UFPE – MA534 (introdu¸cão à matemática i) – 2011.1 prof. fernando j. o. souza EXAME SIMULADO 2 v. 1.1

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UFPE – MA534 (introdu¸ c˜ ao ` a matem´ atica i) – 2011.1 prof. fernando j. o. souza

EXAME SIMULADO 2 v. 1.1

Orienta¸c˜ ao: Numa primeira tentativa, fazer os exerc´ıcios abaixo em 120 minutos. Em caso de n˜ao conseguir fazer todos bem, tentar novamente com tempo livre, detectando e anotando as dificuldades encontradas.

Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades, fórmulas e resultados utilizados. Mostrar todos os cálculos e racioc´ınios: Só as respostas não servem ! Subconjuntos próprios de R devem ser dados por uniões disjuntas de intervalos reais e conjuntos fi- nitos de n´ umeros reais (Ex.: ( −∞ , 3] ⊔ [6, 8) ⊔ { 4, 9, 17 } ). Está fixado um sistema de coordenadas cartesiandas Oxy para o plano.

QUEST ˜ OES

1. Encontrar os objetos geométricos associados à parábola de equa¸cão 3x

²

− 7x − 6 = y.

Obs.: Tais objetos são os pontos de interseçcão com o eixo das abscissas e com o eixo das ordenadas, o vértice, o foco e a reta diretriz.

2. Pˆor os seguintes n´ umeros em ordem crescente:

r 8 11 ,

r 9 13 ,

⁵

r 9 13 ,

³

r 125

− 8 . 3. Um investimento tem uma taxa de juros composto de 0 , 1% ao dia. Calcu- lar o n´ umero de dias necess´ario para se dobrar o valor inicialmente investido.

Obs.: Não é necessário arredondar o valor para o próximo inteiro porque não estamos utilizando calculadoras.

4. Resolver a equa¸c˜ao log

₄

| x + 1 | = log

₂

(x − 1) para x.

5. Resolver, para x, a seguinte inequa¸c˜ao: 2

^(x²⁾

> (2

^x

)

²

6. Dar o maior subconjunto S de R que pode ser dom´ınio da fun¸c˜ao abaixo:

f : S −→ R

x 7−→ f ( x ) = cot (4 x ) + q

5

^x

· log

_1/3

x

(Em outras palavras, f pode ser definida para quais n´ umeros reais x ?)

1

(2)

7. Uma fun¸c˜ao f ´e da forma f : R −→ R

x 7−→ f (x) = A · b

^x

com coeficien- tes A e b reais fixados. Sabe-se que f leva os valores da progressão arit- mética 3, 15; 3, 75; 4, 35; 4, 95; . . . nos valores da progressão geométrica 108; 36; 12; 4; . . . . Calcular a base b .

8. Calcular tan π 12

.

9. O topo B de uma poste vertical AB ´e visto de um ponto C do solo sob um ˆangulo de 72

^◦

. Sabendo-se que a distância (horizontal) de C à base A do poste é 3 metros, calcular a altura do poste.

10. Resolver a equa¸c˜ao 2

^{cos (x)}

=

√ 2

2 para x real.

QUEST ˜ OES ADICIONAIS (ap´ os o simulado; 75 minutos) 11. Repetir a Quest˜ao 1 para 3 x

²

+ 2 x − 1 = 0 e para 3 x

²

− 48 = 0.

12. Qual dos cinco n´ umeros ´e maior, √ 2, √

⁵

5, √

⁵

10,

¹⁰⁰

√

5 ou

¹⁰⁰

√ 10 ? 13. Uma fun¸c˜ao f ´e da forma f : R −→ R

x 7−→ f (x) = A · b

^x

com coeficien- tes A e b reais fixados. Sabendo-se que f ( − 1) = 27 e f (3) = 1

3 , calcular valores adequados para A e b.

14. Resolver a equa¸c˜ao 1

2 + log

₃

| x | + log

_1/9

(1 − 2 x ) = 0 para x real.

