Banach-Stone para os espaços C 0 (K, X)

(1)

Unifica¸

c˜

ao das generaliza¸

c˜

oes do teorema de

Banach-Stone para os espa¸

cos C

0 (K, X)

Fabiano Carlos Cidral

Tese apresentada

ao

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

da

Universidade de S˜

ao Paulo

para

obtenc

¸˜

ao do t´ıtulo

de

Doutor em Ciˆ

encias

Programa: Matem´atica

Orientador: Prof. Dr. El´oi Medina Galego

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CAPES. Junho de 2014

(2)

(3)

Unifica¸

c˜

ao das generaliza¸

c˜

oes do teorema de

Banach-Stone para os espa¸

cos C

0

(K, X)

(4)

(5)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus todas as oportunidades concedidas e as pessoas especiais que colocou no meu caminho. Como dizia Jorge Amado, “A vida me deu muito mais do que eu pedi e muito mais do que eu mereci”.

Aos meus pais, Antonio Carlos Cidral e Rose maria Back cidral, e ao meu irm˜ao, Felipe Carlos Cidral, que sempre me incentivaram em cada etapa da minha vida.

A minha namorada, Cristiane Warmling dos Santos, agrade¸co por todo amor, carinho, paciência e compreensão durante todo esse per´ıodo de muito estudo. Agrade¸co também, de maneira muito especial, a fam´ılia da Cristiane por todo carinho e apoio nessa trajetória dif´ıcil. Ao meu orientador, Professor Elói Medina Galego, por acreditar em mim e por todos os conhecimentos adquiridos durante essa caminhada. Agrade¸co também, a sua paciência em sanar todas a minhas dúvidas e a sua generosidade enorme.

Ao Professor da UFSC, Ivan Pontual Costa e Silva, pela amizade e confian¸ca que muito me ajudaram a prosseguir nesta caminhada nada fácil. Os seus ensinamentos e conselhos foram fundamentais em todas as etapas de minha forma¸cão acadêmica.

A Professora, Daniela Mariz Silva Vieira, pelo excelente curso de Espa¸cos de Banach ministrado no segundo semestre de 2012 e pela oportunidade de poder apresentar um semin´ario sobre o Teorema de Banach-Stone para os demais alunos.

A todos os meus amigos, em especial João Carlos Bez Batti, Lucas Ramiro Talarico, André Vanderlinde, Maur´ıcio Zahn, Michael Rincón, Estefhan Dazzi Wandekokem, Thiago de Brum e João Gon¸calves pela convivência, lealdade e compreensão.

A Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior pelo apoio financeiro. “A mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original.” Albert Einstein

(6)

(7)

Resumo

Dado um espa¸co localmente compacto Hausdorff K e um espa¸co de Banach X, C0(K, X)

representa o espa¸co de Banach das fun¸cões cont´ınuas em K com valores em X que se anulam no infinito com a norma do supremo. No presente trabalho, unificaremos e melhoraremos várias generaliza¸cões do teorema clássico de Banach-Stone para os espa¸cos C0(K, X) devidas

a Cambern, Amir, Behrends e Jarosz. No caso em que X = lp com 2 ≤ p < ∞, nossos

(8)

(9)

Abstract

Let C0(K, X) denote the Banach space of all X-valued continuous functions defined on the

locally compact Hausdorff space K which vanish at infinity, provided with the supremum norm. In the present work, we unify and strengthen several generalizations of the classical Banach-Stone theorem for C0(K, X) spaces due to Cambern, Amir, Behrends and Jarosz. In

(10)

(11)

Conte´

udo

Introdu¸c˜ao xiii

1 Preliminares 1

1.1 No¸c˜oes de topologia . . . 1

1.2 Espa¸cos de Banach . . . 7

1.2.1 Conceitos e resultados b´asicos . . . 7

1.2.2 Generaliza¸c˜oes do teorema de Banach-Stone . . . 13

1.3 Medidas vetoriais . . . 20

2 Propriedades do parˆametro λ(X) 25 2.1 Propriedades auxiliares . . . 25

2.2 Propriedade fundamental . . . 29

3 O bidual dos espa¸cos C0(K, X) 31 3.1 Resultados auxiliares . . . 31

3.2 Representa¸c˜ao do bidual de C0(K, X) . . . 33

4 Demonstra¸c˜ao do resultado principal para os espa¸cos C0(K, X) 35 4.1 Observa¸c˜oes iniciais . . . 35

4.2 Resultado principal . . . 37

4.3 Consequˆencias do resultado principal . . . 46

5 Sobre outra generaliza¸c˜ao do teorema de Banach-Stone obtida por Jarosz 49 5.1 O teorema de Jarosz . . . 49

(12)

(13)

Introdu¸

c˜

ao

Neste trabalho K indica o conjunto dos números reais R ou o conjunto dos números complexos C. Dado um espa¸co localmente compacto Hausdorff K e um espa¸co de Banach X, C0(K, X) representa o espa¸co de Banach das fun¸cões cont´ınuas em K com valores em

X que se anulam no infinito com a norma do supremo. No caso em que K é compacto, o espa¸co C0(K, X) será denotado por C(K, X). Em particular, se X = K, esses espa¸cos serão

identificados, respectivamente, por C0(K) e C(K). Al´em disso, se existe um isomorfismo T

de X em Y com kT−1k kT k < λ para algum 1 < λ < +∞, a nota¸cão será X <λ∼ Y . A bola unitária de X e a esfera unitária de X serão identificadas por BX e SX respectivamente.

O Teorema Clássico de Banach-Stone afirma que a topologia de um espa¸co compacto Hausdorff K é determinada pela estrutura métrica linear do espa¸co C(K). Mais precisamente, se K e L são espa¸cos compactos Hausdorff e existe uma isometria linear T de C(K) sobre C(L) então K e L são homeomorfos (nota¸cão, K ≈ L). Esse resultado foi obtido para os espa¸cos de fun¸cões com valores reais por Banach em 1933 para espa¸cos compatos métricos [4] e estendido por Stone em 1937 para espa¸cos compactos Hausdorff arbitrários [40]. Em 1947, Arens e Kelly provaram o resultado para os espa¸cos de fun¸cões com valores complexos [3]. Além disso, o resultado ainda é verdadeiro para os espa¸cos C0(K) e C0(L) essencialmente com

a mesma prova [5].

Amir [2] e Cambern [9, 10] generalizaram independentemente o teorema de Banach-Stone provando que

C0(K) <2

∼ C0(L) =⇒ K ≈ L. (1)

Note que (1) é maximal no sentido que 2 é o maior número poss´ıvel nesse contexto [11, 19]. Em 1974, Cambern [10] come¸cou a estudar se generaliza¸cões do teorema de Banach-Stone para espa¸cos de fun¸cões com valores vetoriais eram poss´ıveis. Sendo assim, ele obteve a

(14)

ent˜ao

C0(K, X) <√2

∼ C0(L, X) =⇒ K ≈ L. (2)

Obviamente (1) não é um corolário de (2). Onze anos depois, Cambern conseguiu a primeira extensão vetorial de (1) para espa¸cos compactos Hausdorff K e L. De fato, ele provou em [14, p. 244] que para todo espa¸co de Banach uniformemente convexo X,

C(K, X)<α∼ C(L, X) com α = 1 1 − δX(1)

=⇒ K ≈ L. (3)

Como δ_R(1) = 1/2, segue que (3) generaliza (1) para espa¸cos compactos Hausdorff K e L. Em 1988, Beherends e Cambern [7] concentraram suas aten¸c˜oes em isomorfismos com pequenas distor¸c˜oes entre espa¸cos C0(K, X). Dessa forma, eles melhoraram o teorema de

Cambern (3) mostrando que os espa¸cos uniformente convexos têm a propriedade isomórfica de Banach-Stone ( IBSP) [6]. Mais precisamente, eles demonstraram em [7, p. 24] que se λB−C(X∗) > 1 então C0(K, X) <α ∼ C0(L, X) com α = 11λB−C(X∗) 1 + 10λB−C(X∗) =⇒ K ≈ L. (4)

De fato, uma vez que ||T ||||T−1|| = 1 + δ < α e λB−C(X∗) > 1 ent˜ao δ satisfaz a condi¸c˜ao

0 < δ < λB−C(X

∗_{) − 1}

1 + 10λB−C(X∗)

. (5)

Logo, pelo Teorema 3.4 de [7], os espa¸cos uniformente convexos tˆem a propriedade IBSP pois 0 < 1 + δ

1 − 10δ < λB−C(X

∗_). ₍₆₎

Uma observa¸cão interessante é que a condi¸cão λB−C(X∗) > 1 coincide no caso real com o fato

que X ´e um espa¸co uniformemente n˜ao quadrado. Portanto, espa¸cos uniformente convexos X tem a propriedade λB−C(X∗) > 1 [7, p. 16].

Um ano depois, Jarosz [31] investigava -isometrias sobrejetivas entre espa¸cos de Banach de fun¸c˜oes cont´ınuas com valores vetoriais.

(15)

Como consequˆencia, ele obteve uma nova prova para o teorema de Behrends e Cambern (4) mas com uma constante α diferente. Jarosz definiu o parˆametro

µ(X) := sup{min{kx1+ λx2k : |λ| = 1} : x1, x2 ∈ SX}

e mostrou em [31, p. 313] que se µ(X∗) < 2 ent˜ao

C0(K, X) <α

∼ C0(L, X) com α =

4

2 + µ(X∗₎ =⇒ K ≈ L. (7)

Um fato importante é que a condi¸cão µ(X∗) < 2 é equivalente à condi¸cão λB−C(X∗) > 1, veja

Observa¸cão 2.2. O ponto de partida do nosso trabalho é a seguinte inequa¸cão envolvendo as constantes α do teorema de Behrends e Cambern (4) e do teorema de Jarosz (7):

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)

< 4

2 + µ(X∗₎, (8)

para todo espa¸co de Banach real X, veja Proposi¸c˜ao 2.3.

Dessa forma, tendo em vista (4), (7) e (8) é natural perguntar se é poss´ıvel melhorar ainda mais a constante do teorema de Jarosz (7) pelo menos no caso real. Com o objetivo de oferecer uma resposta afirmativa para o problema acima (Teorema 1 e Observa¸cão 2.5), precisamos considerar um novo parâmetro introduzido por Jarosz em [31].

Dado um espa¸co de Banach X, Jarosz associou ao espa¸co X o parˆametro λ(X) := inf{max{kx1+ λx2k : |λ| = 1} : x1, x2 ∈ SX}.

A condi¸cão λ(X) > 1 é equivalente a condi¸cão µ(X∗) < 2, veja Observa¸cão 2.2. Assim, podemos enunciar o principal resultado desse trabalho em termos da constante de Banach-Stone BS(X).

Teorema 1 Se X um espa¸co de Banach real com λ(X) > 1 ou um espa¸co de Banach complexo reflexivo com λ(X) > 1 ent˜ao λ(X) ≤ BS(X).

(16)

Teorema 1 foi inspirado por outro teorema de Jarosz. Em [31, p. 299], ele mostrou que se X é um espa¸co de Banach com λ(X) > 1 e K e L são espa¸cos métricos localmente compactos então

C0(K, X) <α

∼ C0(L, X) com α = λ(X) =⇒ K ≈ L. (9)

Nossa principal tarefa é estender o resultado de Jarosz (9) para espa¸cos localmente compactos Hausdorff arbitrários K e L no caso em que X é um espa¸co de Banach real ou um espa¸co de Banach complexo reflexivo.

A seguir destacaremos as principais consequˆencias do Teorema 1.

Primeiramente, observe que o resultado de Amir e Cambern (1) segue diretamente dele pois λ(K) = 2. Além disso, o resultado de Cambern (2) também segue imediatamente do Teorem 1, pois λ(X) = √2 para todo espa¸co de Hilbert X de dimensão finita maior do que ou igual a 2 [31, p. 298].

Para mostar que o Teorema 1 melhora o resultado de Cambern (3), provaremos na Observa¸c˜ao 2.1 que para todo espa¸co de Banach uniformemente convexo X com dimens˜ao maior do que ou igual a 2,

1 1 − δX(1)

< λ(X).

Mais ainda, Teorema 1 tamb´em melhora o resultado de Behrends e Cambern (4). De fato, mostraremos na Proposi¸c˜ao 2.4 que para todo espa¸co de Banach X com λB−C(X∗) > 1,

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)

< λ(X).

No caso em que X ´e um espa¸co de Banach real, Teorema 1 melhora o resultado de Jarosz (7) pois na Proposi¸c˜ao 2.5 demonstraremos que

4

2 + µ(X∗₎ < λ(X). (10)

No caso em que X ´e um espa¸co de Banach complexo reflexivo, o resultado de Jarosz (7) ´

e um corol´ario do Teorema 1 pois na Observa¸c˜ao 2.6 provaremos que para todo espa¸co de Banach X

(17)

4

2 + µ(X∗₎ ≤ λ(X). (11)

Finalmente, na Proposi¸c˜ao 2.7, mostraremos que o Teorema 1 ´e maximal para os espa¸cos de Banach X = lp com 2 ≤ p < ∞. Mais precisamente, mostraremos que

BS(X) = λ(X) = 21/p. (12) O restante do trabalho est´a organizado da seguinte maneira.

No cap´ıtulo 1, para fixarmos algumas nota¸cões e conceitos, lembraremos as no¸cões básicas de topologia, espa¸cos de Banach e medidas vetoriais. Nesse mesmo cap´ıtulo apresentaremos alguns resultados desses três tópicos que serão utilizados na tese.

No cap´ıtulo 2, apresentaremos propriedades importantes do parâmetro λ(X), sendo que a principal delas terá um papel primordial na demonstra¸cão do Teorema 1. No cap´ıtulo 3, introduziremos uma representa¸cão do bidual dos espa¸cos C0(K, X) análoga aquela obtida por

Cambern em [13] para os espa¸cos C(K, X). Esse resultado ser´a fundamental na prova do Teorema 1. No cap´ıtulo 4, provaremos o Teorema 1 e suas principais consequˆencias.

Finalmente, no cap´ıtulo 5, consideramos a ´ultima generaliza¸c˜ao do teorema de Banach-Stone para os espa¸cos C0(K, X) que encontramos na literatura. Ela foi obtida por Jarosz.

Então mostramos que no caso em que X e X∗ tenha a mesma constante de James, esse resultado também é uma consequência do teorema principal desta tese. A considera¸cão do caso em que X e X∗ não têm a mesma constante de James levou-nos a uma conjectura envolvendo essa constante de espa¸cos de Banach.

(18)

(19)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos algumas defini¸cões e resultados básicos da topologia geral que que serão utilizados de maneira impl´ıcita ao longo do nosso trabalho.

1.1 No¸

c˜

oes de topologia

Defini¸cão 1.1 Uma topologia em um conjunto X é uma cole¸cão τ de subconjuntos de X, chmados abertos de X, satisfazendo as seguintes condi¸cões:

(1) O conjunto vazio e o conjunto X pertencem a τ ; (2) Qualquer união de elementos de τ é um elemento τ ; (3) Qualquer interse¸cão finita de elementos de τ pertence a τ .

Neste caso, dizemos que (X, τ ) é um espa¸co topológico, que naturalmente abreviaremos para X quando não houver perigo de ambiguidade ou de imprecisão. Um subconjunto F de X é chamado de fechado se o seu complementar for aberto, isto é, X − F ∈ τ .

Defini¸cão 1.2 Sejam X e Y espa¸cos topológicos. Uma fun¸cão f : X → Y é cont´ınua quando, para todo aberto B em Y , a imagem inversa f−1(B) é um aberto em X.

Observa¸cão 1.3 A rela¸cão (g ◦f )−1(B) = f−1(g−1(B)) mostra que a composta g ◦f : X → Z de duas fun¸cões cont´ınuas f : X → Y e g : Y → Z é uma fun¸cão cont´ınua.

(20)

Defini¸cão 1.4 Sejam τ e τ0 duas topologias em X. Dizemos que τ é mais fina do que τ0 quando τ0 ⊂ τ , isto é, quando todo aberto segundo τ0 _{for necessariamente aberto segundo τ .}

Analogamente, dizemos que τ ´e menos fina do que τ0 quando τ ⊂ τ0.

Exemplo 1.5 Sejam S um conjunto arbitrário, X um espa¸co topológico e f : S → X uma fun¸cão. A cole¸cão τ das imagens inversas f−1(B) dos abertos B de X é uma topologia em S poisS λf −1_(B λ) = f−1( S λBλ) e f−1(B1) ∩ f−1(B2) ∩ · · · ∩ f−1(Bn) = f−1(B1∩ B2∩ · · · ∩ Bn).

A topologia τ ´e chamada topologia induzida em S pela fun¸c˜ao f : S → X.

Observa¸cão 1.6 Se S tem a topologia induzida pela fun¸cão f : S → X então, pela própria defini¸cão, a imagem inversa f−1(B) de cada aberto B de X é aberto em S. Sendo assim, f : S → X é cont´ınua. Além disso, qualquer outra topologia em S na qual f : S → X seja cont´ınua deve conter como abertos pelo menos os conjuntos f−1(B) com B aberto de X. Portanto, a topologia induzida por f : S → X é a menos fina dentre todas as topologias em S que tornam a fun¸cão f : S → X cont´ınua. Essa propriedade caracteriza a topologia induzida. Observa¸cão 1.7 O caso particular mais importante da topologia induzida é aquele em que S ⊂ X e f é a aplica¸cão inclusão i : S → X. Nessa situa¸cão, dado B ⊂ X aberto temos que i−1(B) = B ∩ S. Sendo assim, a topologia induzida por i : S → X em S tem como abertos as interse¸cões B ∩ S dos abertos B de X com o subconjunto S. Munido com essa topologia, S é chamado um subespa¸co do espa¸co topológico X.

Defini¸cão 1.8 Seja X um espa¸co topológico e x ∈ X. Dizemos que V é uma vizinhan¸ca de x quando existe um aberto U ⊂ X tal que x ∈ U ⊂ V . Quando a vizinhan¸ca V é um conjunto aberto, dizemos que V é uma vizinhan¸ca aberta de x.

Defini¸cão 1.9 Seja X um espa¸co topológico e x ∈ X. Dizemos que uma cole¸cão Vx de

subconjuntos de X ´e um sistema fundamental de vizinhan¸cas de x quando as seguintes condi¸c˜oes forem satisfeitas:

(1) Cada V em Vx ´e uma vizinhan¸ca de x;

(21)

Preliminares 3

Defini¸c˜ao 1.10 Se Vx ´e um sistema fundamental de vizinhan¸cas de um ponto x ∈ X e se os

elementos de Vx são conjuntos abertos, então dizemos que Vx é uma base local para o ponto

x ou que Vx ´e um sistema fundamental de vizinhan¸cas abertas de x.

Defini¸cão 1.11 Sejam X e Y espa¸cos topológicos. Um homeomorfismo h : X → Y é uma fun¸cão cont´ınua cuja inversa h−1 : Y → X também é uma fun¸cão cont´ınua.

A seguir, introduziremos o conceito de redes, que é uma generaliza¸cão do conceito de sequência muito útil na descri¸cão de topologias em geral. As redes foram introduzidas por E. Moore e H. Smith em 1922.

Defini¸cão 1.12 Um conjunto dirigido é um par (B, ≤) na qual ≤ é uma dire¸cão no conjunto B, isto é, uma rela¸cão em B tal que:

(1) β ≤ β para todo β ∈ B;

(2) Se β1, β2, β3 ∈ B, β1 ≤ β2 e β2 ≤ β3 ent˜ao β1 ≤ β3;

(3) Para todos β1, β2 ∈ B existe β3 ∈ B tal que β1 ≤ β3 e β2 ≤ β3.

Defini¸cão 1.13 Uma rede em um conjunto X é uma fun¸cão R : B → X, em que B é um conjunto dirigido. Usualmente se denota R(β) por xβ, e neste caso nos referimos à rede

(xβ)β∈B.

Defini¸c˜ao 1.14 Dizemos que uma rede (xβ)β∈Bno espa¸co topol´ogico X converge para x ∈ X

e neste caso escrevemos xβ → x, se para cada vizinhan¸ca U de x existe β0 ∈ B tal que xβ ∈ U

para todo β ≥ β0.

Exemplo 1.15 Sejam X um espa¸co topol´ogico, x ∈ X e Vx um sistema fundamental de

vizinhan¸cas de x. A rela¸c˜ao de continˆencia invertida U1 ≤ U2 ⇔ U2 ⊆ U1 torna Vx um

conjunto dirigido. Nesse caso, escolhendo xU ∈ U para cada U ∈ Vx, temos uma rede (xU)U ∈Vx

em X que converge para x.

Proposi¸cão 1.16 Sejam X e Y espa¸co topológicos. Uma fun¸cão Uma fun¸cão f : X → Y é cont´ınua se, e somente se, f (xβ) → f (x) para toda rede (xβ)β∈B em X tal que xβ → x.

(22)

Demonstra¸c˜ao. Veja a referˆencia [8, p. 356].

Os espa¸cos topol´ogicos mais interessantes satisfazem ainda a condi¸c˜ao de que pontos distintos podem ser “separados” por abertos disjuntos.

Defini¸cão 1.17 Um espa¸co topológico X é espa¸co de Hausdorff quando, dados dois pontos arbitrários x 6= y em X, existe abertos A, B ⊂ X tais que x ∈ A, y ∈ B e A ∩ B = ∅.

Proposi¸cão 1.18 Se X é um espa¸co topológico de Hausdorff então {x} é um subconjunto fechado para todo x ∈ X.

Proposi¸cão 1.19 (Unicidade do limite) Um espa¸co X é de Hausdorff se, e somente se, toda rede em X converge para no máximo um elemento de X.

Defini¸cão 1.20 Seja X um espa¸co topológico e S ⊂ X. Um ponto x ∈ X é aderente a S quando toda vizinhan¸ca de x em X contém pelo menos um ponto de S.

O conjunto dos pontos de X que são aderentes a S é chamado fecho de S cuja nota¸cão é S. Defini¸cão 1.21 Seja X um espa¸co topológico, V um espa¸co vetorial e f : X → V uma fun¸cão. O suporte de f é o conjunto supp(f ) = {x ∈ X / f (x) 6= 0}.

Defini¸cão 1.22 Seja X um espa¸co topológico e S ⊂ X. Um ponto x ∈ X é um ponto de acumula¸cão de S quando toda vizinhan¸ca de x em X contém pelo menos um ponto de S distinto do ponto x. O conjunto dos pontos de acumula¸cão de S é chamado derivado de S cuja nota¸cão é S0.

Defini¸cão 1.23 Seja X um espa¸co topológico e S ⊂ X. Um ponto x ∈ X é um ponto isolado de S quando x ∈ X − S0.

(23)

Preliminares 5

Exemplo 1.24 Se X é um espa¸co topológico e A ⊆ X é um subconjunto finito então seus elementos são pontos isolados.

Defini¸cão 1.25 Seja X um espa¸co topológico e S ⊂ X. Uma cobertura de S é uma fam´ılia C = (Cλ)λ∈Lde subconjuntos de X com S ⊂S_λ∈LCλ. Dizemos que uma cobertura C é aberta

(fechada) quando os conjuntos Cλ s˜ao abertos (fechados). Do mesmo modo, dizemos que C

é uma cobertura finita, enumerável ou não-enumerável quando o conjunto L de ´ındices é finito, enumerável ou não-enumerável.

Defini¸c˜ao 1.26 Seja X um espa¸co topol´ogico, S ⊂ X e C = (Cλ)λ∈L uma cobertura de S.

Uma subcobertura de C ´e uma subfam´ılia C0 = (Cλ0)_λ0_∈L0 com L0 ⊂ L que ainda ´e uma

cobertura de S.

Defini¸cão 1.27 Um espa¸co topológico X é compacto quando toda cobertura aberta de X possui uma subcobertura finita. Um subconjunto S ⊂ X de um espa¸co topológico X é um subconjunto compacto quando S com a topologia induzida de X é um espa¸co compacto. Exemplo 1.28 Todo espa¸co topológico finito é evidentemente compacto.

Proposi¸cão 1.29 Seja X um espa¸co topológico compacto. Se F ⊂ X é fechado então F é compacto.

Proposi¸cão 1.30 Seja X um espa¸co topológico de Hausdorff. Se K ⊂ X é um subconjunto compacto então K é fechado em X.

Proposi¸cão 1.31 Sejam X e Y espa¸cos topológicos e f : X → Y uma fun¸cão cont´ınua. Se K ⊂ X é um subconjunto compacto de X então f (K) é um subconjunto compacto de Y .

(24)

Proposi¸cão 1.32 Se X é um espa¸co topológico compacto então toda fun¸cão real cont´ınua f : X → R é limitada e atinge os seus extremos.

Defini¸cão 1.33 Um espa¸co topológico X é normal quando para todo par de conjuntos fe-chados F, G ⊂ X com F ∩ G = ∅ existem abertos U, V ∈ X tais que F ⊂ U , G ⊂ V e U ∩ V = ∅.

Proposi¸cão 1.34 (Lema de Urysohn) Se X é um espa¸co normal e F, G ⊂ X são conjuntos fechados disjuntos então existe uma fun¸cão cont´ınua f : X → [0, 1] tal que f (x) = 0 para todo x ∈ F e f (x) = 1 para todo x ∈ G.

Defini¸cão 1.35 Um espa¸co topológico X é localmente compacto quando todo ponto x ∈ X possui uma vizinhan¸ca compacta.

Exemplo 1.36 Todo espa¸co topológico compacto X é localmente compacto pois o espa¸co inteiro é uma vizinhan¸ca compacta de qualquer um dos seus pontos.

Proposi¸cão 1.37 Se X é um espa¸co localmente compacto Hausdorff então as vizinhan¸cas compactas de cada ponto x ∈ X constituem um sistema fundamental de vizinhan¸cas.

(25)

Preliminares 7

1.2 Espa¸

cos de Banach

1.2.1 Conceitos e resultados b´

asicos

Para facilitar o leitor lembraremos nesta subse¸cão alguns resultados bem conhecidos da geome-tria de espa¸cos de Banach. Alguns deles serão usados mais para frente sem men¸cão implicita. Defini¸cão 1.38 Seja X é um espa¸co vetorial. Uma norma em X é uma fun¸c˜_{ao || · || : X → R} que satisfaz as seguintes propriedades:

(a) ||x|| ≥ 0 para todo x ∈ X; (b) ||x|| = 0 se e somente se x = 0;

(c) ||λx|| = |λ|||x|| para todo λ ∈ K e x ∈ X; (d) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| para todo x, y ∈ X

Observa¸cão 1.39 A desigualdade (d) é chamada de desigualdade triangular. O espa¸co vetorial X munido com a norma || · || é chamado de espa¸co normado. O espa¸co X é chamado de espa¸co de Banach se for completo com rela¸cão à métrica natural d(x, y) = x − y.

A seguir, veremos alguns exemplos de espa¸cos de Banach.

Exemplo 1.40 Sejam K um espa¸co localmente compacto Hausdorff e X um espa¸co de Ba-nach. Vamos denotar por C0(K, X) o espa¸co de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas definidas em K e

com valores em X que se anulam no infinito, isto ´e, para cada existe um compacto M ⊂ K tal que ||f (x)|| < para todo x /∈ M . Defina em C0(K, X) a fun¸c˜ao || · || : C0(K, X) → R

dada por

||f || = sup

x∈K

||f (x)||.

Sendo assim, || · || : C0(K, X) → R ´e uma norma em C0(K, X) e C0(K, X) ´e um espa¸co de

Banach.

Exemplo 1.41 Dado 1 ≤ p < ∞, seja lp = {x = (xj)j∈N⊂ K /

P∞

j=1|xj|p < ∞}. Defina em

lp a fun¸c˜ao || · || : lp → R dada por

||x|| = ( ∞ X j=1 |xj|p) 1 p.

(26)

Exemplo 1.42 Seja l∞ = {x = (xj)j∈N ⊂ K / sup |xj| < ∞}. Defina em l∞ a fun¸c˜ao

|| · || : l∞→ R dada por ||x|| = sup |xj|. Sendo assim, || · || : l∞→ R ´e uma norma em l∞ e l∞

´

e um espa¸co de Banach.

Exemplo 1.43 Seja (X, Σ, µ) um espa¸co de medida, ou seja, X ´e um conjunto n˜ao-vazio, Σ ´

e uma σ-álgebra de subconjuntos de X e µ : Σ → [0, ∞] é uma medida. Dado 1 ≤ p < ∞, denotaremos por Lp(X, Σ, µ) o conjunto das classes de equivalências das fun¸cões mensuráveis

f : X → K tais que RX|f |

p_{dµ < ∞ dada pela rela¸c˜}_{ao f ∼ g quando f (x) = g(x) µ-quase}

sempre. Condidere a fun¸c˜ao || · || : Lp(X, Σ, µ) → R dada por

||[f ]||p = (

Z

X

|f |p_dµ)1p_.

Sendo assim,|| · || : Lp(X, Σ, µ) → R ´e uma norma e Lp(X, Σ, µ) ´e um espa¸co de Banach.

Defini¸cão 1.44 Dois espa¸cos de Banach X e Y são isomorfos quando existe uma aplica¸cão linear cont´ınua bijetiva T : X → Y cuja inversa também é uma aplica¸cão linear cont´ınua. Neste caso, a aplica¸cão T é uma isomorfismo.

Defini¸cão 1.45 Sejam X e Y espa¸cos de Banach isomorfos e T : X → Y um isomorfismo. A distor¸cão de T é o número ||T ||||T−1||.

Defini¸c˜ao 1.46 A distˆancia de Banach-Mazur entre espa¸cos de Banach X e Y isomorfos ´

e d(X, Y ) = inf{ ||T || ||T−1|| : T : X→Y ´e isomorfismo}.

Defini¸cão 1.47 Dois espa¸cos de Banach X e Y são isometricamente isomorfos quando existe um isomorfismo T : X → Y tal que, para todo x ∈ X, tem-se ||T (x)|| = ||x||. Neste caso, a aplica¸cão T é uma isometria.

Defini¸cão 1.48 Sejam X um espa¸co de Banach. O dual de X, representado por X∗, é o conjunto de todos os funcionais lineares de X, isto é, o conjunto de todas as aplica¸cões lineares cont´ınuas φ : X → R.

(27)

Preliminares 9

Proposi¸cão 1.50 Se 1 ≤ p < ∞ então o dual de lp é isometricamente isomorfo à lq em que

1 < q ≤ ∞ e 1_p +1_q = 1.

Defini¸c˜ao 1.51 Seja X um espa¸co de Banach. O dual de X∗, representado por X∗∗, ´e o bidual de X.

Proposi¸cão 1.52 Seja X um espa¸co de Banach e J : X → X∗∗ dada por J (x)(φ) = φ(x). A aplica¸cão J é um isomorfismo isométrico entre X e um subespa¸co de X∗∗.

Observa¸cão 1.53 A aplica¸cão J : X → X∗∗ é chamada imersão canônica.

Defini¸cão 1.54 Um espa¸co de Banach X é chamado reflexivo quando J é sobrejetora. Exemplo 1.55 Dado 1 < p < ∞, o espa¸co lp é reflexivo.

Exemplo 1.56 Os espa¸cos l1 e l∞ n˜ao s˜ao espa¸cos reflexivos.

Proposi¸cão 1.57 Um espa¸co de Banach X é reflexivo se e somente X∗ também é reflexivo. Demonstra¸cão. Veja a referência [8, p. 94].

Teorema 1.58 Se K é um espa¸co topológico localmente compacto então existe um espa¸co topológico compacto tal que C0(K)∗∗ ∼= C(Z). Além disso, se K0 é o conjunto dos pontos

isolados de Z então cada ponto de K0 é da forma tx para algum x ∈ K, em que t : K → Z é

(28)

Defini¸cão 1.59 Seja X é um espa¸co vetorial. Um produto interno em X é uma fun¸cão <>: X × X → R que satisfaz as seguintes propriedades:

(a) < x + y, z >=< x, z > + < y, z >; (b) < λx, z >= λ < x, z >;

(c) < x, z > =< z, x >; (d) < x, x >≥ 0;

(e) < x, x >= 0 se e somente se x = 0

Defini¸c˜ao 1.60 Um espa¸co vetorial X com produto interno ´e um espa¸co de Hilbert quando for completo com a norma definida pelo produto interno.

Exemplo 1.61 l2 ´e um espa¸co de Hilbert pois < (xj)j∈N, (yj)j∈N >=

P∞

j=1xjyj define um

produto interno.

Proposi¸cão 1.62 Todo espa¸co de Hilbert X é reflexivo. Demonstra¸cão. Veja a referência [8, p. 128].

Teorema 1.63 (Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espa¸co normado e M um subespa¸co de X. Se φ0 ∈ M∗ ent˜ao existe φ ∈ X∗ tal que φ(x) = φ0(x) para todo x ∈ M e ||φ|| = ||φ0||.

Corol´ario 1.64 Seja X um espa¸co normado. Dado x0 ∈ X n˜ao nulo, existe φ ∈ X∗ tal que

(29)

Preliminares 11

Defini¸c˜ao 1.65 Um espa¸co de Banach X ´e chamado uniformemente convexo se para todo 0 < ≤ 2 existe 0 < δ < 1 tal que para todo x, y ∈ X satisfazendo

||x|| = ||y|| = 1 e ||x − y|| ≥ temos x + y 2 ≤ 1 − δ.

Defini¸cão 1.66 Seja X um espa¸co de Banach. Dado 0 ≤ ≤ 2, o módulo de convexidade de X é definido por

δX() = inf{1 −

1

2||x + y|| / ||x|| = ||y|| = 1 e ||x − y|| ≥ }. Proposi¸cão 1.67 Se X é um espa¸co de Banach e 0 ≤ 1 < 2 ≤ 2 então

δX(2) − δX(1)

2 − 1

≤ 1 − δX(1) 2 − 1

.

Demonstra¸c˜ao. Veja a referˆencia [28, Teorema 3.1].

Proposi¸cão 1.68 Se X é um espa¸co de Banach uniformemente convexo então o módulo de convexidade δX é estritamente crescente em [0, 2].

Proposi¸cão 1.69 Se X é um espa¸co de Banach, então para todo 0 < ≤ 2,

δX() ≤ 1 −

r 1 −

2

4. Demonstra¸c˜ao. Veja a referˆencia [38, p. 15].

(30)

Proposi¸c˜ao 1.70 (Desigualdades de Clarkson) Se 2 ≤ p < ∞ e x, y ∈ Slp ent˜ao

2(kxkp+ kykp)q−1 ≤ kx + ykq_{+ kx − yk}q

em que 1/p + 1/q = 1. Por outro lado, se 1 < p ≤ 2 e x, y ∈ Slp ent˜ao

kx + ykq_{+ kx − yk}q _{≤ 2[kxk}p_{+ kyk}p_]q−1

em que 1/p + 1/q = 1.

Como consequência das desigualdades de Clarkson, segue os próximos exemplos. Exemplo 1.71 Se 1 < p < ∞ então lp é uniformemente convexo.

Exemplo 1.72 Se 1 < p < ∞ ent˜ao Lp(X, Σ, µ) ´e uniformemente convexo.

Proposi¸cão 1.73 Se X é espa¸co de Hilbert então X é uniformemente convexo. Demonstra¸cão. Veja a referência [27, p. 1].

Proposi¸cão 1.74 Se X é um espa¸co uniformemente convexo então X é reflexivo.

Defini¸cão 1.75 Um espa¸co de Banach X é uniformemente não quadrado quando existe 0 < δ < 1 tal que para todo x, y ∈ X com ||x|| = ||y|| = 1 temos que

||x + y|| ≤ 2(1 − δ) ou ||x − y|| ≤ 2(1 − δ). Exemplo 1.76 Se 1 < p < ∞ então lp é uniformemente não quadrado.

(31)

Preliminares 13

Exemplo 1.77 O espa¸co de Banach l1 não é um espa¸co uniformemente não quadrado.

Proposi¸cão 1.78 Se X é um espa¸co uniformemente convexo então X é uniformemente não quadrado.

Demonstra¸c˜ao. Segue imediatamente da defini¸c˜ao.

A seguir, vamos recordar uma topologia muito importante no estudo dos espa¸cos de Banach. Defini¸cão 1.79 Seja X um espa¸co de Banach e J : X → X∗∗a imersão canônica. A topologia fraca-estrela* de X∗ é a topologia menos fina tal que todos os funcionais lineares na imagem J (X) são cont´ınuos.

Proposi¸cão 1.80 Se X um espa¸co de Banach então X∗ munido com a topologia-fraca* é um espa¸co topológico Hausdorff.

1.2.2 Generaliza¸

c˜

oes do teorema de Banach-Stone

Nesta subse¸cão apresentamos os conceitos e principais resultados envolvendo as generaliza¸cões do teorema de Banach-Stone desde a década de 40.

Teorema 1.81 (Teorema de Banach-Stone) Sejam K e L são espa¸cos topológicos localmente compactos Hausdorff. Se T : C0(K) → C0(L) são isometricamente isomorfismos então K e L

s˜ao homeomorfos.

Observa¸cão 1.82 O Teorema Clássico de Banach-Stone foi obtido para os espa¸cos de fun¸cões com valores reais por Banach em 1933 para espa¸cos compatos métricos [4] e estendido por Stone em 1937 para espa¸cos compactos Hausdorff arbitrários [40]. Em 1947, Arens e Kelly provaram o resultado para os espa¸cos de fun¸cões com valores complexos [3].

(32)

A primeira generaliza¸cão do Teorema de Banach-Stone foi obtida, independentemente, pelos matemáticos Amir [2] e Cambern [9, 10]. Eles mostraram que não era necessário que os espa¸cos fossem isometricamente isomorfos. Na verdade, basta que os espa¸cos sejam isomorfos com distor¸cão menor do que 2. Esse resultado ficou conhecido como o Teorema de Amir-Cambern. Teorema 1.83 (Teorema de Amir-Cambern) Sejam K e L são espa¸cos localmente compactos Hausdorff. Se T : C0(K) → C0(L) é um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| < 2 ent˜ao K e L s˜ao homeomorfos.

Demonstra¸c˜ao. Veja as referˆencias [2, p. 206], [9, p. 396] e [10, p. 1062].

Observa¸cão 1.84 Cambern provou que 2 é o maior número poss´ıvel nesse contexto exibindo em [11] dois espa¸cos localmente compactos Hausdorff K e L com K compacto e L não compacto e um isomorfismo T : C0(K) → C0(L) tal que ||T ||||T−1|| = 2. Um contra-exemplo para o

caso em que K e L s˜ao compactos ´e apresentado por Cohen em [19].

Na década de 70, Cambern [12] obteve o primeira generaliza¸cão vetorial para o teorema de Banach-Stone considerando espa¸cos de Hilbert de dimensão finita maior do que 2. Nesse caso, basta que os espa¸cos sejam isomorfos com distor¸cão menor do que √2.

Teorema 1.85 Sejam K e L espa¸cos localmente compactos Hausdorff e H espa¸co de Hilbert de dimens˜ao finita maior do que 1. Se T : C0(K, H) → C0(L, H) ´e um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| <√2 ent˜ao K e L s˜ao homeomorfos.

(33)

Preliminares 15

Em 1985, Cambern obteve uma extensão vetorial do teorema de Banach-Stone para espa¸cos compactos Hausdorff K e L considerando espa¸cos de Banach uniformemente convexo X. Teorema 1.86 Sejam K e L espa¸cos topológicos compactos Hausdorff e X um espa¸co de Banach uniformemente convexo. Se T : C(K, X) → C(L, X) é um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| < (1 − δX(1))−1

ent˜ao K e L s˜ao homeomorfos.

Observa¸c˜ao 1.87 Como δ_R(1) = 1/2, Teorema 1.86 generaliza o teorema de Amir-Cambern para espa¸cos compactos Hausdorff K e L.

Observa¸cão 1.88 O Teorema 1.86 tem importância crucial nesse trabalho. Utilizaremos as técnicas de demonstra¸cão desse resultado para provar o teorema principal no cap´ıtulo 4. Além disso, necessitamos da generaliza¸cão de um argumento que será discutida no cap´ıtulo 3. Defini¸cão 1.89 Um espa¸co de Banach X possui a propriedade isomórfica de Banach-Stone (IBSP) se existe α > 1 tal que para todos espa¸cos localmente compactos Hausdorff K e L e para todos isomorfismos T : C0(K, X) → C0(L, X) com ||T || ||T−1|| < α temos que os

espa¸cos K e L s˜ao homeomorfos.

Observa¸c˜ao 1.90 Note que, para cada espa¸co de Banach X que possui IBSP, os poss´ıveis valores de α tem um limite superior. De fato, inspirados por Cambern em [10], considere

K = {−1/n : n ∈ N} ∪ {0} ∪ {n : n ∈ N} e

L = {−1/n : n ∈ N} ∪ {0} ∪ {1/n : n ∈ N}. Defina T : C0(K, X) → C(L, X) dada por

(34)

T (g)(x) =          g(0) se x = 0, g(n) + g(−1/n) se x = 1/n, −g(n) + g(−1/n) se x = −1/n. (1.1)

Sendo assim, é fácil ver kT kkT−1k = 2 e K não é homeomorfo a L. Essa observa¸cão nos motiva a introduzir a seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 1.91 A constante de Banach-Stone BS(X) de um espa¸co de Banach X que possui IBSP é o maior 1 < α ≤ 2 que satisfaz a Defini¸cão 1.89.

Observa¸cão 1.92 Note que um número real 1 < α ≤ 2 satisfaz a Defini¸cão 1.89 para algum espa¸co de Banach X se e somente se 1 < α ≤ BS(X).

Defini¸cão 1.93 Seja X um espa¸co de Banach. A constante de Behrends-Cambern é o número

λB−C(X) = inf{d(l12, X 0

) : X0 ⊂ X, dim(X0) = 2}, em que l2

1 ´e o espa¸co K2 com a norma do l1.

Em 1988, Beherends e Cambern mostraram em [7] que os espa¸cos uniformente convexos tem a propriedade IBSP.

