Estudo do Transporte Eletrônico no Semicondutor Arseneto de Gálio Usando a Equação de Newton-Langevin

(1)

Estudo do Transporte Eletrônico no semicondutor

GaAs Usando a Equação de Newton-Langevin

Recebido em: 14/11/2018 Aprovado em:

20/11/2018

Miranda, B. M.

1

_,

_{Rodrigues, C. G.}

1

1_{Escola de Ciências Exatas e da Computação}

Pontifícia Universidade Católica de Goiás Goiânia-GO-Brasil

Resumo: os semicondutores permitem o desenvolvimento de inúmeros dispositivos ele-trônicos sendo então o seu estudo de grande relevância cientíﬁ ca e tecnológica. Um dos focos de pesquisa e estudos em materiais semicondutores, e que será também realiza-do nesta pesquisa, é o transporte de carga (corrente elétrica) em materiais semiconduto-res. Neste artigo analisamos o transporte eletrônico no semicondutor Arseneto de Gálio (GaAs) a partir de uma equação diferencial do tipo Newton-Langevin. Obtivemos duas importantes equações: uma que descreve a velocidade de deriva e uma que descreve o deslocamento do elétron no semicondutor submetido a um campo elétrico constante, sen-do os resultasen-dos analisasen-dos graﬁ camente.

Palavras-chave: Semicondutores. Corrente elétrica. Newton-Langevin.

Study of Eletronic Transpot on Gallium Arsenide Semiconductor using Newton-Langevin Equation

Abstract: semiconductors allow the development of numerous devices electronics, therefore the study of semiconductors is of great scientiﬁ c and technological relevance. One of the focus of research and studies on semiconductor materials, and that also will be considered in this paper, is the transport of charge (electric current) in a semiconductor material. In this paper we analyzed the electronic transport in the semiconductor Gallium Arsenide (GaAs) by using the Newton-Langevin equation. We obtained two important equations: one that describes the drift velocity and one that describes the displacement of the electron in the semiconductor submitted to constant electric ﬁ eld. The results were analyzed graphically.

Keywords: Semiconductors. Electric Current. Newton-Langevin.

1 Introdução

S

emicondutores são materiais que tem suas bandas de valência e condução separadas por uma faixa proibida de energia de valor não muito elevado (da ordem de fração ou alguns elétrons-volt). Estes materiais têm uma condu-tividade elétrica bastante reduzida em temperaturas normais de operação com valor intermediário entre as condutividades de isolantes e condutores (daí o nome “semicondutor”) [1]. O sucesso dos semicondutores se deve principal-mente aos seguintes fatores:

ISSN 2674-7863 Artigo / Articles

(2)

a. Existência de técnicas de sintetização de materiais semicondutores de alta pureza;

b. Existência de técnicas de cristalização de materiais semicondutores com alto nível de perfeição cris-talina;

c. Disponibilidade de técnicas de dopagem controlada permitindo alterar as propriedades do semicon-dutor.

Os semicondutores permitem o desenvolvimento de inúmeros dispositivos (eletrônicos, ópticos, sensores, etc.) sendo, então, o seu estudo de grande relevância cientíﬁ ca e tecnológica [2, 3]. Um dos focos de pesquisa e estudos em materiais semicondutores, e que será realizado nesta pesquisa, é o trans-porte de carga (corrente elétrica) em materiais semicondutores. Os fenômenos de transtrans-porte constituem um tema relevante em áreas tão distintas quanto a Física da Matéria Condensada, Físico-Química, Bio-logia, Engenharias e outras.

2 Objetivos

Analisar o transporte eletrônico em um semicondutor a partir de uma equação diferencial do tipo Newton-Langevin [4]. Mais especiﬁ camente será determinada a velocidade de deriva dos elétrons e o seu deslocamento no semicondutor Arseneto de Gálio.

