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I. FUNÇÃO DO 2º GRAU (ou QUADRÁTICA) 1. Definição
Chama-se função do 2º grau (ou função quadrática) a toda função do tipo f x( )=ax2+bx c+ , onde a, b e c são números reais e a ≠0. São exemplos:
2 2 2 2
( ) 3 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) 7 6
f x = x − x+ f x =x +x− f x =x +x f x = x −x+
2. Gráfico cartesiano de uma função do 2º grau
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. Para construir, corretamente, o gráfico de uma função quadrática, vamos atribuir alguns valores à variável x e determinar as respectivas imagens y, assinalando os pontos obtidos ( , )x y num plano cartesiano.
Como o domínio de uma função do 2º grau é, em geral, o conjunto », não será possível representar o seu gráfico integralmente. Vamos então representar alguns de seus pontos, tentar descobrir a forma do gráfico e verificar se há alguma irregularidade.
Exemplo:
1) Construir o gráfico da função y=x2.
Vamos atribuir pontos a x para saber como o gráfico da função se comportará.
Unindo os pontos, obtemos o gráfico da função. ( , ) 3 9 ( 3,9) 2 4 ( 2, 4) 1 1 ( 1,1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1,1) 2 4 (2, 4) 3 9 (3, 9) x y x y − − − − − −
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2.1. Concavidade da parábola
A parábola representativa da função quadrática 2
y=ax +bx c+ pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo, de acordo com:
Se a >0, a concavidade da parábola será voltada para cima.
Se a <0, a concavidade da parábola será voltada para baixo.
2.2. Zeros da função quadrática
Os zeros ou raízes de uma função quadrática são os valores do domínio para os quais f x =( ) 0 e são obtidos resolvendo a equação do 2º grau associada à função do 2º grau.
Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2º grau são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x.
Exemplos:
1) Observe o gráfico ao lado. Ele representa a função f x( )=x2−2x−3.
2 3 ( ) 0 2 3 0 1 f x = ⇒ x − x− = ⇒ x= −
Calculando os zeros dessa função, acharemos valores iguais a 3 e a – 1. Note que, esses valores correspondem aos pontos onde a parábola toca o eixo x no gráfico da função. A seguir, aprenderemos a esboçar o gráfico com suas devidas propriedades.
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2.3. Coordenadas do vértice
Para a construção do gráfico da função quadrática e outras aplicações que veremos mais adiante, é importante determinar as coordenadas do vértice da parábola.
Seja uma função quadrática da forma y=ax2+bx c+ , denotamos por V o ponto chamado de vértice da parábola representativa da função quadrática e que é dado por:
, 2 4 b V a a − −∆ = Observações:
Se a função possui uma raiz dupla, o seu gráfico corta o eixo x num único ponto que, evidentemente, será o vértice.
Se a função não possui raízes reais, a parábola não corta o eixo x. no entanto, mesmo nesse caso, continuam valendo as fórmulas que determinam o vértice da parábola. A demonstração desse fato pode ser feita tomando-se dois pontos da parábola que sejam eqüidistantes do eixo de simetria.
Exemplos:
1) Determine as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função 2
( ) 5 3 1
f x = − x + x− .
Resolução:
Na função f x( )= −5x2+3x−1, temos que 2
5, 3, 1 e 3 4( 5)( 1) 9 20 11
a= − b= c= − ∆ = − − − = − = − .
Veja:
Logo, o vértice é o ponto 3 , 11 10 20 V = −
.
2) Determinar a e b de modo que o gráfico da função definida por y=ax2+bx−9 tenha o vértice no ponto (4, 25)− .
Pelos dados do problema, x =v 4.
