Parque limitado a 30 mn

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Disciplina: Sistemas e Sinais

Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores

Pólo Alameda

Prof. Responsáveis: Carlos Cardeira / João Sanches 1À Exame

Duração 2h30 7 de Janeiro de 2005

• O exame decorre sem consulta, sendo permitida a consulta de quatro páginas que venham já preenchidas com as informações que achar necessárias à resolução do exame.

• O exame não pode ser escrito a lápis.

• É permitido o uso de calculadoras exclusivamente para a realização de cálculos. • Antes de começar o exame identifique todas as folhas com número e nome (no

seu próprio interesse, traga-as já previamente preenchidas).

• O exame é composto por quatro questões que devem ser resolvidas em folhas diferentes. No final do exame entregue cada questão na „pilha‰

correspondente, verificando que todas as folhas estão identificadas (nÀ e nome). • Justifique adequadamente as respostas, tal como pôde observar na resolução

do exame tipo.

• O docente deve ser chamado exclusivamente quando o enunciado suscitar qualquer dúvida. Se houver ambiguidade ou gralha no enunciado o docente fará uma comunicação a toda a sala. Questões do tipo a seguir indicadas não são autorizadas:

o Prof, eu não me lembro desta fórmula, é mais ou menos isto? o Prof, como é que isto se resolve? Isto assim está certo? o Eu justifiquei assim, chega ou tenho que escrever mais?

1.I. Considere um lugar de estacionamento com um contador individual. Para validar o estacionamento, o utilizador deve colocar moedas de 50c, 1€ e 2€ correspondentes a períodos de 5, 10 e 20 minutos, respectivamente. O sinal Tick ocorre todos os 5 (cinco) minutos. A saída do sistema indica se o veículo estacionado está em regra ou se está em transgressão. O veículo encontra-se em transgressão se o período correspondente à totalidade das moedas introduzidas desde o início do estacionamento for inferior ao tempo entretanto decorrido.

Parque

limitado a

{OK, Em

transgressão}

30 mn

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a) Desenhe a máquina de estados correspondente.

R:

Nota: no capítulo „State Machines‰ do livro de referência (e nos diapositivos das aulas) encontra-se a resolução de um parquímetro similar.

Nota: em vez de 60 teremos 12 estados. A moeda de 5 cêntimos fará avançar um estado; a de 1€ fará avançar 2; a de 2€ fará avançar 4 estados.

0 1 2 3 4 5 6

{50c}/OK {50c}/OK {50c}/OK {50c}/OK {50c}/OK {50c}/OK {1€}/OK {1€}/OK {1€}/OK {1€}/OK {1€}/OK

{2€}/OK {2€}/OK {2€}/OK {2€}/OK

{50c}/OK {1€}/OK {2€}/OK {1€}/OK {2€}/OK {Tick} {Tick}/ {2€}/OK

{Tick}/OK {Tick}/OK {Tick}/OK {Tick}/OK {Tick}/OK

/Transgressão Transgressão

b) Desenhe uma máquina de estados não determinística que simule a anterior. Indique o interesse da máquina não determinística.

{1€,2€}/OK {50c,1€,2€,Tick}/OK 0 1 >1 {50c}/OK {50c,1€,2€}/OK {Tick} {Tick}/ Trangressão {Tick}/OK /Trangressão

O interesse da máquina não determinística prende-se com o facto de ela ser em geral mais simples que a máquina determinística simulada.

O conjunto de saídas possíveis da máquina não determinística, incluem as da máquina determinística. A máquina não determinística pode portanto fazer tudo o que a

máquina determinística faz e possivelmente algo mais. O que a máquina ND fizer que a D não faça estará porventura errado. Não é no entanto pelo que a máquina ND faz que se vê a sua vantagem, mas sim pelo que ela não faz. Se se provar que a Máquina não Determinística não pode ter um certo comportamento, então, garantidamente, a

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Máquina Determinística também não o poderá ter. Se a ND for segura, a D também o será, admitindo que, por segura se entende que determinados estados não sucederão. Exemplos: Deadlock, Livelock, etc.

Este tipo de análise é por vezes difícil de realizar na máquina D por ela ser complexa, mas se for possível encontrar uma máquina ND mais simples que simule a máquina D, se pudermos provar determinadas propriedades em relação à máquina ND então poderemos extrapolá-las para a máquina D.

1.2. Considere a seguinte máquina de estados, realimente a saída para a entrada (a entrada fica apenas igual à saída) e indique a máquina de estados equivalente.

A B

{t}/f {f}/f {f}/t

{t}/t

R: No sistema realimentado só poderão constar os arcos em que se verifique que x=Saída(estado, x) tem uma única solução.

Se a saída não for igual à entrada e o sistema se encontra num ponto fixo. No caso presente temos:

x=saída(A,x) → tem solução única que é x=f

x=saída(B,x) → tem solução única que é x=t

Assim sendo, o sistema é bem formado e o sistema realimentado será dado por:

A B

{react}/f

{react}/t

Nota: ver diapositivos 126 a 128 dos capítulos 1 a 4 das aulas e o subcapítulo „feedback‰ do capítulo „composing state machines‰ do livro de referência.

1.3.

a) Indique a principal diferença entre as funções update e possibleUpdates de máquinas determinísticas e não determinísticas.

(4)

B

C

Ambas são funções do estado actual e das entradas. No entanto, em máquinas

determinísticas a função update gera um único estado enquanto que em máquinas não determinísticas a função possibleUpdate gera um conjunto de estados possíveis para o qual o sistema pode evoluir.

Formalmente a função update tem o seguinte domínio e contradomínio: Update: Estados x Entradas → Estados x Saídas

Enquanto que a função PossibleUpdates tem como domínio e contradomínio:

possibleUpdates: Estados x Entradas → P(Estados x Saídas) em que P(Estados x Saídas) é o conjunto dos subconjuntos não vazios de Estados x Saídas

Nota: ver diapositivo 90 dos capítulos 1 a 4 das aulas

b) Que entende por sistema bem formado e mal formado? Numa associação em cascata de subsistemas com uma realimentação global entre o último e o primeiro, se num dos subsistemas a saída depender apenas do estado (em particular se a saída depender apenas do estado) e os restantes não, o que se pode deduzir em relação a todo o sistema?

R:

Sendo x a entrada, y a saída e y=f(x) a função que relacionada a entrada com a saída, um sistema é bem formado se, para cada estado do sistema, a relação x=f(x) admitir uma solução única.

As máquinas de estados em que a saída depende apenas do estado, são sempre bem formadas. Numa associação em cascata de sistemas descritos por máquinas de estados, se numa das máquinas a saída depender apenas o sistema geral é bem formado. Para e exemplificar considere-se a seguinte composição de sistemas, em que B é bem

formado.

y

z

w

A

_B

_C

A

Num determinado estado, B gerará uma determinada saída y. y será entrada de C que gerará uma qualquer saída z. z será entrada de A que gerará uma qualquer saída w. w será agora entrada de B, mas w corresponderá necessariamente a um dos arcos de entrada (guardas) do estado em que estava B. Como a saída de B só depende do estado, B continuará a gerar y e do sistema estará num ponto fixo.

Assim, se uma das máquinas de uma cascata de sistemas for construída de forma a que a saída dependa apenas do estado, o sistema global realimentado é sempre bem

(5)

Nota: ver diapositivos 127 a 142.

(Importante: Iniciar uma nova folha de resolução, devidamente identificada com número e nome, uma vez que se vai iniciar a resolução de um grupo diferente)

(6)

2. 1. Considere um sistema SISO unidimensional de acordo com a seguinte equação.

∀ ∈n Inteiros, 7 y(n− + y 1) (n)= −65x (n− −10x 1) (n)

a) Calcule a saída deste sistema em função do sinal de entrada x admitindo condições iniciais nulas.

(Importante: Iniciar uma nova folha de resolução, devidamente identificada com número e nome, uma vez que se iniciou a resolução de um novo grupo)

De um modo geral, a saída de um sistema a partir da sua representação ABCD é dada por: 0 ( ⎧ cs

( )

+ dx n ) n = 0 ⎪ y n n−1 0 1 ( )= ⎨ _n _n_{− −m} ( ( ⎪ca s

( )

+

∑

a bcx m )+ dx n ) n > 0 ⎩ m=0

Considerando condições iniciais nulas (s(0)=0), teremos:

( ) n = 0 ⎧ dx n ( )= ⎨⎪n−1 y n _n_{− −m}₁ ( )+ dx n) n > 0 ⎪

∑

a bcx m ( ⎩m=0

Falta apenas conhecer os valores de a, b, c e d da relação entre a representação ABCD do sistema.

