 h 45 min

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

9 f---,--k--,if---l 3

7 65

Oângulo pedido mede a; para deterrninar B, podemos fazer a seguinte proporção, para o ponteiro das horas:

{60 min -45 min _

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3 0 ° ~~

FEDCBA

~ = 22° 30' 1 5 .

Como

a

+ ~ = 1 8 0 ° ,temos:

a = 1 8 0 ° - 22° 30' = 1 5 7 ° 3 0 '

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d )

5 h 40 min

7 5

6

Para o ponteiro menor, temos:

{

60 min - 3 0 0 ~ x = 2 0 0

40 min - x

Oângulo pedido mede ( 3 0 ° - x) + 2 '3 0 ° ,

isto é, 1 0 ° + 6 0 ° = 7 0 ° ,

9h 35 min

91---"--~I---l

7

a

=6 0 °

+ ~

Cálculo de ~:

{30

0

-60min _35'30_

~ - 35 min ~ ~ - 60 - 17,5

a

= 6 0 °

+

1

r

30' ~ li = n ° 3 0 '

1 3 . O ponteiro dos minutos percorre 3 6 0 ° em 60 min; em

20 min

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d e s c r e v e r á um arco de medida 3~0° = 120°, É preciso, portanto, determinar o comprimento de um arco de 1 2 0 ° contido em uma circunferência de raio 12em. Temos:

{

2rr ' 12 - 3 6 0 ° e 8 ~ = rtcm

e - 1 2 0 °

Usando a aproximação dada: e = 8 ' 3, 1 ~ e = 24,8 cm

1 4 . (AB)2 + (BC)2 = (AC)2

Como AB = BC = x, temos 2X2 = (1 0)2)2 ~ ~ 2x2 = 200 ~ x = 10 cm

O raio de cada circunferência mede 5 em.

- 1 5rr

Comprimento do arco EH:

4 '

2rr ' 5 cm =

2

cm

Analogamente, os arcos HG, GF eFE também têrr

, 5rr

compnmento

2

em.

Assim, o comprimento do trajeto, em

em.

é:

10+ 10+ 10+5+4'~+5=

Ai!

BC

C5DE~EA

EHGFE = (40 + l On) = 10(4 + n)

3rr 4

rr "3

o

7rr

6

5rr "'3

1 6_• P"_{nmeiro qua rante:}d

6' 12'7' 3'

n 5rr 2rr 4

2rr 3rr 5rr 7rr H Segundo quadrante:

3'

2,

5' 9' 12'

"i7,

, 4rr 15rr 10 13

Terceiro quadrante:

3'

-1-1-'

3' 4'

7rr 15rr

Quarto quadrante:

4'

-8-' 5,

1 7 . p' ~_'4

rr 7rr

Q: rr

+

6

=

(3

R'_{, rt} +~=~₄ ₄

1 8 . A~ O; B: x = ;; C: x =

n:

D: x = 3 2rr

1 9 . Como o triângulo é equilátero, med(AC) = med

=

-= med(BC) -= 3 6 0 ° = 1 2 0 ° =

-ª-

rad

3 3

C_omo A ' '_e_{rrnaqern e}d n B" d n 2;-

--2

,

errnaqern e

2

+

3

=-, ' 7rr 2rr 7rr + 4rr = 11;:

eCe Imagem de

(3

+

3

= 6 6

2 0 .

(3)

2 i .

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a ) c )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

5rr

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3

Não há simetria. Simetria em relação ao centro da circunferência.

b)

d)

rr

2

o

3rr

2

Simetria em relação ao eixo horizontal (ou em relação ao centro da circunferência) . Simetria em relação

ao eixo horizontal.

.

11rr 1Orr n rr

2 2 . a ) Observemos que

10

=

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

W +

10

= n +

10

(em graus: 180° + 18° = 198°).

Assim, P pertence ao 3Qquadrante.

b)

R

Q 5

p

rr 9rr

Q : n

-10

=

10

rr

5:10

R 2 _ JI..= 19rr

. n 10 10

2 3 . a ) med( AS) = med( SC) = ... = med( FA ) =

= 3~0° = 60° (ou ; rad)

A: O

D:

rr

n rr 4rr

B : 3 E : n

+

3

=

3

C:

k

F 2rr - ~ = ~

3 3 3

b ) Cada um dos triângulos da figura é equilátero; veja o triângulo AOS: AO = SO = 1 (raio); como med(AÔS) = 60° e AOS é isósceles, segue que med(SÂO) = med(ABO) = 60°. Logo, AOSéequilátero. • O perímetro do hexágono é6 . 1 = 6 u.c. • A área do hexágono é igual à área de seis

triân-gulos equiláteros congruentes entre si, ou seja,

6.

F.f3 _ 3../3

4 - 2 u.a.

Resolução dos exercícios 3 5 1

rr

8

2 4 .Observe que ~rr = ~; assim, cada um dos arcos

assina-lados abaixo mede ~.

c

E

A

G

Temos,

n n

A : O ; B :

4;

c:

"2;

D·~+~=3rr. E : r r

2 4 4'

3rr rr 7rr

G : 2 ; H : 2rr -

4

=

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

L I

Q

o

R 'P

• O arco PQ está contido na circunferência de centro Oe raio 2r, e seu comprimento é5cm e sua medida é a radianos.

Então·_..a . =

2- ~

_2r a . ._- 2r = 5 *

• O arcoQRestá contido na circunferência de centro M e raio r e sua medida é2 a . radianos.

e *

Então: 2 a . = - ~ e = r .2 a . ~ e = 5cm r

C A P f T U L O

2 ..

•• •

0+1-(-1) 2

1 . y = = - = 2

2.

J...

1 2

3rr rr

2 . a )

sen-2-= -sen"2=-l

(4)

5 2

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Resolução dos exercícioszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

J3

C ) sen120°=sen60°=

2 UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d ) sen150°=sen30°=

+

.f2

e ) sen225°= -sen 45°=

--2

J3

f ) sen300°

=

-sen 60°

= -

2

g ) sen2rr=O

1

h ) sen330°= -sen 30°=

--2

7 . a ) 3°tem imagem no 12_Q;seno_épositivo.

b ) 3

<

3,14;sen3 épositivo, pois3tem imagem no22Q

c ) 5

>

4,71 (ou 3

2rr,aproximadamente) Logo, 5 terr imagem no4ºQ e sen 5énegativo.

d ) 100°tem imagem no 2ºQ; seno épositivo.

e ) 200°tem imagem no 3°Q; seno énegativo.

3 .

8 . a ) ; tem imagem no 1

º

quadrante; sen ; = a

>

O.

8rr rr

b ) Observe que-7- = rt

+

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

571

3

rr 2rr

J3

sen

3 =

sen-3-

=

2

4rr 5rr

J3

sen

3 =

sen

3 = -

2

2rr rt

J3

4 . sen-3-

=

sen

3 =

2

5rr 7rr .f2

sen

4

= sen

4

= -

2

4rr 5rr

J3

sen

3 =

sen

3 = -

2

rr 3rr.f2 sen

4

=sen

4

=

2

5 . a ) sen75°

<

sen85°

b ) sen100°

>

sen170°

8rr rr

sen-7- = -sen

7

= -a

S={~~}_6' ₆

b)

sen 100'

o

170' S={O,rr}

c )

c ) sen250°

>

sen260°

371

2

250' 2...•.6-0'-1...:><..sen250'

sen260'

S = {3 2rr}

d)

d ) sen300°

>

sen290°

6 . a ) sen 130°= sen50° = 0,76604

b ) sen230° = -sen 50° = -0,76604

c ) sen320° = -sen 40° = -0,64279

d )sen ~ = sen36° = 0,58779

e ) sen 3

5rr= sen 108° = sen72° = 0,95106

(5)

e )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Como, para todo x E [O,Zrt], -1 "" sen x "" 1, a

FEDCBA

1 5 . a )

equação sen

x

= 2 não apresenta solução.

3

.f3

f ) 4

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

sen- x = 3=> sen2 x_{= -} _=> _sen x ₌ ±

-4 2

S = {~ 2rr 4rr 5rr}

3' 3' 3' 3

1 0 . A calculadora estava configurada em RAD e não em DEG

(o modo DEG fornece o valor do seno de um ângulo

medido em graus).

Observe que x = 4 tem imagem no 3Q _quadrante

(rr< 4 < 3n e sen 4 < O;já o arco de medida 4° tem imagem no 1Qquadrante e, portanto, sen 4°

>

O.

' \ . ' \ . .ã )'l

=

O- (-I)

=

_1-

=

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

L

l· 1 +0 1

2 "2

b )

x

=

.[2. .

O

+

,-1) .

