FE1 Linearização de Funções Parte 2

LINEARIZAÇÃO DE

FUNÇÕES – PARTE 2

Física Experimental I

Prof. Luis Leão

Gráficos

Não-Lineares

Transformar a

relação não-linear

de modo a

representá-la por

uma relação linear

Analisar o

experimento

em que a partícula foi solta e sua posição em um certo instante de tempo. Os dados desse registro estão dispostos na tabela.

•  A forma natural de analisar os dados da tabela seria construir um gráfico da velocidade final em função da altura, v_final versus h

•  Observa-se que os dados experimentais (pontos amarelos) se assemelham a função parabolóide.

•  Podemos verificar se esta semelhança é verdadeira construindo um novo gráfico onde uma relação

linear aparente.

𝑙𝑜𝑔 𝑎 = 𝑥 ↔ 𝑎 = 𝑏

Fig. 3.2 Ilustração de dois gráficos: v (ordenada à esquerda) versus h (abscissa) com po Ex:

a) v_final (Y) versus h1/2 _{(X) é linear?} b) v_final 2 _{(Y) versus h (X) é linear (pontos} vermelhos)?

Várias outras relações funcionais poderiam ter sido testadas antes de se obter a relação que linearize os dados experimentais.

h (m) 0,02 0,10 0,20 0,50 0,80 1,40 2,00

V_final (m/s) 0,63 1,40 1,98 3,10 4,00 5,20 6,30

𝑙𝑜𝑔 𝑎 = 𝑥 ↔ 𝑎 = 𝑏

Fig. 3.2 Ilustração de dois gráficos: v (ordenada à esquerda) versus h (abscissa) com po

Teste para o caso b):

Pode-se pela hipótese v_final 2 _{versus h assumir que}

v_final 2 _{= K h ou Y = K X, onde K = Y/X.}

Calculando-se K para os 7 pontos obtém-se

K₁ = Y₁/X₁ = 19,845 m s-2 _{= 2x10 m s}-2

K₂ = Y₂/X₂ = 19,600 m s-2 _{= 20 m s}-2

...

K₇ = Y₇/X₇ = 19,845 m s-2 _{= 19,8 m s}-2

Os valores de K_i são aproximadamente iguais (dentro da precisão da medida), logo v_final 2 _{(Y) versus h (X) é} linear.

v_final 2 _{= K h, ou seja, v}

final = K1/2 h1/2

O valor de K pode ser encontrado:

I. Pela tangente da reta que melhor se ajusta aos pontos (escolhe-se dois pontos na reta P1(X1,Y1) e P2(X2,Y2) e calcula-se a tangente do angulo)

K = tg(θ) = (Y2-Y1)/(X2-X1), logo K = 19,7 m s-2

=> v_final = (19,7)1/2 _h1/2

II. Pelo valor médio com sua incerteza dada pelo desvio padrão da média

K_médio≈ 20 m s-2 _{=> v}

final = (20)1/2h1/2

Teoricamente sabe-se que:

v_final = (2g)1/2_h1/2 _{, onde g é a aceleração gravitacional.}

Comparando-se com o K obtido pela tangente obtém-se:

g = K/2 = tg(θ_{)/2 = 19,7/2 = 9,85 m s}-2

Que é um valor muito bom para g com um erro percentu

Erro(%) = (|9,81-9,85|/9,81)x100% = 0,4%

h (m) 0,02 0,10 0,20 0,50 0,80 1,40 2,00

Linearização (Escala Logarítmica)

•

A escala que usada nos gráficos até agora foi a escala decimal

simples.

•

A necessidade de uma representação em escala logarítmica trás

duas vantagens diretas:

1.

Representação gráfica satisfatória de pontos experimentais

que apresentam valores dispostos em grandes intervalos;

2.

Linearização gráfica de dados experimentais que tem

1.