A relação entre as duas é dada por:

( 1) ( ( ⎧s n + = as n )+ bx n ) ⎨ ⎩ y n ( )= cs n ( )+ dx n ( ) ( )= ay n − −

(

ad − bc

)

x n −1) + dx n y n ( 1) ( ( )

Nota: ver correcção do exame tipo. Comparando as equações temos:

7 (y n − + y n) = −65x n − −10x n 1) ( ( 1) ( ) y n ( )− ay n −1) =(

(

bc − ad

)

x n ( −1) + dx n ( ) ⎧ a = −7 ⎪⎪ d = −10 ⎨ ⎪bc − 70 = −65 ⇔ bc = 5 ⎪⎩

(7)

Pelo que: ( ⎧ −10x n) n = 0 ⎪_n₋₁ y n ( )=⎨ ⎪

∑

5. 7 − n− −m1 x m)−10x n) n > 0 ⎩m=0

( )

( (

b) Indique se o sistema é estável ou instável.

R:

O sistema não é estável porque a saída diverge à medida que n cresce. Tal deve ao facto de |a| se maior do que 1.

2. 2. Considere os seguintes sinais e indique se são periódicos ou não, indicando o seu período caso se aplique.

⎛ 4nπ⎞ ( ) cos_⎜ _{⎟ +1} a) x n ₁ =

⎝ 5 ⎠

R:

O sinal é periódico. O período é:

4n π ₌2

n

π

5 T

T = 2.5

Como o período de um sinal discreto tem que ser inteiro, o período é de 5 amostras.

⎛ 2nπ π⎞ b) x n ₂( ) sin= _⎜ + ⎟ ⎝ 5 3⎠

R:

O desfasamento inicial não afecta a periodicidade do sinal. O sinal é periódico. O período é: = n 2 n π 2 π 5 T T = 5 O período é de 5 amostras. 4 jnπ n 5 c) x₃( )= e R:

(8)

= n

4 n π 2π

5 T

T = 2.5

Como o período de um sinal discreto tem que ser inteiro, o período é de 5 amostras.

d) x₄( )n = cos 6

(

t

)

+ sin 10t

(

)

R: _{x4(t) = cos(6t)+sin(10t)}

O sinal é periódico com período igual ao mínimo múltiplo comum dos períodos.

6 t = 2π t T₁ =π T 3 2π t π 10 = T₂ = T t 5

O mínimo múltiplo comum entre os períodos é π.

O período é igual a π unidades de tempo.

e) x₅( )t = cos 6

( )

t + sin

(

3.t

)

R:

O sinal não é periódico uma vez que não será possível encontrar um mínimo múltiplo

π 3

comum entre e π.

3 2

(9)

( )

1 cos ou sin 16 2 16 x n = ⎛_⎜π n+π ⎞_⎟ ⎛_⎜π n⎞_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

2 cos ou sin ou 1 2 n x n = πn ⎛_⎜πn−π ⎞_⎟ − ⎝ ⎠

( )

3 1 x n =

( )

4

(

)

4 3, 4 10 1 32 k x n δ n k +∞ =−∞ = ×

∑

− −

(10)

Os sinais x1 e x4 tem um periodo igual a 32 amostras. A frequencia e de 1/32 ciclos por amostra. O periodo de x2 e de duas amostras e a frequencia e de 1/2 ciclo por amostra. O periodo de x3 e de uma amostra e a frequencia e de um ciclo por amostra.

b) Indique quantos termos terá a série de Fourier correspondente a cada sinal, excluindo aqueles que forem necessariamente iguais.

R: Em termos gerais, tratando-se de séries de Fourier de sinais discretos com período p, a decomposição de um sinal x(n) em série de Fourier será dada por:

M x n ( ) = A +₀

∑

A_kcos

(

kw n ₀ +φ_k

)

k =1 ⎧

(

p −1

)

p impar ⎪ ₂ M =⎨ ⎩ p 2 p par ⎪

Nota: ver subcapítulo „The discrete-time Fourier series‰ do livro de referência

O sinal x1(n) tem período 32 pelo que a série de Fourier terá 17 termos, embora alguns dos quais possam ser nulos.

