(1)MAT3120 - C´alculo III - IO Lista Complementar 3 - 2017 1

MAT3120 - C´alculo III - IO Lista Complementar 3 - 2017

1. Determine uma equa¸c˜ao cartesiana (emx, y) para a curva parametrizada e trace sua imagem:

(a) γ(t) = (2 + cost,−3 + 4sent); (b) x=√

t, y =t²; (c) x=e^t, y =e^−t; (d) x=t², y =t³; (e) γ(t) = (1−2t, t²+ 4), t ∈[0,3]; (f) γ(t) = (√

2 cost,2 sent).

2. Trace a imagem da curva: γ(t) = (e^tcos t, e^tsen t).

3. Ache uma parametriza¸c˜ao para: (a) a hip´erbole: x²−y² = 4; (b) a astroide: x²³ +y²³ = 1.

4. Calcule os vetores tangentes (em cada t) das curvas parametrizadas dadas no exerc´ıcio 1.

5. Esboce a imagem e calcule os vetores tangentes (em cada t) das curvas espaciais:

(a) γ(t) = (cost,sent, e^t); (b) γ(t) = (t, t², t³); (c) γ(t) = (at, bt, ct), a²+b²+c² 6= 0.

6. Ache uma parametriza¸c˜ao para a curva dada a seguir pela interse¸c˜ao de uma superf´ıcie com um plano. Em cada caso, temos uma se¸c˜ao cˆonica; qual ´e a cˆonica?

(a) cilindro x²+y² = 9 com o plano z =x; (b) paraboloide z =x²+y² com o planoz =x;

(c) cilindro parab´olico y=x² com o planoz = 2 .

7. Ache uma parametriza¸c˜ao para a curva dada pela interse¸c˜ao do cilindro x² +y² = 4 com o cilindro parab´olico z =x².

8. Sejam f e g fun¸c˜oes com derivadas parciais cont´ınuas em um aberto do R³. Mostre que:

grad~ (f g) =f ~grad g+g gradf~ ou equivalentemente ∇(f g) =~ f ~∇g+g ~∇f.

9. Esboce os sequintes campos vetoriais do R²: (a) −y~i+x~j (b) √^−y

x²+y²~i+ √ ^x

x²+y²~j (c) x~i (d) x~j

Algumas Respostas

1. Equa¸c˜oes cartesianas:

(a) (x−2)²+^(y+3)₁₆ ² = 1; (b) y=x⁴, x≥0; (c) y= ¹_x, x >0;

(d) x³ =y²; (e) x²−2x+ 17 = 4y,−5≤x≤1; (f) 2x² +y² = 4.

3. (a) γ(t) = (₂^t + ²_t,^t₂ −²_t); (b) γ(t) = (cos³t, sen³t) (c) γ(t) = (t², t³).

4. Alguns vetores tangentes: (a) γ⁰(t) = (−sent,4 cost); (b) γ⁰(t) = (₂^√1_t,2t).

5. Alguns vetores tangentes: (a) γ⁰(t) = (−sent,cost, e^t); (c) γ⁰(t) = (a, b, c).

6. (a) ´E uma elipse no plano z =x; parametriza¸c˜ao: x= 3 cost, y= 3sent, z = 3 cost.

(b) ´E uma par´abola no plano z = 2, parametriza¸c˜ao: x=t, y=t², z= 2.

(c) ´E uma elipse no plano z =x, dada tambem por: (x− ¹₂)²+y² = ¹₄, z =x. Parametriza¸c˜ao : x= ¹₂ + ¹₂cost, y = ¹₂ sen t, z = ¹₂ +¹₂cost

7. γ(t) = (2 cost,2sent,4cos²(t))

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