MAT 1351 : C´alculo para Fun¸c˜oes de Uma Vari´avel Real I

MAT 1351 : C´ alculo para Fun¸c˜ oes de Uma Vari´ avel Real I

Sylvain Bonnot (IME-USP)

2016

Transforma¸c˜ oes de gr´ aficos: transla¸c˜ oes

Transla¸c ˜oes:para cima, para baixo, para esquerda , para direita

Transforma¸c˜ oes de gr´ aficos: esticamento e reflex˜ ao

Esticamento e reflex˜ao:suponhac>1

1. y=cf(x)estique o gr´afico dey=f(x)verticalmente por um fator dec

2. (1/c)f(x)comprima.

3. f(_cx)comprima horizontalmente.

4. f(x/c)estique horizontalmente por um fator dec, 5. −f(x)reflita o gr´afico em torno do eixox

6. f(−x)reflita em torno do eixoy.

Exemplos de esticamentos: com a fun¸c˜ ao co-seno / Aplica¸c˜ ao

Exerc´ıcio

Demostrar que o gr´afico de qualquer fun¸c˜ao quadr´atica pode ser obtido a partir do gr´afico de y=x²com transla¸c˜oes, esticamentos e reflex˜oes.

Alguns exemplos

Exerc´ıcio

Esboce o gr´afico das fun¸c˜oes : f(x) =3+|3x+2|, g(x) = _x+¹₃, h(x) =−4(x−2)²+5.

Fun¸c˜ao definida por partes:

Exerc´ıcio

Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao: f(x) =3+5x se x≤2 f(x) =₁₃+ (x−1)²se x>2.

Exerc´ıcio

Dado o gr´afico de f , esboce o gr´afico de f(3x+1), f(−x)−2.

Exemplos

Exerc´ıcio

Esboce o gr´afico de f(x) =x²+10x+27. De g(x) =|x²+2x−8|, de h(x) =|(x+1)³−1|.

Exerc´ıcio

Esboce o gr´afico de|x³−2x|. Exerc´ıcio

O gr´afico de y= √

3x−x²´e dado. Use as transforma¸c˜oes para criar uma fun¸c˜ao cujo gr´afico ´e mostrado.

A fun¸c˜ ao Piso f ( x ) = [[ x ]]

Defini¸c˜ao

A fun¸c˜ao piso ´e definida por f(x) = maior inteiro menor ou igul a x.

Exerc´ıcio

Obtenha o gr´afico de f(x) =x−[[x]].

Fun¸c˜ ao composta

Imagem def:lembra que a imagem def ´e Imf ={f(x)|x∈D_f}.

Defini¸c˜ao

Sejam f e g duas fun¸c˜oes tais que Imf ⊂D_g, ent˜ao a fun¸c˜ao dada por y=g(f(x)),x∈D_f

´e chamada fun¸c˜ao composta de g e f , e ´e denotada por g◦f . Pergunta:g◦f =f◦g? ou n˜ao?

Exerc´ıcio

Determine g◦f e f ◦g para f(x) =x+1, g(x) =x².

Exemplos de composi¸c˜ oes

Encontre as fun¸c ˜oesf◦g,g◦f,f◦f,g◦ge seus dom´ınios

Composi¸c˜ oes

Exerc´ıcio

Verifique que Im(f)⊂Dge determine h(x) =g(f(x)) 1. g(x) =3x+1e f(x) =x+2

2. g(x) =√

x e f(x) =₂+x² 3. g(x) = ^x_x⁺₋¹₂ e f(x) =x²+3

Fun¸c˜ oes trigonom´ etricas: seno e co-seno

Teorema

Existe um ´unico par de fun¸c˜oes definidas emRchamadas senecos tais que :

1. sen0=0,cos 0=₁

2. Para todo a e b, sen(a−b) = senacosb− senbcosa.

3. Para todo a e b,cos(a−b) =cosacosb+ senasenb.

4. Existe r>0tal que0< senx<x<tg(x)onde tg(x) = _cos^senx_x. 5. Existe um menor n ´umero positivoπtal quecos(π/2) =0.

Exerc´ıcio

1. Mostre que(cosx)²+ (senx)²=1.

Exemplos

Exerc´ıcio

esboce o gr´afico de sen(2x),cos(1/x), x². sen(1/x).

Fun¸c˜ oes Exponenciais: introdu¸c˜ ao e algumas propriedades

I Caso mais simples: paranum inteiro≥, eaum n ´umero real:

aⁿ=a.a. . . .a(n vezes)

I Caso 2:sejan>0 inteiro,a∈R: vamos definir:

a⁻ⁿ= ¹ aⁿ.

I Casoa^xondex= ^p_q ´e racional: vamos simplesmente definir:

a^pq =√^q

a^p= (√^q a)^p Pergunta

Como definir a^xquando x ´e um n ´umero real?

Id´eia:sejax=x₀,x₁x₂x₃x₄. . . (exemplo,x= π=3, 1415 . . .).

Primeiras propriedades das fun¸c˜ oes exponenciais

Conclus˜ao:para cadaa>0, existe uma func¸˜aox7→a^x.

Primeiro encontro com o limite

Constru¸c˜ao de√

2: como o limite de 1, depois 1, 4, depois 1, 41 ; 1, 414 . . .