.f3

= _

.f3

222

1 2 .

cos E . = cos ~ =

.f3

6 6 2

cos ~ = cos

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

. l . ! i . = _

.f3

6 6 2

1 3 .

rr 9rr

cos

5

= cos

"5

>O

cos ~ = cos ~

<

O

5 5

1 4 . a ) cos 330° = cos 300 =

.f3

2

b ) cos 90° = O

c ) cos 120° = -cos 60° = - ~ 2

d)cosrr=-1

e ) cos

k

= cos ~ = O

2

f ) cos ~ =-cos ~ = _

.f2

442

g ) cos ~ = cos ~ = ~

3 3 2

h ) cos O = (OS 2rr = 1

3 5 3

cos 65°

>

cos 85°

b ){GOs 89°

>

O

=> cos 91°

<

cos 89° cos 91 °< O

c )

cos 50°

<

cos 340°

d )

cos 190° = cos 170°

1 6 . k = O => cos O = 1 k = 1=> cos ( ;) = O k

=

2 => (OSt :

= -

1

k = 3 => cos ( 3 2rr) = O

A soma é: 1

+

O

+

(-1)

+

O = O

1 7 . a ) Observe que 12rr = 2rr _ 2rr

7

2rr

7

o

12rr

-7-Logo, (OS 12rr₇

>

O isto é m

>

O

r , •

b ) 9rr = 7rr

+

2rr = rr

+

2rr

7 7 7 7

2rr

7 -m

m

9rr

7

(6)

3 5

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

.,f3

1

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 8 . a )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

O -

2 = -

2 *-

2

( F )

.,f3

1

cos 90° - cos 30°

_.

= - -'

_{2 '}

cos 60°

= -

₂

b ) ((sen

:)t((

:))'_~1~

> ~

+ :

c

1

(V) cos

₃

- 2 -"4

c ) Como ~ = 1,57, os números reais 1 e 2 têm

ima-gens, respectivamente, no 1º e no 2º quadrantes. Daí cos 1

>

O ecos 2

<

O, de onde concluímos que cos 2

<

cos 1; ( V )

d ) sen 100°

cos 100°

Como [sen 100°

I

>

I

cos 100°

I,

segue que

sen 100°

+

cos 100°

>

O. Observe que sen 100°

>

O e cos 100°

<

O;( F )

e ) 3

2rr(=4,71)

<

6

<

2rr(=6,28), assim o número real

6 tem imagem no 4º quadrante e cos 6

>

O;( F )

f ) O raio da circunferência trigonométrica é unitário; ( F )

1 9 . OA

=

1

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

r :

rr "'13

OB = cos- =-6 2 AB

=

sen .ZI.

=

J....

6 2

Perímetro: 1

+

.,f3

+ J....

= 3

+

.,f3

2 2 2 U.c.

.,f3

1

A'rea: OB· AB₂ -2- .₂

2

₌

₈

.,f3

_u.a.

2 0 . OB =1; AB =

1-

=0,5

BD

=

OE

=

sen a .

OD

=

cos c :

6ABC ~ 60BD ~ AB

=

AC

=

BC OB OD BD ~

{

1

AC

=

-2 cos o .

0,5 AC BC

~ -1-

=

cos C f

=

sen C f ~ BC _

J....

- 2 sen C f

A área do triângulo ABC é:

1 1 1 1 sen C f •cos a .

2 .

AC . BC

=

2 .2

cos C f •

2

sen C f

=

8

2 1 . a )

s

= {.ZI.

k}

2' 2

b)

s

=

{.ZI.

l.!i.}

4' 4

c )

o

s

=

{O}

d )

411

3

s

= { k ~ }

_{3 ' 3}

e ) 3cos x

+

6

=

O ~ cos x

= -

2e, como -1 ,,;;cos x ,,;;1,

segue S

=

0.

3

.,f3

f ) cos-X

= -

~

cosx

=

±

-4 2

S

=

{.ZI. 5rr 7rr

..J....l.zI.}

6' 6' 6' 6

2 2_{• Como}

₂

rr

_<

₅

4rr

_<

_rr,

₅

4rr _{tem Imagem}. _{no 2º quadrante.}

411

5

(OS...!I...

5

II cos 411

5

II

5

4rr rr

rr--=-5

5

Assim, Juliana deverá obter o valor de cos ~ na

calcu-ladora:

MODE ~ RAD

cos ~

~

=

~

0,809

---" - _J

4rr

Logo, cos

5 =

-0,809.

rr

.,f3

rr 1

(7)

2rr rr.,[3

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c ) sen

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

3

= sen

3

=

2;

2rr rr 1

(05

₃

= -(05

3

=

-2;

( ~ )2

+ (

_

+)2

=

!

+ ~

= 1

(

3)2 16 xE4"Q 4

2 4 serr' x = 1 - - = - ==:} sen x =

--~ • 5 25 5

FEDCBA

2 5 . sen?

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a =

.l

9>14*1

-4

9 +

9 ;

nao.

( 0 52

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a_.= -₉

(

12)2 144 25

2 6 . (052x = 1 - serv x = 1 -

-13

= 1 - 169 = 169

C_{omo x}=c: 32Q,cos x

<

O·, cos x -- _ ~ 169 -25 --~ 13

(24

)2

2 7 . a ) (05274° = 1 - sen- 74° = 1 -

25

=

576 49 ° 7

= 1 - 625 = 625 => cos 74 =

25

b ) sen 16° = (0574°, pois 16°

+

74° = 90°. A_ssim,. _{sen 1}6°₌

_25.

7

c ) cos 16° = sen 74° = ~~

d ) sen 2540 _{= -sen} _{74°, pois 180}0

+

_{74° = 254°}

Logo, sen 254° = - ~~.

e ) (05 1640 _{= -cos (180° - 164°) = -(05} _16° Logo, cos 164° = - ~~.

2 8 . (052a = 1 - sen2a = 1 -

..!

= ~ => cos o = +

..[5

. 9 9 ~ - 3

2 9 . sen- a

+

cos- a = 1 => (;

Y

+

(m - 1)2 = 1 =>

=> 5;2 _ 2m = O => m (5; - 2) = O =>

=> m = O ou m =

-ª-5

Observe que, para esses valores de m, -1 ~ sena ~ 1 e - 1 ~ cos C I . ~ 1.

3 0 .Sim. sen 20° = (05700

, pois 20° e 70° são ângulos

comple-mentares, sen2 20°

+

sen- 70° = (052 700

+

_{sen2 70° = 1}

3 1 . serr'a

+

(052_a ₌ _{1 =>}

=> (- 3 (05a ) 2

+

(052a = 1 => 1O (052C I .= 1 =>

C J .E 2"Q M 3M

~ cosa =

-10

e senC I .

=--w-Assim y = 3M _ M = M

r 10 10 5·

3 2 . a ) tg 120° = -tg 60° = -.,[3

b ) tg 1800_{= tg 0° =}

O

.,[3

c ) tg 210° = tg 30° =

-3

d ) Não existe tg 90°.

e ) tg 240° = tg 60° = .,[3

Resolução dos exercicíos

3 5 5

3 3 . a ) Não existe tg 3 2rr

b ) tg O = O

5rr rr t - ;

c ) tg

₃

=-tg

₃

=-"'/3

3rr 7rr d)tg-=tg-= -1

4

llrr rr .,[3

e ) tg-= -tg-=--663

2 sen 30° - 4 (05 30°

+

tg 60°

3 4 . y =

---"---(05 120° - sen 60° 2 . .l-4 . .,[3 +.,[3

2

1

.,[3

----2 2

2(1 - .,[3) -1 + .,[3 -1-.,[3 -1+.,[3 = 1 - 2.,[3+ 3 = 4 - 2.,[3

3 5 . a ) tg 200°

>

O

b ) tg 310°

<

O c ) tg 4

>

O

d ) tg 2

<

O

e ) tg 1

>

O

3 6 . a ) V

1000

t9105°

t9100° b ) F

t925° t920°

1 -

.,[3

-1

-.,[3

2

-2(1 _ .,[3)2 1-3

c ) V

3

d ) F

(8)

3 5 6

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e ) V f )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

F;tg 2rr = O

t9250°

3 7 .

• ""'AOB é isósceles, pois med(AÔB)

=

med(ABO)

=

45°.

Logo, OA

=

OB

=

1 (note que OA é o raio da circun-ferência trigonométrica).

• tg

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

l i .é a medida algébrica de AB, que é 1.

4 .

rr

Logo, tg

4

= 1.

3 8 . a ) tg 158°

=

tg (180° - 22°)

=

-tg 22°

=

-0,4

b ) tg 202°

=

tg (180°

+

22°)

=

tg 22°

=

0,4

c ) tg 338°

=

tg (360° - 22°)

=

-tg 22°

=

-0,4

(

1

)2

1 8

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

u .E 2"Q

3 9 . cos- a

=

1 - sen- a

=

1 -

3 =

1 -

9 =

9 ~

=} (OSa

= -

fK

= _ 2.[2

. ~9 3

1

tg a

=

sen a .

=

3

cos a _

2.[2

3

(

1)2

24

4 0 . sen- a

=

1 -

5 =

25 2..[6

Como a E 4ºquadrante, sen a

= -

-5-_ 2..[6

tg a

=

_--'5'-..-

= - 2..[6

1 5

__ 1_ .

.[2

2.[2

.[2

4 1 . sen x

=

-4=}sen x

=

-4cos x;

(OSx

sen- x

+

(052 X

=

1=} 16(052 X

+

(052 X

=

1=}

1 xE2"Q .fi?

=} (OS2X

= -

===> (OS X

= --

e

17 17

sen x

=

-4. (_ .fI?)

=

4.f1?

17 17

) 4.f1? a -1-7-b)_m 17

sen 58° 8 ° 8 .cos 58°

4 2 . a ) cos 580

=

5

=} sen 58

=

5

Sabendo que sen? 58°

+

cos- 58° = 1,temos:

(8 .(~S 58°

Y

+

(052 580

=

1=}

=} 64 (052 580

+

(052 58° = 1=}

25

5 5.,[89

=} 89 (052 58°

=

25 =} (OS 58°

= -

_.,[89

=

--89

Daí sen 58°

=

4 .

'jÍ.,[89

=

8.,[89

J J 89 89

.

5.,[89

b ) sen 32°

=

(OS 58°

=

---gg

c ) tg 3 0 r

=

tg (360° - 58°)

=

-tg 58°

= - ~

d )tg 122°

=

tg 3 0 r

= - ~

~ D e s a f i o

a ) (052 X

=

sen- x=} (OS X

=

±sen x=}

rr 5rr

~ (::" o sen x~,o ~:"' o ~R

(OS X

= -

sen x =} x

=

4

ou x

=

4

S

=

{ l i . 3rr 5rr 7rr}

4' 4' 4' 4

b ) Como (052 x ₌ 1 - sen- x, _podemos _{e s c r e v e r :}

1 - serr' x

+

2 - 3 seri' x

=

O=}

=}-4 sen- x

+

3

=

O=} sen- x

=

-ª-

=} 4 sen x

=

.J3

=} x

=

l i .ou x

=

2rr

<

2 3 3

=} ou

sen x

= -

.J3

=} x

=

4rr ou x

=

5rr

2 3 3

C A P I T U L O

~ i ~ ~ ; ; ; ~ ~ ~

t r i â n g u l o s q u a i s q u e r . ,

3

~ E x e r c í c i o s

1 .

c

BL..l..._-S-c-m---'A

8

=

x =}

sen 45° sen 60°

8

x

8.J3

=}--

=

--=}x

=

--=}

.[2.J3

.[2

-

-2

2

=} x

= 8..[6

=} x

= 4..[6

cm

(9)

3 6 0

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Resolução dos exercicios

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

b )A área do triângulo hachurado é:

~S/

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

5

A =

--L .

2../3 . S . sen 30° ~

2

~ A = s../3 .

--L

= s../3 ~ A = s../3

em-2 2 2

A área do paralelogramo é 2 . A = 2· S~ = s../3 Isto é, a área é 2A = s../3em?

2 7 .

a ) A =

--L .

2 . 2 . sen 60° = 2 . ../3 ~

6AOS 2 2

~ A

6AOS =

../3

cm2

b ) O triângulo OPQ é equilátero e seu lado mede 4 cm;TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

• c , A 42../3 - 4 h3 A - 4 h3 2

sua area e. 60PQ 4 -",/5 ~ 60PQ- ",/5cm

A área de um setor circular de 60° contido num círculo

. . rr'222rr 2rr

de raio 2 em e: A_setor= --₆ = -₃ ~ A_setor= -₃ em-A área da região hachurada é: em-A= A60PQ- 3 . Asetor= = 4../3 - 3 . 2rr = (4../3 - 2rr) ~

3

~ A = (4../3 - 2rr)

em-2 8 .

t=::j::::::j::===~A

---"c

LAOB

_ l

_ --L (/.

agudo - 30c

senC I . - 6 - 2 =====>

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

u .

-med(AÔB) = 180° - 90° - 30° = 60°

No LBOC, temos que med(BÔC) = 2 . 60° = 120° (ob-serve que são eongruentes os triângulos ABO e ACO). A área do setor de 120° no círculo de raio 3 cm é

1

- . rr . (3 em)?= 3rr em?

3

Como a área do LBOC é+' (3 em) (3 em)· sen 120°=

=

9; crn-, a área haehurada é (3rr - 9;) cm-.

8

B

c

8

A~---1 O

8 8

F 8 E

. 48 em

O lado do hexagono mede -6- = 8 em. LABC:

med(ABC) = 120°

(AC)2= 82

+

82 - 2 . 8 . 8 . cos 120° ~ ~ (AC)2= 128 - 128 . ( - +) ~ ~ (AC)2= 128

+

64 = 192 ~ ~ AC = 8../3 cm

LABC

==

LAFE ~ AE= 8../3 cm Trapézio ABCDéisóseeles

B 8

c

,.

,

1200

,

8 300

: 8

:

.

' 8

A

B' C' O

x x

x 1 x

LABB' ~ sen 30° =

"8 ~ ""2

=

"8 ~

x= 4 em Assim, AD = (4

+

8

+

4) em = 16 em A soma pedida é:

AC

+

AE

+

AD = 8../3 em

+

8../3 em

+

16 cm = = (16../3

+

16) em = 16 . (../3

+

1) cm

Portanto, a soma pedida é 16 (../3

+

1) em.

C A P i T U L O

4 ~

1 1º quadrante: ~(17rr = 4rr

+

lI.) .

41rr(41 rr= Sn

+

lI.) .

• 4 4 4' S S S'

_ JJ.E.(_ ~

= _2rr _ srr)

3 3 3 .

2º quadrante: - Sn 26rr(26rr = 8rr

+

2rr).

4' 3 3 3 '

_ 19rr(_ 19rr = -2rr _ 7rr)

6 6 6 .

3º quadrante: - 3rr. 22rr(221L =6rr

+

4rr).

4' 3 3 3 '

_ 49rr(_ 49rr = -4rr _ 9rr). 10

(10)

42

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

_quadrante: _-0,5 _{(observe que -} _;

<

_-0,5

<

_O);

15rr(15rr = 2rr + 7rr)

4 4 4 .

FEDCBA

2 . A:40rr (40rr = 20 . 2rr); -14rr( -14rr = 7 . (- 2rr»; 800rr (800rr = 400 .Zn),

B.17rr(17rr=8 +~).-~(-~=-4 _3rr)

. 2 2 n 2' 2 2 n 2·

C: 13rr; - 21 rre - 7n.

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

O · - ~ ( - 5rr = -2rr _~). 7rr (7rr = 2rr + 3rr).

. 2 2 2' 22 2'

_25rr(_25rr = -12rr _ ~)

2 2 2 .

3 . a ) d )

P

b)

P'

e)

c )

4 .

x = 2rr (k = 2) x = ~ (k = 1)

3

~'---+--~

3

_-+- -+--+-+ ~-x-=-+O (k = O)

x= rr (k = 3) x=2rr (k = 6)

60·

x = 4rr (k = 4)

3 x= ~3 (k = 5)

a ) Hexágono.

b ) Na circunferência trigonométrica, o lado de cada

triângulo mede 1 u.c (medida do raio).

Área do hexágono: A = 6 .

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

f 2 . . [ 3 = 6 .12

..[3

==>

4

4 3..[3

==> A = -2- u.a. Perímetro: P= 6 u.c.

5 . a ) sen (- ;) = -sen ; = -1

<

O

Resolução dos exercícios 3 6 1

( 5rr) 3rr.J2

b ) sen - - = sen - = -

>

O

4 4 2

10rr ( 4rr) 4rr rr

c ) sen-3- = sen 2rr +

3

= sen

3

= -sen"3 =

=-..[3<0

2

d ) sen850° = sen(2 . 360° + 130°) = sen 130°

>

O e ) sen3816° = sen(10 . 360° + 216°) = sen216°

<

O

67rr ( 3rr) 3rr . 3rr

f ) sen-8- = sen 8rr +

8

= sen

8

>

o,

pOIS

8

tem imagem no 12_Q.

6 . a ) sen4rr = senO = O

b ) sen 1~rr = sen(8rr + ; ) = sen ; = 1

c ) sen 1~rr = sen(6rr + ~ ) = sen ~ =

1

d ) sen 1290° = sen(3.360° + 210°) = sen210° = = -sen 30° = -

J..-2

e ) sen (- ~) = sen 5

3rr= -sen ~ =

-1

29rr ( 5rr ) 5rr .J2

f ) sen

4

= sen 6rr +"4 = sen"4 = -

2

7 . a ) sen(23rr+ k· 2rr) = sen 23rr= sen ~ ~

1

( V )

b ) k

=

O ==> senO

=

O k = 1 ==> senrr = O k = 2==> sen2rr = O k = 3==> sen3rr = O

( V )

c ) sen 1 000° = sen(2 . 360° + 280°) = sen280°

<

O (280°tem imagem no 42_Q) _{( F )}

d ) Observe que o número real 10 é maior que 3rr (aproximadamente 9,42) e menor que 7

2rr (aproxi-madamente 10,99).

seno

10

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

. . . , 3 1 t , 1t:...o-__ ~_-l- .•.

