Uso de grácos Mono-log e Di-log (log-log)
S.E. Jorás
1 Introdução
Nas atividades experimentais, muitas vezes, pretende-se estudar a maneira como uma gran- deza varia com relação a outra. Por exemplo: De que modo o período de um pêndulo depende do seu comprimento? Em muitos casos, o método gráco pode evidenciar essa relação mais claramente que a simples tabela de dados.
A digitação dos dados para sua introdução nos computadores facilitou bastante esse traba- lho. O computador pode, em princípio, traçar grácos a partir dos dados digitados, sem necessidade de nenhuma informação extra, o programa escolhendo por ele mesmo a escala de cada eixo. Em alguns casos, gostaríamos de utilizar escalas que nos ajudassem a encon- trar a dependência de uma grandeza em relação a outra. Nesse trabalho falaremos sobre a utilização de escalas que são logaritmos dos valores dos dados.
NÃO USE PONTOS DA TABELA. USE COORDENADAS DE PONTOS DA RETA QUE MELHOR SE AJUSTA AOS PONTOS.
No que segue, utilizaremos o log na base de 10 indicado comolog10
2 Mono-log
Vamos analisar a seguinte funçãof(x):
f(x) =A·exp(B·x) (1)
ondef(x)eAtêm a mesma dimensão eBtem a dimensão dex−1(pois só assim o argumento da exponencial é adimensional). Podemos escrever
f(x)
A = exp(B·x) e então calcular o logaritmo de ambos os lados:
log10 f(x)
A
= log10{exp(B·x)}
Se introduzirmos uma constante arbitrária C 6= 0, que tenha a mesma dimensão de f(x) (e, portanto, a mesma deA), podemos escrever
log10
f(x)
A C C
= log10{exp(B·x)}
log10 f(x)
C
−log10
A
C
= log10[exp(B·x)] = ln [exp(B·x)]
ln 10 = B
ln 10·x,
com a mudança de base na penúltima passagem. Esta expressão pode então ser escrita como
log10 f(x)
C
= log10
A
C
+ln [exp(B·x)]
ln 10 ·x ou (2)
Y = D + B˜ · x , (3)
onde B˜ ≡B/ln 10. (4)
Ou seja, ao construírmos um gráco com o eixo horizontal linear (tradicional) e o eixo vertical em uma escala logarítmica, uma função exponencial (1) será representada por uma reta Eq. (2).
Vamos aplicar a Eq. (2) a dois pontos quaisquer da reta: {x1, f(x1)} e {x2, f(x2)}: log10
f(x1) C
= log10
A
C
+ ˜B·x1
log10
f(x2) C
= log10
A
C
+ ˜B·x2. Subtraindo a primeira da segunda, obtemos
log10
f(x2) C
−log10
f(x1) C
= log10
A
C
+ ˜B·x2−log10
A
C
−B˜·x1 log10
f(x2) C
−log10
f(x1) C
= ˜B·(x2−x1) log10
f(x2) C
−log10 f(x1)
C
x2−x1 = ˜B (5)
Note que, pela Eq. (5), B (e B˜) têm a unidade correta. Note também que o valor de B˜ independe do valor da constante arbitrária C escolhida, pois
log10
f(x2) C
−log10
f(x1) C
= log10
f(x2) f(x1)
. (6)
Não é correto chamar ˜ de tangente da reta, pois, se mudarmos a escala do eixo horizontal,
2.1 Como marcar os pontos
O papel mono-log é extremamente prático! As marcações no eixo logarítmico são dispostas de modo a indicar o logaritmo do número indicado (adimensional!). Perceba que o padrão ao longo deste eixo se repete periodicamente. Cada pedaço é denominado uma década.
Vamos partir de uma tabelax×y, supondo as unidades indicadas para cada coluna:
x(s) y(m/s) x1 y1 x2 y2
x3 y3 x4 y4
· · · ·
(7)
Suspeitamos que exista uma relação exponencial entre x e y = f(x), como a Eq. (1). Se isto for verdade, então os pontos da tabela acima estarão alinhados (a menos de utuações no processo de medida) em um gráco mono-log. Note que NÃO é necessário calcular o logaritmo dosyi!
Se escolhermos C = 1m/s (mesma unidade em que y é medido), então podemos marcar diretamente os valores de y no eixo vertical. Assim, o cálculo de B através das Eqs. (4), (5) e (6) é imediato. Note, mais uma vez, que não é necessário calcular o lado direito da Eq. (6); na verdade, você pode medi-lo!
3 Di-Log
Vamos analisar a seguinte funçãof(x):
f(x) =A·xB. (8)
Podemos escrever, com uma constante arbitráriaD6= 0: f(x)
D = A DxB
ondef(x)e Dtêm a mesma dimensão. Podemos introduzir uma nova constante arbitrária C6= 0 e escrever:
f(x) D = A
D ·CB
x
C B
,
onde Dtem a mesma dimensão de f(x) e C tem a mesma dimensão dex.
Calculando o logaritmo de ambos os lados:
log10 f(x)
D
= log10
A
D·CBx C
B
log10
f(x)
D
= log10
A·CB D
+ log10
x
C
B
log10
f(x)
D
= log10
A·CB D
+ B·log10
x
C
(9)
Y = E + B· X
Ou seja, ao construírmos um gráco com ambos os eixos em uma escala logarítmica, uma lei de potência arbitrária, como a Eq. (8), será representada por uma reta veja a Eq. (9) 3.1 Como marcar os pontos
Vamos partir de uma tabelax×y, supondo as unidades indicadas para cada coluna:
x(s) y(m/s) x1 y1 x2 y2
x3 y3
x4 y4
· · · ·
(10)
Suspeitamos que exista uma relação tipo lei de potência como a Eq. (8) entrexey =f(x).
Se isto for verdade, então os pontos da tabela acima estarão alinhados (a menos de utuações no processo de medida) em um gráco di-log. Note que NÃO é necessário calcular o logaritmo dosxi nem dosyi!
Se escolhermosC= 1s(mesma unidade em que x é medido) eD= 1m/s (mesma unidade em queyé medido), então podemos marcar diretamente os valores dexeyno eixo vertical.
Analogamente ao caso do gráco mono-log, podemos calcular o parâmetro B da Eq. (9) através da expressão
B = log10
f(x2) D
−log10 f(x1)
D
log10 xC2
−log10 xC1 = log10
f(x2) f(x1)
log10 x2
x1
, (11)
o que mostra que o valor deB independe da escolha das constantes arbitráriasC eD. O parâmetro
E ≡log10
A·CB D
(12) pode ser lido diretamente do gráco di-log no ponto onde log10(x/C) = 0, ou seja, onde x=C (igual a 1sno exemplo em questão).
A partir dos valores adotados paraCeD, do valor obtido anteriormente paraBe da leitura no gráco do valor deE, pode-se obter o valor deA. No exemplo em questão, digamos que medimos, diretamente do gráco,E=Eo e que tenhamos obtido, através da Eq. (11), um valor de B=Bo. Portanto,
Eo= log10
A·(1s)Bo 1m/s
(13)
= log10
A
1m/sBo+1
. (14)
Note, a partir da Eq. (8), que a unidade deA é dada por:
[A] = [f(x)]·[x]−B = [y]·[x]−B, que, no atual exemplo, ca
[A] = m
ss−B = m sB+1.
Portanto, a Eq. (14) fornece Adiretamente nas unidades compatíveis com as já adotadas.
Em outras palavras, o valor obtido diretamente da leitura da escala do eixo vertical no gráco di-log (quandox=C) é o valor de A nas unidades corretas.
