Projeto de acopladores ópticos utilizando algoritmo genético

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LIMEIRA 2016

JAQUELINE OLIVEIRA ZAMPRONIO

PROJETO DE ACOPLADORES ÓPTICOS UTILIZANDO

ALGORITMO GENÉTICO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE

CAMPINAS

Faculdade de Tecnologia

JAQUELINE OLIVEIRA ZAMPRONIO

PROJETO DE ACOPLADORES ÓPTICOS UTILIZANDO

ALGORITMO GENÉTICO

Dissertação apresentada à Faculdade de Tecnologia da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestra em Tecnologia, na Área de Sistemas de Informação e Comunicação.

Orientador: MARCOS SERGIO GONÇALVES ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO

DEFENDIDA PELA ALUNA

JAQUELINE OLIVEIRA ZAMPRONIO, E ORIENTADA PELO PROF. DR. MARCOS SERGIO GONÇALVES

LIMEIRA 2016

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DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM TECNOLOGIA

ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: Sistemas de Informação e Comunicação

PROJETO DE ACOPLADORES ÓPTICOS UTILIZANDO ALGORITMO GENÉTICO

Jaqueline Oliveira Zampronio

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

Prof. Dr. Marcos Sergio Gonçalves FT-UNICAMP

Presidente

Prof. Dr. Carlos Henrique da Silva Santos IFSP Itapetininga

Prof. Dr. Edson Luiz Ursini FT-UNICAMP

A Ata de Defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

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Dedicatória

Dedico este trabalho ao Genival e à Iara que jamais mediram esforços para realizar os meus sonhos, que me ajudaram em tudo que precisei que me guiaram pelos caminhos corretos e que me ensinaram a ser uma pessoa boa, respeitadora e fiel a Deus. A eles devo tudo o que eu sou e tenho orgulho de chamá-los de pai e mãe. Eu amo muito vocês!

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Agradecimentos

Quero agradecer primeiramente a Deus, pela vida, pela família, pelos amigos que ele me deu, por todas as oportunidades e portas abertas no meu caminho.

Aos meus pais, pelo amor, carinho, dedicação e apoio que me deram sempre, sendo a base da minha vida, contribuindo para a minha formação profissional e pessoal.

Aos meus irmãos e familiares que sempre me ajudaram, me aconselharam e me deram força para continuar a caminhar.

Ao meu namorado Guilherme, com quem gosto de partilhar a vida. Obrigada pelo amor, carinho, compreensão, incentivo, apoio e pelos conselhos, me ajudando a ser feliz e alegre.

Aos meus amigos, que me acompanharam e me ajudaram nos estudos durante todo este tempo de faculdade, dos quais nunca esquecerei.

Ao meu orientador Prof. Dr. Marcos Sergio Gonçalves, que me ajudou e me ensinou muito com sua cobrança, confiança, dedicação e atenção neste projeto.

A todos os professores da Faculdade de Tecnologia, especialmente, Francisco, Cristiano, Leonardo, Talia, Edson, Rangel, Ivan, Marli e Jaime, que contribuíram muito para a minha vida acadêmica e meu desenvolvimento como profissional.

A aqueles que, de alguma forma, diretamente ou indiretamente, contribuíram para que eu chegasse até aqui.

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RESUMO

Este projeto é uma proposta de um novo acoplador óptico para a aplicação em circuitos ópticos integrados. O dispositivo foi desenvolvido utilizando o método dos elementos finitos vetorial 3D associado com o algoritmo genético e leva em consideração guias de onda com diferentes altura, largura e índices de refração. O comprimento total do acoplador óptico é de apenas 4,22 µm e o seu funcionamento é baseado em pequenos segmentos cilíndricos que interferem na propagação da onda eletromagnética de modo a realizar o acoplamento óptico entre os guias de onda de entrada e saída. Os resultados mostram que a eficiência de acoplamento foi maior que 80% na região do comprimento de onda de 1,55 µm.

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ABSTRACT

This project is a proposal of a new optical coupler to be applied in optical integrated circuits. The device have been developed using the 3D Finite Element Method associated to the Genetic Algorithm and it takes into account optical waveguides with different height, width and refractive indices. The total coupler's length is only 4.22 µm and its operation is based on small cylindrical segments which interfere in the electromagnetic waves propagation by performing the optical coupling between input and output waveguides. The results show that the coupling efficiency is greater than 80% in wavelength region of 1.55 µm.

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Lista de Ilustrações

Fig. 2.1 - Guias de onda dos tipos (a) rib, (b) strip, (c) ridge e (d) buried. ... 6

Fig. 2.2 - Propagação da onda eletromagnética no guia de onda de modo TE... 7

Fig. 2.3 - Guia de onda dielétrico laminar. ... 8

Fig. 2.4 - Aproximação para análises em 3D de guias de onda dielétricos. ... 14

Fig. 3.1 - Divisões e subdivisões do algoritmo bio-inspirado. ... 17

Fig. 3.2 - Processo de crossover e mutação. ... 22

Fig. 3.3 - Elemento de aresta tetraédrico. ... 25

Fig. 3.4 - Configuração do algoritmo genético utilizado em conjunto com o método dos elementos finitos. ... 34

Fig. 3.5 - Fluxograma do AG utilizado em conjunto com o FEM. ... 35

Fig. 4.1 - Geometria do guia de onda de entrada adotada para as análises do acoplador óptico proposto. ... 37

Fig. 4.2 - Distribuição da componente x do campo elétrico na secção transversal do guia de onda de entrada. ... 38

Fig. 4.3 - Espalhamento do campo elétrico ao longo do guia de onda de entrada. ... 39

Fig. 4.4 - Geometria do guia de onda de saída adotada para as análises do acoplador óptico proposto. ... 39

Fig. 4.5 - Distribuição da componente x do campo elétrico do modo de propagação fundamental ao longo da secção transversal do guia de onda de saída. ... 40

Fig. 4.6 - Espalhamento do campo elétrico ao longo do guia de onda de saída. ... 41

Fig. 4.7 - Geometria do acoplador proposto. ... 42

Fig. 4.8 - Disposição dos segmentos cilíndricos que ocupam a Região de Otimização. 42 Fig. 4.9 - Geometria utilizada nas análises do acoplador óptico. ... 43

Fig. 4.10 - Dois exemplos da variação simétrica de índice de refração dos segmentos cilíndricos. ... 44

Fig. 4.11 - Contorno da malha utilizada para a discretização do acoplador óptico. ... 45

Fig. 4.12 - Vista frontal da região de otimização observada a partir do guia de entrada, onde é possível verificar os quatro quadrantes formados pelos segmentos cilíndricos.. 47

Fig. 4.13 - Vista frontal da região de otimização observada a partir do guia de entrada, onde é possível observar apenas o primeiro quadrante. ... 47

Fig. 4.14 - Distribuição da componente x do campo elétrico do modo fundamental no acoplador óptico desconsiderando a ação dos segmentos cilíndricos. ... 48

Fig. 4.15 - Distribuição dos segmentos cilíndricos otimizados com índices de refração de 1,0; 1,45 e 1,98. ... 49

Fig. 4.16 - Distribuição da componente x do campo elétrico ao longo do acoplador óptico otimizado com índices de refração de 1,0; 1,45 e 1,98. ... 50

Fig. 4.17 - Distribuição dos segmentos cilíndricos otimizados com índices de refração de 1,0; 1,45 e 3,5. ... 51

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Fig. 4.18 - Distribuição da componente x do campo elétrico ao longo do acoplador óptico otimizado com índices de refração de 1,0; 1,45 e 3,5. ... 52 Fig. 4.19 - Distribuição dos segmentos cilíndricos otimizados com índices de refração de 1,45; 1,98 e 3,5. ... 53 Fig. 4.20 - Distribuição da componente x do campo elétrico ao longo do acoplador óptico otimizado com índices de refração de 1,45; 1,98 e 3,5. ... 54 Fig. 4.21 - Distribuição dos segmentos cilíndricos otimizados com índices de refração de 1,0; 1,98 e 3,5. ... 55 Fig. 4.22 - Distribuição da componente x do campo elétrico ao longo do acoplador óptico otimizado com índices de refração de 1,0; 1,98 e 3,5. ... 55 Fig. 4.23 - Acoplamento óptico em função do comprimento de onda de operação. ... 56

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Lista de Tabelas

Tabela I - Relação de Existência e Relação de Dispersão de cada modo de propagação11 Tabela II - Exemplo de uma população inicial e o fitness de cada indivíduo ... 21 Tabela III - Faces de um elemento Tetraédrico ... 25

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Lista de Abreviaturas e Siglas

SOI: Silicon On Insulator. TE: Transversal Electric. TM: Transversal Magnetic. FEM: Finite Element Method. AG: Algoritmo Genético.

TEM: Transversal Electromagnetic. AE: Algoritmos Evolutivos.

RNAs: Redes neurais artificiais.

SIAs: Sistemas Imunológicos Artificiais. DNA: Deoxyribonucleic Acid.

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Lista de

Símbolos

nn: índice de refração do núcleo do guia de onda dielétrico.

ns: índice de refração do substrato do guia de onda dielétrico.

Hz: componente do campo magnético na direção de propagação (z).

Ez: componente do campo elétrico na direção de propagação (z).

H: vetor campo magnético. : operador nabla.

Jc(t): vetor densidade de corrente de condução.

Jd(t): vetor densidade de corrente de deslocamento.

d: largura.

k: direção de propagação.

βz: constante de fase na direção z.

Ep: modo de propagação par.

Ei: modo de propagação ímpar.

ky: componente y do vetor número de onda.

ω: frequência angular.

µ: permeabilidade magnética do meio.

εn: permissividade elétrica do núcleo.

C1, C2: constantes.

α: constante de atenuação.

εs: permissividade elétrica do substrato.

nef: índice de refração efetivo.

µ0: permeabilidade magnética no vácuo.

ωc: frequência angular de corte.

2

: operador Laplaciano.

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E: vetor do campo elétrico.

n: índice de refração.

k0: número de onda.

: distância do início da PML. R: coeficiente teórico de reflexão.

Nx: componente x da aresta de Whitney.

Ny: componente y aresta de Whitney.

N: aresta de Whitney.

: superfície do plano de incidência. Φin: campo incidente.

Φ1: amplitude do campo incidente.

Φin,x,Φ in,y, Φin,z: componentes x, y e z do campo incidente.

ξi: função de base nodais quadráticas.

i: coeficientes de expansão.

e

: área de cada elemento.

lij: comprimento da aresta definida pelos nós i e j.

L1, L2 e L3: funções de base nodais associadas aos nós 1,2 e 3.

e i a , e i b , e i c : coeficientes de interpolação.

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SUMÁRIO

Capítulo 1 - Introdução ... 1 1.1 - Revisão Bibliográfica ... 1 1.1.2 - Acoplador Óptico ... 2 1.2 - Objetivo ... 2 1.3 - Organização da dissertação ... 3

Capítulo 2 - Guias de Onda Dielétricos ... 4

2.1 - Introdução ... 4

2.2 - Os Guias de Onda Dielétricos ... 5

2.3 - Teoria ... 8

2.4 - Guia de onda 3D ... 13

2.5 - Conclusão ... 15

Capítulo 3 - Técnicas de Modelagem e Programação do Acoplador ... 16

3.2 - Algoritmos Bio-Inspirados ... 17

3.3 - Algoritmo Genético ... 18

3.4 - Método dos Elementos Finitos ... 22

3.5 - Integração FEM e AG ... 33

Capítulo 4 - Resultados Numéricos ... 36

4.2 - Arquitetura ... 36

4.3 - Resultados Numéricos ... 44

4.3.1 - Acoplador otimizado com os índices de refração de 1,0; 1,45 e 1,98 ... 46

Capítulo 5 - Conclusão ... 58

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Capítulo 1 - Introdução

1.1 - Revisão Bibliográfica

Depois dos grandes avanços tecnológicos na área da eletrônica, vive-se atualmente a era da fotônica [1, 2]. Derivada da palavra fóton (luz), a fotônica apareceu quando estudos pesquisavam a possibilidade da utilização da luz para desempenhar papéis da eletricidade na eletrônica. Assim, os dispositivos fotônicos podem realizar funções semelhantes às dos componentes eletrônicos, utilizando a luz como veículo de transmissão. Ao comparar-se os dois dispositivos, vê-se que, por conta das suas características, os fotônicos apresentam maior vantagem. Desta forma, esses componentes apresentam tamanho reduzido, alta velocidade de processamento e grande largura de banda.

Existem inúmeros tipos de dispositivos fotônicos, como: amplificadores ópticos [3], lasers [4], sensores ópticos [5], repetidores [6], conectores [7], adaptadores [8], atenuadores [9], divisores (splitters) [10], acopladores ópticos [11], ressonadores ópticos [12], moduladores ópticos [13], entre outros. Alguns desses componentes têm tamanho reduzido na ordem de micrômetro ou menos. Essa capacidade deve-se ao fato desses dispositivos apresentarem uma alta integração em seus circuitos. Os circuitos integrados ópticos apresentam algumas das seguintes vantagens: baixo consumo de potência e baixa interferência eletromagnética [14].

Outra maneira de se obter dispositivos com tamanhos menores é o uso da plataforma de silício (SOI - Silicon On Insulator) [15, 16, 17, 18, 19]. Essa plataforma compõe as estruturas com camadas de silício e isolantes, o que proporciona um alto índice de refração do silício em relação ao índice das camadas isolantes, ou seja, os componentes que utilizam essa tecnologia apresentam um alto contraste de índice de refração entre o núcleo e os substratos. Isto ocasiona um forte confinamento da luz guiada, permitindo a fabricação de circuitos ópticos altamente integrados.

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1.1.2 - Acoplador Óptico

Os acopladores ópticos são componentes que fazem a conexão entre dispositivos fotônicos de formatos e/ou tamanhos diferentes. Uma das primeiras publicações sobre essas estruturas foi feita por M. D. Petroff em 1966 [20]. Esses primeiros componentes eram, geralmente, utilizados para conectar estruturas ópticas em estruturas de radiofrequência. Com o tempo foram surgindo, rapidamente, vários tipos de acopladores [21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29], sendo os mais conhecidos o acoplador direcional, acoplador de fibra óptica, acoplador segmentado, taper invertido, acoplador de proximidade óptica, acoplador de interferência de modos, entre outros.

Um dos acopladores ópticos mais conhecidos é o taper invertido [30, 31]. Ele tem esse nome porque possui o formato de um cone invertido. Esse dispositivo é muito utilizado para acoplar estruturas de tamanhos diferentes e por apresentar pouca perda de potência, ou seja, sua eficiência é grande quando comparada à potência de saída com a potência de entrada do acoplador. Uma desvantagem apresentada é o tamanho do taper. Ele, normalmente, tem o comprimento de mais de 100µm. Isto não é condizente com as estruturas fotônicas que podem ser altamente integradas.

Diante disso, a tecnologia avança na busca por dispositivos cada vez menores, reduzindo o custo de fabricação. Por esta razão, a tecnologia SOI é muitas vezes incorporada à arquitetura dos acopladores ópticos, porque , como citado anteriormente, o uso do silício contribui para a alta integração. E para ajudar nessa missão, também, utilizam-se simuladores rebuscados que trabalhem com soluções heurísticas para essas estruturas que apresentam uma geometria complicada, pois eles auxiliam no teste do desempenho dos componentes reduzidos.

1.2 - Objetivo

Este projeto é uma proposta de otimizar um acoplador óptico micro-to-nano com tamanho reduzido, utilizando-se o Método dos Elementos Finitos vetorial em três dimensões no domínio da frequência para analisar a propagação da onda eletromagnética da estrutura e o Algoritmo Genético para ajudar a encontrar a melhor configuração para maximizar o acoplamento óptico em uma plataforma SOI para que haja uma alta integração do circuito.

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1.3 - Organização da dissertação

Essa dissertação está dividida em 5 capítulos, como mostrado a seguir:

 Capítulo 2: apresenta os guias de onda dielétricos, pois o acoplador óptico é formado por esses guias. Portanto, este capítulo é para se entender a teoria destas estruturas, descrevendo o seu funcionamento - desde a propagação da onda até os modos de propagação (TE e TM)-, os tipos existentes e o método utilizado para analisar os guias em três dimensões;

 Capítulo 3: este capítulo apresenta toda a metodologia empregada no trabalho, utilizando o Método dos Elementos Finitos vetorial em três dimensões (FEM) e o Algoritmo Genético (AG). Descreve-se, primeiramente, a teoria de cada um. Após, explica-se sobre a junção dos dois e como eles trabalham no acoplamento do dispositivo em questão.

 Capítulo 4: esse capítulo descreve detalhadamente toda a arquitetura da construção do acoplador óptico (materiais, dimensões e discretização), as simulações numéricas e os resultados.

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Capítulo 2 - Guias de Onda Dielétricos

2.1 - Introdução

O uso de ondas eletromagnéticas tornou-se o principal meio físico de transmissão em sistemas de telecomunicações para o transporte de informações. Uma onda eletromagnética pode ser utilizada de algumas formas para essa finalidade. Por exemplo, uma fonte eletromagnética omnidirecional pode irradiar as informações igualmente para todas as direções. Esta é uma situação desejável por emissoras de televisão e rádio. Quando se deseja atender somente a uma determinada área, antenas diretivas podem ser utilizadas como elementos irradiantes. Contudo, quando se deseja transmitir dados de um ponto a outro, as ondas eletromagnéticas devem ser guiadas [32].

As estruturas capazes de guiar uma onda eletromagnética podem ser dividas em duas categorias: linhas de transmissão e guias de onda[33]. As linhas de transmissão são utilizadas para realizar o guiamento de ondas eletromagnéticas transversais (ondas TEM – Transversal Electromagnetic waves). Esses dispositivos são, em geral, constituídos de dielétricos e dois condutores, sendo que o guiamento da onda é realizado por meio de múltiplas induções de corrente nestes condutores. Devido às altas perdas desses condutores, as linhas de transmissão não são utilizadas quando as frequências de operação dos sistemas de telecomunicações são altas [32].

Na região óptica, que compreende as regiões do infravermelho, visível e ultravioleta do espectro eletromagnético, o guiamento da onda é realizado utilizando-se guias de onda dielétricos. Esses guias de onda são constituídos por dois ou mais dielétricos de diferentes índices de refração e o guiamento é realizado por meio de múltiplas reflexões totais e podem ser classificados conforme a geometria de sua seção transversal: cilíndrica ou retangular. Os guias cilíndricos, também conhecidos como fibras ópticas, são utilizados em transmissão envolvendo grandes distâncias, enquanto que os retangulares são empregados no desenvolvimento de dispositivos e circuitos ópticos integrados [34].

Este capítulo tem como finalidade descrever a teoria de guias de onda dielétricos. Serão apresentados os diferentes tipos de guias de onda retangulares, a

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formação de ondas eletromagnéticas do tipo TE e TM, a teoria em duas dimensões para os guia de onda e a metodologia empregada para as análises de guias de onda em três dimensões.

2.2 - Os Guias de Onda Dielétricos

O guia de onda dielétrico é um tipo de estrutura óptica utilizada para o confinamento, guiamento e direcionamento da propagação da onda eletromagnética em transmissão de alta frequência. Essa estrutura, geralmente, tem a forma cilíndrica ou retangular, sendo muito utilizada na fibra óptica, em que a estrutura chega a quilômetros de distância, e em óptica integrada, como é o caso de filtros ópticos, ressonadores, acopladores, interferômetros, moduladores, lasers, sensores, entre outros, nos quais o tamanho é de 1 mm ou menos.

Neste trabalho optou-se em modelar e otimizar guias de onda retangulares do tipo rib (Fig. 2.1(a)), por apresentarem baixas perdas. Porém, ainda existem os tipos de guias retangulares, dentre eles: strip (fita), ridge (ranhura), buried (enterrado), que têm os índices de refração dos núcleos (nn) diferentes dos índices de refração dos substratos

(ns), obedecendo ao princípio de reflexão total, no qual a condição para que a onda se

propague é nn > ns. A Fig. 2.1 mostra esses guias citados anteriormente.

(21)

(b)

(c)

(d)

(22)

Devido ao princípio da reflexão total, as ondas que se propagam em um guia de onda dielétrico são as ondas TE (transversal electric) e TM (transversal magnetic). No caso do modo TE, aparece uma componente do campo magnético na direção de propagação, ou seja, na direção z (Hz), enquanto que do campo elétrico Ez é nula. Já no

modo TM, é o campo elétrico que tem uma componente na direção de propagação (Ez)

e, desta forma, o campo magnético Hz é nulo.

A Fig. 2.2 mostra, de forma ilustrativa, o aparecimento da componente Hz (onda

TE) quando a onda eletromagnética se propaga no guia de onda dielétrico. O surgimento desta componente é modelado pela Lei de Ámpere das Equações de Maxwell:

) ( ) (t _d t c J J H    (2.1)

onde H é o campo magnético (A/m), Jc(t) é a densidade de corrente de condução (A/m2)

e Jd(t) é a densidade de corrente de deslocamento (A/m2). Sendo assim, o guia de onda,

ao contrário do cabo coaxial, não tem corrente de condução e, portanto, aparece uma corrente de deslocamento.

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2.3 - Teoria

Para facilitar a compreensão de como a onda se propaga no guia de onda dielétrico, o equacionamento é descrito através da teoria desse guia, baseando-se em guia de 2D como o laminar (slab), pois a formulação para 3D é muito complexa. Uma das formas de descrever um guia dielétrico em 3D é utilizando o método dos elementos finitos (FEM) que é explicado em no Capítulo 3. A Fig. 2.3 mostra o campo elétrico no guia de onda laminar, as dimensões em 2D e a largura do núcleo d.

Fig. 2.3 - Guia de onda dielétrico laminar.

Para descrever o campo elétrico do guia citado, a equação de onda escalar é apresentada a seguir: 0 2 2    E_z k E_z (2.2) 0 2 2 2 2 2        z z z _k _E y E z E (2.3)

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onde 2 é o operador laplaciano, Ez é campo elétrico na direção z e k é o número de onda. Como j z z z y z E y e E( , ) ( )  , substituindo na equação (2.3): 0 ) ( ) ( ) ( ₂ 2 2         z z j z z z j j z k E ye y y E e e y E    (2.4)

onde βz é a constante de fase na direção z.

0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2       y E k y y E z z  (2.5)

A solução da equação de onda é:

) ( ) cos( ) (y E k y Esen k y Ez  p y  i y (2.6)

onde Ep é modo de propagação par, o Ei é modo de propagação ímpar e ky é a

componente y do vetor número de onda.

Como a solução da equação de onda tem funções pares e ímpares, os modos de propagação serão TM par, TM ímpar, TE par e TE ímpar. Com isso, substituindo uma das soluções da equação de onda, temos:

0 ) cos( ) (ky22k2 Ep kyy  0 2 2 2_ _ _ ky  k 2 2 2_  _ n y k (2.7)

onde ω é a frequência angular (rad/m), µ é permeabilidade magnética do meio e εn é a

permissividade elétrica do núcleo. A equação (2.7) é chamada de relação de dispersão do núcleo.

Sabe-se que, no substrato, a equação de onda é:

-d/2 y para d/2 y para ) ( ) 2 / ( 2 ) 2 / ( 1       _yy__dd z e C e C y E _  (2.8)

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onde C1 e C2 são constantes, α é constante de atenuação e d é a largura do núcleo. Desta

forma, substituindo uma das soluções na equação de onda, tem-se a seguinte relação de dispersão do substrato: s    2 2 2 (2.9)

onde εs é a permissividade elétrica do substrato.

No modo TM ímpar, tem-se as seguintes ondas no núcleo:

) ( ) (y Esen k y E_Z  _i _y (2.10a) ) cos( ) ( k y k E j y E y y i y    (2.10b) ) cos( ) ( k y k E j y H _y y i n x   (2.10c)

No substrato (y ≥ d/2), iguala-se y = d/2 na equação 2.8 e encontra-se

) 2 / ( 1 Esenk d C  i y , assim tem-se: ) 2 / ( ) 2 / ( ) ( i y y d z y Esen k d e E    (2.11a) ) 2 / ( ) 2 / ( ) ( i _y y d y sen k d e E j y E      (2.11b) ) 2 / ( ) 2 / ( ) ( y y d i s x sen k d e E j y H      (2.11c) Para y ≤ -d/2: ) 2 / ( ) 2 / ( ) ( y d y i z y Esen kd e E    (2.12a) ) 2 / ( ) 2 / ( ) ( _i _y y d y Esen k d e j y E      (2.12b)

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) 2 / ( ) 2 / ( ) ( s _i _y y d x Esenk d e j y H      (2.12a)

Aplicando as condições de contorno para campo magnético em uma das superfícies de separação tem-se y = d/2 ou y = -d/2. Desta forma, chega-se na equação 2.13 que é chamada de relação de existência de um modo de propagação.

) 2 / ( ) 2 / cos(kd j E sen k d k E j y i s y y i    _  ) 2 / ( dk tg k _n y s y    _ (2.13) Somando as duas relações de dispersão, tem-se:

s n y k     2 2  2  2 2 2 ) ( _n _s k_y      (2.14) ) 2 / ( ) ( 2 2 d k tg k k _y n s y y s n                (2.15)

Assim, a relação de existência de um modo de propagação e a relação de dispersão dos modos TM e TE ímpares e pares são mostradas na Tabela I a seguir [14]. Observe que, na relação de dispersão (equação 2.15), o ky é transcendental e a solução

passa a ser numérica ou gráfica.

Tabela I - Relação de Existência e Relação de Dispersão de cada modo de propagação: Modos de Propagação Relação de Existência Relação de Dispersão TM ímpar ) 2 / ( dk tg k _n y s y    _ ) 2 / ( ) ( 2 2 d k tg k k y n s y y s n                TM par ) 2 / ( cotg k d k _n y s y    __ ) 2 / ( cot ) ( 2 2 d k g k k _y n s y y s n                 TE ímpar ) 2 / ( dk tg k_y  y  2 ₍ ₎ 2 ₍ _/₂₎ d k tg k k_y _y _y s n      TE par ) 2 / ( cotg k d k_y  y  2 ₍ ₎ 2 _cot ₍ _/₂₎ d k g k ky y y s n     

(27)

Os modos de propagação têm frequências de corte características. Se a frequência da onda propagante for menor que a frequência de corte, a onda não se propaga, pois o comprimento de onda é muito grande o que, consequentemente, faz com se perca o guiamento. Sabe-se que β = nefk0, onde nef é o índice de refração efetivo que

corresponde a um valor entre ns < nef < nn. Como β está em função da frequência, o nef

também varia com a frequência. Entretanto, essa relação não é obedecida quando a frequência em operação é menor ou igual à frequência de corte, pois o nef = 1 é o menor

índice de refração do guia (ns) do qual não há guiamento.

Sendo assim, para haver guiamento é necessário que o β do modo de propagação seja um intermediário a ns e nn (ks < β(ω) < kn). Na frequência de corte β será igual a ky e

α será nula. Portanto, o guia deixa de conduzir a onda eletromagnética. Dessa maneira, tem-se que na frequência de corte α = 0 e   _s₀ (e como na relação de dispersão

do núcleo 0 2

2

2_  _

n y

k ). Logo, somente na frequência de corte há:

0 2 0 2 2      s n y k   (2.16)

onde µ0 é a permeabilidade magnética no vácuo.

Substituindo ky na relação de existência dos modos TM ímpares, com α = 0:

       2 d k tg k _n y s y    0 2     d k tg y Como 2 ₀ 0 2    _c _n _c _s y

k   (onde ωc é a frequência angular de corte), então:





0 2 0     _ s n c d tg    



 

  

  1 2 0      _ n d s n c , para n = 1, 2, 3, ...

(28)

) ( 1 0 n s c d n f       . (2.17)

No caso dos modos pares:





0 2 cot 0     _ s n c d g    



 



               _ 2 1 2 0 n d s n c , para n = 1, 2, 3, ... ) ( 2 / 1 0 n s c d n f       . (2.18)

Nas equações anteriores, n é um número inteiro positivo que definirá os diferentes tipos de modos de propagação. Logo, os modos de propagação serão da forma TEn ou TMn. Ainda, pelas equações (2.17) e (2.18), os modos que possuem as

menores frequências de corte são os modos TE1 e TM1 e são conhecidos como modos

fundamentais.

2.4 - Guia de onda 3D

Nas análises em três dimensões de guias de onda dielétricos, em geral, assume-se duas aproximações. A primeira aproximação é adotada para a simplificação da geometria dos guias. A Figura 2.4 corresponde à seção transversal dos guias de onda mostrados na Figura 2.1. Pela Figura 2.4, é possível observar nove regiões distintas que deverão ser analisadas. Entretanto, as análises tornam-se difíceis de serem realizadas, pois há a necessidade de se aplicar todas condições de contorno simultaneamente. Essa dificuldade origina-se nas regiões de cor laranja. São nessas regiões que ocorre o acoplamento entre as componentes x e y dos campos eletromagnéticos. Assim, adota-se que os campos nesses locais são nulos[35].

A segunda aproximação ocorre ao adotar-se as equações de onda escalares para os campos elétricos e magnéticos. Contudo, essa aproximação só é valida quando o

(29)

contraste de índice de refração entre núcleo e subtrato for baixo. Para contrastes altos, também, ocorrerá o acoplamento entre as componentes x e y e, com a formulação escalar, não é possível analisá-lo. Para verificar esse fato, observa-se a equação de onda vetorial, dada por:

0 2 2       E k nE . (2.19)

Fig. 2.4 - Aproximação para análises em 3D de guias de onda dielétricos.

Além da aproximação adotada, também, assume-se que o contraste de índice de refração entre o núcleo e o substrato é pequeno, sendo possível desconsiderar o acoplamento entre as componentes x, y e z do campo elétrico e do campo magnético. Dessa forma, as análises em guias de onda 3D são realizadas por meio das equações de onda escalares. 0 2 2       E k nE (2.19)

Considerando um meio não homogêneo e com cargas elétricas, a equação (2.19) pode ser escrita como [34]:









                      ₂ 0 0 2 2 2 1 ln n k k i n n k 2E E J J   , (2.20)

(30)

onde 2 é operador Laplaciano e J é o vetor densidade de corrente elétrica. Desconsiderando a densidade de corrente elétrica em dielétricos, a equação de onda vetorial torna-se:



2 2 2





2



ln n n k     E E . (2.21)

Observa-se que no lado direito de (2.21) há o termo ln n2 e que o índice de refração n varia em função de x e y. Nas fronteiras entre os materiais que constituem os guias de onda ocorre uma transição abrupta nos índices de refração, fazendo-se que este termo não seja nulo nessas regiões. Se o contraste entre os índices de refração for alto, o vetor 



Eln n2



não pode ser desprezado nas soluções dos campos e, consequentemente, a equação de onda escalar não pode ser utilizada.

A equação (2.19) é uma equação vetorial e não possui solução analítica, pois as componentes x, y e z não são independentes. Para resolvê-lá, deve-se utilizar um método numérico. Para isso, neste trabalho, adotou-se o método dos elementos finitos vetorial no domínio da frequência que será descrito no Capítulo 3.

2.5 - Conclusão

Neste capítulo estudou-se sobre guias de ondas dielétricos. Essas microestruturas, que têm papel importante nas comunicações ópticas por apresentarem pouca perda e grande largura de banda, compõe o acoplador micro-to-nano deste trabalho. Sendo assim, o conhecimento do funcionamento da propagação da onda eletromagnética dentro do guia e o equacionamento 2D e, principalmente, na 3D se faz necessário para fazer a simulação. Como foi visto, a formulação que descreve como a onda se propaga é complexa e deve ser resolvida com métodos nos casos estudados.

(31)

Capítulo 3 - Técnicas de Modelagem e Programação do Acoplador

3.1 - Introdução

A rápida evolução de diversas tecnologias que a humanidade presencia exige cada vez mais o processamento e transmissão de dados em altas taxas. Dessa forma, a evolução dos dispositivos destinados a essas tarefas deve ser rápida de forma a atender aos requisitos estabelecidos. Nesse contexto, diversos grupos de pesquisas trabalham, desenvolvendo sofisticados circuitos integrados. Recentemente, os circuitos integrados ópticos ganharam destaque devido às suas vantagens em relação aos circuitos eletrônicos, tais como alta largura de banda, baixo consumo de potência, baixa interferência eletromagnética, entre outras [36].

Define-se circuito integrado óptico ou fotônico uma única estrutura capaz de agregar duas ou mais funcionalidades ópticas, como, por exemplo, gerar, detectar, filtrar e multiplexar um sinal óptico contendo informações. Porém, um dos desafios atuais envolvendo pesquisas de circuitos ópticos integrados densos é o desenvolvimento de dispositivos ópticos em tamanhos reduzidos em relação aos já existentes, mantendo-se o mesmo desempenho [37, 38]. Felizmente, o uso de sofisticados simuladores é um grande aliado para superar esse desafio. Dentre os programas destinados a estas áreas, os simuladores que trabalham com soluções heurísticas ganham destaque, principalmente quando os dispositivos em análise possuem geometrias muito complexas.

Neste trabalho, o acoplador óptico proposto foi modelado utilizando-se um método e um algoritmo bem conhecidos na literatura: o método dos elementos finitos vetorial em três dimensões[39] operando em conjunto com um método bio-inspirado, no caso, o Algoritmo Genético [40]. O Algoritmo Genético foi escolhido devido à sua fácil implementação e, relativamente, bom desempenho a problemas do tipo [41]. O objetivo deste capítulo é descrever os princípios básicos do Algoritmo Genético e como foi realizada a sua integração junto ao método dos elementos finitos. Este capítulo vai descrever a definição desse algoritmo, a sua configuração utilizada e a integração com o método dos elementos finitos.

(32)

3.2 - Algoritmos Bio-Inspirados

O projeto do acoplador óptico proposto é baseado em soluções heurísticas, ou seja, em face do objetivo a ser alcançado criam-se diversas soluções para o problema. Essas soluções são testadas e selecionam-se as que possuem melhores aptidões. A partir destas soluções, outras são geradas, por meio de um determinado algoritmo. Nesta dissertação, optou-se pelos algoritmos bio-inspirados.

Os algoritmos bio-inspirados se utilizam da natureza como metáfora em projetos computacionais para a solução de problemas complexos. Umas das motivações do surgimento da computação natural é o fato de que em cada geração evoluída (nova geração) os indivíduos podem apresentar um desempenho melhor (otimizado) em relação aos seus ascendentes.

Um dos primeiros estudos utilizando um algoritmo bio-inspirado foi em 1943 no trabalho de McCulloch em que os sistemas neurais foram desenvolvidos por meio de um modelo matemático [42]. Desde esse ano, diversos algoritmos foram analisados e implementados. A Fig. 3.1 mostra as várias classes de algoritmos bio-inspirados e suas subdivisões, incluindo o algoritmo genético que foi utilizado nesse trabalho [43, 44].

(33)

Os algoritmos evolutivos (AE) baseiam-se em teorias da evolução como a seleção natural e a genética [45]. Esses métodos apresentam processos estocásticos de busca global de um ou mais objetivos,tendo como principais vantagens, relativamente, o seu bom desempenho em encontrar boas soluções em funções complexas, a sua variabilidade de aplicações e a facilidade de utilização.

Originado no fim da década de 1980, o termo inteligência coletiva trata de qualquer grupo de agentes que se interagem coletivamente. Portanto, este algoritmo é inspirado no comportamento coletivo inteligente de insetos e outras sociedades animais para a solução de problemas. Suas principais propriedades são proximidade (interação entre os agentes), qualidade (avaliação do comportamento dos agentes), diversidade (reação à situações inesperadas), estabilidade (nem sempre há variação do ambiente) e adaptabilidade (adequação à variações do ambiente).

Redes neurais artificiais (RNAs), como o nome sugere, são algoritmos que têm modelos matemáticos inspirados nas estruturas neurais dos seres vivos para processar e armazenar conhecimento. Este foi um dos primeiros algoritmos bio-inspirados desenvolvido pelo psiquiatra Warren McCulloch e o matemático Walter Pitts (1943) [42] e posteriormente por Donald O. Hebb (1949) [46] e Frank Rosenblatt (1958) [47]. Eles têm alguns componentes importantes como: conexões, elementos de processamento, padrões e funções (modelos matemáticos) [48].

Por fim, os sistemas imunológicos artificiais (SIAs) são algoritmos que apresentam características adaptativas e evolutivas para a solução de problemas se baseando no sistema imunológico dos seres vertebrados [49]. Originou-se na década de 1990 com Bersini [50], que utilizou esse método para resoluções de problemas, Forrest (segurança computacional) [51] e Hunt (aprendizagem de máquina) [52]. Os SIAs são utilizados, principalmente, para: reconhecimentos de padrões, otimização de processos, diversidade de população, detecção de erros, memória, segurança de redes e aproximação de funções.

(34)

O AG, como o nome sugere, baseia-se em uma das teorias da evolução mais conhecidas, a teoria da Seleção Natural de Charles Darwin. Segundo essa teoria, pode haver mudanças nas características genéticas de uma população de uma geração a outra por meio de mutações dos genes e da recombinação dos genes entre pais, no qual os filhos tendem a apresentarem materiais genéticos mais aptos à sobrevivência.

Baseando-se nessa teoria, John Holland apresentou e implementou o AG em 1975 [53] junto com seus alunos, sendo um deles David Golberg (1989) [54]. Basicamente o AG manipula uma população de indivíduos dos quais podem ser possíveis soluções de um determinado problema. Esses indivíduos são combinados uns com os outros por crossover, o que pode produzir filhos com mutação ou não. As populações vão evoluindo através de inúmeras gerações até chegar a uma solução otimizada.

Este algoritmo é um método estocástico de busca global e otimização, no qual gera-se várias soluções (populações) [55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62] e usa a informação obtida para se conseguir soluções que podem ser mais adequadas a satisfazer aos objetivos desejados. As técnicas destinadas à otimização de uma solução, geralmente, necessitam de espaço de busca (em que estão todas as possíveis soluções do problema) e de função objetivo (utilizada para avaliar as soluções produzidas, associando a cada uma delas com uma nota ou peso). Para ser abordado por um algoritmo genético, um problema deve ser modelado por dois itens [41]:

• Representação Cromossomial: cadeia de números ou caracteres que define uma possível solução para o problema. Equivalente à fita do DNA.

• Função de Avaliação: responsável por dar uma nota (fitness) para cada indivíduo (candidato à solução). Essa nota deve medir o quão adaptado (próximo da solução) o indivíduo está.

A Representação Cromossomial e a Função de Avaliação são os principais pontos que diferenciam dois algoritmos genéticos, além de serem o elo fundamental entre o algoritmo e o problema estudado. A Representação Cromossomial codifica a informação da solução e, portanto, é equivalente ao DNA, enquanto a Função de Avaliação deve conter todo o conhecimento do problema, incluindo suas condições e restrições, e representa o ambiente da Seleção Natural.

(35)

Feito isso, todo algoritmo genético possui basicamente quatro componentes: 1. População Inicial: a primeira geração é criada aleatoriamente (entretanto, quando se sabe a aplicação, pode-se definir uma população inicial) .

2. Avaliação: cada indivíduo da população é avaliado (função objetivo) e recebe uma nota (fitness);

3. Seleção: os indivíduos mais aptos - com maior fitness - têm preferência na composição da próxima geração de soluções;

4. Variação: aleatoriamente e com probabilidades definidas, indivíduos são escolhidos para a reprodução (gerando um ou mais descendentes) e para a mutação.

Os seguintes passos são usados para a geração de algoritmo genético tradicional e básico:

- Gerar a população inicial;

- Avaliar cada indivíduo da população;

- Enquanto o critério pré-estabelecidos de paradanão for satisfeito, é necessário:  Selecionar os indivíduos mais aptos;

 Criar novos indivíduos aplicando os operadores crossover e mutação;  Armazenar os novos indivíduos em uma nova população;

 Avaliar cada cromossomo (estrutura de dados que representa uma possível solução para o problema) da nova população.

A Tabela II mostra um exemplo de uma população inicial com 4 indivíduos e suas probabilidades. A partir desta população será selecionado quem serão os pais, ou seja, quais dos indivíduos serão escolhidos para serem os pais. Para isso se faz uma avaliação entre cada cromossomo segundo o objetivo que se deseja. Aqueles que tiverem maior nota (uma porcentagem maior) são os mais aptos para serem os pais como mostra essa tabela.

(36)

Tabela II - Exemplo de uma população inicial e o fitness de cada indivíduo:

Polução Inicial Probabilidade de Seleção

1 0 1 0 1 57%

0 0 0 1 1 23%

0 1 1 0 0 15%

1 0 1 1 0 5%

Pela tabela, pode-se concluir que o primeiro e o segundo indivíduos são mais aptos para serem os pais. Esses pais selecionados são recombinados pelos fenômenos conhecidos como crossover e a mutação, fazendo com que haja a produção de filhos e permitindo a exploração de áreas desconhecidas do espaço de busca. O crossover é aplicado com uma dada probabilidade denominada taxa de crossover (60% a 90%). Nesta parte, há um ponto de corte na população dos pais que são escolhidos aleatoriamente. Se o crossover é aplicado, os pais trocam suas caldas gerando dois filhos, caso contrário os dois filhos serão cópias exatas dos pais. Já a mutação é aplicada com dada probabilidade, denominada taxa de mutação (de 0% à 10%), em cada um dos bits do cromossomo. A taxa de mutação não deve ser nem alta nem baixa, mas o suficiente para assegurar a diversidade de cromossomos na população.

A Fig. 3.2 mostra o processo descrito anteriormente [63]. Geralmente o ponto de corte para que aconteça o crossover é escolhido aleatoriamente, entretanto, no exemplo dado, apenas os dois últimos bits serão recombinados. Além disso, se pode observar que a mutação nada mais é que a inversão de algum bit.

(37)

Fig. 3.2 - Processo de crossover e mutação.

Existem algumas funções com vários pontos de máximo chamadas funções multimodais que são problemas de otimização global (onde se encontra o máximo global). Sendo assim, uma maneira que ajuda a resolver isto é utilizando o chamado procedimento do elitismo. Esse procedimento não deixa que o crossover ou a mutação destruam o melhor indivíduo, ou seja, a melhor solução encontrada, pois ele transfere a cópia do melhor indivíduo para a geração seguinte.

3.4 - Método dos Elementos Finitos

Este método subdivide um meio em elementos geométricos e utiliza-se funções de interpolação para representarem os campos eletromagnéticos, sendo Ray W. Clough (1956) um dos primeiros a implementar o método dos elementos finitos [64]. Este projeto utilizou o método dos elementos finitos vetorial em três dimensões no domínio da frequência, do qual toda a formulação foi desenvolvida pelo orientador professor Doutor Marcos Sergio Gonçalves. A seguir é apresentado o equacionamento utilizado para analisar a propagação dos campos elétricos e magnéticos dentro de qualquer estrutura (no caso deste trabalho, o acoplador). A equação de onda vetorial no domínio da frequência que será utilizada para as análises é dada por:

 

 ₀2 2

 

0,

  

(38)

onde  = Hxxˆ+ Hyyˆ+ Hzzˆ, p = 1/n2, e q = 1 para o campo magnético ou  = Exxˆ+ Ey

yˆ+ Ezzˆ, p = 1 e q = n2 para o campo elétrico, n é o índice de refração, k0 o número de onda e r = x + yŷ + zẑ. Também, foi adotado o operador nabla modificado e o parâmetro s é definido como [39]:

                  PML, da fora regiões para 1 PML da dentro regiões para 1 ln 2 3 1 2 0 2 R d nd c j s   (3.2)

onde 0 é a frequência angular,  é a distância do início da Perfectly Matched Layer (PML) e d é a espessura da PML e R é o coeficiente teórico de reflexão [65].

Após a divisão do domínio computacional Ω em dois subdomínios Ω1 e Ω2 e o

uso do método de Galerkin para a discretização de (3.1), tem-se para o subdomínio Ω1:

ds n p dV s qk dV p _i _i _in V i V_e _e ˆ 2 2 0          







Φ N Φ N  N Φ (3.3)

onde Nx e Ny são as componentes x e y, respectivamente, da função de base de aresta de

Whitney (N),  é a superfície do plano de incidência e Φin o campo incidente dado por:

 

j z in x y e   Φ₁ , Φ (3.4)

(39)

, 1 1 1 1 in, in, in, in, 2 2 0





                                        e x y e e ds j y N x j N p dV s qk dV p y z i z x i i V i V   N Φ N Φ (3.5)

onde Φin,x,Φ in,y e Φin,z são as componentes x, y e z do campo incidente.

No caso do subdomínio Ω2, fazendo-se o mesmo procedimento, tem-se:

, 2 2 2 2 in, in, in, in, 2 2 0





 _                                         e x y e e ds j y N x j N p dV s qk dV p y z i z x i i V i V   N Φ N Φ (3.6)

Combinando (3.5) e (3.6) para formar o domínio Ω, tem-se:









, 2 2 1 2 1 2 1 2 in, in, in, in, in, in, in, in, 2 2 0





                                                                         e y x e e ds j y y N x x j N p dV s qk dV p y y z z i z z x x i i V i V   N Φ N Φ (3.7)

Considerando _in,_x _in,_x _in,_x

1

2  

 , _in,_y _in,_y _in,_y

1

2  

 e _in,_z _in,_z _in,_z

1

2  



(40)

, 2

in, in, in, in,

2 2 0





 _                         e z y i z x i y y i x x i i e V i e V ds y N x N N j N j p dV s qk dV p   N Φ N Φ (3.8)

A resolução do termo do lado direito de (3.8) foi realizada expandindo-se as componentes de Φin nas funções de base nodais. Logo, tem-se in,x,y,z 



_iii, onde ξi

são as funções de base nodais quadráticas e i são os coeficientes de expansão e que

podem ser obtidos de um método numérico para problemas de autovalores [39].

O lado direito de (3.8) pode ser resolvido utilizando o tetraedro mostrado na Fig. 3.3 como referência. As faces desse elemento foram referenciadas como demonstrado na Tabela III e somente as que estão contidas no plano de incidência  serão levadas em consideração.