Representação gráfica de pontos experimentais que

apresentam valores dispostos em grandes intervalos

•

A necessidade de uma representação em escala

logarítmica, ou seja, em vez de representar uma dada

grandeza A, representá-la por log A, se faz necessária

quando essa grandeza possui valores em um intervalo

grande. Fica muito difícil colocar os elementos sem perda

de informação. Isto se reflete na péssima visualização

dos pontos. Esse exemplo mostra como perde-se

informação quando representa-se um conjunto de pontos

da grandeza A graficamente e como os detalhes

aparecem quando o Log(A) é usado no gráfico ao invés

de A

Tabela 3.2

que   é   “perdida”   na   nova  

𝑙𝑜𝑔 (2,0 × 10 ) = log (2,0) + log(10 ) = 0,3 + 5,00 = 5,30

𝑙𝑜𝑔 (2,0 × 10 ) = log (2,0) + log (10 ) = 0,3 + 6,00 = 6,30

𝑙𝑜𝑔 (5,0 × 10 ) = log (5,0) + log (10 ) = 0,70 − 4 = −3,3

𝑙𝑜𝑔 (5,0 × 10 ) = log (5,0) + log (10 ) = 0,70 + 9 = 9,7

𝑙𝑜𝑔 (5 × 10 )

𝑙𝑜𝑔 (5 × 10 )

A

0,00050

1,0

1,5

2,0 x 10

_{5,0 x 10}

_{1,8 x 10}

log A

-3,3

0,0

0,18

5,3

9,7

11,3

Bom: Pontos medidos

Ruim: Perda sensível de informação no gráfico

• 

Observações sobre os gráficos da página anterior:

ü 

Representar os valores de

A

em papel milimetrado apresenta dificuldades para se

obter uma escala adequada para representar esses dados.

ü 

Por outro lado, a representação utilizando log

A

reduz o intervalo de valores para os

dados facilitando sua representação.

ü 

Entretanto, mesmo acomodando os valores de log

A

de forma adequada para

visualização, a informação pertinente está na verdade nos valores de

A

que é

“perdida” na nova representação.

Solução: Precisa-se mudar a escala do gráfico

e não os valores a serem postos no gráfico,

ü

Pontos medidos

ü

Aumento sensível da informação no gráfico

Algumas sugestões para a construção de gráficos com escala logarítmica

Sugestões para a construção de gráficos com escala logarítmica

utilizando-se como exemplo um experimento da medida do período de

oscilação de um pendulo em função do seu comprimento.

Dados experimentais:

Gráfico não-linear:

L (m) _{1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0}

potencia de 10.

b)

A escala logarítmica de base 10 é dividida em décadas. Defina a

primeira década pela potencia de 10 do menor valor a ser posto no

gráfico.

L

= 1,0x10

_m

_è

₁₀

T

= 2,0x10

_s

_è

₁₀

L (m) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

L (m) 1,0x100 _2,0x100 _3,0x100 _4,0x100 _5,0x100 _6,0x100 _7,0x100 _8,0x100 _9,0x100 _1,0x101

T(s) 2,0 2,8 3,5 4,0 4,5 4,9 5,3 5,7 6,0 6,3

c)

As outras décadas subsequentes serão definidas pela primeira

década(cada década multiplica por 10 os valores da década

•

Na escala linear, duas gradações cuja diferença é fixa estão a uma

distância constante, enquanto que na escala logarítmica duas gradações

cuja razão seja fixa estão a uma distância constante.

•

Costuma-se chamar cada bloco da escala logarítmica de década. Em

geral, quanto mais décadas os dados possuírem, mais confiável é o

resultado final.

•

Cada década pode variar entre os múltiplos ou submúltiplos de 1 a 10.

Entre o início de uma década e o de outra subsequente, há uma diferença

de um fator de dez. Isto significa que, se a primeira linha da primeira

década vale 1 (1x10

_{), a primeira linha da segunda década vale 10}

(1x10

_{), e a primeira linha da terceira década vale 100 (1x10}

_{). Isto}

significa também que, se a última linha da primeira década vale 10 (1x

0

_{), a última linha da segunda década vale 100 (1x10}

_{), e a última linha da}

terceira década vale 1000 (1x10

_).

•

Não existe o valor zero no eixo logarítmico, uma vez que a função

logaritmo não está definida para este ponto. A escala pode ser iniciada de

um valor unitário qualquer em potência de dez. Pode iniciar em ... ;

2.

Linearização gráfica de dados experimentais que tem

comportamento tipo lei de potência

•

A representação em papel di-logarítmico ou log-log servirá para identificar relações

entre grandezas físicas cuja dependência é do tipo lei de potencia,

y = kx

_{, na qual}

_k

e

p

são constantes a serem determinadas ou simplesmente verificadas.

y

₌

kx

Fazendo-se as escolhas:

Y

=

Log y

( )

a

=

Log k

( )

X

=

Log x

( )

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

Encontra-se a relação linear:

Y

=

a

+

pX

Aplicando-se o Log em ambos os

lados, obtém-se

Log y

( )

=

Log kx

(

)

Log y

( )

=

Log k

( )

+

Log x

( )

Log y

( )

=

Log k

( )

+

pLog x

( )

p

=

tan(

θ

)

=

Y

−

Y

X

−

X

=

Log y

( )

−

Log y

( )

Log x

( )

−

Log x

( )

=

Log

y

y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Exemplo: Pressão em um êmbolo

medida em função do diâmetro

• Na tabela abaixo temos os dados

experimentais do valor de pressão P em um êmbolo em função de seu diâmetro D.

• A partir da reta de ajuste do gráfico, que pode ter sido obtida manualmente (com uma régua) sem a utilização de um método específico, temos,

•  O obtenção de p pode ser feita através dos pontos da reta no gráfico desde que se use o Log dos pontos como visto na página anterior.

• A obtenção de k também pode ser feita a partir do gráfico fazendo X = 0. No gráfico devemos procurar o valor D = 1 m. Porém, o valor 1 não aparece. Precisamos de mais uma década para obtê- lo. Existe um método para resolver isso, o chamado método da reta paralela baseado em uma propriedade da escala logarítmica.

𝑃 = 0,125𝐷 − 1,990

Fig. 3.4 Ilustração dos dados da tabela 3.4, em papel com escala log-log, da pressão de um êmbolo Gráfico log-log

D(m) 0,010 0,015 0,020 0,030 0,040 0,050 0,080 0,140 P(N/m2) 1252 550 315 137 77,0 50,0 19,0 6,4

𝑃 = 𝑘𝐷

log 𝑃 = log 𝑘 + 𝑝  𝑙𝑜𝑔 𝐷

𝑌 = 𝑙𝑜𝑔 𝑃, 𝑋 = 𝑙𝑜𝑔 𝐷, 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 𝑘, 𝑎 = 𝑝

𝑌 = 𝑏 + 𝑎𝑋

∆𝑌 = −200  𝑚𝑚 ∆𝑋 = 100,5  𝑚𝑚

𝑎 = 𝑝 =∆_∆ = −1,990

𝑃 = 𝑘𝐷

log 𝑃 = log 𝑘 + 𝑝  𝑙𝑜𝑔 𝐷

𝑌 = 𝑙𝑜𝑔 𝑃, 𝑋 = 𝑙𝑜𝑔 𝐷, 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 𝑘, 𝑎 = 𝑝

𝑌 = 𝑏 + 𝑎𝑋

∆𝑌 = −200  𝑚𝑚 ∆𝑋 = 100,5  𝑚𝑚

𝑎 = 𝑝 =

= −1,990

𝑃 = 𝑘𝐷

log 𝑃 = log 𝑘 + 𝑝  𝑙𝑜𝑔 𝐷

𝑌 = 𝑙𝑜𝑔 𝑃, 𝑋 = 𝑙𝑜𝑔 𝐷, 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 𝑘, 𝑎 = 𝑝

𝑌 = 𝑏 + 𝑎𝑋

ste do gráfico, que pode ter sido obtida manua

mos

∆𝑌 = −200  𝑚𝑚

e

∆𝑋 = 100,5  𝑚𝑚

. Assim

𝑎 = 𝑝 =

= −1,990

𝑃 = 0,125𝐷 − 1,990

Fig. 3.4 Ilustração dos dados da tabela 3.4, em papel com escala log-log, da pressão de um êmbolo Gráfico log-log

•

Desenhamos uma nova reta, paralela

a primeira, que esteja a uma distância

de um número inteiro de décadas na

escala log acima ou abaixo da

primeira.

•

No caso da figura, um deslocamento

de uma década acima é suficiente

para encontrar 1,0. Esse

deslocamento também pode ser feito

para direita ou esquerda.

•

A leitura de

k

é feita da mesma

maneira mas tendo o cuidado de

multiplicar pelo fator de décadas

correspondente. Neste caso,

corresponde a uma década abaixo de

10

_.

•

Assim, no gráfico com intercepção da

reta com

D

= 1 obtemos.

P

=1,25

que corrigindo nos dá