31t 7rr

2'2'· · ·

Desse modo, o número real 10 tem imagem no 3º quadrante e, assim, sen10

<

O. ( V )

(11)

3 6 2

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

8 .

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

p

=

2rr; 1m

=

[-2, 2J. y

2

-2,---b ) p

=

2rr; 1m

=

[-1, 1J. y

1

o

-1

x 2rr

2rr

c ) p

=

3';

1m

=

[-1, 1J

y

1

x

-1

d ) p

=

2rr; 1m

=

[2, 4J.

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

y

4 3

2

-o

1!.

2

rr 3rr 2rr x 2

e ) p = 4rr; 1m= [1, 3J y

~/

1

--o

rr 2rr 3rr 4rr x

t

+

1

9 . Devemos ter -1 ~ sen ('J. ~ 1=} -1 ~ -- ~ 1;

rnul-. I' d 2

trp rcan o por 2: -2 ~ t

+

1 ~ 2 Somando (-1), temos:

-3 ~ t ~ 1

{t E ~

1 -

3 ~ t ~ 1}

1 0 . rr

2

rr

; ~ ('J. ~ rt=} O ~ sen ('J. ~ 1; daí:

O ~ 2m - 3 ~ 1=} 3 ~ 2m ~ 4 =}

l.. ~

m ~ 2

2

{mE~

I;

~m~2}

2rr rr

1 1 . a ) p = -

=-141

2

b ) f _ = 3

+

2 . 1 = 5

m a x . .

1 2 . a ) t

=

O=} h(O)

=

6

+

4 . sen O

=

6

+

O

=

6=}

=} h(O) = 6m

b ) h(9)

=

6

+

4· sen (~;)

=

6

+

4· sen (3:)

=

6 + 4· ~

=

6 + 2 . 1,4 =} h(9)

=

8,8m

c ) ~ 1menor valor possível de sen

C

rr2 . t). t E [O, 270J é

Assim, h

min

=

6

+

4· (-1)

=

2 =} hmin

=

2 m

d ) O período de f é 1

2

; 1

=

2rrrr

=

24.

12 12

Logo, são necessários 24 s para a roda-gigante dar

uma volta completa.

270

e ) n

= -

=

11 25

24 '

Assim, são 11 voltas completas.

1 3 . a ) cos l ln

=

cos (1 On

+

n)

=

cos n

=

-1

b ) cos lOn

=

cos (5 . 2rr)

=

cos O

=

1

13rr ( rr) n

c ) cos -2-

=

cos 6rr

+

2 =

cos

2 =

O

27rr ( 3rr) 3rr

d ) cos--

=

cos 12rr

+ -

=

cos-

=

O

222

( 2rr) 4rr rr 1

e ) cos -3'

=

cos3'

=

-cos3'

=-2

f ) cos (-7rr)

=

cos 7rr

=

cos rt

=

-1

1 4 . a ) cos 1 560°

=

cos (1440°

+

120°)

=

cos 120°

=

'-..--' 3600_.4 1 = -cos 60° =

--2

b )cos 1035°

=

cos (720°

+

315°)

=

cos 315°

=

cos 45°

=

.,[2

2

) 19rr ( 7rr) 7rr rr

c

cos-6-

=

cos 2rr

+

6 =

cos

6 =

-cos6'

=

= _

..[3

2

22rr ( 4rr) 4rr n

d )

cos-3-

=

cos 6rr

+

3'

=

cos3'

=

-cos3'

=

1 2

e ) cos (- 270°)

=

cos 90°

=

O

43rr ( 3rr) 3rr rr

f ) cos

4 =

cos lOn

+

'4

=

cos'4

=

-cos'4

=

_.,[2

2

1 5 . cos 9

(12)

sen 9rr

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

sen ~

=

l :

2 2'

cos 17rr = cos (4rr

+ ~)

= cos ~ =

12.

4 4 4 2'

sen 17rr = sen ~ =

12.

4 4 2'

0-1 -1

_12

Y= r::;

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

t :

-r-;

4

~+3'~ 2'12

2 2

FEDCBA

1 6 . x E [rr, 3

2rr]==}-1 :oscos x:osO==}-1 :os 2; :osO==} 5

==}-5 :os2m :osO==}--:os m :osO 2

{m E ~

I - ;

:os m :os

O}

1 7 . -1 :oscos x:os 1==}-1 :os3; -

t

:os1 ==}

2 3m 4

==}-3:OST:OS3==}

4 8 4 8

==} - 3 :os3m :os3 ==} -

9

:os m :os

9

O único número inteiro pertencente ao intervalo

[ 4 8],

-9' 9

e o zero.

1 8 . a) p

=

2rr; 1m

=

[-2,2]

-2

11 1!l /

2 2

y 2

o

'11

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

I 211 X

b)p = 2rr; 1m= [1,3].

o

11 11 311 211

2 2

c) p = 4rr; 1m = [-1, 1].

y

11

o

-1·

2rr

d)p =

3;

1m= [-1, 1]. y

x

411X

363

2rr

e) p

=

3;

1m

=

[1, 3]

2

x y

3

\

o

11 11 11 211

6 3 "2 3

1 9 . a) cos (~

+

k· 2rr)

=

cos ~

= ~

b) cos (;

+

krr) = O (V)

(F)

p

(OS

P' c) fmín = 2· (-1) = -2 (F)

d) f(x) = x . (-1) = -x é uma função linear (y = ax, caso particular da função afim) e, portanto, não é periód ica. (F)

2rr

e) p

=

I; I

=

16 (V)

f) cos₍-

20

3rr) = cos 3rr O . 3rr .

2O

>

,pOIS

20

tem Imagem no

1Qquadrante. (V)

2 0 . a) 2020 ==}f(O)

=

400

+

18 . cos O

=

418 (418 milhões de dólares).

2025 ==}f(5) = 400

+

18· cos(5 3rr) =

= 400

+

18 .

t

= 409 (409 milhões de dólares).

2030 ==}f(10) = 400

+

18· cosC~rr) =

4rr ( 1 )

= 400

+

18 . cos

3

= 400

+

18· -

'2

= = 400 - 9 = 391 (391 milhões de dólares). b) Omenor valor possível de cos ( ~ x) é-1;

x E {O, 1,., 20}.

f_mín =400

+

18 . (-1) =400 - 18 = 382 (382 milhões de dólares).

Devemos ter:

cos ( ~ x) = ~os (rr

+

k . 2 rr!; k E 7l.; isto é, -1

(13)

3 6 4

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

k =

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

O=?X = 3 . (1

+

O) = 3 (Ano de 2023) k = 1 =?X = 3 . (1

+

2) = 9 (Ano de 2029)

k = 2 =?X = 3 . (1

+

4) = 15 (Ano de 2035) k = 3 =?X = 3 . (1

+

6) = 21 (Ano de 2041) ---7 não convémI

Assim, em 3 vezes, ou seja, nos anos de 2023, 2029 e 2035, fatinge seu menor valor.

Outro modo de resolver esse problema é impor as igualdades:

~'x=rc=?x=3 3

~ . x = 3rc =? x = 9 3

~ . x = 5rc =? x = 15 3

; . x =

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

T t : =? x = 21 ---7 não convém:

2rc

FEDCBA

2 1 . a ) D = IR; 1m = [-1, 1] e p =

3'

b) D = IR; 1m = [- 3, 3]. pois, para todo x E IR,

-1 ~ cos (x

+ ~) ~

1 =? - 3 ~ 3 . cos (x

+ ~) ~

3; 2rc

p =

-11-1

= 2 r c .

c) D = IR; 1m = [-3, 1]. pois, para todo x E IR,

-1 ~ cos (; - ~) ~ 1 =?

=? - 2 ~ 2 . cos (; - ~) ~ 2 =?

=? - 3 ~ -1

+

2 . cos (; - ~) ~ 1;

P

=

-ª--

=

4 r c .

1+1

d ) f(x) = x

+

cos ~ é uma função do 1Qgrau, e, portanto

não é periódica. D

=

IR; 1m

=

IR.

e ) D = IR' 1m = [-4 4]' P = 2rc = ~

, "6 3'

2 2 . a ) Basta transladar ~ unidades para a direita, o gráfico

dey= cos x. Assim, por exemplo, se o par(O, 1) tence ao gráfico de y = cos x, então o par (~, 1)

per-tence ao gráfico de y = cos (x - ~): se o par (~ ,

O)

pertence ao gráfico de y = cos x, então o par( 3 4r c ,

O)

----2!.+~

2 4

pertence ao gráfico de y = cos (x - ~) e assim por diante.

y

x

b ) Basta transladar ~ unidades para a esquerda o gráfico

.

4

de y = cos x. Assim, por exemplo, se o par(O,1) pertence ao gráfico y = cos x, então o par ( - ~, 1) pertence ao

gráfico de y = cos (x

+ ~}

se o par (~,

O)

pertence

ao gráfico de y = cos x, então o par (~ ,

_O)

pertence ao

'-v-'

rr _ rr

2 '4 gráfico de y = cos (x

+ ~)

e assim por diante.

y

Srr

4

y=(OS

(x

+ ~) _y₌_{(OS X}

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

.r

3rr 7rr 2rr

2 4

x

2 3 5865 = 5865 = 5100 =?

• rma•mo = 1

+

0,15 . 1 1,15

=? rmáxmo = 5100 km (apogeu)

r . 5865 = 5865 = 6900 km =?

rrummo 1

+

0,15 . (-1) 0,85

=? r_m1nlmo = 6900 km (perigeu) S = 5 100

+

6900 = 12000 Alternativa b .

Épreciso determinar os pontos de interseção (se houver), dos gráficos de f e g.

y 9

Lembre que Im(f) = [-1, 1] e que 9 é uma função afim decrescente cuja reta correspondente passa pelos pontos

(O,

~)e(~,

O).

(14)

~

a)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Se A é ortogonal, A-I = N;

temos: A . A-I = 13 ~ A . A' = 13 ~

O O O x

1212 12

~[:

O

n~

~

O -- O _Y 1

2 2 2 _O

12

x _Y z O z

2

O x

12

~U

O

n

O 1 1 1

~

₂₊₂

_{TSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

T ( Y + z )

12

O

x T ( Y + z ) x2 + y2 + Z2

{ X = O

~ (y

+

z)

=

O ~ Y

=

-z

x2 + y2 + Z2 = 1

2

3

Substituindo 1 e 2 em 3 , temos:

1 12

02+(_Z)2+Z2= 1 ~2Z2= 1 ~Z2=_~Z=±-·

. 2 2 '

12 12

• Se z =

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

T ' em 2 ,temos que Y = - T e uma

'11-' O 12 12

possrve so uçao e x = ,y = - T e z = T ·

12 12_

• Sez = - T ' em

2

,obtemos Y= T e a soluçao

, 12 12

e x = O ' Y = T e z = - T

b) Suponhamos que (~

.h

J fosse ortogonal.

Teríamos: (12 x). (12 Y) = (1 0J

y12 x12 01

~

éa transposta da matriz dada

( 2 + x

2

12(x + Y)J - (1 0

1 J

12(x + y) y2 + 2 - O

{

2

+

x2 _{= 1} ₁

12 .(x

+

y) = O 2

2+y2=1 3

De 1 ,temos: x2 = -1 ~ x

ti

IR

De 3 , temos: y2 = -1 ~ y

ti

IR

FEDCBA

C A P i T U L O

6

1 . São lineares as equações representadas nos itens a , c, f

e h .

2 . a) 2 . 2 - (-3) = 4 + 3 = 7; (2, -3) é solução.

b) 2 . 2 - 7 = 4 - 7 = -3

*

7; (2, 7) não é solução.

c) 2 . 5 - 3 = 10 - 3 = 7; (5, 3) é solução.

371

3 . a) -1 + 2 . 3 + 4 . (-1) = -1 + 6 - 4 = 1;

(-1,3, -1) é solução.

b) 0+ 2 . (-4) + 4 .(-1) = O - 8 - 4 = -12

*

1;

(O, -4, -1) não é solução.

c) 1 + 2 . 1 + 4 . 1 = 1 + 2 + 4 = 7

*

1;

(1, 1, 1) não é solução.

d)0+2· 0+4· ~ =1;(0,0, ~)éSOIUÇãO.

4 . 3· 1 - 2 . (-3) + m = 1 ~ 3 + 6 + m = 1 ~ m = -8

5 . a) 80x + 120y = 25200 ou 8x + 12y = 2520 ou

2x + 3y = 630

b) Se x = 45, então: 90 + 3y = 630 ~ y = 180 e o par

(45, 180) ésolução da equação linear; sim, épossível.

500

Se x = 65, temos: 130 + 3y = 630 ~ Y = -3-

ti

1\1;

não épossível.

c) Se y = 3x, então: 2x + 3 . 3x = 630 ~ 11 x = 630 ~

~ x

ti

1\1;não é possível.

Se y = ; temos: 2x + 3 . ; = 630 ~ x = 180 e

y = 90; o par (180, 90) é solução da equação linear;

sim .

6 . 3· m - 11 . (2m + 1) = 4 ~ 3m - 22m - 11 = 4 ~

15

~ m

=-19

7 . a) x = O ~ 4 .O + 3x = - 5 ~ x = -

2.

I 2 2 3 '

(O, - ~)

é solução.

x2= 1 ~4XI + 3· 1 = -5~4xl = -8~Xl = -2;

(- 2, 1) é solução.

b) x = Oe y = 1 ~ O + 1 - z = O ~ z = 1;

(O, 1, 1) é solução.

x = 1 e z = 2 ~ 1 + Y - 2 = O ~ y = 1;

(1, 1, 2) é solução.

c) (O, 2); (1, 1); (- 5, 7); (;, ~), .

d) x = x = O ~ O + O + 5x = 16 ~ x =.l§..

I 2 3 3 5 '

(O, O,

156) é solução.

Xl = x2 = 2 ~ 2 + 4 + 5x3 = 16 ~ x3 = 2;

(2, 2, 2) ésolução.

. {X

o número de moedas de R$ 1,00

8 . Sejam yo número de notas de R$ 5,00

35 - x

x + 5y = 35 ~ y =

---5

Para que y resulte inteiro, o numerador deve ser múltiplo

de 5, então atribuímos aXos valores 0,5, 10, 15,20,25,

30 e 35, obtendo, respectivamente, os resultados: (O, 7);

(5,6); (10,5); (15, 4); (20, 3); (25, 2); (30,1) e (35, O), ou

seja, poderá fazer o pagamento de 8 formas diferentes.

9 . a) x: número de moedas de R$ 1,00

y: número de notas de R$ 2,00

35 - x

(15)

35~y=--2-3 7 2

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Para que yresulte inteiro, o numerador tem que ser par. Logo, xE {1, 3, 5, 7, ...,33, 35}.

Existem 18 possibilidades distintas.

b ) x: número de notas de R$ 2,00

y: número de notas de R$ 5,00

z: número de notas de R$ 10,00 2x

+

5y

+

1Oz = 35

~

múltiplo de 5

2x deve ser múltiplo de 5 (ex deve ser natural). Podemos ter:

• 2x = O ~ x = O ~ y

+

2z = 7

x y z

O 7 O

O 5 1

O 3 2

O 1 3

• 2x = 1O ~ x = 5 ~ Y

+

2z = 5

x

y z

5 1 2

5 3 1

5 5 O

• 2x = 20 ~ x = 1O ~ Y

+

2z ="3

x y z

10 1 1

10 3 O

• 2x = 30 ~ x = 15 ~ Y

+

2z = 1

~ ~

Temos, ao todo, 10 possibilidades.

FEDCBA

1 0 . Sejam {a, b, c} C IR ex eyas incógnitas:

a ) ax

+

by = c

*

{a._-2a 1

+

_{- 3b}b· 1 = c ~ a_{= c}

+

b = -2a - 3b ~

~ 3a = -4b ~ a = _ 4b 3

Escolhendo-se, por exemplo, b = 3, temos: a = -4 e,

na 1~equação, obtemos -4 . 1

+

3 . 1 = c ~ c = -1 . Em

*

,temos: -4x

+

3y = -1

Escolhendo-se b = 6, obtemos a = -8 e c = -2 e a

equação é: -8x

+

6y = - 2; em geral, sendo kEIR*, segue a equação: k .(-4x

+

3y) = - k.

b ) x = O ~ Y = - t ~ (O, - t) é solução. y=o~x=: ~(:,O)éSOIUÇãO.

3

2 (3 2)'

I

-x =

4 ~

y =

3 ~ 4' 3

e so uçao.

1 1 . a ) { x

+

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 ' j = 1

+

3x - 2 ' j = 1 1

4x = 12

x = 3 ~ Y= -1

S = {(3, -1)}; S.P.D.

y

3x - 2y = 11

/

f

1 2

711

3

-(3,-1)

x+2y = 1

o

x

.{X -

Y = 1

b ) x

+

2y = O

(2) {2X - 2 ' j = 2

~

ffi

x + 2 ' j = O

2 1

=2~x=-~y=

--3 3

3x

.s={(;,-t)}SPD.

y

x-y=1

x

o

-1

x +2y =

o

c ) { x

+

Y = 5 · (-3)

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

~ { -:;;-M -

J r f = -$

ffi

3x

+

3y = 1 5 . 31(

+

J r f = .J-8'

0=0

3x+3y=

1 /

t

5

o

5

x

x+y=5

As duas equações são equivalentes e o sistema -reduz a x

+

y = 5.

Fazendo x = 5 - y, qualquer par ordenado da fo~-(5 - y, y), em que yEIR,é solução. Tomando y = 5 temos que qualquer par ordenado da forma (x, 5 -em que xEIR,também é solução.

S = {(5 - y, y); Y E IR};

ou S = {tx, 5 - x); xE IR}; S.P.I.

{

3X - 2y= 1 ·(-2)

{ ~ + X = - 2

d ) ~

e

6x - 4y

=

7 f t t : ' - f i Y = 7

0= 5 (Falso

S.I.; S = 0

y _{3x - 2y = 1}

6x - 4y = 7

o

1 1 7

"2 3 "6

7

4

(16)

1 2 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

x: número de unidades de 2 L {x +

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Y = 72 . (-2)

y:número de unidades de 1,5 L 2x + 1,5y = 129 ~

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

~ { -2 :X -

2y=-144

ffi

X+1,5y= 129

-0,5y = -15 ~ Y = 30 e x = 42

Foram compradas 30 unidades de 1,5 L.

) a :

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c : preço do café p: preço do minipão de queijo

{

2C + 5p = 14,20 .(-3)

~

3c + 7p = 20,60 . (2)

{

-6C - 15p = -42,60 __ -1 40

~ 6c+14p= 41,20~ p- , ~

~ p = 1,40 e c = 3,60

4c + 10p = 4· 3,60 + 10· 1,40 = 14,40 + 14 = 28,40

(28,40 reais)

1 4 . {M - 40 = L + 40 {M - L = 80

, M <=>

L - 30 =

2

-M + 2L = 60

Adicionando as duas equações, temos:

L = 140 e M = 220 ~

~ L + M = 140 + 220 = 360 (360 reais)

1 5 . a ) 13 . 5 - 7 . 2 = 65 - 14 = 51 (51 pontos)

b ) x: números de acertos

y: números de erros

{

X

+

Y = 20

~x=gey=11

5x - 2y = 23

Amanda errou 11 questões.

c){

x+ y=20 .(2)~{2X+Zy=40

ffi

5x - 2y = 17 5x - ):y = 17

7x = 57 ~ x

ti.

1\1

Não é possível.

1 6 . Se as retas não se intersectam, o sistema não tem solução.

{

X

+

Y = m

{X

+

Y = m

2x + 2y = 5 <=> x + Y = ;

Se m

*" ;,

as equações do sistema ficam incompatíveis

e ele não apresenta solução.

{ X-y=-2

1 7 . (3, 5) é solução do sistema

2x

+

y = m

Daí, na 2ª equação, temos: 2 . 3 + 5 = m ~ m = 11

. { 2x - Y = 3

1 8 . Para que a solução gráfica do sistema

mx

+

ny = -6

seja formada por infinitos pontos, as retas

c6rresponden-tes às equações dadas devem ser coincidentes.

Multiplicando a 1- equação por (- 2), obtemos

{

-4X

+

2y = -6

~ m = -4 e n= 2

mx

+

ny= -6

1 9 . a ) {3 + (-2) = 1( V ) ~ (3, -2) é solução.

2 . 3

+

3 . (- 2) = O( V )

{

1 4

--

+ -

= 1 ( V )

3

2 . (- ;) + 3 . ~ = O( F ) ~ ( - ; , ~ ) não é solução.

373

2 0 . a ) (2, 1, 3) não satisfaz a 3" equação:

-2 + 1 + 2 · 3= -2 + 7 = 5

*"

-5

Logo, (2, 1, 3) não é solução.

b) lªequação 2 - ~ +

+

= O ( V )

7 1

'2ª equação 2 + - - - = 2 + 2 = 4 ( V )

3 3

3ª equação - 2 -

l - 2

= - 2 - 3 = - 5 ( V )

3

Logo, (2, - ~, -

+)

é solução.

c ) (-1, 1, O) não é solução, pois não satisfaz a 2ª

equa-ção: -1 - 1 + O = - 2

*"

4

2 1 . a) [' 1

:]eB~[;

1 O

:l

A = 1 O O 1

O 1 1 1

li

b) A ~ [ :

-1

~, 1

e B

f

-1 1

-1

1

2 2 -1 -2

O -1 1 O -1 -5

c)

[3 2]

[3

2 -4 ]

A = : -11 e B= : -1 -7

1 2

d ) A = [ 2

-1

3 ] e B- [ 2

10 -1

2 2 . a ) {3X

+

2y = O

2x

+

5y = 2

b ) {5X

+

7y - 2z = 11

x - Y + 3z = 13

c ) { x

+

Y

+

z = 3

2x - 4y

+

3z = 11

- 3x - 3y - 3z = 10

2 3 . a ) (2, -1, 3) satisfaz as duas primeiras equações; na

3" equação, temos: 2· 2 + m . (-1) -3 = O ~

~4-m-3=0~m=1

b ) Na 1ª equação, temos: 5 + m = 8 ~ m = 3;

(5, 3) satisfaz a 2ª equação.

c ) Na 1ª equação, temos: m + O - (-2) = 5 ~

~ m + 2 = 5 ~ m = 3; (3, O, -2) satisfaz a

2" equação.

b ) ( - 5, 4, 2) é solução, pois:

-5+8+2=5

-10+12-2=0

(17)

374 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

c ) 1ª equação:

-15 + 5z + 2 . (10 - 3z) + z =

= -15 + Y+ 20 -

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

§ r + / = 5

2' equação:

2 . (-15 + 5z) + 3 . (10 - 3z) - z =

= -..MJ+ 1Oz +...30 - 9z - z = O

d ) Pelo item c,temos: p = -15 + 5 . (- 2) =>

=>p=-15-10=-25

25.

_a _e _c_{estão escalonados.}

_FEDCBA

2 6 . a ) y = 7 => 3x + 14 = 5 => x = -3; S = {(-3, 7)}; S.P.D.

b )z = -4 =>Y - 4 = -1 =>Y = 3 =>

=> x + 3 - 4 = 2 => x = 3; S = {(3, 3, -4)}; S.P.D.

c ) 2ª equação: y = 2 + 3z

1ª equação: x - (2 + 3z) + 2z = 5 => x = 7 + z

Se z = 0.,

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a .E IR, a solução édada por: S = {(7 + 0., 2 + 3 0 . , o): o. E IR}; S.P.I.

d )w = 2 => z = 3 =>Y = O => x = 6 A solução éS = {(6, O, 3, 2)}; S.P.D.

e ) A terceira equação não ésatisfeita qualquer que seja z real, pois 01º membro ésempre nulo. S = 0;S.I.

2 7 . 3ªequação 3· (-2) = y = > y = - 6

2ª equação: 2 . 2 + (- 2) = ~ => ~ = 2 l'equação: -1 + 2 - (-2) = o.=> o. = 3

2 8 .a ) A equação linear x - y = 8 "traduz" o problema.

b ) (10, 2); (8,O); (O,-8); (12, 4); ...

c ) S.P.I.; x = 8 + y; se y = o , a.E IR, a solução é dada por S = {(8 + o ; o): rI. E IR}

2 9 . Como (1, -1, O)ésolução, na 2ª equação obtemos: -1 - 2 .O = m => m = -1. Temos:

{

x-y

+

z= 2

Y - 2z = -1

Da 2ª equação, y = -1 + 2z

Na 1ª equação: x - (-1 + 2z) + Z .= 2 => x + 1 - z = 2 =>

=>x=1+z

Para um valor real qualquer aatribuído az ; segue a solução: S= {(1

+

o ; -1

+

2 0 . , 0 . ) ;a .E IR}

3 0 . a ) { x

+

2y

+

z = 9

2x

+

Y - z = 3

3x - Y - 2z = -4

{

X

+

2y

+

z = 9

- - 3y - 3z = -1 5

-7y - 5z = -31

{

X

+

2y

+

z = 9

- y+ z= 5

-7y - 5z = -31

;.- (-2) . (l'eq.) +(2'eq.)

-;.- (-3) . (1'eq.) +(3'eq.)

{

X

+

2y

+

z = 9

- y+z=5

2z = 4 ;.-7 . (2'eq.) +(3'eq.)

Daí, z = 2 =>y = 3 =>x = 1; S = {(1, 3, 2)}; S.P.D

b ) { x - y - 2z = 1

{X -

Y - 2z = 1

- x

+

Y

+

z = 2 - -z = 3

x - 2y + z = -2 - Y + 3z = -3

Como z = - 3, obtemos, na 3ª equação:

-y

+

3· (-3)

=

-3 =>Y

=

-6, e, na l' equação: x + 6 + 6 = 1 => x = -11; S = {( -11, - 6, - 3)}; S.P.J

c ) { x + 3y + 2z = 2

3x + 5y + 4z =

4-5x

+

3y

+

4z = -10

{

X + 3y + 2z = 2

- -4y - 2z = -2 ;.-(-3)· (1'eq.) +(2' eq.)

--12y-6z= -20 ;.-(-5)· (t- eq.)+(3· eq.)

{

X + 3y + 2z = 2

- 2y

+

Z = 1

6y

+

3z = 10

{

X + 3y + 2z = 2

- 2y

+

z = 1

0=7 ;.-(-3)· (2'eq.) + (3'eq.)

(F); S= 0; S. I.

d ) { x

+

Y

+

z = 2

2x - z = -1

3x

+

Y = 1

{

x+y+ z= 2

- -2y-3z=-5 ;.-(-2)· (l'eq.) +(2'eq.)