Fig. 3.3 - Elemento de aresta tetraédrico.

Tabela III - Faces de um elemento Tetraédrico:

Faces Arestas

(41)

Considerando a Face 1 do tetraedro e que a constante de fase  seja constante dentro de cada elemento, o termo



e x ds

Ni in,x pode ser evoluído considerando que as

componentes x das funções de Whitney nas arestas 1, 2 e 4 são dadas, respectivamente, por [39]: 12 1 2 2 1 1 2 2 l b L b L N _x           , (3.9a) 13 1 3 3 1 2 2 2 l b L b L N x          , (3.9b) 23 2 3 3 2 4 2 2 l b L b L N x          , (3.9c)

onde  é a área de cada elemento, lij é o comprimento da aresta definida pelos nós i e j,

L1, L2 e L3 são as funções de base nodais associadas aos nós 1,2 e 3, respectivamente, e

são dadas por:





, 1,2,3 2 1 ) , (      a b x c y i y x L _ie _ie _ie e e i , (3.10) 2 1 3 5 3 2 3 6 4 4 5 6

(42)

onde e i a , e i b e e i

c são os coeficientes de interpolação e que, conforme descrito anteriormente, a componente _i

i i z

y

x 





_in, _, _, é expandida pelas funções de base nodais quadráticas associadas aos nós centrais de cada aresta do triângulo, dadas por:

2 1 14 LL



, (3.11a) 3 1 2 4 LL  , (3.11b) 3 2 3 4L L  . (3.11c)

Com o procedimento descrito anteriormente, o termo



e ix j

ds N

W é escrito na forma matricial, formando a matriz P, dada por:



2 1



12 11 15 b b l P         _  30 15 1 2 12 12 b b l P       _  15 30 1 2 12 14 b b l P       _  30 15 1 3 13 21 b b l P 13



₃ ₁



22 15 b b l P         _  15 30 1 3 13 24 b b l P       _  30 15 2 3 23 41 b b l P       _  15 30 2 3 23 42 b b l P 23



₃ ₂



44 15 b b l P  

Utilizando o mesmo procedimento para a componente y, o termo



e iy j

ds N

W é

escrito na forma da matricial, representada pela matriz Q:



2 1



12 11 15 c c l Q         _  30 15 1 2 12 12 c c l Q       _  15 30 1 2 12 14 c c l Q

(43)

      _  30 15 1 3 13 21 c c l Q 13



₃ ₁



22 15 c c l Q         _  15 30 1 3 13 24 c c l Q       _  30 15 2 3 23 41 c c l Q       _  15 30 2 3 23 42 c c l Q 23



₃ ₂



44 15 c c l Q   Para o termo



   e j y i ds x N

W , tem-se a matriz R, dada por:



2



1 2 2 12 11 3 b b l R   _          6 6 3 6 3 1 2 1 3 2 2 1 12 12 b b b b b b b l R _          3 6 6 6 3 1 2 1 3 2 2 2 12 14 b b b b b b b l R           6 6 3 6 2 1 2 1 3 2 3 1 13 21 b b b b b b b l R 13



₃2 ₁2



22 3 b b l R   _          6 3 6 6 3 1 2 1 3 2 2 3 13 24 b b b b b b b l R           6 6 6 3 2 1 2 2 3 2 3 1 23 41 b b b b b b b l R _          6 3 6 6 3 2 2 1 3 1 2 3 23 42 b b b b b b b l R 23



₃2 ₂2



44 3 b b l R  

Finalmente, para o termo



   e j y i ds x N

W , tem-se a matriz S, dada por:



2



1 2 2 12 11 3 c c l S   _          6 6 3 6 3 1 2 1 3 2 2 1 12 12 c c c c c c c l S _          3 6 6 6 3 1 2 1 3 2 2 2 12 14 c c c c c c c l S           6 6 3 6 2 1 2 1 3 2 3 1 13 21 c c c c c c c l S 13



₃2 ₁2



22 3 c c l S   _          6 3 6 6 3 1 2 1 3 2 2 3 13 24 c c c c c c c l S           6 6 6 3 2 1 2 2 3 2 3 1 23 41 c c c c c c c l S _          6 3 6 6 3 2 2 1 3 1 2 3 23 42 c c c c c c c l S



2



2 2 3 23 44 3 c c l S  

Fazendo-se o mesmo procedimento para a Face 2 do tetraedro no plano de incidência, as matrizes elementares P, Q, R e S são dadas por:

(44)

Matriz P



2 1





₄ ₁





₂ ₄



55 15 b b l P   Matriz Q



2 1



12 11 15 c c l Q         _  30 15 1 2 12 13 c c l Q       _  15 30 1 2 12 15 c c l Q       _  30 15 1 4 14 31 c c l Q 14



₄ ₁





₂ ₄



55 15 c c l Q   Matriz R



2



1 2 2 12 11 3 b b l R   _          6 6 3 6 4 1 2 1 4 2 2 1 12 13 b b b b b b b l R _          3 6 6 6 4 1 2 1 4 2 2 2 12 15 b b b b b b b l R           6 6 3 6 2 1 2 1 4 2 4 1 14 31 b b b b b b b l R 14



₄2 ₁2



33 3 b b l R   _          6 3 6 6 4 1 2 1 4 2 2 4 14 35 b b b b b b b l R           6 3 6 6 4 2 4 1 2 2 2 1 24 51 b b b b b b b l R _          6 6 6 3 2 4 4 1 4 2 2 1 24 53 b b b b b b b l R 24



₂2 ₄2



55 3 b b l R   Matriz S

(45)



2



1 2 2 12 11 3 c c l S   _          6 6 3 6 4 1 2 1 4 2 2 1 12 13 c c c c c c c l S _          3 6 6 6 4 1 2 1 4 2 2 2 12 15 c c c c c c c l S           6 6 3 6 2 1 2 1 4 2 4 1 14 31 c c c c c c c l S



2



1 2 4 14 33 3 c c l S   _          6 3 6 6 4 1 2 1 4 2 2 4 14 35 c c c c c c c l S           6 3 6 6 4 2 4 1 2 2 2 1 24 51 c c c c c c c l S _          6 6 6 3 2 4 4 1 4 2 2 1 24 53 c c c c c c c l S 24



₂2 ₄2



55 3 c c l S  

Para a Face 3, têm-se: Matriz P



3 1





₄ ₁





₄ ₃



66 15 b b l P   Matriz Q



₃ ₁



13 22 15 c c l Q         _  30 15 1 3 13 23 c c l Q       _  15 30 1 3 13 26 c c l Q       _  30 15 1 4 14 32 c c l Q 14



₄ ₁





₄ ₃



66 15 c c l Q   Matriz R