(Nota: se tentássemos fazer as contas para valores de k superiores, os valores de Ak começavam a ser iguais a valores já calculados anteriormente)

O sinal x2(n) tem período 2 pelo que a série de Fourier terá 2 termos, embora um dos quais possa ser nulo.

O sinal x3(n) tem período 1 pelo que a série de Fourier terá 1 termo. O sinal x4(n) tem período 32 pelo que a série de Fourier terá 17 termos.

c) Indique o valor expectável para o primeiro termo da série de Fourier correspondente aos sinais x1, x2 e x3

R: O primeiro termo (A0) da série de Fourier corresponde ao valor médio do sinal

também conhecido como a componente DC do sinal por analogia com sinais eléctricos.

Assim, o primeiro termo (A₀) da série de Fourier corresponde ao sinal x1(n) é

igual a 0

O primeiro termo (A₀) da série de Fourier corresponde ao sinal x2(n) é igual a 0

O primeiro termo (A0) da série de Fourier corresponde ao sinal x3(n) é igual a 1

(Nota: não era perguntado mas, analogamente, o primeiro termo do sinal x4(n) é igual a 3.5x104_/32)

d) Indique se a algum destes sinais corresponde uma série de Fourier com um único termo. Se sim, calcule-o(s).

(11)

R:

O sinal x1(n) é uma sinusóide pura com média nula, pelo que terá apenas o termo

k=1, correspondente à frequência fundamental w₀. Teremos assim que calcular os

termos A1 e φ1 obtendo-os por comparação com a expressão do sinal que

calculámos no início. 16 ( x n) ₁ = A +₀

∑

A_kcos

(

kw n ₀ +φ_k

)

= 0 + A cos ₁

(

w n ₀ +φ₁

)

k=1 A₁= 1 π φ1 = 2

O sinal x2(n) é uma sinusóide pura com média nula, pelo que terá apenas o termo

k=1, correspondente à frequência fundamental w0. Teremos assim que calcular os

termos A1 e φ1 obtendo-os por comparação com a expressão do sinal que

calculámos no início. 1 ( x n) ₂ = A +₀

∑

A_kcos

(

kw n ₀ +φ_k

)

= 0 + A cos ₁

(

w n ₀ +φ₁

)

k=1 A₁= 1 φ₁= 0

O sinal x3(n) é um sinal constante pelo que só tem a componente DC. Assim sendo, o desenvolvimento em série de Fourier deste sinal tem uma só componente A0 que é igual a 1.

x n ₃( ) = A = 1₀

e) Indique se algum dos sinais terá componentes em todas as frequências.

R: O sinal x4(n) é um Delta de Kronecker. Os Delta de Kronecker tem componentes em todas as frequências.

(nota: o delta de Dirac também exibe componentes em todas as frequências, mas ainda em número superior porque o desenvolvimento em série de Fourier de um sinal contínuo tem infinitas componentes enquanto que o desenvolvimento em série de Fourier de um sinal discreto tem componenets finitos. A este respeito no endereço http://ptolemy.eecs.berkeley.edu/eecs20/week8/dfsexample.html existe uma demonstração interessante da reconstituição de um sinal a partir das suas harmónicas. Lá poderá verificar que o Delta de Kronecker resulta da soma de todas as sinusóides. Vá acrescentando os termos um a um de forma a verificar como a soma de todas as sinusóides converge para o Delta de Kronecker)

( ) = −w x t 3. 2. O modelo do sinal gerado por de um diapasão ideal é dado por x t 2

( ) .

(12)

0

a) Calcule a sua representação ABCD assumindo a variável de estado ( )⎤

⎡x t z t( )= ⎢

x t ⎥ e indique os seus parâmetros para uma frequência natural de ⎣ ( )⎦ 440Hz. x t 2 ( ) ( )= −w x t ( )⎤ ⎡x t ( )= z t ⎢_{x t} ⎣ ( )⎦⎥ ( )= Az t ( ) ⎧ z t ( )+ Bu t ⎨ ( )= C z t ( ) ⎩ y t T ( )+ Du t

