Conceitos básicos para os cursos de Engenharia Prof Dulceval Andrade
Congruência entre Triângulos
Dois triângulos (ou de forma geral, duas figuras planas) são congruentes quando têm a
mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho.
Já a semelhança entre triângulos, objeto do artigo, aborda o conceito mais amplo onde
se tem triângulos com a mesma forma, mas não necessariamente com o mesmo
tamanho. Em outras palavras, congruência é um caso particular de semelhança entre
triângulos no sentido de que se dois triângulos são congruentes necessariamente eles são
semelhantes, mas o contrário não é verdadeiro, como você observará daqui em diante.
Definição de Semelhança entre Triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três
ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos =
lugar) proporcionais.
Observe que as três primeiras expressões entre os parêntesis indicam a congruência
ordenada dos ângulos e a última a proporcionalidade dos lados homólogos.
Em bom português, podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da
frase: dois triângulos são semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do
outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo).
Razão de Semelhança
Denominamos o número real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados
homólogos, como a razão de semelhança dos triângulos:
Exercícios:
Semelhança e Triângulo Retângulo
1)Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
Resposta:
b) 20,5 m
2) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra. Resp: 4,08 m
3)Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima? Resp: a) y = 2/3(30-x)
b) Para x = 15 metros, y = 10 metros.
a) A solução desta atividade pode ser encontrada utilizando a semelhança de triângulos,
daí:
b) A área da casa á retangular, logo, temos que a mesma é dada por: A = x . y. Porém,
como y é dado em função de x, segue:
Como o sinal de a= - 2/3 é negativo, temos que a concavidade é voltada para baixo.
Uma vez que estamos procurando o ponto cuja área é máxima, precisamos encontrar as
coordenadas do vértice. Sendo as raízes 0 e 30, a abscissa do vértice, dada pelo ponto
médio destas raízes é 15 e o valor da ordenada correspondente é 10.
4)Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB, apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, como na figura. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da
extremidade A em relação ao chão é:
b) 3/√3 m c) (6√3)/5 m d) (5√3)/6 m e) 2√2 m Alternativa D
5) Certa noite, uma moça, de 1,50 m de altura, estava a dois metros de distância de um poste de luz de 4 m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de:
a) 0,75 m b) 1,20 m c) 1,80 m d) 2,40 m e) 3,20 m Alternativa B
6) Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são reto
Se o segmento AD = 6 dm, o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são:
b) 7,5 e 3,5. c) 8 e 3. d) 7 e 4. e) 9 e 2. Alternativa E 7)
Numa cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura anterior. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente: a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 Alternativa A
8)Os triângulos ABC e AED, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo o ângulo ADE congruente ao ângulo ACB
Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero BCED, em centímetros, é a) 32,6 b) 36,4 c) 40,8 d) 42,6 e) 44,4 Alternativa E
9) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m.
A altura do prédio, em metros, é a) 25.
b) 29. c) 30. d) 45.
e) 75. Alternativa A
10) Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima. Resp: a) 2,25 m
11) A área do retângulo DEFB é: a) 24
b) 160 c) 120 d) 20 e) 180
12) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura:
A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é: a) 30. b) 35. c) 40. d) 45. e) 50. Alternativa E
Relações trigonométricas de ângulos
Na esmagadora maioria das aplicações trigonométricas relacionam-se os comprimentos dos lados de um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos internos. Assim, apresentam-se de seguida algumas relações trigonométricas com esse fim.
Seno de
É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
h y hipotenusa oposto cateto ) sen( .
O seno de pode aparecer com uma das seguintes representações: sen, sin, sen(), sin().
a) Coseno de
É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo pelo comprimento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
h x hipotenusa adjacente cateto ) cos( .
Em geral, o coseno de aparece com uma das duas representações: cos, cos(). b) Tangente de
É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,
x y x h h y h x h y / / adjacente cateto oposto cateto ) tan( .
É usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras: tan, tan(), tg, tg(). c) Co-tangente de
É definida como o recíproco da tangente de :
cateto hipotenusa
y h
x
cateto
oposto cateto adjacente cateto ) tan( 1 ) cotan( y x .
A co-tangente de a pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes: cotan(), cotg(), cotan, cotg.
Pelas definições em c) e d), e segundo as definições em a) e b), podemos ver ainda que:
) cos( ) sen( ) tan( e ) sen( ) cos( ) cotg( . d) Secante e co-secante de
Definem-se ainda as funções secante de e co-secante de como, respectivamente:
x h ) cos( 1 ) sec( e y h ) sen( 1 ) cosec( .
A secante pode ser representada por: sec(), sec. A co-secante pode ser representada por: cosec(), cosec, csc(), csc.
Fórmula fundamental da trigonometria
A fórmula fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitágoras. 1 2 2 2 2 2 2 2 h y h x h y x .
Pela definição de seno e de cosseno de um ângulo, dadas acima por a) e b), temos que:
1 ) ( cos ) ( sen2 2 .
Exercícios:
