ENG1703. Mecânica dos Sólidos I

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Ivan Menezes Rio de Janeiro, 10, 15 & 17 de agosto de 2022

Mecânica dos Sólidos – I ENG1703

Aula 0: Introdutória

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Principais Tópicos da Aula Introdutória

• Ementa & Critério de Avaliação

• Definições Básicas: Alongamento, Tensão, Deformação, ...

• Ensaio de Tração

• Curva Tensão x Deformação

• Exercícios em Sala

• Exercício Proposto (Data de Entrega: 22/AGO/2022)

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Principais Tópicos a Serem Estudados

• Conceitos fundamentais da mecânica: esforços, equilíbrio, tensões, deformações, ...

• Tensões e deformações normais

• Torção

• Tensões e deformações generalizadas

• Revisão de esforços e momentos em vigas

• Flexão em vigas

A ementa completa está disponível no site: www.tecgraf.puc-rio.br/~ivan/ENG1703

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Principais Referências Bibliográficas

As referências estão disponíveis no site: www.tecgraf.puc-rio.br/~ivan/ENG1703

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Ementa Básica

A ementa do curso está disponível no site: www.tecgraf.puc-rio.br/~ivan/ENG1703

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Critério de Aprovação

O critério de aprovação está disponível no site: www.tecgraf.puc-rio.br/~ivan/ENG1703

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Mecânica dos Sólidos

• Definição: é o ramo da mecânica que trata do comportamento “interno”

dos corpos sólidos sujeitos a carregamentos

• Principal objetivo: determinar as tensões, deformações e deslocamentos em estruturas sujeitas à ação de cargas

• Corpos sólidos (“estruturas”) a serem estudados: eixos, barras, vigas, colunas, placas, cascas, etc...

• Obs: a mecânica dos sólidos também é conhecida como “Resistência dos Materiais” ou “Mecânica dos Corpos Deformáveis”

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• Externas: todas as cargas que atuam em um corpo, incluindo as reações de apoio

Classificação das Forças

Figuras reproduzidas das notas de aula de Mecânica dos Sólidos, do prof. Arthur Braga (DEM/PUC-Rio).

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• Internas: são as forças de interação entre as partículas do material que compõem o corpo

Forças internas

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• Internas: são as forças de interação entre as partículas do material que compõem o corpo

Forças internas

“As cargas externas são equilibradas pelas forças internas”

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A força interna distribuída por unidade de área é chamada de TENSÃO (𝜎)

Tensão e Deformação Normais

Matematicamente: 𝝈 = lim

Δ𝐴→0

Δ𝑭 Δ𝐴

Unidades: ^𝑁

𝑚² ≡ 𝑃𝑎 (Pascal)

10⁶ 𝑁

𝑚² ≡ 1 𝑀𝑃𝑎 10⁹ 𝑁

𝑚² ≡ 1 𝐺𝑃𝑎 10³ 𝑁

𝑚² ≡ 1 𝑘𝑃𝑎

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A força interna distribuída por unidade de área é chamada de TENSÃO (𝜎)

Tensão e Deformação Normais

Matematicamente: 𝝈 = lim

Δ𝐴→0

Δ𝑭 Δ𝐴

Unidades: ^𝑁

𝑚² ≡ 𝑃𝑎 (Pascal)

10⁶ 𝑁

𝑚² ≡ 1 𝑀𝑃𝑎 10⁹ 𝑁

𝑚² ≡ 1 𝐺𝑃𝑎 10³ 𝑁

𝑚² ≡ 1 𝑘𝑃𝑎

Convenção:

𝜎 > 0 ֜ tração

𝜎 < 0 ֜ compressão

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(a) P = Carga Axial no Centroide (b) s = Tensões Normais Uniformes Barra Submetida a uma Carga Axial P

𝜎 = 𝑃 𝐴

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14

Obs: a distribuição das tensões normais (em barras submetidas a um carregamento axial no centroide) pode ser considerada UNIFORME em seções distantes do ponto de aplicação da carga, ou seja:

Barra Submetida a uma Carga Axial P

t

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15

Obs: a distribuição das tensões normais (em barras submetidas a um carregamento axial no centroide) pode ser considerada UNIFORME em seções distantes do ponto de aplicação da carga, ou seja:

Barra Submetida a uma Carga Axial P

“Princípio de Saint Venant”

t 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 ≥ 𝑏

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Deformação Normal (𝜖)

𝛿 (alongamento ou encurtamento)

𝜖 =

^𝛿

𝐿 (deformação normal) Unidades: ^𝑚

𝑚 ou ^{(𝑥 100) %} Exemplo:

𝜖 = 0,3 𝑚

250 𝑚 = 0,0012𝑚

𝑚 = 0,12%

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17

Relação Força x Deslocamento (Rigidez)

Considere que as estruturas abaixo são compostas pelo mesmo material.

Qual a relação entre os alongamentos 𝛿₁, 𝛿₂ e 𝛿₃ ?

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𝑨_𝟏 ; 𝑳_𝟏

𝑨_𝟏 ; 𝑳_𝟐

𝑨_𝟐 ; 𝑳_𝟏

𝑷

𝑷 𝜹_𝟏

𝜹_𝟐

𝜹_𝟑

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18

Relação Força x Deslocamento (Rigidez)

Considere que as estruturas abaixo são compostas pelo mesmo material.

Qual a relação entre os alongamentos 𝛿₁, 𝛿₂ e 𝛿₃ ?

Conclusão:

𝛿₃ < 𝛿₁ < 𝛿₂ (1)

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𝑨_𝟏 ; 𝑳_𝟏

𝑨_𝟏 ; 𝑳_𝟐

𝑨_𝟐 ; 𝑳_𝟏

𝑷

𝑷 𝜹_𝟏

𝜹_𝟐

𝜹_𝟑

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𝑷

𝜹 𝜹_𝟏 𝜹_𝟐

𝜹_𝟑 𝑷

𝜽_𝟑 𝜽_𝟏

𝜽_𝟐

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Relação Força x Deslocamento (Rigidez Axial)

Gráfico: 𝑃 𝑥 𝛿

tan 𝜃 = 𝑃

𝛿 = 𝑘 𝑘 = 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙

𝑘 = 𝐸 𝐴 𝐿

ou seja:

𝑷 = 𝑬 𝑨 𝑳 𝜹

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20

Relação Tensão x Deformação (Lei de Hooke)

𝑃 = 𝐸 𝐴 𝐿 𝛿

Partindo-se de:

Pode-se reescrever como:

𝑃

𝐴 = 𝐸 𝛿 𝐿

Chega-se finalmente a:

𝝈 = 𝑬 𝝐

𝝈

𝝐 𝝈

𝜽_𝟏 = 𝜽_𝟐 = 𝜽_𝟑

𝝐

tan 𝜃₁ = tan 𝜃₂ = tan 𝜃₃ = 𝐸

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Relação Tensão x Deformação (Lei de Hooke)

𝑃 = 𝐸 𝐴 𝐿 𝛿

Partindo-se de:

Pode-se reescrever como:

𝑃

𝐴 = 𝐸 𝛿 𝐿

Chega-se finalmente a:

𝝈 = 𝑬 𝝐

𝝈

𝝐 𝝈

𝜽_𝟏 = 𝜽_𝟐 = 𝜽_𝟑

𝝐

tan 𝜃₁ = tan 𝜃₂ = tan 𝜃₃ = 𝐸

Obs: como os materiais são iguais (mesmo 𝐸), as curvas “𝜎 𝑥 𝜖” são idênticas !