Teorema

Seja uma seq ¨uˆencia(xn)de numeros reais que ´e crescente (isto ´e xn≤x_n+1) e limitada (isto ´e: existe um numero real M tal que todos os x_ns˜ao≤M). Ent˜ao(x_n)tem um limite.

Demonstra¸c˜ao.

As partes inteiras dosx_ns˜ao limitadas, ent˜ao eu posso pegar a maior (sejaE∈ _Z. Tem um numero na seq ¨uˆencia cuja parte inteira ´eE(vamos denotar elex_N0). Todos osxncomn≥N0v˜ao ter a mesma parte inteira (porque?).

Agora: para todos os numeros depois dex_N0, eu posso olhar a primeira decimal e pegar a maior (vamos denotar ela deE₁):

Primeiro encontro com o limite II

Demonstra¸c˜ao.

Agora: para todos os numeros depois dex_N1, eu posso olhar a segunda decimal e pegar a maior (vamos denotar ela deE2):

ent˜ao existe umx_N2 cuja expans˜ao comec¸a comE₀,E₁E₂. Todos osx_ncomn≥N₂v˜ao tamb´em comec¸ar comE₀,E₁E₂(porque).

Continuar assim, sem parar: a gente vai construir um n ´umero realL=E₀,E₁E₂E₃. . ., chamada olimiteda seq ¨uˆencia(x_n), e denotado porL=lim_n∈_Nx_n.

Observa¸c˜ao Para cadae_k = ¹

10^k =10^−k, existe N_k∈_Ntal que todos os x_ncom n≥N_kv˜ao satisfazer|x_n−L| ≤e_k=10^−k

Exponencial II: propriedades

Teorema (Lei dos expoentes)

Se a e b forem n ´umeros positivos e x e y, n ´umeros reais quaisquer, ent˜ao:

a^x+y=a^xa^y (a^x)^y =a^xy a^x−y = ^a

x

a^y (ab)^x=a^xb^x

Defini¸c˜ao dee^x: o n ´umeroe=2, 718 . . . ´e o unico tal que a func¸˜aoe^xtem uma reta tangente de inclinac¸˜aom=1 no ponto (_{0, 1})_.

Historia:primeira definic¸˜ao dee: como limite de 1+ ¹ⁿ

Exponencial III: propriedades

Teorema

1. Se a=1ent˜ao a^x=1^x=1para cada x∈_R,

2. Se a>1ent˜ao x7→a^x´e estritamente crescente (isto ´e:

x<y⇒a^x <a^y), elim_x→+_∞a^x= +_{∞, e}lim_x→−_∞a^x=0.

3. Se a<1ent˜ao x7→a^x´e estritamente decrescente (isto ´e:

x<y⇒a^x >a^y), elim_x→+_∞a^x=0, elim_x→−_∞a^x= +_∞ 4. Para todos a>0, x7→a^x´e uma fun¸c˜ao continua.

Defini¸c˜ao A nota¸c˜ao

xlim→_∞f(x) =_∞

(lida como ”o limite de f(x)quando x tende a infinito ´e o infinito”)

Praticar com lim

f ( x ) = _∞

Exerc´ıcio

Mostrar quelim_x→_∞3x=_∞.

Exerc´ıcio

Mostrar quelim_x→_∞x² =_∞. Exerc´ıcio

Mostrar quelimx→_∞x−_cos(2x) =_∞.

Exponencial IV

Na verdade ja podemos demostrar tudo! Por exemplo:

Demonstra¸c˜ao.

(2) Para inteirosN₁<N₂, temos quea^N1 <a^N2, e tamb´em a^1/N1 <a^1/N2. Ent˜ao sex<y(ex,ys˜ao racionais) temos que a^x<a^y. Depois no caso geral, quandox,ys˜ao reais, ´e suficiente encontrar numeros racionaisu<vtais quex<u<v<ye mostrar

a^x<a^u<a^v <a^y.

Fun¸c˜ oes potˆ encia x 7→ x

Gr´afico:

Exemplos: Frequencia cardiaca e Taxa metab´ olica basal

Exemplo de fun¸c˜ao potˆencia:

Freq.Card.=K.(Peso)^−1/4

(passarinho: 800 , rato: 250-450 pulsac¸ ˜oes, humano : 60-100 (mas ciclista M. Indurain tem 28 ...), cavalo:30 )

Defini¸c˜ao

A TMB (”Taxa metab´olica basal”) ´e a quantidade de energia produzida cada dia por um animal .

Defini¸c˜ao (Lei de Kleiber)

TMB=M^3/4, onde M ´e a massa do animal.

Limites: que significa lim

f ( x ) = L?

Como ler:”o limite def(x), quandoxtende aa, ´e igual aL. Ou, tamb´emf(x)tende aLquandoxtende aa.

Outra nota¸c˜ao:f(x)→Lquandox→a.

Def. intuitiva 1:”eu posso fazerf(x)arbitrariamente pr ´oximo deL, tomandoxsuficientemente pr ´oximo dea.

Def. intuitiva 2:”a distˆancia entref(x)eLpode ser arbitrariamente pequena, tomando-se a distˆancia dexaa suficientemente pequena (mas n˜ao igual a 0)”.

Defini¸c˜ao

Seja f ua fun¸c˜ao definida sobre um intervalo aberto que cont´em a, exceto possivelmente no ponto a. A fraselim_x→af(x) =L significa:

para todo n ´umeroe>0h´a um n ´umero correspondenteδ >0tal que