Como , : 4 8 8 2 2 v b b x temos b a b a a a − − = = ⇒ − = ⇒ = − 3 3 2 2( 5) 10 ( 11) 11 4 4( 5) 20 v v b x a y a − − = = = − −∆ − − = = = − −
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Substituindo na função dada, obtemos:
2 2 9 25 4 ( 8 ) 4 9 , 16 32 9 25 16 16 1 8 8 1 8 y ax bx a a Daí a a a a Como b a b b = + − ⇒ − = ⋅ + − ⋅ − − − = − ⇒ − = − ⇒ = = − ⇒ = − ⋅ ⇒ = −
2.4. Determinação do conjunto imagem da função quadrática
Como já sabemos que a função quadrática y=ax2 +bx−9 é definida para todo x real, podemos utilizar as coordenadas do vértice para obter o conjunto imagem dessa função. Assim:
0 Im | , 4 0 Im | , 4 a y y x a a y y x a ∆ > ⇒ = ∈ ≥ − ∀ ∈ ∆ < ⇒ = ∈ ≤ − ∀ ∈ » » » »
2.5. Crescimento e decrescimento de uma função quadrática
Podemos analisar o crescimento e o decrescimento de uma função quadrática da seguinte forma:
0 a > a <0 ( ) | 2 b f x é crescente para x x a ∈ ≥ − » ( ) | 2 b f x é crescente para x x a ∈ ≤ − » ( ) | 2 b f x é decrescente para x x a ∈ ≤ − » ( ) | 2 b f x é decrescente para x x a ∈ ≥ − »
2.6. Estudo do sinal da função quadrática
Estudar o sinal de uma função significa determinar os valores reais de x que tornam a função positiva, negativa ou nula.
Disciplina: Matemática Prof. Diego Lima Página 5 de 7 0 a > a <0 0 ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ <
II. INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 1. Definição
Inequação é toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.
A inequação do segundo grau com uma variável pode ser escrita por uma das seguintes formas:
2 2 2 2
, , ou onde , , e 0
0
0
0
0
a b c aax
+
bx
+ >
c
ax
+
bx
+ <
c
ax
+
bx
+ ≥
c
ax
+
bx
+ ≤
c
∈» ≠ .2. Resolvendo uma inequação do 2º grau
Resolver uma inequação do 2º grau significa determinar os valores reais de x que satisfazem a inequação dada.
Assim, por exemplo, na inequação 2
2x 5x 6 0
− + − ≥ temos que determinar todos os valores reais de x que tornem a expressão 2
2x 5x 6
− + − positiva. Podemos então estudar a variação do sinal da função
2
( ) 2 5 6
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Exemplos:
1) Resolver a inequação 2
2x 5x 6 0
− + − ≥ .
Vamos estudar os sinais da função ( ) 2 2 5 6
f x = − x + x− .
2 2 0
2 5 6 0
23 0
a concavidade para baixo
x x
não possui raízes reais
= − < →
− + − =
∆ = − < →
Podemos observar que nunca acontecerá f x >( ) 0, portanto ∃ x ∈ » . Logo, S = ∅ .
2) Resolver a inequação 2
1 0
x
− + ≤ .
Vamos estudar os sinais da função 2
1 ( ) x f x =− + . 2 1 0 1 0 1 1
a concavidade para baixo
x
x ou x
= − > → − + =
= = −
Como devemos ter f x <( ) 0, então x≤ −1 ou x ≥ . 1 Logo, S=
{
x∈»|x≤ −1 ou x ≥1}
.3. Sistemas de inequações do 2º grau
Há alguns sistemas de inequações que apresentam uma ou mais inequações do 2º grau. Para resolver esses sistemas devemos resolver cada inequação separadamente e depois achar a intersecção das respectivas soluções.
Exemplos:
1) Resolver o sistema de inequações:
2 2 2 8 6 5 0 x x x x + ≥ − + < 2 2 2 8 6 (I) 5 0 (II) + ≥ − + < x x x x
Disciplina: Matemática Prof. Diego Lima Página 7 de 7 2 2 2 2 Resolvendo (I): 2 8 6 6 8 0 6 4 1 8 4 8 ' 4 6 2 2 4 2 " 2 2 + ≥ − ⇒ + + ≥ ∆ = − ⋅ ⋅ ∆ = − = = − − ± = = − = = − x x x x x x x x Resolvendo (II): x+5<0 ⇒ x< −5
Fazendo a intersecção entre as soluções de (I) e (II), obteremos:
