Geometria Diferencial
Projeto: Superfícies mínimas e de curvatura média constante
em espaços homogêneos tridimensionais
Breve introdução e retrospectiva:
O linha de pesquisa do projeto na área da Geometria Diferencial é de candente atualidade. De fato, é um foco de pesquisa de certo grupo internacional de pesquisadores do Brasil, da França, da Itália e da Espanha. Participa atuando no projeto no Brasil os pesquisadores Ricardo Sá Earp da PUC-Rio, Walcy Santos da UFRJ e Maria Fernanda Elbert também da UFRJ, dentre outros brasileiros. Na França, participa atuando no projeto Eric Toubiana da Universidade de Paris VII, Pierrre Bérard da Universidade de Grenoble, e envolve Laurent Hauswith da Universidade de Marne-La Vallée, dentre outros. Na Itália participa atuando no projeto Barbara Nelli da Universidade de L'Aquila . Na Espanha participa atuando no projeto J. M. Espinar e J. A. Galvez ambos da Universidade de Granada, Espanha. Há outros geômetras da Alemanha, da Espanha e dos Estados Unidos atuantes na mesma linha de pesquisa do projeto. As referências citadas abaixo dão um panorama da atualidade e importância do tema, sublinhando vários pesquisadores internacionais envolvidos. De qualquer forma, vamos descrever em seguida alguns avanços e resultados nesta linha sobre o assunto.
Num trabalho recente com Eric Toubiana da Universidade de Paris VII e Laurent Hauswirth da Universidade de Marne-La Vallée, França [H-SE-T], demonstramos que duas imersões mínimas simplesmente conexas conformes e mutuamente isométricas no espaço produto H2×R, estão determinadas pelas respectivas diferenciais holomorfas de
Hopf, a menos de uma isometria do ambiente. Exemplificamos que nem sempre (mínima)
isométrica implica associada, mas deduzimos que tal propriedade é válida em alguns contextos.
Além disso, deduzimos uma generalização de um teorema de Krust, quando o ambiente é
M2×R, onde M2 é uma superfíce Riemanniana com curvatura de Gauss K≤0. Tal resultado assegura que a superfície mínima associada a um gráfico vertical sobre um domínio convexo ainda é um gráfico vertical.
Num trabalho com Eric Toubiana [SE-T3], deduzimos uma formula não-paramétrica que permite expressar as H- screw motion surfaces em H2×R e S2×R via uma fórmula não-paramétrica integral explícita. Esta dá uma boa descrição do comportamento geométrico e que tem servido de base para várias aplicações: Por exemplo, obtivemos uma família explícita a dois parâmetros de superfícies mínimas mergulhadas completas em H2×R invariantes por standard screw motions, alguns com curvatura de Gauss igual a -1. A fórmula obtida em [SE-T3] permite dar uma bela descrição das superfícies de revolução com curvatura média constante. Com a ajuda desta fórmula verifica-se que a curvatura
total extrínseca de um fim catenóide mínimo é finita. Tal cálculo abre possibilidades para
o desenvolvimento da teoria das superfícies- mínima ou de curvatura média constante <1/2- com curvatura total extrínseca finita em H2×R . Claro que surge imediatamente a investigação da relação entre as noções de curvatura total finita, de estabilidade, e o
shape da superfície. Tal teoria foi alvo de intensas pesquisas quando o ambiente é um space form, Veja, por exemplo, [B-C-E] , [B-C] , [B-C-S] . Por outro lado, tendo
estabelecido a “boa noção” de curvatura total , pode-se almejar conseguir estimativas a
priori de curvatura, para superfícies estáveis, em particular, estimativas a priori de
curvatura para gráficos verticais. Isto já foi feito no espaço Euclideano e nos space form. Veja, por exemplo, [S-2], [B-H] , [B-C-S]. Estimativas ótimas de altura “height estimates” nos espaços H2×R e S2×R foram obtidas por Aledo, Espinar e Galvez [A-E-G]. Claro que este estudo se estende ao caso de hipersuperfícies de Hn ×R e Hn ×R. Em particular, estabelecer neste espaço a boa noção de curvatura total finita para hipersuperfícies com curvatura média constante e investigar estimativas a priori de
curvatura para gráficos, e mais geralmente as hipersuperfícies estáveis.
Num outro trabalho, inferimos uma fórmula explícita simples não paramétrica de uma superfície mínima tipo Scherk [S-E]. Esta superfície ou a fórmula explícita que a determina faz um papel importante num recente trabalho de P. Collin e H. Rosenberg [C-R] apresentando um contra-exemplo de uma famosa conjectura de R. Schoen [S-Y]. Tal exemplo está baseado na solução de certo problema de Dirichlet para a equação do gráfico mínimo vertical, tomando valores infinitos no bordo. Mais precisamente, é um gráfico mínimo vertical sobre um semi-plano de H2×{0}, tomando valores ∞ sobre uma geodésica e valor assimptótico igual a 0, num arco do bordo assimptótico de H2×{0}. O bordo assimptótico desta superfície é constituído de duas semi-retas verticais junto com o referido arco de H2×{0}. Tal superfície tem sido usada como uma barrier para o problema de Dirichlet assegurando que num ponto q onde o dado no bordo assimptótico de H2×{0} é contínuo a solução da equação da superfície mínima toma os valores pré-determinados em q.
Além disso, obtivemos famílias de curvatura média constante igual a ½ (ou menor do que ½), completas, simplesmente conexas e mergulhadas, estáveis em H2×R. Inferimos que existem tais exemplos dados por fórmulas não-paramétricas explícitas, folheados por curvas horocliclos (curvas eqüidistantes). Aliás, o trabalho [S-E]-embora ainda não esteja publicado- está citado em vários artigos relacionados ao tema, veja por exemplo, [C-R], [F-M1], [F-M3], [Su-T], [H-R-S2], [P-T], [G-M-M] .
Junto com Barbara Nelli [N-SE], encetamos o estudo de certo Problema de Dirichlet
Exterior que assegura a existência de gráficos verticais, definidos num domínio exterior,
convergindo assimpoticamente (fracamente) no infinito a uma rotacional de curvatura média 1/2 em H2×R. Tal construção abre várias perspectivas, problemas em abertos e conjecturas. Demonstramos também um resultado tipo Vertical half-space theorem que diz que uma superfície completa propriamente imersa contida no lado mean convex de uma rotacional simplesmente conexa de curvatura média 1/2 em H2×R, deve ser uma superfície rotacional (a mesma ou uma translação vertical desta).
Num trabalho com Barbara Nelli, Eric Toubiana e Walcy Santos da Universidade Federal do Rio de Janeiro [N-SE-S-T], deduzimos a caracterização de superfícies compactas com curvatura media constante menor ou igual a ½ que bordam um círculo horizontal, ou dois círculos horizontais em H2×R. Por exemplo, deduzimos que a H-superfície neste espaço, com H=1/2, cujo bordo é um círculo horizontal faz parte da única superfície de revolução com diferencial quadrática de Abresh-Rosenberg nula [A-R]. Tais resultados
estendem conhecidos teoremas deduzidos no espaço Euclideano e no espaço hiperbólico tridimensional, veja por exemplo, [B-M-R-SE], [B-SE], [SE-T2] , [Ba-SE] . Também inferimos que uma superfície, cuja média está limitada longe de zero, se estende diferenciavelmente ao cilindro do bordo assimptótico de H2×R, então o seu bordo assimptótico é constituído de segmentos de retas verticais.
Com a colaboração de Eric Toubiana da Universidade de Paris VII, empreendemos o estudo do problema de Dirichlet para equação da superfície mínima em H2×R, considerando domínios não limitados H2×{0}. Os domínios admissíveis são tais que cada componente do bordo é propriamente mergulhada e possui nenhum, um ou dois pontos no seu bordo assimptótico, possuindo uma propriedade geométrica adicional. Dentre tais domínios (não necessariamente convexos, e não necessariamente bordado por arcos convexos ou por geodésicas), se encontram o clássico domínio exterior à uma curva regular simples fechada (ou o exterior de várias de tais curvas disjuntas possuindo interiores disjuntos). Também é admissível um domínio cujas componentes do bordo são curvas eqüidistantes. Usando várias superfícies mínimas básicas como barriers obtivemos a existência do referido problema de Dirichlet tomando certos valores (data) pré-determinados no bordo usual finito e também no bordo assimptótico. Este estudo foi feito usando moldes parecidos com o que foi feito pelos autores em [SE-T5], fazendo uso do chamado Perron process. Por outro lado mostramos a inexistência de certas superfícies mínimas quando o bordo assimptótico sofre certas limitações (constraints). Por exemplo, mostramos que não existe uma superfície mínima cujo bordo assimptótico seja homotopicamente trivial e que esteja contido entre dois slices de H2×R de distância menor ou igual a π [SE-T7]. Tal resultado é sharp, pois existem exemplos com fronteira uma curva de Jordan homotopicamente trivial no bordo assimptótico de H2×R (que até usamos como barreiras no referido trabalho) saindo (pelo menos) epsilon de qualquer
slab de distância igual a π. Note que em H3, a situação é completamente diferente já que dada uma curva convexa qualquer em ∂∞H3, sempre existe uma superfície mínima
mergulhada cujo bordo é esta curva, veja [SE-T5]. Na verdade, o problema de Dirichlet para a equação do gráfico mínimo (vertical) em H3, é sempre solúvel num convexo para dados contínuos no bordo [SE-T5]. O conhecido resultado de M. Anderson [An1] e [An2] sobre a existência de superfícies mínimas em H3 com bordo assimptótico dado, realça também o contraste do comportamento das superfícies mínimas nestes dois espaços homogêneos tridimensionais
Descrição e colocação de problemas a serem abordados no projeto:
Descrevendo o projeto num sentido amplo, visamos continuar o estudo das
H-superfícies em H2×R, mais geralmente, desenvolver a teoria das imersões mínimas ou
de curvatura média constante nos espaços homogêneos tridimensionais simplemente
conexos. Tais espaços aparecem dentro dos 8 modelos de geometrias de Thurston [T]:
Mas precisamente, os space form R3 , S3(k), H3(k), de curvatura sectional k >0 e k<0, respectivamente, são os espaços homogêneos tridimensionais simplesmente conexos com a dimensão do grupo de isometria igual a 6. Outrossim, com a dimensão do grupo de isometria igual 4, aparecem os espaços produtos S2(k) ×R, H2(k)×R, o espaço de
recobrimento universal SL~(2, R) de SL(2, R). A descoberta por U. Abresch e H. Rosenberg de uma diferencial holomorfa quadrática para H-superfícies, tem
impulsionado o estudo das superfícies mínimas de curvatura média constante nestes ambientes [A-R], [A-R2]. Por outro lado, cumpre notar que os brasileiros H. Alencar , M. do Carmo e R. Tribuzy em [ACT1], [ACT2] consideraram uma superfície imersa em
Mn(c)×R, com vetor curvatura média paralelo, onde Mn(c) é uma variedade riemanniana, n-dimensional, simplesmente conexa, de curvatura constante c. Para esta situação,
provaram que a existência de uma diferencial holomorfa quadrática. Veja também [ACFT]. Além disso, há o espaço Solv(3), muito estudado sob o ponto de vista da dinâmica –mas, pouco estudado sob o ponto de vista da teoria das superfícies-que tem dimensão do grupo de isometria igual a 3. Há vários problemas geométricos interessantes a serem exploradas nestes espaços homogêneos tridimensionais, alguns são extensões –mudando o que tem que ser mudado- de seus correspondentes Euclideanos, e outros são inteiramente surpreendentes. Na verdade, a primeira pergunta a se fazer é se os teoremas clássicos no espaço Euclideano, como o teorema de Hadamard (caracterização dos ovalóides) e sua generalização o teorema de Stoker (“uma superfície completa com curvatura de Gauss
K>0 em R3 é ou bem homeomorfa a um plano ou a uma esfera”), o teorema de Hopf (caracterização da esfera) são válidos nestes espaços. Já se sabe alguns resultados neste sentido [A-R]. Todavia, por exemplo, o princípio de Alexandrov no espaço de Heisenberg e os resultados geométricos decorrentes deste, ainda é um interessante problema em aberto. Por outro lado, um teorema tipo Hopf na geometria solve e outros resultados da teoria das superfícies neste espaço ainda não foram devidamente explorados. O que é motivador, como dissemos antes, é a quantidade enorme de exemplos- muito maior que nos já bem batidos space form- de superfícies mínimas e de curvatura média constante, encontrados recentemente nos espaços produtos, principalmente em H2×R. Tais exemplos, como a superfície mínima tipo Scherk dada por uma fórmula explícita em H2×R, tem um papel importante na construção de exemplos fazendo uso de técnicas de barreiras para resolver certos problemas de Dirichlet-Douglas-Rado [R], [C-R], [N-R].