Como nada é dito sobre a saída podemos escolhê-la e vamos assumir que ela é igual ao próprio sinal x(t). Assim teremos:

x t 2 ( ) ( )= −w x t 0 ( )⎤ ⎡x t ( )= z t ⎢_{x t} ⎣ ( )⎦⎥ ( )⎤ ⎡a11 a₁₂⎤ ⎡x t 0 ⎥ + ⎢ ⎥ ⎧⎡x t ( )⎤ ⎡ ⎤ ⎪⎢_{x t ⎥}= ⎥ ⎢_{x t} ₀ ( ) ⎪⎣( )⎦ ⎣⎢a₂₁ a₂₂_{⎦ ⎣ ( )⎦ ⎣ ⎦}u t ⎨ ( )⎤ ⎪ _{( )}₌

_[

_{1 0}

_]

⎡x t ⎥ + 0. ( ) ⎪ y t ⎢_{x t} u t ⎩ ⎣ ( )⎦ ( )⎤ ⎡ 0 0⎤ ⎡x t ⎡x t ( )⎤ ⎢_{x t ⎥}= ⎢ ⎣−w0 2 0_{⎦ ⎣x t} ⎥ ⎣( )⎦ ⎥ ⎢ ( )⎦ ⎡ 0 0⎤ A= ⎢ ⎣−w0 2 0_⎦⎥ B= 0 CT =

[

1 0

]

D= 0

(nota: ver solução da „independent section‰ do laboratório 6)

b) Desenhe o diagrama que lhe permitiria simular este diapasão caso recorresse ao programa Simulink.

(13)

(nota: ver solução da „independent section‰ do laboratório 6)

c) Qual a diferença fundamental entre o som gerado pelo diapasão e o som gerado por um instrumento musical?

R:

O som gerado pelo diapasão é um som composto por uma única frequência, praticamente uma sinusóide pura. Por alguma razão, os sons mais ricos ao ouvido contêm, para além da frequência fundamental, várias harmónicas. Daí que o som gerado pelos instrumentos musicais apresente muitas harmónicas. O número e

amplitude das harmónicas geradas define o timbredo instrumento.

(14)

4.1. Considere o seguinte sistema (assuma k=14)

a) Calcule a resposta em frequência deste sistema.

(Importante: Iniciar uma nova folha de resolução, devidamente identificada com número e nome, uma vez que se iniciou a resolução de um novo grupo)

R: k k ( ) S w = 1 1 1 jw k jw + + + = 1 jw+ 1 1 jw jw + + + k = _{k 1} k + + jw = 14 15+ jw

b) Calcule a sua resposta impulsiva.

R: A resposta impulsiva é a Transformada de Fourier Inversa da Resposta em Frequência.

Sabemos que (conforme formulário ou dedução apresentada nos diapositivos): y t ( )= e−atu t ( )⎯⎯⎯_CTFT→Y (w) = 1

a+ jw

No nosso caso teremos a=15 e assim teremos:

− t ( ) ( ) 14 e 15u t h t =

em que u(t) representa a função degrau unitário.

4.2. Considere o seguinte sistema, representado pelo seu modelo em Simulink. Assuma que o ritmo de amostragem é de 8000Hz.

(15)

a) Inicializando os estados iniciais com valores aleatórios, qual o valor que será de esperar para a frequência do sinal de saída?

R:

Inicializando os 40 estados iniciais com valores aleatórios, aparte a atenuação, os mesmos sinais apareceram repetidos ao fim de 40 períodos de amostragem. Como a frequência de amostragem é de 8000Hz, os valores aleatórios inseridos repetir-se-ão ao fim de 8000/40= 200Hz. Por isso o sinal terá uma forma aleatória mas que se repetirá (aparte a atenuação de 0.9) ao ritmo de 200Hz até expirar completamente.

b) Suponha que pretende gerar um sinal amortecido com uma componente fundamental de 440 Hz. Mudando parâmetros deste sistema, consegue obter essa frequência? Se não, qual a frequência mais próxima que consegue gerar?

R:

O valor de N necessário para obter a frequência de 440 Hz seria de 8000/440=18,18. Como N tem que ser inteiro, o valor mais próximo seria N=18 ao qual

corresponderia uma frequência de 8000/18=444,44Hz. Este tipo de filtros em pente apenas é capaz de gerar sinais com uma frequência fundamental igual a FA/N (em que FA é a frequência de amostragem e N a dimensão do filtro). Os filtros de Karplus e Strong é que permitem gerar sinais com uma frequência fundamental qualquer (dentro de algumas aproximações). Os laboratórios 8 e 9 são muito elucidativos a este