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22

Propriedades Mecânicas dos Materiais

Máquina para o Ensaio de Tração Corpo de Prova

Ensaio (ou Teste) de Tração

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23

Materiais Dúcteis (ex: aço com baixo teor de carbono)

𝝈

Linear 𝝐

𝜎

_𝐴 _𝑨

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24

𝝈

Linear 𝝐

𝜎

_𝐴

𝜎

_𝐵

𝑨 𝑩

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25

𝝈

Linear Escoamento 𝝐

𝜎

_𝐴

𝜎

_𝐵

𝑨

𝑩 𝑪

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26

𝝈

Linear Escoamento Endurecimento 𝝐

𝜎

_𝐴

𝜎

_𝐵

𝜎

_𝐷

𝑨 𝑩

𝑫

𝑪

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27

𝝈

Linear Escoamento Endurecimento Estricção 𝝐

𝜎

_𝐴

𝜎

_𝐵

𝜎

_𝐸

𝜎

_𝐷

𝑨 𝑩

𝑫

𝑬 𝑪

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28

𝝈

𝝐

Fase Elástica Fase Plástica

Linear Escoamento Endurecimento Estricção

𝜎

_𝐴

𝜎

_𝐵

𝜎

_𝐸

𝜎

_𝐷

𝑨 𝑩

𝑫

𝑬 𝑪

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29

Definições:

𝜎_𝐴 = limite de proporcionalidade 𝜎_𝐵 = tensão de escoamento (𝜎_𝑌) C = início da fase de endurecimento

𝜎_𝐷 = tensão normal máxima ou limite de resistência 𝜎_𝐸 = tensão de ruptura

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30

Materiais Frágeis (ex: vidro, aço com alto teor de carbono)

𝝈

𝝐

𝜎

_𝐵

𝜎

_𝐸

𝑩

𝑬

𝜎_𝐵 = tensão de escoamento (𝜎_𝑌) 𝜎_𝐸 = tensão de ruptura

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31

Curvas (Típicas) de Tensão x Deformação

Materiais Dúcteis Materiais Frágeis

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32

Carregamento x Descarregamento

Tensões Residuais

𝝈

𝝐

𝜎

_𝐵 ^𝑩

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33

𝝈

𝝐

𝜎

_𝐵 ^𝑩

𝜖_𝑅

Deformação Residual

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34

𝜖_𝑅

𝝈

𝝐

𝜎

_𝐵

𝜎

_𝐸

𝑩

𝑬 𝑪

θ = ?

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35

𝜖_𝑅

𝝈

𝝐

𝜎

_𝐵

𝜎

_𝐸

𝑩

𝑬

Tangente na “origem”

𝑪

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36

Tensão de Escoamento Arbitrária (Ponto B)

Método de Equivalência

0.2%

Deformação Normalmente Adotada

𝝈

𝝐

𝜎

_𝐵 ^𝑩

Tangente na “origem”

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37

Um corpo de plástico é testado em tração em temperatura ambiente (conforme figura abaixo), produzindo os dados de tensão-deformação listados na tabela abaixo.

Construa a curva de tensão-deformação e determine o limite de proporcionalidade, o módulo de elasticidade (a inclinação da parte inicial da curva) e a tensão de escoamento para uma deformação de 0.2%. O material é dúctil ou frágil ?

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• O material é FRÁGIL, pois o ponto de falha ocorre bem próximo do limite de escoamento

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Uma barra de comprimento 2 𝑚 é feita de aço estrutural com o diagrama de tensão- deformação mostrado na figura abaixo. A tensão de escoamento do aço é 250 𝑀𝑃𝑎 e a inclinação da porção linear inicial da curva de tensão-deformação (módulo de elasticidade) é 200 𝐺𝑃𝑎. A barra é carregada axialmente até sofrer um alongamento de 6,5 𝑚𝑚 e, então, a carga é removida. Como o comprimento final da barra se compara com o inicial ?

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Um fio de comprimento 𝐿 = 2,5 𝑚 e diâmetro 𝑑 = 1,6 𝑚𝑚 é estirado por forças de tração 𝑃 = 660 𝑁. O fio é feito de uma liga de cobre com uma relação de tensão- deformação que pode ser escrita matematicamente pela seguinte equação:

𝜎 = 124020 𝜖 1 + 300𝜖

com 0 ≤ 𝜖 ≤ 0,03 (e 𝜎 é expresso em𝑀𝑃𝑎). Pede-se:

(a) Construa um diagrama de tensão-deformação para o material (b) Determine o alongamento do fio devido às forças P

(c) Se as cargas forem removidas, qual será a configuração permanente da barra?

(d) Se as forças forem aplicadas novamente, qual será o limite de proporcionalidade?