Este estudo está relacionado com a teoria das superfícies mínimas (ou com curvatura média constante) imersas no produto M2×R, onde M é uma superfície Riemanniana. O projeto abrange questões da teoria das hipersuperfícies em Mn×R, onde Mn é uma variedade Riemanniana de dimensão n, mais geralmente, envolve estudo de hipersuperfícies em Mn×Rk, onde Rk éum espaço Euclideano de dimensão k. Um outro desdobramento é o estudo das superfícies de Weingarten que tem sido muito estudadas no espaço Euclideano e no espaço hiperbólico. Veja, por exemplo, [B-SE], [SE-T1], [SE-T2], [E-G-R].
Problemas em aberto com detalhamentos técnicos relacionados ao projeto:
Dentre os problemas geométricos em torno do tema, destacamos agora os seguintes: 1. Estudo do comportamento geométrico dos fins verticais de curvatura média
constante em H2×R, ou seja, verificar se o comportamento geométrico assimptótico é o mesmo de uma superfície de revolução de curvatura média constante em H2×R.
• Num caso interessante em que a curvatura média é ½, o fim anular rotacional tem certo desenvolvimento assimptótico em r (distância
hiperbólica ao centro) que implica num crescimento exponencial em r. Será interessante comprovar se um fim geral, ou seja, se um gráfico
vertical sobre um domínio exterior tem o mesmo crescimento assimptótico geométrico que as rotacionais de curvatura média ½, .
Exemplos não triviais de tais gráficos verticais sobre um domínio
exterior convergindo fracamente a uma rotacional (o fim é vertical, não
possuindo pontos assimptóticos a uma altura finita) foram construídos em [N-SE]. Será que um tal gráfico converge geometricamente a um fim rotacional? Tal pergunta foi feita em [N-SE] . No espaço Euclideano um gráfico mínimo sobre um domínio exterior converge
geometricamente a um fim tipo catenóide ou tipo plano.
Tal fato sendo provado pode-se chegar a demonstrar um resultado tipo Schoen [S] para uma superfície completa de tipo topológico finito propriamente mergulhadas em H2×R, com curvatura média ½ e dois fins tipo anel, concluindo que neste caso a superfície deve ser de revolução.
• Quando a curvatura média é estritamente menor que ½, o crescimento de um fim anular rotacional é linear em r e não exponencial, mas um problema de Dirichlet exterior análogo pode ser colocado e também o comportamento assimptótico de um fim vertical, quando a curvatura média é <1/2.
2. Construção de exemplos não triviais, resolvendo certo problema de Dirichlet exterior ou certo problemas de tipo Plateau (Douglas-Radó) para superfícies de curvatura média constante. Por exemplo:
• Construção de gráficos verticais mínimos ou de curvatura média constante com certas propriedades geométricas, o bordo é uma curva convexa num slice de H2×R, o bordo assimptótico é um círculo, i. e, o fim é rotacional [SE-T4], [SE-T6].
• Dada uma curva mergulhada, fechada e retificável em H3
é interessante investigar a existência de um disco imerso bordando esta curva e cuja curvatura média seja 1. Sobretudo é interessante encontrar condições geométricas para que tal disco seja mergulhado. Tal problema está
relacionado com o Problema de Plateau para a curvatura média 1 em H3 . Idem para o caso em que a curvatura média é constante e está entre 0 e 1. • Analogamente, dada uma curva megulhada, fechada e retificável em
H2×R é interessante investigar a existência de um disco mergulhado
bordando esta curva e cuja curvatura média seja 1/2. Tal problema está relacionado com o Problema de Plateau para a curvatura média 1/2 em
H2×R. Idem para o caso em que a curvatura média é constante e está entre 0 e 1/2.
3. Estabilidade e resultados tipo Schoen, Meeks-White. Devido à geometria dos catenóide mínimos de H2×R e das superfícies de revolução com média constante
H≤ ½ [SE-T3], [N-SE-T-W].
• É natural a pergunta do número de anéis mínimos (ou de curvatura média constante) bordando dois círculos em planos paralelos de H2×R. No caso
Euclideano serão 0, 1 ou 2 anéis mínimos [M-W] . Existem generalizações deste resultado para duas curvas convexas contidas em planos paralelos. No caso de duas curvas “paralelas”o teorema de Schoen diz que qualquer superfície mínima bordando estas curvas tem que ser um anel [S].
• Claro que tais questões são naturalmente colocadas em H2×R, e tem um
contraparte n-dimensional em Hn×R, estendida também para curvatura média constante satisfazendo H≤ ½.
4. Estabilidade e curvatura total finita. Identificando a(s) boa(s) noção(ões) de
curvatura total e extrair resultados geométricos, via resultado tipo os obtidos em [B-C-S] .
• Caracterizações de hipersuperfícies estáveis, via resultados tipo do Carmo- Peng [C-P], Fischer-Colbrie and Schoen [FS-S], dentre outros.
• Estimativas a priori de curvatura, via resultados tipo Schoen [S-2] ou tipo Bérard- Hauswirth [B-H].
• Uma conjectura interessante e geral é que uma superfície estável, completa e com curvatura média ½ em H2×R é ou bem um horocilindro (ou seja, um gráfico horizonta inteiro) ou bem é um gráfico vertical
inteiro curvatura média 1.
5. Problemas tipo Alexandrov e Bernstein quando o ambiente é um espaço homogêneo tridimensional, notadamente o espaço de Heisenberg. No caso
Euclideano e hiperbólico existem muitos resultados interessantes nesta linha. Veja bibliografia em [SE-T6]. Recentemente, foi demonstrado um resultado tipo
Bernstein no espaço de Heisenberg [F-M3].
6. Caracterizações de superfícies de curvatura média constante com uma dada propriedade geométrica, e. g, o bordo é um círculo [N-SE-S-T]. Tais questões podem ser estendidas para superfície com curvatura de Gauss extrínseca positiva [E-G-R], com possíveis generalizações n- dimensionais.
7. Estudo geométrico das superfícies de Weingarten, e. g, superfícies com curvatura de Gauss extrínseca constante positiva em H2×R, S2×R e, mais geralmente, superfícies de Weingarten em espaços homogêneos tridimensionais. Encontrar uma boa definição (ou adaptação), já que as totalmente umbílicas não têm
necessariamente curvatura média constante, veja [Su-T] e estabelecer estimativas a priori da altura [A-E-G2], [E-G-R]. Note que é tentador considerar as
Weingarten lineares da forma a H +b K=c, onde H, K são as curvaturas média e curvaturas de Gauss (intríseca ou extrínseca), a, b, c são constantes. Mas, é preciso que seja feito o estudo comparativo com as superfícies paralelas para ver qual é a generalização mais natural. Este estudo comparativo deverá ser feito via o estudo das rotacionais, sendo que uma tal análise nos foi sugerida por Espinar e Galvez numa recente visita à PUC-Rio.
8. Generalizações das height estimates de Aledo, Espinar e Galvez para o caso n- dimensional, considerando hipersuperfícies de curvatura média constante em
Hn×R, Sn×R, e extraindo possíveis conseqüências geométricas destas. Tal projeto
está sendo iniciado com a colaboração de J. M. Espinar e J. A. Galvez da Universidade de Granada.
9. Problemas de Dirichlet sobre domínios admissíveis ilimitados (e. g. domínio exterior clássico) em H2×R para a equação da curvatura média constante H, com
0<H<1/2. Recentemente vários trabalhos em H2×R sobre a equação da superfície
mínima foram obtidos [N-R], [H-SE-T] , [C-R], [F-M1], [S-E], [SE-T7], mas ainda há muito a ser feito quando H está entre 0 e ½, embora haja vários artigos a respeito [Sp], [H-R-S], [N-SE-S-T].
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