Teorema 1.94 Sejam K e L espa¸cos compactos Hausdorff e X um espa¸co de Banach com λB−C(X∗) > 1. Se existe um isomorfismo T : C(K, X) → C(L, X) que satisfaz a condi¸c˜ao

||T || ||T−1|| < 11λB−C(X∗)/(1 + 10λB−C(X∗)),

então K e L são espa¸cos homeomorfos. Demonstra¸cão. Veja a referência [7, p. 25].

Observa¸cão 1.95 A condi¸cão λB−C(X∗) > 1 coincide no caso real com o fato que X é

um espa¸co uniformemente n˜ao quadrado. Portanto, espa¸cos uniformente convexos X tem a propriedade λB−C(X∗) > 1, veja [7, p. 16].

(35)

Preliminares 17

Defini¸cão 1.96 Seja X um espa¸co de Banach. A constante de James de X é o número J (X) = sup{min{||x1+ x2||, ||x1− x2||} : x1, x2 ∈ SX}.

Proposi¸cão 1.97 Se X é um espa¸co de Banach de dimensão maior ou igual a 2, então√2 ≤ J (X) ≤ 2.

Proposi¸cão 1.98 Se X é um espa¸co de Banach então temos que

1 + (J (X) − 1)2 ≤ J(X∗) ≤ 1 +pJ (X) − 1. Demonstra¸c˜ao. Veja a referˆencia [41, p. 7].

Proposi¸cão 1.99 Se X é um espa¸co de Banach com dimensão maior ou igual a 2 então

J (X) = sup{ ∈ (0, 2) : δX() ≤ 1 − /2}.

Defini¸cão 1.100 Seja X um espa¸co de Banach. A constante de Schäffer de X é o número

S(X) = inf{max{||x1+ x2||, ||x1− x2||} : x1, x2 ∈ SX}.

Proposi¸cão 1.101 Se X é um espa¸co de Banach com dimensão maior ou igual a 2, então J (X) · S(X) = 2.

Demonstra¸c˜ao. Veja a referˆencia [25, p. 4] e [41, p. 608].

(36)

Proposi¸cão 1.102 Se X é um espa¸co de Banach então J (X) = J (X∗∗). Demonstra¸cão. Veja a referência [41, p. 608].

Defini¸c˜ao 1.103 Dado um espa¸co de Banach X, associamos ao espa¸co X o parˆametro

µ(X) := sup{min{kx1+ λx2k : |λ| = 1} : x1, x2 ∈ SX}.

Em 1989, Jarosz introduziu esse parˆametro e obteve uma nova prova do teorema de Behrends e Cambern.

Teorema 1.104 Sejam K e L espa¸cos compactos Hausdorff e X um espa¸co de Banach com µ(X∗) < 2. Se T : C(K, X) → C(L, X) ´e um isomorfismo tal que

||T || ||T−1|| < 4/(2 + µ(X∗)), ent˜ao K e L s˜ao espa¸cos homeomorfos.

Observa¸cão 1.105 A condi¸cão µ(X∗) < 2 é equivalente à condi¸cão λB−C(X∗) > 1, veja

Proposi¸c˜ao 1.111.

Observa¸cão 1.106 Além de obter uma nova demonstra¸cão para o teorema de Behrends e Cambern, Jarosz melhorou o teorema pois, pela Proposi¸cão 2.3,

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)

< 4 2 + µ(X∗₎

para todo espa¸co de Banach real X.

Defini¸c˜ao 1.107 Dado um espa¸co de Banach X, associamos ao espa¸co X o parˆametro λ(X) := inf{max{kx1+ λx2k : |λ| = 1} : x1, x2 ∈ SX}.

(37)

Preliminares 19

Observa¸c˜_{ao 1.108 Em particular, λ(K) = 2, veja a referˆencia [31, p. 298].}

Observa¸cão 1.109 Esse parâmetro também foi introduzido por Jarosz em 1989. Ele será fundamental ao longo do trabalho. No próximo cap´ıtulo, provaremos algumas das suas pro-priedades mais importantes.

Observa¸cão 1.110 Além disso, dado um espa¸co de Banach X, Jarosz definiu em [31] o parâmetro λ0(X) := inf d(X2, l2∞), em que X2 representa todos os subespa¸cos de dimensão 2

de X e l2

∞ ´e o espa¸co K2 com a norma do l∞.

A próxima proposi¸cão relaciona todos esses parâmetros.

Proposi¸cão 1.111 Seja X um espa¸co de Banach. As seguintes afirma¸cões são verdadeiras: (a) µ(X) < 2 se, e somente se, λB−C(X) > 1.

(b) λ0(X) > 1 se, e somente se, λB−C(X∗) > 1.

(c) µ(X) λB−C(X) ≥ 2.

(d) λB−C(X∗) ≤ λ0(X).

(e) 2λ0(X)/1 + λ0(X) ≤ λ(X) ≤ λ0(X).

Proposi¸c˜ao 1.112 Seja X um espa¸co de Banach. Se λB−C(X∗) > 1 ent˜ao

λ0(X∗) = λB−C(X∗).

(38)

Proposi¸cão 1.113 Se X é um espa¸co de Hilbert de dimensão maior que 1 então λ(X) =√2. Demonstra¸cão. Veja a referência [31, p. 298].

Proposi¸c˜ao 1.114 Existe um espa¸co de Banach real X de dimens˜ao 2 satisfazendo:

(a) λ(X) =p8/3. (b) λ(X∗) = 1 + 1/√2

Demonstra¸c˜ao. Veja as referˆencias [33, p. 280] e [1, Exemplo 24].

Proposi¸cão 1.115 Se X é um espa¸co de Banach que satisfaz µ(X) < 2 então temos que

δX∗(µ(X∗)) = 1 − µ(X∗)/2.

1.3 Medidas vetoriais

Defini¸cão 1.116 Sejam K um conjunto, A uma σ-álgebra de K e X um espa¸co normado. Uma fun¸cão µ : A → X é uma medida vetorial quando, para qualquer sequência (An)n∈N

de elementos dois a dois disjuntos de A, temos que µ(P∞

n=1An) =

P∞

n=1µ(An).

Defini¸cão 1.117 Sejam K um conjunto, A uma σ-álgebra de K, X um espa¸co de Banach e µ : A → X uma medida vetorial. A varia¸cão de µ é a fun¸cão |µ| definida em A tal que |µ|(A) = supPn

k=1||µ(Ak)||, em que o supremo ´e considerado sob todas as parti¸c˜oes finitas

{A1, A2, · · · , An} de A em A. Al´em disso, se |µ|(K) < ∞, dizemos que µ tem varia¸c˜ao

(39)

Preliminares 21

Defini¸cão 1.118 Sejam K um conjunto, A uma σ-álgebra de K e X um espa¸co de Banach. Uma fun¸cão f : K → X é simples se existem x1, x2, · · · , xn ∈ X e A1, A2, · · · , An ∈ A tais

que f =Pn

k=1χAkxk.

Observa¸cão 1.119 O conjunto S(K, X) de todas as fun¸cões simples de K em X é um espa¸co vetorial com as opera¸cões usuais. Além disso, a fun¸c˜_{ao || · || : S(K, X) → R dada por} ||f || = sup ||f (x)|| é uma norma em S(K, X).

Defini¸cão 1.120 Sejam K um conjunto, A uma σ-álgebra de K e X um espa¸co de Banach. Uma fun¸cão f : K → X é mensurável se existe uma sequência (fn)n∈N de fun¸cões simples

tal que fn → f pontualmente.

Proposi¸cão 1.121 Sejam K um conjunto, A uma σ-álgebra de K e X um espa¸co de Banach. Se (fn)n∈N é uma sequência de fun¸cões mensuráveis de K em X convergindo pontualmente

para f então f é mensurável.

Medidas vetoriais em duais de espa¸cos de Banach desempenham um papel fundamental no estudo de funcionais lineares cont´ınuos definidos em espa¸cos de fun¸c˜oes com valores vetoriais. Sejam K um conjunto, A uma σ-´algebra de K, X um espa¸co de Banach e µ : A → X∗ uma medida vetorial limitada. Dada f =Pn

k=1χAkxk em S(K, X) defina φ(f ) =

Pn

k=1µ(Ak)(xk).

Não é dif´ıcil verificar que φ é um funcional linear cont´ınuo em S(K, X) tal que ||φ|| = |µ|(K). Seja S(K, X) o complemento de S(K, X), isto é, o espa¸co das fun¸cões totalmente mensuráveis. Dessa forma, existe uma única extensão φ de φ tal que φ(f ) =R f dµ em que f ∈ M (K, X) e ||φ|| = ||φ||.

Dado um espa¸co topológico K, a menor σ-álgebra B(K) formada por todos os conjun-tos aberconjun-tos de K é chamada σ-álgebra de Borel. Os elementos de B(K) são chamados borelianos de K e uma medida definida em B(K) é chamada medida de Borel.

O próximo conceito está relacionado a medidas de Borel e será fundamental para o nosso estudo.

(40)

Defini¸cão 1.122 Seja K um espa¸co topol´_{ogico. Uma medida µ : B(K) → R é regular} quando µ(B) = inf{µ(U ) / U é aberto e B ⊂ U } = sup{µ(C) / C é compacto e C ⊂ B} para todo B ∈ B(K). Além disso, uma medida vetorial de Borel µ é regular quando |µ| é regular. Observa¸cão 1.123 Dado um espa¸co de Banach X, o conjunto M (K, X) das medidas de Borel µ : B(K) → X regulares de varia¸cão limitada é um espa¸co vetorial com as opera¸cões usuais. Além disso, a fun¸c˜_{ao || · || : M (K, X) → R dada por ||µ|| = |µ|(K) é uma norma em} M (K, X).

Proposi¸c˜ao 1.124 Sejam K um espa¸co de Banach localmente compacto Hausdorff e X um espa¸co de Banach. Dado f ∈ C0(K, X), existe uma sequˆencia (fn)n∈Nem S(K, X) convergindo

uniformemente para f tal que ||fn|| ≤ ||f || para todo n ∈ N.

Dado um espa¸co localmente compacto Hausdorff K e um espa¸co de Banach X, segue da proposi¸c˜ao 1.124 que C0(K, X) ⊂ S(K, X). Dessa forma, se φ ´e um funcional linear cont´ınuo

definido em C0(K, X) ent˜ao, pelo teorema de Hahn-Banach, existe φ funcional linear cont´ınuo

definido em S(K, X) tal que ||φ|| = ||φ||. Portanto, podemos associar a φ uma medida vetorial µ : B(K) → X∗ tal que µ(A)(v) = φ(χAv) em que A ∈ B(K) e v ∈ X. N˜ao ´e dif´ıcil verificar

que ||φ|| = |µ|(K) e φ(f ) =R f dµ em que f ∈ C0(K, X). Note que φ não é única, assim como

a medida µ correspondente. No entanto, I. Singer mostrou que dentre todas as poss´ıveis µ, existe apenas uma que pertence a M (K, X). Esse ´e o resultado do pr´oximo teorema.

Teorema 1.125 (Teorema de Representa¸c˜ao de Singer) Existe um isomorfismo isom´etrico entre os espa¸cos C0(K, X)∗ e M (K, X∗) tal que para cada φ ∈ C0(K, X)∗ existe uma medida

µ ∈ M (K, X∗) satisfazendo φ(f ) =R f dµ em que f ∈ C0(K, X) e ||φ|| = |µ|(K).

(41)

Preliminares 23

Observa¸c˜ao 1.126 Em particular, segue que M (K) ∼= C0(K)∗. Uma vez que C0(K) ´e um

M -espa¸co abstrato, segue que M (K) ´e um L1-espa¸co abstrato, veja [34, p. 25]. Portanto,

M (K) ´e isometricamente isomorfo a L1(µ), veja [34, p. 135].

Observa¸c˜ao 1.127 M (K) tamb´em ´_{e um ideal fechado no espa¸co m(K, B(K), R) das medidas} de Borel, veja [34, p. 46].

Lema 1.128 Sejam (Y, Σ) e (Y0, Σ0) espa¸cos mensuráveis, M e M0_{ideais fechados em m(Y, Σ, R)} e m(Y0, Σ0_{, R), respectivamente. Se existe um isomorfismo isométrico T : M → M}0 então, para cada espa¸co de Banach X, existe um isomorfismo isométrico TX : MX → MX0 em que MX é o

espa¸co de Banach das medidas de Σ em X com varia¸cão limitada (respectivamente M_X0 ). Demonstra¸cão. Veja a referência [13, p. 54].

Proposi¸cão 1.129 Se X é um espa¸co de Banach então L1(µ, X) é isometricamente isomorfo

ao produto tensorial injetivo L1(µ) ˆ⊗X.

Lema 1.130 O espa¸co de Banach L(X∗, M (X)∗) ´e isometricamente isomorfo a [X∗⊗M (K)]ˆ ∗_.

Defini¸cão 1.131 Sejam K um conjunto, A uma σ-álgebra de K e X um espa¸co de Banach. Uma medida vetorial µ : A → X é absolutamente cont´ınua com rela¸cão a uma medida positiva λ : A → R e denotamos µ λ quando limλ(A)→0µ(A) = 0.

Observa¸cão 1.132 Se (K, Σ, λ) é um espa¸co de medida e X um espa¸co de Banach, M (λ, X) denota o espa¸co das medidas vetoriais em Σ com valores em X de varia¸cão limitada que são absolutamente cont´ınuas com rela¸c˜_{ao a uma medida positiva λ : Σ → R. Em particular, M(λ)} ´_{e um ideal fechado no espa¸co m(K, Σ, R).}

(42)

Teorema 1.133 (Radon-Nikodym) Se λ : A → R é uma medida positiva e µ : A → X é uma medida vetorial de varia¸cão limitada com µ λ então existe uma fun¸cão ρ :→ X mensurável e integrável tal que µ(A) =R

Aρdλ e |µ|(A) =

R

A|ρ|dλ em que A ∈ A.

Defini¸cão 1.134 Um espa¸co de Banach X tem a propriedade de Radon-Nikodym quando para todo conjunto K, para toda σ-´_{algebra de K, para toda medida positiva λ : A → R e para} toda medida vetorial de varia¸cão limitada µ : A → X com µ λ, existe ρ :→ X mensurável e integrável tal que µ(A) =R_Aρdλ.

Proposi¸cão 1.135 Se X é um espa¸co de Banach reflexivo então X tem a propriedade de Radon-Nikodym.

Proposi¸cão 1.136 Seja X um espa¸co de Banach. Se X∗ é um espa¸co reflexivo então X tem a propriedade de Radon-Nikodym.

Demonstra¸cão. Segue da Proposi¸cão 1.135 e da Proposi¸cão 1.57.

Proposi¸c˜ao 1.137 Seja X um espa¸co de Banach. Se X tem a propriedade de Radon-Nikodym ent˜ao L1(µ, X) ∼= M (µ, X)

(43)

Cap´ıtulo 2

Propriedades do parˆ

ametro λ(X)

O objetivo desse cap´ıtulo é demonstrar algumas propriedades do parâmetro λ(X) mencionadas na introdu¸cão de trabalho.

2.1 Propriedades auxiliares

Proposi¸c˜ao 2.1 Para todo espa¸co uniformemente convexo X com dimens˜ao maior ou igual a 2, temos que

1 1 − δX(1)

< λ(X).

Demonstra¸cão. Como X é um espa¸co de Banach real, segue das Defini¸cões 1.103 e 1.107 que J (X) = µ(X) e S(X) = λ(X). Além disso, pela Proposi¸cão 1.101 , µ(X)λ(X) = 2. Como X é um espa¸co de Banach de dimensão maior ou igual a 2, segue da Proposi¸cão 1.99 que

µ(X) = sup{ ∈ (0, 2) : δX() ≤ 1 − /2}. (2.1)

Fixe 1 < 0 <

√

2. Pela Proposi¸c˜ao 1.97, temos que J (X) ≥ √2. Sendo assim, µ(X) ´e o supremo de

A = { ∈ (0, 2) : δX() ≤ 1 − /2}. (2.2)

Seja ∈ A. Assim, δX() ≤ 1 − /2. Como X ´e uniformemente convexo, a Proposi¸c˜ao 1.68

garante que a fun¸c˜ao δX ´e estritamente crescente em [0, 2]. Portanto, δX(0) < 1 − /2 , isto

´e, < 2(1 − δX(0)). Consequentemente, por (2.2),

(44)

Logo, 1 1 − δX(1) < 2 µ(X) = λ(X). Observa¸cão 2.2 Suponha que X é um espa¸co de Banach. Sendo assim, a Proposi¸cão 1.111 garante µ(X∗) < 2 se, e somente se, λ(X) > 1 se, e somente se, λB−C(X∗) > 1.

Proposi¸cão 2.3 Se X é um espa¸co de Banach real com λB−C(X∗) > 1 então

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)

< 4

2 + µ(X∗₎. (2.3)

Demonstra¸c˜ao. De fato, pela primeira desigualdade do item (e) da Proposi¸c˜ao 1.111, temos que

11λ0(X∗) ≤ 2λ(X∗) + 3, 5λ(X∗) + 5, 5λ0(X∗)λ(X∗).

Como λB−C(X∗) > 1, segue da Proposi¸c˜ao 1.112 que

λ0(X∗) = λB−C(X∗) > 1. (2.4)

Portanto, pelo item (e) da Proposi¸c˜ao 1.111, λ(X∗) > 1. Consequentemente, 11λ0(X∗) < 2λ(X∗) + 3, 5λ0(X∗)λ(X∗) + 5, 5λ0(X∗)λ(X∗)

= 2λ(X∗) + 9λ0(X∗)λ(X∗).

Finalmente, utilizando a Proposi¸c˜ao 1.101 e a igualdade (2.4), temos que 11λ0(X∗)µ(X∗) < 4 + 18λ0(X∗).

Logo, (2.3) ´e verdadeira.

Proposi¸cão 2.4 Se X é um espa¸co de Banach com λB−C(X∗) > 1 então

11λB−C(X∗)

1 + 10λB−C(X∗)

(45)

Propriedades do parˆametro λ(X) 27

Demonstra¸cão. Pela item (d) da Proposi¸cão 1.111, se λ(X) > 1 então λ0(X) > 1. Além

disso, os itens (c) e (d) da Proposi¸cão 1.111 garantem que 11λB−C(X∗) 1 + 10λB−C(X∗) ≤ 11λ0(X) 1 + 10λ0(X) < 2λ0(X) 1 + λ0(X) ≤ λ(X). Proposi¸cão 2.5 Se X é um espa¸co de Banach real com λ(X) > 1 então

4

2 + µ(X∗₎ < λ(X). (2.5)

Demonstra¸cão. Novamente, µ(X) e λ(X) coincidem com as constantes de James J (X) e de Schäffer S(X), respectivamente. Portanto, segue da Proposi¸cão 1.98 que

1 + (µ(X) − 1)2 ≤ µ(X∗) ≤ 1 +pµ(X) − 1. (2.6) A primeira desigualdade de (2.6) pode ser reescrita como

µ(X) ≤ 1 +pµ(X∗_{) − 1.} _(2.7)

Por outro lado, como µ(X) · λ(X) = 2, temos que µ(X) < 2. Dessa forma, pela segunda desigualdade de (2.6), segue que µ(X∗) < 2. Portanto,

1 +pµ(X∗_{) − 1 <} 2 + µ(X ∗₎

2 . (2.8)

Utilizando (2.7) e (2.8), conclu´ımos que 2 λ(X) = µ(X) < 2 + µ(X∗) 2 . Logo, (2.5) é verdadeira. Observa¸cão 2.6 Se X é um espa¸co de Banach então

4

2 + µ(X∗₎ ≤ λ(X).

De fato, pelos itens (c) e (d) da Proposi¸c˜ao 1.111, temos que

(46)

Portanto, 4 2 + µ(X∗₎ ≤ 2λ0(X) 1 + λ0(X) .

Logo, o resultado segue do item (e) da Proposi¸c˜ao 1.111.

Proposi¸c˜ao 2.7 Se X = lp com 2 ≤ p < ∞ ent˜ao BS(X) = λ(X) = 21/p.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, note que para todo 2 ≤ p < ∞, temos λ(lp) = 21/p. De

fato, sejam x, y ∈ Slp e λ ∈ K com |λ| = 1. Pela Proposi¸c˜ao 1.70, temos que

2(kxkp+ kykp)q−1 ≤ kx + ykq_{+ kx − yk}q _(2.9)

em que 1/p + 1/q = 1. Sendo assim,

2q = 2(kxkp+ kλykp)q−1 ≤ kx + λykq_{+ kx − λyk}q ≤ 2 max |λ|=1kx + λyk q _{≤ 2} max |λ|=1kx + λyk q . Consequentemente, 21/p ≤ max |λ|=1kx + λyk.

Portanto, 21/p ≤ λ(lp). Por outro lado, se e1 = (1, 0, 0, . . .) e e2 = (0, 1, 0, . . .) ent˜ao

max

|λ|=1ke1+ λe2k = 2 1/p

.

Al´em disso, vamos provar que BS(lp) ≤ 21/p para todo 2 ≤ p < ∞. Com efeito, sejam

K = {1 − 1/n : n ∈ N} ∪ {2 − 1/n : n ∈ N} ∪ {2} e

L = {4 − 1/n : n ∈ N} ∪ {4}.

Sendo assim, existe um isomorfismo T de C0(K, lp) em C(L, lp) tal que kT kkT−1k = 21/p, veja

a referência [15, Observa¸cão 1.4]. No entanto, K e L não são homeomorfos.

(47)

Propriedades do parˆametro λ(X) 29

Observa¸cão 2.8 A desigualdade (2.5) também é verdadeira para o caso complexo X = lp,

2 ≤ p < ∞. De fato, ´e suficiente mostrar que µ(lp) = 21/p para todo 1 < p ≤ 2. Sejam

x, y ∈ Slp e λ ∈ K com |λ| = 1. Novamente, pela Proposi¸c˜ao 1.70, se 1 < p ≤ 2 e 1/p + 1/q = 1

ent˜ao

kx + ykq+ kx − ykq ≤ 2[kxkp+ kykp]q−1. Assim, procedendo como na Proposi¸c˜ao 2.7, temos que

min

|λ|=1kx + λyk ≤ 2 1/p_.

Portanto, µ(lp) ≤ 21/p. Al´em disso, se e1 = (1, 0, 0, . . .) e e2 = (0, 1, 0, . . .) ent˜ao

min

|λ|=1ke1+ λe2k = 2 1/p_.

Observa¸cão 2.9 A primeira parte da prova da Proposi¸cão 2.7 foi obtida por Michael Ricon e aparecerá na tese de doutorado dele. Nós o agradecemos por nos ter permitido colocá-la aqui.

2.2 Propriedade fundamental

A principal ferramenta que será incorporada nos argumentos utilizados por Cambern em [10] para obter a demonstra¸cão do Teorema 1 é a proposi¸cão seguinte. Essa proposi¸cão substituirá o [10, Lema 1] do artigo de Cambern.

Proposi¸c˜_{ao 2.10 Sejam X um espa¸co de Banach, r ∈ N e η > 0. Dados x}1, x2. . . , x2r

em X com kxjk ≥ η para todo 1 ≤ j ≤ 2r, existem escalares α1, α2, . . . , α2r ∈ K com

max{|αj| : 1 ≤ j ≤ 2r} ≤ 1 tal que

2r X j=1 αjxj ≥ ηλ(X)r_.

Demonstra¸c˜ao. Vamos provar por indu¸c˜ao em r. Considere o caso r = 1. Sejam x, y ∈ X tais que min{kxk, kyk} ≥ η. Defina u = x/kxk e v = y/kyk. Sendo assim, u, v ∈ SX

e λ(X) ≤ max{ku + βvk : |β| = 1}. Al´em disso, existe β0 ∈ K com |β0| = 1 tal que

λ(X) ≤ ku + β0vk. Se N = min{kxk, kyk} ent˜ao

(48)

Logo, considerando α1 = N/kxk e α2 = N/kykβ0 ent˜ao max{|α1|, |α2|} ≤ 1 e o resultado

segue imediatamente. Suponha que a proposi¸cão é válida para todo r com 1 ≤ r ≤ k. Sejam x1, . . . , x2k+1 vetores em X satisfazendo kx_jk ≥ η para todo 1 ≤ j ≤ 2k+1. Pela hipótese

de indu¸c˜ao, existem constantes β1, . . . , β2r, . . . , β₂r+1 com max{|β_j| : 1 ≤ j ≤ 2k+1} ≤ 1

satisfazendo M1 := 2k X j=1 βjxj ≥ ηλ(X)k_, e M2 := 2k+1 X j=2k₊₁ βjxj ≥ ηλ(X)k_. Seja c = 1 M1 2k X j=1 βjxj and d = 1 M2 2k+1 X j=2k₊₁ βjxj.

Assim, c, d ∈ SX. Utilizando o caso r = 1, existem s1, s2 ∈ K com max{|s1|, |s2|} ≤ 1 tais

que λ(X) ≤ ks1c + s2dk. Portanto, obtemos a inequa¸c˜ao

2k X j=1 s1 M1 βjxj+ 2k+1 X j=2k₊₁ s1 M2 βjxj ≥ λ(X). Seja M0 = min{M1, M2}. Dessa forma, M0 ≥ ηλ(X)k e

2k X j=1 s1M0 M1 βjxj + 2k+1 X j=2k₊₁ s1M0 M2 βjxj ≥ ηλ(X)k+1. Definindo αj = s1M0 M1 βj, if 1 ≤ j ≤ 2k, e αj = s2M0 M2 βj, if 2k+ 1 ≤ j ≤ 2k+1,

segue o caso r = k + 1. Isso completa a prova da proposi¸c˜ao.

(49)

Cap´ıtulo 3

O bidual dos espa¸

cos C

₀

(K, X)

A maioria dos argumentos utilizados por Cambern para provar o Teorema 1.86 são baseados no fato de que se K é um espa¸co compacto Hausdorff e X∗é um espa¸co de Banach que possui a propriedade de Radon-Nikodym então o bidual de C(K, X) pode ser representado como um espa¸co de fun¸cões cont´ınuas de um espa¸co compacto Hausdorff Z para X∗∗, esse último munido da topologia fraca-estrela*. Um fato importante para nós é que um resultado análogo vale para os espa¸cos C0(K, X).

Dados K um espa¸co localmente compacto Hausdorff e X um espa¸co de Banach, lembre que M (K, X) é o espa¸co das medidas vetoriais de Borel regulares com varia¸cão limitada e M (µ, X) é o espa¸co das medidas vetoriais de varia¸cão limitada absolutamente cont´ınuas com rela¸cão a medida µ. Claramente, existe uma imersão natural de M (K) ⊗ X em M (K, X) dada por µ ⊗ φ → µ(·)φ em que µ ∈ M (K) e φ ∈ X. Além disso, se Y é um outro espa¸co de Banach, X ˆ⊗Y representa o produto tensorial injetivo de X e Y . Finalmente, X ∼= Y significa que os espa¸co de Banach X e Y são isometricamente isomorfos.

3.1 Resultados auxiliares

Nessa se¸c˜ao, enunciaremos e demonstraremos alguns resultados auxiliares com o objetivo de obter uma representa¸c˜ao do espa¸co bidual de C0(K, X).

(50)

Proposi¸c˜ao 3.1 Se K um espa¸co localmente compacto Hausdorff e X um espa¸co de Banach ent˜ao existe um espa¸co de medida (S, Σ, µ) tal que M (K, X) ∼= M (µ, X).

Demonstra¸cão. Pela Observa¸cão 1.126, segue que M (K) é um L1-espa¸co abstrato. Sendo

assim, pela Observa¸cão 1.127, M (K) é um ideal fechado no espa¸co das medidas de Borel. Além disso, note que a integral indefinida determina uma imersão isométrica de L1(µ) em M (µ).

Pelo Teorema 1.133, segue que L1(µ) ∼= M (µ). Portanto, pela Observa¸c˜ao 1.126, M (K) ´e

isometricamente isomorfo a M (µ). Logo, M (K, X) ∼= M (µ, X) ´e garantido pelo Lema 1.128.

Corol´ario 3.2 Seja K um espa¸co localmente compacto Hausdorff e X um espa¸co de Banach. M (K) ˆ⊗X pode ser imerso em M (K, X) de tal maneira que ν ⊗ x corresponda a ν(·)x para todo ν ∈ M (K) e x ∈ X.

Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 1.126, M (K) ∼= L1(µ). Portanto, M (K) ˆ⊗X ∼= L1(µ) ˆ⊗X.

Dessa forma, pela Proposi¸c˜ao 1.129, M (K) ˆ⊗X ∼= L1(µ, X). Uma vez que L1(µ, X) est´a imerso

canonicamente em M (µ, X) e a Proposi¸cão 3.1 garante que M (µ, X) é isométrico a M (K, X), M (K) ˆ⊗X pode ser imerso em M (K, X).

Corol´ario 3.3 Seja K um espa¸co localmente compacto Hausdorff e X um espa¸co de Banach. Se X tem a propriedade de Radon-Nikodym ent˜ao M (K, X) = M (K) ⊗ X.

Demonstra¸cão. Como X tem a propriedade de Radon-Nikodyn então, pela Proposi¸cão 1.137, segue que L1(µ, X) ∼= M (µ, X). Portanto, pelo Corolário 3.1 e pela Proposi¸cão 1.126,

temos que M (K) ˆ⊗X ∼= M (K, X). Como M (K) ⊗ X ´e denso em M (K) ˆ⊗X, segue que M (K, X) = M (K) ⊗ X.

(51)

O bidual dos espa¸cos C0(K, X) 33

3.2 Representa¸

c˜

ao do bidual de C

₀

(K, X)

Nessa se¸c˜ao, caracterizaremos o espa¸co bidual de C0(K, X) para o caso em que X∗ tem a

propriedade de Radon-Nikodym.

Proposi¸c˜ao 3.4 Seja K um espa¸co localmente compacto Hausdorff e X um espa¸co de Banach tal que X∗ tem a propriedade de Radon-Nikodym. Existe um espa¸co compato Hausdorff Z tal que

C0(K, X)∗∗∼= C(Z, Xσ∗∗∗) e C₀(K)∗∗ ∼= C(Z).

Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 1.125,

C0(K, X)∗ ∼= M (K, X∗).

Por outro lado, Corol´ario 3.2 e Corol´ario 3.3 garantem que M (K) ˆ⊗X∗ ∼= M (K) ⊗ X∗ _{= M (K, X}∗

). Portanto,

C0(K, X)∗∗∼= M (K, X∗)∗ ∼= [M (K) ˆ⊗X∗]∗ ∼= [X∗⊗M (K)]ˆ ∗.

Al´em disso, pelo Lema 1.130,

[X∗⊗M (K)]ˆ ∗ ∼= L(X∗, M (X)∗) ∼= L(X∗, C(Z)). Defina uma fun¸c˜ao T de L(X∗, C(Z)) em C(Z, X_σ∗∗∗) por

T (Ψ)(z)(φ) = (δz◦ Ψ)(φ),

for φ ∈ X∗, z ∈ Z and Ψ ∈ L(X∗, C(Z)), em que δz representa a fun¸c˜ao avalia¸c˜ao no ponto

z ∈ Z. Claramente, para cada z ∈ Z fixo, T (Ψ)(z) ´e um funcional linear de X∗. Mais ainda, para todo φ ∈ X∗,

|T (Ψ)(z)(φ)| = |Ψ(φ)(z)| ≤ ||Ψ(φ)|| ≤ ||Ψ||||φ||. Consequentemente,

(52)

Note que como fun¸c˜ao de Z em X∗∗, T (Ψ)(·) ´e fraca-estrela cont´ınua pois, para todo φ ∈ X∗, T (Ψ)(·)(φ) = Ψ(φ)(·) ∈ C(Z).

Dessa forma, temos que T est´a bem definida. Obviamente, T ´e linear e ||T || ≤ 1 pois ||T (Ψ)|| = sup ||T (Ψ)(z)|| ≤ ||Ψ||.

Vamos mostrar que T é uma isometria. Sejam > 0 e Ψ ∈ L(X∗, C(Z)) não nulo. Escolha φ ∈ X∗ tal que ||φ|| = 1 e ||Ψ(φ)|| ≥ ||Ψ|| − . Além disso, considere z ∈ Z tal que |Ψ(φ)(z)| = ||Ψ(φ)||. Dessa forma, temos que

||T (Ψ)|| ≥ ||T (Ψ)(z)|| ≥ |T (Ψ)(z)(φ)| = |Ψ(φ)(z)| ≥ ||Ψ|| − .

Portanto, T é uma isometria. Finalmente, provaremos que T é uma fun¸cão sobrejetora. Seja G ∈ C(Z, X_σ∗∗∗). Defina Ψ por Ψ(φ)(z) = G(z)(φ) para φ ∈ X∗ e z ∈ Z. E claro que´

Ψ(φ)(·) ∈ C(Z) e Ψ é uma fun¸cão linear de X∗ em C(Z). Além disso, Ψ é limitada pois ||Ψ(φ)|| = sup |G(z)(φ)| ≤ ||G||||φ||.

Portanto, utilizando a defini¸c˜ao de T , temos que

T (Ψ)(z)(φ) = Ψ(φ)(z) = G(z)(φ), para todo z ∈ Z e φ ∈ X∗. Logo T (Ψ) = G.

(53)

Cap´ıtulo 4

Demonstra¸

c˜

ao do resultado principal

para os espa¸

cos C

₀

(K, X)

Nesse cap´ıtulo provaremos o Teorema 1. Isto ´e:

Unifica¸cão das generaliza¸cões do teorema de Banach-Stone: Sejam K e L espa¸cos localmente compactos Hausdorff e X um espa¸co de Banach real ou um espa¸co de Banach com-plexo reflexivo. Se λ(X) > 1 e T é um isomorfismo de C0(K, X) sobre C0(L, X) satisfazendo

||T || ||T−1|| < λ(X), ent˜ao K ´e homeomorfo a L.

A demonstra¸cão desse resultado utiliza as técnicas do artigo de Cambern [14]. Na verdade, a demonstra¸cão é um refinamento dos argumentos apresentados na prova do teorema principal de [14] utilizando os resultados dos cap´ıtulos anteriores.

4.1 Observa¸

c˜

oes iniciais

Sejam K e L espa¸cos localmente compactos Hausdorff e X um espa¸co de Banach real ou um espa¸co de Banach complexo reflexivo. Vamos assumir que λ(X) > 1 e que T ´e um isomorfismo de C0(K, X) em C0(L, X) tal que ||T || ||T−1|| < λ(X).

Suponha, sem perda de generalidade, substituindo T por (1 + )||T−1||T para algum positivo suficientemente pequeno que T ´e estritamente crescente em norma, isto ´e, que T

(54)

satisfaz

||T (F )|| ≥ (1 + )||F ||,

para todo F ∈ C0(K, X) e ||T || < λ(X). Fixe e escolha um n´umero positivo P tal que

1 < P < 1 + .

Portanto, T satisfaz ||T (F )|| > P ||F || para todo F ∈ C0(K, X), F 6= 0. Al´em disso, como

λ(X) ≤ 2 < 2P , podemos fixar também um número positivo b tal que 1 P − 1 λ(X) < b < P λ(X)(λ(X) − P ). (4.1) Como X é reflexivo então, pela Proposi¸cão 1.57, temos que X∗ também é reflexivo. Além disso, pela Proposi¸cão 1.135, X∗ tem a propriedade Radon-Nikodym. Portanto, segue da Proposi¸cão 3.4 que

C0(K, X)∗∗∼= C(Z, Xσ∗),

onde Z ´e um espa¸co compacto Hausdorff com

C0(K)∗∗∼= C(Z).

Analogamente,

C0(L, X)∗∗ ∼= C(W, Xσ∗),

onde W ´e um espa¸co compacto Hausdorff com

C0(L)∗∗∼= C(W ).

Dessa forma, podemos considerar T∗∗como sendo um isomorfismo de C(Z, Xσ∗) em C(W, X_σ∗)

tal que

||T∗∗|| < λ(X) e ||T∗∗(F )|| > P ||F ||, para todo F ∈ C(Z, Xσ∗), F 6= 0.

Seja K0 o conjunto dos pontos isolados de Z. Pelo Teorema 1.58, cada ponto de K0 ´e da

forma tx para algum x ∈ K, em que t : K → Z é uma imersão natural de K em Z e todo ponto da forma tx é isolado. Analogamente, se L0 denota o conjunto dos pontos isolados de

W então L0 consiste de pontos sy, y ∈ L, em que s : L → W é uma imersão natural.

Finalmente, dado F∗ ∈ C(Z, Xσ∗)∗, a restri¸c˜ao de F∗ para C(Z, X) ´e um funcional linear

(55)

Demonstra¸c˜ao do resultado principal para os espa¸cos C0(K, X) 37

n ∈ M (Z, X∗) tal que ||n|| ≤ ||F∗||. Dado z ∈ Z, podemos escrever de maneira ´unica n = ψµz+ m em que µz denota a medida de massa pontual em z, ψ ∈ X∗ e m ∈ C(Z, X)∗

com m({z}) = 0. De fato, sejam ψ = n({z}) e m = n − ψµz. Pelo Teorema 1.63, existe

m ∈ C(Z, Xσ∗)∗ extens˜ao linear de m que preserve a norma. Portanto, Φ = F∗ − ψµ_z − m ´e

um funcional linear cont´ınuo em C(Z, Xσ∗) que se anula em C(Z, X) e F∗ = ψµ_z+ m + Φ.

Logo, dado F∗ ∈ C(Z, Xσ∗)∗ e z ∈ Z, sempre podemos represent´a-los de maneira que

F∗ = ψµz+ m + Φ.

Analogamente, dado G∗ ∈ C(W, Xσ∗)∗ e w ∈ W , podemos represent´a-los de maneira que

G∗ = ψµw+ m + Φ.

4.2 Resultado principal

Como em [14], provaremos que K é homeomorfo à L através de uma sequência de lemas. Lema 4.1 Dados w ∈ W e tx ∈ K0, existe φ ∈ X∗ com ||φ|| = 1 tal que T∗∗∗(φµw) é da

forma ψµtx+ m + Φ e ||ψ|| > P se, e somente se, para algum e ∈ X com ||e|| = 1 vale

||T∗∗(χtxe)(w)|| > P.

Demonstra¸c˜ao. Seja e ∈ X tal que ||e|| = 1 e ||T∗∗(χtxe)(w)|| > P . Pelo Corol´ario 1.64,

seja φ ∈ X∗ tal que ||φ|| = 1 e

φ(T∗∗(χtxe)(w)) = ||T∗∗(χtxe)(w)||.

Al´em disso, como podemos escrever T∗∗∗(φµw) = ψµtx+ m + Φ, segue que

P < ||T∗∗(χtxe)(w)|| = φ(T∗∗(χtxe)(w)) = T∗∗∗(φµw)(χtxe) = ψ(e).

Portanto, ||ψ|| > P . Reciprocamente, suponha que exista φ ∈ X∗ tal que ||φ|| = 1 e T∗∗∗(φµw)

possa ser escrito da forma ψµtx + m + Φ com ||ψ|| > P . Seja e ∈ X com ||e|| = 1 tal que

ψ(e) > P . Sendo assim, temos que

φ(T∗∗(χtxe)(w)) = ψ(e) > P.

(56)

Lema 4.2 Dados z ∈ Z e sy ∈ L0, existe φ ∈ X∗ com ||φ|| = 1 tal que (T∗∗∗)−1(φµz) ´e da

forma ψµsy+ m + Φ e ||ψ|| > (λ(X))−1 se, e somente se, para algum e ∈ X com ||e|| = 1 vale

||(T∗∗)−1(χsye)(z)|| > (λ(X))−1.

Demonstra¸c˜ao. An´aloga ao Lema 4.1.

Observa¸c˜ao 4.3 Seja W1 o conjunto de todos w ∈ W tal que para algum φ ∈ X∗ com

||φ|| = 1 existe tx ∈ K0 tal que

T∗∗∗(φµw) = ψµtx+ m + Φ,

em que ||ψ|| > P . Pelo Lema 4.1, existe uma fun¸c˜ao sobrejetora ρ : W1 → K0 dada por

ρ(w) = tx. De fato, primeiramente vamos mostrar que ρ : W1 → K0 est´a bem definida.

Pelo Lema 4.1, ρ(w) = tx se e somente se para algum e ∈ X com ||e|| = 1 temos que ||T∗∗_(χ

txe)(w)|| > P . Suponha que existissem φ1, φ2 ∈ X∗ tal que ||φ1|| = ||φ2|| = 1 e

T∗∗∗(φiµw) = ψiµtxi + mi+ Φ,

para i = 1, 2 com ||ψi|| > P e tx1 6= tx2. Sendo assim, para toda escolha de escalares αi com

|αi| ≤ 1 e ei com ||ei|| = 1, i = 1, 2, temos que

||α1χtx1e1+ α2χtx2e2|| ≤ 1.

No entanto, pela Proposi¸c˜ao 2.10 e pelo Lema 4.1, segue que ||T∗∗(α1χtx1e1+ α2χtx2e2)|| ≥ ||α1T

∗∗

(χtx1e1)(w) + α2T

∗∗

(χtx2e2)(w)|| ≥ P λ(X) > λ(X),

uma contradi¸cão pois ||T∗∗|| < λ(X). Portanto, ρ : W1 → K0 está bem definida. Além disso,

ρ : W1 → K0´e sobrejetora. Dado tx ∈ K0, para todo e ∈ X com ||e|| = 1 existe algum w ∈ W

tal que ||T∗∗(χtxe)(w)|| > P . Logo, w ∈ W1 e ρ(w) = tx. Analogamente, seja Z1 o conjunto

dos z ∈ Z tal que para algum φ ∈ X∗ com ||φ|| = 1 existe sy ∈ L0 tal que

(T∗∗∗)−1(φµz) = ψµsy + m + Φ,

em que ||ψ|| > (λ(X))−1. Pelo Lema 4.2, existe uma fun¸c˜ao sobrejetora τ : Z1 → L0 dada por