15. Uma fun¸c˜ao f ´e da forma f : R −→ R

x 7−→ f (x) = A sen(Bx) + C com coeficientes A, B e C reais fixados. Sabendo-se que f (2π) = 13, f(4π) = 8 e que o per´ıodo de f ´e 8π, calcular valores adequados para A, B e C.

UFPE – MA534 (introdu¸cão à matemática i) – 2011.1 prof. fernando j. o. souza EXAME SIMULADO 2 v. 1.1

UFPE – MA534 (introdu¸ c˜ ao ` a matem´ atica i) – 2011.1 prof. fernando j. o. souza

EXAME SIMULADO 2 v. 1.1

Orienta¸c˜ ao: Numa primeira tentativa, fazer os exerc´ıcios abaixo em 120 minutos. Em caso de n˜ao conseguir fazer todos bem, tentar novamente com tempo livre, detectando e anotando as dificuldades encontradas.

QUEST ˜ OES

1. Encontrar os objetos geométricos associados à parábola de equa¸cão 3x

− 7x − 6 = y.

Obs.: Tais objetos são os pontos de interseçcão com o eixo das abscissas e com o eixo das ordenadas, o vértice, o foco e a reta diretriz.

2. Pˆor os seguintes n´ umeros em ordem crescente:

r 8 11 ,

r 9 13 ,

r 9 13 ,

r 125

− 8 . 3. Um investimento tem uma taxa de juros composto de 0 , 1% ao dia. Calcu- lar o n´ umero de dias necess´ario para se dobrar o valor inicialmente investido.

Obs.: Não é necessário arredondar o valor para o próximo inteiro porque não estamos utilizando calculadoras.

4. Resolver a equa¸c˜ao log

| x + 1 | = log

(x − 1) para x.

5. Resolver, para x, a seguinte inequa¸c˜ao: 2

> (2

)

6. Dar o maior subconjunto S de R que pode ser dom´ınio da fun¸c˜ao abaixo:

f : S −→ R

x 7−→ f ( x ) = cot (4 x ) + q

5

· log

x

(Em outras palavras, f pode ser definida para quais n´ umeros reais x ?)

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7. Uma fun¸c˜ao f ´e da forma f : R −→ R

x 7−→ f (x) = A · b

com coeficien- tes A e b reais fixados. Sabe-se que f leva os valores da progressão arit- mética 3, 15; 3, 75; 4, 35; 4, 95; . . . nos valores da progressão geométrica 108; 36; 12; 4; . . . . Calcular a base b .

8. Calcular tan π 12

.

9. O topo B de uma poste vertical AB ´e visto de um ponto C do solo sob um ˆangulo de 72

. Sabendo-se que a distância (horizontal) de C à base A do poste é 3 metros, calcular a altura do poste.

10. Resolver a equa¸c˜ao 2

=

√ 2

2 para x real.

QUEST ˜ OES ADICIONAIS (ap´ os o simulado; 75 minutos) 11. Repetir a Quest˜ao 1 para 3 x

+ 2 x − 1 = 0 e para 3 x

− 48 = 0.

12. Qual dos cinco n´ umeros ´e maior, √ 2, √

5, √

10,

√

5 ou

√ 10 ? 13. Uma fun¸c˜ao f ´e da forma f : R −→ R

x 7−→ f (x) = A · b

com coeficien- tes A e b reais fixados. Sabendo-se que f ( − 1) = 27 e f (3) = 1

3 , calcular valores adequados para A e b.

14. Resolver a equa¸c˜ao 1

2 + log

| x | + log

(1 − 2 x ) = 0 para x real.

15. Uma fun¸c˜ao f ´e da forma f : R −→ R

x 7−→ f (x) = A sen(Bx) + C com coeficientes A, B e C reais fixados. Sabendo-se que f (2π) = 13, f(4π) = 8 e que o per´ıodo de f ´e 8π, calcular valores adequados para A, B e C.

16. Repetir a Quest˜ao 6 para f (x) = cos √ x

e para f (x) = p

cos (x).

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