-2y- 3z = -5 ;.-(-3)· (l'eq.) +(3'eq.)

_ {x

+

Y

+

Z = 2

2y

+

3z = 5

_ 5 - 3z

Na 2' equaçao: y =

-2-- 5 - 3z

l'equaçao: x + -2- + z = 2 => 2x + 5 - 3z + 2z = 4 => 2x = -1 + z =>

x= -1/ z;S= { (-1

t

a., 5 -23 0 . ,o ) :a.E IR}: S.1'1.

3 1 . a ) { x

+

8y - 3z = 7 -x

+

3y - 2z = 1

3x

+

2y

+

z = 5

{

X

+

8y - 3z = 7

- 11 Y - 5z = 8 ;.- (1'eq.) +(2' eq.)

--22y + 10z = -16 ;.-(-3)· (l'eq.) +(3'eq.)

{

X

+

8y - 3z = 7

- 11y - 5z = 8

11 Y - 5z = 8 ;.- (-

+) .

(3' eq.)

_ {x

+

8y - 3z = 7

(18)

Assim, para z =

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a , a E IR!,temos:

s={(-7a+13

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

8 + 5 a a).aEIR}

11 ' 11 ' ,

FEDCBA

b )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

{X

+

Y = 3

X +z= 4

Y

+

z = -3 {

X

+

Y = 3

- -y

+

z=

1-Y

+

z = -3

{

X

+

Y = 3

-y + z = 1 ~ z = -1, Y = - 2 e X = 5;

2z = -2

S= {(5, -2, -1)}

c ) {2X - Y

+

z = 3 X

+

Y - 3z =

1-3x - 2z = 3

{

2X - Y

+

z = 3

_ -3y

+

7z = 1

3y - 7z = -3

_ {2X - Y

+

z

= 3

-3y

+

7z =

1)

-3y+7z=3

<-- (P eq.) + (-2)· (2'eq.) <-- (l· eq.)· (-3) + (3· eq.)· 2

equações incompatíveis;

S=0

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d )

{a -

b -

c

= -1

a-b+c= 1

a+b-c= 1

{

a' - b - c

=

-1 ~ a

=

1

- 2c= 2<--(-1)'(1'eq.)+(2'eq.)~c=1

2b = 2 <--(-1)· (l· eq.)+ (3'eq.)~b= 1

S={(l,l,l)};

3 2 . Sejam x, y e z, respectivamente, os preços unitários do quibe, esfirra e suco.

{

2X + 5y + 2z = 32

3x + 6y + 3z = 44,70

2x + 10y + 3z = 49

{

2X + 5y + 2z = 32

- - 3y = - 6,60

5y+ z = 17

Da 2ª equação, temos y = 2,20

Na 3ª equação temos: 5 . 2,20

+

z = 17 ~ z = 6

Na lªequação: 2x

+

5· 2,20 + 2· 6 = 32 ~x = 4,50

Logo, os preços unitários do quibe, da esfirra e do suco

são, respectivamente, R$ 4,50, R$ 2,20 e R$ 6,00.

3 3 . Sejam x,ye zos preços, em reais, da calça, da camisa e do par de meias, respectivamente.

{

X

+

2y

+

3z = 287

2x

+

5y

+

7z = 674

2x

+

3y

+

4z = 462

375

_ {X

+

2y + 3z = 287

Y

+

z =

100--y - 2z = -112

{

X

+

2y

+

3z = 287

- Y

+

z = 100

-z = -12 ~ z = 12 ~ Y = 88 ~ X = 75

Cada camisa custou R$ 88,00.

3 4 . x: número de acertos y: número de erros

{

X

+

Y = 25

500

+

200x - 1 50y = 600

x=11ey=14

Logo, errou 14 questões.

{

X

+

Y =25

20x - 15y = 10

3 5 . a ) { : ~

2x

-y = 10

y=

4

5y= -1

II

_{X

+

Y = 10

-2y= -6 <--(-l). (l'eq.) + (2· eq.)

-7y= -21 <--(-2)· (l'eq.) + (3· eq.)

{

X

+

Y = 10

- Y = 3 ~ X = 7; S = {(7, 3)}

y= 3

b ){-X

+

3y - z = 1 _ {-X

+

3y - z = 1 _

X

+

Y

+

z = 7 4y = 8

_ {-X

+

3y -

z

=

1 _

{-X -

z

=

-5 ~

Y =2 y= 2

~ X = 5 - z. Para a E IR!,a solução é dada por

S = {(5 - a , 2, o): a E IR}

c ) { X

+

Y = 3 X - Y = 1

3x

+

7y= 11

{

X

+

Y = 3

- -2y = -2 .:- (-1)' (l'eq.) + (2'eq.)

4y= 2 <--(-3) . (1'eq.) +(3'eq.)

{

X

+

Y = 3

- y= 1~S=0

Y = 0,5

d ) { X - 2y = 8

3x - Y= 9

X

+

Y= 1

5x

+

7y = -10

{

X - 2y= 8 .

5y = -15

- 3y = - 7} equações incompatíveis; S = 0

(19)

376

Resolução dos exercicios

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e ) {

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

x

+

2y = 11

x

+

3y = 16 2x + 5y = 27

{

X

+

2y = 11

- y= 5 <--(-l)· (1'eq.) (2'eq.)=> X = 1

y = 5 <--(-2) . (1' eq.)+(3'eq.) S = {(1, 5)}

f ) { x + Y+ z = 4 {X + Y+ z 4

2x -z+ w=-4_ - 2y-3z+ w=-12_

y-z- w=-2 y- z- w= -2

x -z+2w=-2 -y-2z+2w= -6

-{

-r

X+ y+ z 4

-2y-3z+ w=-12

- 5z - w = -16

z - 3w =

o

y

+

z 4

2y - 3z + w = -12

- 5z - w = -1 6 =>

-16w = -16

=> w = 1; - 5z - 1 = -16 => z = 3;

-2y-9+ 1 = -12=>y=2;

x+2+3=4=>x=-1

S= {(-1, 2, 3, 1)}

FEDCBA

3 6 . a )

y

10

x-y=4 x+y=lO

3

o

2 4 7 10 x

2x-Sy =-1

-4

e )

x+y=3

~~

3x+7y=11

x-y=l

-1

3

Q

p 11

3

R

o

3 7 . Sejam a, be eas quantias de Ana, Bia e Carol, respecti-vamente. Temos:

{

a + b + c = 340

a - 10 = 2b 3

-a = c - 9

5

(observe que 40% de a éigual a ~ a e o que sobra é ~a)

{

a +. b + c = 340 {a + b + c = 340

a-2b = 10 - -3b - c= -330_

3a - 5c= -45 -3b - 8c = -1065

{

a + b + c = 340

- 3b + c = 330 =>

-7 c = -735

=> c = 105; na 2' equação temos b = 75 e na l'equação obtemos a = 160.

3S .{

4c + 31 + 6b = 37,20 _

{

4c + 31 + 6b = 37,20

2c + 21 + 3b = 20,60 -I =-4

(1'eq) +(-2) . (2'eq.)

O sistema éindeterminado, com I= 4; 4c = 37,20 - 6b - 12 => 4c = 25,20 - 6b Ç:::}

Ç:::} 2c + 3b = 12,60

*

a ) R$ 4,00

b ) Não épossível determinar.

e ) Por

*

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

r 2c + 3b = 12,60; então: 12,60 + 5· 4,00 =

= 12,60 + 20,00 = 32,60 (32,60 reais)

d ) Não épossível determinar.

3 9 . Sejam

x.

ye

z

os preços dos ingressos para arquibancada, numerada descoberta e numerada coberta,

respectiva-mente.

(I) z = x

+

y }

(lI) 60%· 40000 = 24000

25%· 40000 = 10000 =>

15%· 40000 = 6000

=> 24000x + 1OOOOy+ 6000z = 4320000 =>

=> 24x + 10y + 6z = 4320

(III)

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

L =

l

=> 5y - 3z = O

z

5

{

x+ y- z= O

5y - 3z =

0-24x + 10y + 6z = 4320

{

X

+

Y - z = O

_ 5y - 3z = O

-14y + 30z = 4320 <--(-24)· (1'eq.)"T-(3'eq.)

{

X

+

Y - z = O

5y - 3z = O =>

108z = 21 600 <--(14) . (2"eq.)+(5) . (3'eq.)

=> z = 200, Y = 120 e x = 80

Logo, os preços da arquibancada, numerada

desco-berta e numerada coberta são R$ 80,00, R$ 120,00

(20)

4 0 .