3 Metodologia

Depois dos trabalhos de Einstein e Smoluchowski, foi desenvolvido por Paul Langevin, em 1908, um tratamento alternativo do movimento browniano (e difusão molecular). Langevin escreveu uma equação diferencial para o movimento browniano, na qual recupera a relação de Einstein, que contém uma força, irregular e imprevisível, que pode ser tratada como um processo estocástico. A equação de Langevin é o protótipo de equação diferencial estocástica e constitui o modelo mais simples para estu-dar a dinâmica de sistemas nos quais as ﬂ utuações possuem um papel relevante. Estas ﬂ utuações são introduzidas adicionando termos aleatórios nas equações de movimento, que são chamados de fontes de ruído. Langevin escreveu o que se considera como a primeira equação diferencial estocástica, baseado apenas na formulação da segunda lei de Newton: F = dp/dt. Consideraremos a equação de movimento unidimensional de Langevin na forma [4]:

(1) onde m é a massa da partícula, -Av(t) é uma força de amortecimento linear na velocidade v(t)da partí-cula. O termo F(t) atua como uma força externa. Nesta pesquisa está força será causada pela aplicação de um campo elétrico constante. A equação de Langevin tem sido fartamente usada no estudo da dinâ-mica de sistemas estocásticos e, inclusive, de sistemas estatísticos clássicos, incorporando uma força fl utuante nas equações de movimento deterministas. Esta equação será utilizada nesta pesquisa para o estudo específi co do transporte eletrônico em semicondutores submetidos a um campo elétrico cons-tante, ou seja, a equação de Langevin será empregada para elétrons em semicondutores, obtendo-se a velocidade de arraste dos elétrons, corrente e mobilidade eletrônica. A aplicação será realizada ao arseneto de gálio (GaAs). A equação de Newton-Langevin é o protótipo de equação diferencial esto-cástica e constitui o modelo mais simples para estudar a dinâmica de sistemas nos quais as fl utuações possuem um papel relevante. No entanto, neste trabalho estas fl utuações são nulas e a equação se torna então determinística.

(3)

4 Determinação das Equações de Movimento

Consideraremos um semicondutor com um campo elétrico uniforme aplicado, como mostra a Figura 1.

Fig. 1. Campo elétrico, no sentido negativo do eixo X, aplicado a um elétron Como o elétron está submetido a um campo elétrico, surge uma força elétrica Temos então:

(2) Além da força elétrica consideramos que há uma força atuando nesse elétron que é contrária a seu movimento e proporcional à velocidade. Essa força ƒ é uma força de resistência ao movimento e podemos descrevê-la como

(3) onde o parâmetro α está relacionado à resistência elétrica do semicondutor, o qual naturalmente varia com o tipo de material semicondutor [5]. Utilizamos nesse trabalho o valor de α do Arseneto de gálio (GaAs), um material muito promissor para ser usado na construção de circuitos integrados.

Considerando uma situação unidimensional, como mostrado na Figura 1, e associando as Equa-ções (2) e (3) com a Equação de Newton-Langevin, Equação (1), obtemos a lei de movimento:

(4) onde m* é a massa efetiva do elétron no semicondutor, a qual assegura que os efeitos quânticos foram levados em consideração.

Para determinar a equação que expressa a velocidade do elétron no semicondutor, partimos da Equação (4), sabendo que é a força de resistência ao movimento e é a força elétrica dada pela Equação (2). Assim:

(4)

Deﬁ nindo, tem-se:

Integrando:

Usamos a propriedade dos logaritmos em que

Lembrando que , a equação anterior se torna:

Colocando o termo em evidência temos então a equação para a velocidade do elétron em função do tempo:

(5) Para valores de t muito grandes, a exponencial da Eq. (3) tende a zero, e assim obtemos a veloci-dade no estado estacionário:

(6) Podemos então obter a mobilidade elétrica, deﬁ nida como a capacidade de partículas carregadas movimentarem através de um meio, em resposta a um campo elétrico:

(5)

(7) onde é o módulo da velocidade de deriva do elétron no estado estacionário e é o módulo do campo elétrico aplicado.

Para obtermos a equação da posição do elétron em função do tempo partimos da Equação (5). Dessa forma ﬁ camos com:

(8)

A Equação (8) nos dá a posição do elétron para qualquer valor de t.

5 Resultados e Discussão

Na seção anterior obtivemos duas importantes equações: a que descreve a velocidade, Eq. (5), e a que descreve a posição do elétron, Eq. (8), no semicondutor submetido a um campo elétrico constante (veja Fig. 1). A seguir serão feitos os gráﬁ cos para entendermos melhor a forma como o elétron se comporta ao aplicarmos um campo elétrico no semicondutor. Aplicaremos as Eqs. (5) e (8) ao caso especíﬁ -co do semi-condutor Arseneto de Gálio (GaN) submetido a um campo elétri-co -constante em -contato -com um reservatório térmico mantido a uma temperatura constante de 300 Kelvin. Os valores dos parâmetros usados para o Arseneto de Gálio neste trabalho estão listados na Tabela 1.

Tabela 1. Valores para a massa efetiva do elétron, campos elétricos aplicados e do parâmetro para o Arseneto de Gálio

Constantes Valores

Carga do elétron, e 1,6 x 10-19_c

Massa de repouso do elétron, m0 9,11 x 10-34 g

Massa efetiva do elétron, m* 0,067mg₀ Campo elétrico, E

1kV/cm 2 kV/cm 3 kV/cm

(6)

A Figura 2 mostra a velocidade dos elétrons (em centímetros por segundo) dada pela Eq. (5) em função do tempo (em picosegundos). Notamos que o elétron no semicondutor atinge em um curto inter-valo de tempo, entre 2 e 3 picosegundos, o estado estacionário.

Fig. 2. Gráﬁ co da velocidade dada pela Equação (50) versus tempo

A Figura 3 mostra a posição do elétron (em micrômetros) dada pela Eq. (8) em função do tempo (em picosegundos). Notamos pelas curvas que existe um aumento de forma exponencial para os primei-ros instantes de tempo (tempos curtos) e que para intervalos de tempo maiores a função da posição se torna linear, pois a contribuição do termo exponencial da Eq. (8) se torna muito pequena.

Fig. 3. Gráﬁ co da posição dada pela Equação (8) versus tempo

A Figura 4 mostra a velocidade estacionária dos elétrons (veja Eqs. (6) e (7)) em função do campo elétrico aplicado. O valor da mobilidade eletrônica, obtida pelo coeﬁ ciente angular da reta, é cm2_/V.s. O valor experimental para a mobilidade eletrônica do GaAs é de aproximadamentecm2_{/V.s [6],} mostran-do uma boa concordância entre o nosso resultamostran-do teórico e o experimental.

(7)

Fig. 4. Gráﬁ co da velocidade estacionária do elétron dada pela Eq. (5) em função do campo elétrico

6 Conclusão

Neste artigo analisamos o transporte eletrônico no semicondutor Arseneto de Gálio (GaAs) a par-tir de uma equação diferencial do tipo Newton-Langevin. Obtivemos duas importantes equações: uma que descreve a velocidade de deriva e uma que descreve o deslocamento do elétron no semicondutor submetido a um campo elétrico constante. Foram construídos gráﬁ cos da velocidade e da posição do elétron em função do tempo e da velocidade estacionária em função do campo elétrico. Obtivemos que a velocidade atinge o estado estacionário na ordem de picosegundos enquanto que o elétron percorre uma distância inferior a três micrômetros. O valor da mobilidade eletrônica aqui encontrado, 7860 cm2_/V.s, está bem próximo do valor experimental 8500 cm2_{/V.s [6]. Devido a existência de inúmeros dispositivos} eletrônicos e ópticos construídos com materiais semicondutores o seu estudo é de grande relevância cientíﬁ ca e tecnológica.

Referências

1. Ashcroft, N. W.; Mermin, N. D.: Solid State Physics. Saunders College Publishing, New York, 1976.

2. Swart, J. W.: Semicondutores: Fundamentos, técnicas e aplicações. Editora da UNICAMP, Campinas, 2008. 3. Rezende, S. M.: Materiais e dispositivos eletrônicos. Editora Livraria da Física, São Paulo, 2004.

4. Tomé, T.; Oliveira, M. J.: Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade. Editora da USP, São Paulo, 2001. 5. Rodrigues, C. G.; Vasconcellos, A. R.; Luzzi, R.: A kinetic theory for nonlinear quantum transport. Transport

Theory and Statistical Physics, v. 29, n. 7, p. 733-757, 2000.