 1,1,i32,i32S 21

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I

COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

www.professorwaltertadeu.mat.br Exercícios de Equações algébricas – 2011 - GABARITO

1) Verifique quais são os números do conjunto A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} que são raízes da equação:

x

⁴

- 4x

³

- x

²

+ 16x – 12 = 0.

Solução. Basta substituir cada número na equação no lugar da variável x e verificar se o resultado é nulo.

i) x = -2: (-2)

⁴

– 4.(-2)

³

– (-2)

²

+ 16.(-2) – 12 = 16 + 32 – 4 – 32 – 12 = 48 – 48 = 0. (é raiz)

ii) x = -1: (-1)

⁴

– 4.(-1)

³

– (-1)

²

+ 16.(-1) – 12 = 1 + 4 – 1 – 16 – 12 = 5 – 29 = - 24 ≠ 0. (não é raiz) iii) x = 0: (0)

⁴

– 4.(0)

³

– (0)

²

+ 16.(0) – 12 = - 12 ≠ 0. (não é raiz)

iv) x = 1: (1)

⁴

– 4.(1)

³

– (1)

²

+ 16.(1) – 12 = 1 – 4 – 1 + 16 – 12 = 17 – 17 = 0. (é raiz) v) x = 2: (2)

⁴

– 4.(2)

³

– (2)

²

+ 16.(2) – 12 = 16 – 32 – 4 + 32 – 12 = 48 – 48 = 0. (é raiz) vi) x = 3: (3)

⁴

– 4.(3)

³

– (3)

²

+ 16.(3) – 12 = 81 – 108 – 9 + 48 – 12 = 129 – 129 = 0. (é raiz) 2) Resolva a equação 2x

⁴

- 7x

³

+ 5x

²

- 7x + 3 = 0, sabendo que

2

1 e 3 são raízes.

Solução. A equação é de grau 4. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini duas vezes encontramos uma equação de grau 2, cuja solução sai pela fórmula correspondente.

O quociente é Q(x) = 2x

²

+ 2. Encontrando as raízes, vem:

i x 1 x

1 x 0 2 x

2

²

  

²

         .

 



 



 , 3

2 ,i 1 ,i

S .

3) Qual o menor grau que pode ter uma equação que tenha por raízes 2, 3i, 1+ i?

Solução. O teorema das raízes complexas garante que se um complexo é raiz de uma equação, então seu conjugado também o é. De acordo com esse resultado, as raízes da equação mencionada são:

{2, 3i, - 3i, 1 + i, 1 – i}. Como há cinco raízes, o menor grau pelo teorema fundamental da álgebra, será 5.

4) Forme uma equação de coeficientes reais de menor grau possível que tenha por raízes 1 e (2 – i).

Solução. Pelo teorema das raízes complexas, as raízes são: {1, 2 – i, 2 + i}. Considerando o coeficiente de maior grau igual a 1, temos a equação:

(x – 1).(x – (2 –i)).(x – (2 + i)) = 0  (x – 1).(x – 2 + i).(x – 2 – i) = 0 

(x – 1)(x

²

– 2x – ix – 2x + 4 + 2i + ix – 2i – i

²

) = 0  (x – 1)(x

²

– 4x + 4 + 1) = 0 

 (x – 1)(x

²

– 4x + 5) = 0  x

³

– 4x

²

+ 5x – x

²

+ 4x – 5 = 0  x

³

– 5x

²

+ 9x – 5 = 0 .

5) Na equação 2(x - 3)

⁴

.(x + 2)

³

.(x + 1)

²

= 0, identifique as raízes dê a multiplicidade de cada uma.

Solução. O expoente de cada expressão entre parênteses indica o número de raízes iguais da equação. Logo, temos: r

1

= 3 com multiplicidade 4; r

2

= -2 com multiplicidade 3; r

3

= -1 com multiplicidade 2. Total de oito raízes. A equação é do oitavo grau.

6) Resolver a equação x

⁴

- 4x

³

+ 12x

²

+ 4x – 13 = 0 sabendo que uma de suas raízes é (2-3i).

Solução 1. Como (2 – 3i) é raiz, (2 + 3i) também é pois é o conjugado. Aplicando o dispositivo de Briot- Ruffini duas vezes, temos:

O quociente é Q(x) = x

²

– 1. Encontrando as raízes, vem:

1 x 1 x 0 1

x

²

  

²

    .

 ^{2 3 ,i 2 3 ,i 1 , 1} 

S     .

Solução 2. Escrevendo a forma decomposta da equação com r

3

e r

4

sendo as outras duas raízes, temos:

x

⁴

- 4x

³

+ 12x

²

+ 4x – 13 = (x – (2 – 3i)).(x – (2 + 3i)). (x – r

3

).(x – r

4

) = (x – 2 + 3i).(x – 2 – 3i).(x – r

3

).(x – r

4

) 

 x

⁴

- 4x

³

+ 12x

²

+ 4x – 13 = (x

²

– 2x – 3ix – 2x + 4 + 6i + 3ix – 6i – 9i

²

).(x – r

3

).(x – r

4

) 

 x

⁴

- 4x

³

+ 12x

²

+ 4x – 13 = (x

²

– 4x + 13).(x – r

3

).(x – r

4

).

O produto (x – r

3

).(x – r

4

) será o quociente de x

⁴

- 4x

³

+ 12x

²

+ 4x – 13 por x

²

– 4x + 9.

Comparando, temos: (x – r

3

).(x – r

4

) = x

²

– 1 

 (x – r

3

).(x – r

4

) = (x – 1).(x + 1). Logo, r

3

= 1 e r

4

= 1.

 2 3 ,i 2 3 ,i 1 , 1 

S     .

7) Dada a equação 6x

³

- 13x

²

+ 9x - 2 = 0, de raízes a, b e c, determine:

a) a b c 1 1

1   b)

bc 1 ac

1 ab

1   c) a

²

 b

²

 c

²

Solução. Utilizando as Relações de Girard, temos:

a)   ^{6 9 . 2 6 2 9}

2 6 6 9

6 abc 2

6 abac 9 bc abc

abac bc c 1 b 1 a

1 



 



 



 

 

 



 



 





 

 ^.

b)   ^{13 6 . 2 6 13 2}

2 6 13 6

6 abc 2

6 abc )13(

abc abc bc

1 ac

1 ab

1 



 



 



 

 

 



 



 

 

 



 ^.

c)

36 61 36

108 169 3 9 36 169 3 9 6 13 3 9 6 2 9 )bc ac ab(

2

6 )13 c ( b a

bc2 ac2 ab2 c b a )c b a(

2 2 2 2 2

 



 



 

 



 

 

 



 



 

 

 





 





















.

8) Resolver a equação x

³

- 3x

²

- 4x + 12 = 0, sabendo que duas raízes são opostas.

Solução. Considere as raízes como r, s e t. Considere ainda s e t as raízes opostas. Logo s = - t. A soma das raízes vale (r) + (s) + (t) = r – t + t = r. Pelas relações de Girard, S = -(-3)/1 = 3  r = 3. Sabendo uma das raízes aplica-se o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

O quociente é Q(x) = x

²

– 4. Encontrando as raízes, vem:

2 x 4 x 0 4

x

²

  

²

    . ^S    ^{2 , 2 , 3}  .

OBS: Poderíamos utilizar a relação de Girard para o produto: (-t).(t).(3) = -(12)/1 -3t

²

= -12 

t

²

= 4  t = 2 e s = -t = -2. S = {-2, 2, 3}.

9) Resolver a equação x

³

- 15x

²

+ 66x – 80 = 0, sabendo que suas raízes estão em progressão aritmética.

Solução. Há três raízes: r. s e t. Como estão em PA, s = (r + t)/2  r + t = 2s.

A soma das raízes vale (r) + (s) + (t) = (r + t) + (s) = (2s) + (s) = 3s. Pela relação de Girard, S = -(-15)/1 = 15.

Logo, 3s = 15  s = 5 (uma das raízes). Aplicando Briot-Ruffini, temos:

O quociente é Q(x) = x

²

– 10x + 16. Encontrando as raízes, vem:

 



 



 



 



 

 







 

2 2 6 x 10

2 8 6 x 10

2 36 10 )1(

2

) 16 )(1 (4 ) 10 ( ) 10 x (

2

. S   2 , 5 , 8  .

10) Resolver a equação x

³

- 7x

²

+ 14x - 8 = 0, sabendo que a soma de duas de suas raízes é igual a 3.

Solução. Há três raízes: r. s e t. Considerando r + t = 3, a soma das raízes será (r + t) + s = -(-7)/1 

 3 + s = 7  s = 4 (uma das raízes). Aplicando Briot-Ruffini, temos:

O quociente é Q(x) = x

²

– 3x + 2. Encontrando as raízes, vem:

 



 



 



 



 

 







 

2 1 1 x 3

2 2 1 x 3

2 1 3 )1(

2

)2 )(1 (4 )3 ( )3 x (

2

. S   1 , 2 , 4  .