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Sejam c" c_{2 e}c_{3 as quantidades} de colchões do tipo c" c2 e c3 produzidas. Temos:

{

96 _{- c, + 144 - c2 + 240 - c3 = 19200}

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(748)

96-c,+ 48-(2+ _24-c3=10080

(724)-96 - (, + 96 - (2 + _{24 - c3 = 12480} (724)

{

2C, + 3c2 + 5c3 : 400

4(, _{+ 2c2 +} _{c3 420}

-4(, _{+ 4c2 +} _{c3 = 520}

{

2C, + 3c2 + 5(3 = 400

- -4(2 - _{9c3 = -380}

-2c2 - 9c3 = -280

{

2C1 + 3c2 + 5c3 = 400

- -4(2 - _{9c3 = -380}

9c3 = 180 ~ _{c3 = 20}

Na 2ª equação: _{-4c2 - 180 = - 380 ~ c2 = 50}

Na 1< equação: 2c, + 3 - 50 + 5 - 20 = 400 ~ (1 = 75

A soma pedida é75 + 50 + 20 = 145.

4 1 .UTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa ) 4 - 6 = - 2

b ) 14 - 27 = -13

c ) 2 - (-2) = 4 d ) 6

1 1

e ) 4 - - - 3 - - = 1

2

3

f ) -a2 - a2 = -2a2

g ) 1 - (- 1) - O - 1 = - 1

h ) sen28° + cos28° = 1 4 2 .a ) -4 - 2 - 1 - 3 = -8 - 3 = -11

b ) 1 - 3 - O - (-1) = 3

c ) A + B =

[-03

!];

det (A + B) = -1 5

d ) A - B = [- 5

3];

det (A - B) = 5 - 6 = -1 2 -1

e)A+2B=[~4 ~]+[~2 ~]=[=~ ~];

det (A + 2B) = -16 + 3 = -13

f )

A- B

=

[~4 ~]- [~1 ~]

=

[=~ ~];

det (A - B) = -42 + 9 = - 33

g ) A + 12 = [ ~ 3

~] ~ det (A + 1_{2) = -12}

[

a11 a12]

[1

-2]

4 3 . A = = ; det A = 2 - (-10) = 12

a21 a22 5 2

4 4 . a ) O + 1O - 1 - 2 + 1 5 + O = 22

b ) 7 + 4 + O - 14 + O + 5 = 2

c ) O - 15 + O + 18 + O - 4 = - 1

d ) -15

45.a)A=r:~: :~: :~:l=r~: (~:)2;=~;:1=

l a31 a32 a33

J

l22 12 02

J

3 7 7

o

~

l;

det A = O + 4 + 4 - O - O - O = 8

1 O

J

.

b ) AI = A; assim det AI = det A = 8

4 6 . A.

=

r~ ~ ~1,

B

=

r

= ~ -

1 ~

1,

II

1 1J l-l-l-lJ

det A = 1 e det B = -4

A

+

B ~

l: ~

n

det IA

+

BI" O

A- B

J

=! .. ~

o

1, det (A - B) = 10 + 4 - 6 - 12 = -4

l-3 -1 1J

4 7 . a ) x(x - 2) - (- 3) - (x + 2) = 8 ~

~ x2 - 2x + 3x + 6 = 8 ~ x2 + X - 2 = O ~ x = 1 ou

x=-2~S={1,-2}

b ) /

l

{x~

/;1/

{x ~

3/2~X\ 3 2x

- 3x -4x'

o

x

o

4x'

Logo, a equação é:

-3x-4x2 + x3+4x2 = 0~X3 - 3x= 0~X(X2 - 3) =

o~

~ x = Oou x2 - 3 = O, isto é, x =

±.,[3

S= {O,

-.,[3, .,[3}

c )

II

J

1 2./

x

~I.--

1

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

. >

2---1 x x+1:"--1--- x

3./ .__2----~x ~ 3 2

# '" .r

-3x' -2(x +1) 2x x' 6(x+1) -2x

Obtemos, assim, a equação:

- 3x2 - 2(x + 1) + 2x + x2 + 6(x + 1) - 2x = 6 ~

~ - 2X2 + 4x - 2 = O ~ x2 - 2x + 1 = O ~

~ (x - 1)2 = O ~ x = 1

S= {1}

4 8 . a ) 3x - 4(x + 2) ~ x ~

~ 3x - 4x - 8 ~ x ~

~-2x~8~ ~ x > -4~ S= {x E IR

I

x;;;, -4}

b)

J

1

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2 ~ l y 1 ~ 2 /

e O x 4 I/'O X

0/ O ':..6 V_o O

/ /' I

o +18 - 2x o 15x o o o -6x o o

Logo, obtemos a desigualdade:

18 - 2x + 1 + 15x > -6x ~ 19x > -19 ~ x > -1

S={xElRlx>-1}

(21)

378 UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a )

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Devemos ter D

UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= F O, isto é, m = F 2 .

b ) A condição D = O, ou seja, m = 2, é necessária, porém

não suficiente. Sem =2: {

x+ y=3 {X+Y=3

2x + 2y = 2 x + Y= 1 equações incompatíveis Assim, não existe mEIR para o qual o sistema possui infinitas soluções.

FEDCBA

c ) m = 2, pelo item anterior.

5 0 . 2 b - 3· (a -1) = 14=}2b - 3a = 11 12b - 2a - 16 - 2b = 0=}1 Ob - 2a = 16 {_{10b - 2a = 16}2b - 3a = 11 =} a = - 3 e b = 1

5 1 . a )

[~3 ~]- k . [~ ~]

=

= [ ~

3 ~]- [~ ~]

= [

2

~3 k 5 ~ k]

b )12 - k O 1= O=} (2 - k) . (5 - k) = O=}

-3 5 - k

=} k = 2 ou k = 5

5 2 0_•' _{sistema e: (k)}, { x+ky=-1 _O

+

1 x

+

2y =

D = 1 1 k 1= 2 - k(k + 1) = 2 - k2 - k

k

+

1 2

Devemos ter D= F O, isto é:

- k2 - k + 2 = F O =} k= F 1 e k= F - 2

5 3 . a ) { x

+

2y = O _

3x

+

5y = O

{

X

+

2y = O =}

. -y = O <-- (-3)· (1' eq.)+(2' eq.) =} y = O e x = O; S = {(O, O)} =} SP.D

b )

{-x

+

2y = O _

7x-14y=0

_ {:

+

2y = O

x - 2y =O

<--(+).

(2'eq.)

Obtemos equações equivalentes e para

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA

a EIR o siste-ma se reduz à equação linear -x + 2y = O =} x = 2y;

S = { ( 2 a , o i ; « EIR} =} S.P.I.

c ) {2X

+

3y -

z

= O . x - 4y

+

z = O

-3x

+

Y - 2z = O

{

2X

+

3y - z = O

- 11y-3z=0 <--(1· eq.)+(-2)· (2· eq.) 7y

+

z = O <--(1' eq.)· 3 + (3' eq.)· (-2)

{

2X

+

3y - z = O

- 11y - 3z = O

- 32z = O<-- 7 . (2'eq.)+(-11) . (3' eq.) =}Z = O, Y = O e x = O; S = {(O, O, O)}; S.P.D.

d ) { x

+

2y - z=O

2x - Y

+

3z = O 4x

+

3y

+

z = O

{

X

+

2y - z = O

- -5y + 5z = O <-- (-2)' (1'eq.) + (2'eq.) - 5y + 5z = O <-- (-4) . (1' eq.) +(3' eq.)

_ {x.

+

2y -

z

= O

-y

+

z = O 2- equação: y = z

1ªequação: x + 2z - z = O =} x + z = O =} x = -z Assim, para um valor a real qualquer de z , obtemos: S = {(= O , a , a ) ; a E IR}; S.P.I.

5 4 . a) m - 2 = O=} m = 2

b ) { x - y

+

4z = O

2x

+

3y - z = O 6x - Y + 15z = O

{

X - y

+

4z = O

5y - 9z = O <-- (-2) .(1' eq.) + (2'eq.) 5y - 9z = O <--(-6)' (t-eq.) +(3·eq.)

_ {x -

y

+

4z = O 5y - 9z =O

De 5y - 9z = O, temos y = 9

5Ze, na 1- equação: -11z

x = -5-' Se z = C I . , escrevemos:

S = {( - ~1

a ,

9~,

u ). a

EIR}ou ainda, para um valor real a qualquer dez ; podemos escrever, alternativamente, S = {(- 1 1 a , 9 a , So ),a E IR}

5 5 . { x - 3y = O

(m

+

1)· Y = O

Se na 2ª equação o coeficiente de y se anular, isto é, se m = -1, o sistema admitirá infinitas soluções.

Assim, se m = F -1,teremos, como única solução, o par ordenado (O, O).

5 6 . Como o sistema é homogêneo, a condição D = O é su-ficiente para garantir que o sistema seja indeterminado (e assim, admite soluções próprias).

a ) D = O=} 1 1

2 1= O=} m + 8 = O=} m = -8 -4 m

{

X

+

2y = O

b ) Se m = -8, obtemos =} x + 2y = O =}

. -4x - 8y = O

=} x = -2y; solução geral: S = { ( - 2 a , C I . ) ; u .EIR} Algumas soluções próprias:

u > 1 =}(-2, 1)

a = 3 = } ( - 6 , 3 )