11) Resolva a equação x

³

– 2x

²

– 3x + 6 = 0, sabendo que o produto de duas de suas raízes é -3.

Solução. Há três raízes: r. s e t. Considerando r.t = -3, o produto das raízes será (r.t).s = -(6)/1 

 (-3)s = - 6  s = 2 (uma das raízes). Aplicando Briot-Ruffini, temos:

O quociente é Q(x) = x

²

– 2. Encontrando as raízes, vem:



 





 







 x 3

3 3 x x 0 3

x ^{2 2 . S    3 , 3 , 2  .}

12) (UFMT) A divisão de um polinômio de coeficientes reais P(x) por (x + 1) apresenta como quociente um polinômio Q(x) de grau 3 com o coeficiente do termo de maior grau igual a -1 e,

como resto, (x – 3). O gráfico de Q(x) é mostrado na figura.

A partir dessas informações, qual é a soma dos coeficientes de P(x)?

Solução. Pela divisão indicada por (x +1), temos: p(x) = (x + 1).q(x) + (x – 3).

Como q(x) é de grau 3, as raízes indicadas no gráfico são x = 0(dupla) e x = 1, pois são onde intersectam o eixo X. A multiplicidade 2 da raiz nula está indicada na parte quadrática do gráfico. Logo, q(x) = -1(x – 0)

²

.(x – 1) 

 q(x) = -x

²

.(x – 1) = - x

³

+ 1. Substituindo em p(x), temos:

P(x) = (x + 1).(- x

³

+ 1) + x – 3 = - x

⁴

+ x – x

³

+ 1 + x – 3 = - x

⁴

– x

³

+ 2x – 2.

A soma dos coeficientes será: (-1) + (-1) + (2) + (-2) = - 2.

13) Qual a multiplicidade da raiz x = 1 na equação x

⁴

– x

³

– 3x

²

+ 5x – 2 = 0?

Solução. A multiplicidade será encontrada pelo número de vezes que aparecer o resto zero na divisão do polinômio p(x) = x

⁴

– x

³

– 3x

²

+ 5x – 2 por (x – 1). Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

Como há três divisões exatas sucessivas, a multiplicidade da raiz é 3. A forma decomposta seria: (x – 1)

³

.(x + 2) = 0.

14) Resolva as equações em C.

a) 6x

⁴

-11x

³

- 6x

²

+ 9x - 2 = 0

Solução. Pela pesquisa de raízes, temos as possibilidades: {± 1, ± 2, ± 1/3}. A soma dos coeficientes não é nula. Logo, x = 1 não é raiz.

i) x = -1: 6(-1)

⁴

– 11(-1)

³

– 6(-1)

²

+ 9(-1) - 2 = 6 + 11 – 6 – 9 – 2 = 0. É raiz.

ii) x = 2: 6(2)

⁴

– 11(2)

³

– 6(2)

²

+ 9(2) - 2 = 96 - 88 – 24 + 18 – 2 = 0. É raiz.

Com essas raízes e o dispositivo Briot-Ruffini o grau cai para 2 e as raízes são calculadas.

O quociente é Q(x) = 6x

²

– 5x + 1. Encontrando as raízes, vem:

 



 



 



 



 

 







 

3 1 12

1 x 5

2 1 12

1 x 5

12 1 5 )6(

2

)1 )(6 (4 )5 ( )5 x (

2

.

 



 



 , 2

3 , 1 2 , 1 1

S .

b) 2x

³

+ 9x

²

+ 13x + 6 = 0

Solução. Pela pesquisa de raízes, temos as possibilidades: {± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 3/2, ± 1/2}. A soma dos coeficientes não é nula. Logo, x = 1 não é raiz.

i) x = -1: 2(-1)

³

+ 9(-1)

²

+ 13(-1) + 6 = - 2 + 9 – 13 + 6 = 0. É raiz.

ii) x = 2: 2(2)

³

+ 9(2)

²

+ 13(2) + 6 = 16 + 36 + 26 + 6 ≠ 0. Não é raiz.

iii) x = -2: 2(-2)

³

+ 9(-2)

²

+ 13(-2) + 6 = -16 + 36 - 26 + 6 = 0. É raiz.

Com essas raízes e o dispositivo Briot-Ruffini o grau cai para 1 e as raízes são calculadas.

O quociente é Q(x) = 2x + 3. Encontrando as raízes, vem:

2 x 3 0 3 x

2      .

 



 

   

 , 2 , 1 2

S 3 .