FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO RÉGIS YOSHIO KIMURA

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FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

RÉGIS YOSHIO KIMURA

DEFINIÇÃO DOS LIMITES DA PREMISSA DE TAXA DE RETORNO REAL PARA PLANOS DE PREVIDÊNCIA COMPLEMENTAR UTILIZANDO O MODELO HJM

SÃO PAULO 2019

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Dissertação apresentada à Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getulio Vargas, como requisito para obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de Concentração: Engenharia Financeira

Orientador:

Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto

SÃO PAULO 2019

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Kimura, Régis Yoshio.

Definição dos limites da premissa de taxa de retorno real para planos de

previdência complementar utilizando o modelo HJM / Régis Yoshio Kimura. - 2019. 83 f.

Orientador: Afonso de Campos Pinto.

Dissertação (mestrado profissional MPFE) – Fundação Getulio Vargas, Escola de Economia de São Paulo.

1. Previdência privada. 2. Fundos de pensão - Brasil. 3. Taxas de juros. 4. Modelos matemáticos. 5. Taxa interna de retorno. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação (mestrado profissional MPFE) – Escola de Economia de São Paulo. III. Fundação Getulio Vargas. IV. Título.

CDU 336.781.5(81)

Ficha Catalográfica elaborada por: Isabele Oliveira dos Santos Garcia CRB SP-010191/O Biblioteca Karl A. Boedecker da Fundação Getulio Vargas - SP

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Dissertação apresentada à Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getulio Vargas, como requisito para obtenção do título de Mestre em Economia. Área de Concentração: Engenharia Financeira Data da aprovação: ___/___/______ Banca examinadora:

Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador)

EESP - FGV

Prof. Dr. Roberto Barbosa Cintra EESP - FGV

Prof. Dr. Wanderlei Lima de Paulo FEA - USP

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RESUMO

O objetivo deste trabalho é explorar um método diferente para definição dos limites da premissa de taxa de retorno real para planos de previdência complementar fechada no Brasil, comparando com os limites definidos pela legislação vigente em 2019. O método explorado para definição desses limites será baseado nos resultados obtidos por projeções provenientes da implementação e utilização do modelo de Heath, Jarrow e Morton (1992), com algumas modificações apresentadas em Nojima (2013). Estas modificações resultam na discretização do modelo, na utilização de dois grids de tempo, e na parametrização do modelo em função do prazo de maturidade que, combinadas com o procedimento de Principal Component

Analysis (PCA) para construção das estruturas de volatilidade com fatores não

correlacionados, viabilizam a utilização do modelo através de simulações numéricas com a aplicação do método de Monte Carlo. Como insumo para os cálculos, esta pesquisa utilizou de dados de curvas de juros reais calculados e divulgados pela ANBIMA, que por sua vez utiliza do modelo de Svensson (1994) e dados de mercado de títulos públicos (NTN-Bs, NTN-F e LTNs). A comparação dos resultados das duas metodologias para definição dos limites foi realizada via Backtesting, observando o retorno real do CDI ocorrido, no período entre 2011 e 2019.

Palavras-chave: Modelo HJM, Previdência Complementar Fechada, Fundos de Pensão, Premissa de Taxa de Retorno Real, Hipótese de Taxa de Juros Real, Taxa de Desconto.

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ABSTRACT

The objective of this paper is to analyze a possible alternative to determine the limits of the discount rate assumption for complementary private pension plans in Brazil, comparing with the limits determined by the current legislation in 2019. The proposed alternative to determine these limits will be based on projection results from the implementation and use of Heath, Jarrow and Morton (1992) model, with some modifications presented in Nojima (2013). These modifications result in the discretization of the model, the use of two-time grids, and the parameterization of the model as a function of maturity which, combined with the Principal Component Analysis (PCA) procedure to construct volatility structures with uncorrelated factors, enables the utilization of the model through numerical simulations using the Monte Carlo method. As input for the calculations, this research used data from real yield curves calculated and released by ANBIMA, which utilizes the Svensson (1994) model and market data of Brazilian government bonds (NTN-Bs, NTN-F and LTNs). The results comparison of the two methodologies for the determination of the limits was performed via Backtesting, observing the real return of the CDI between 2011 and 2019.

Keywords: HJM Model, Closed Complementary Welfare, Pension Funds, Real Return Rate Assumption, Real Interest Rate Hypothesis, Discount Rate.

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DEDICATÓRIA

Dedico esta conquista àqueles que me motivam e fazem parte dos sonhos que persigo.

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AGRADECIMENTOS

Imensurável e eterna gratidão à minha mãe e ao meu pai, por nunca pouparem esforços para que eu sempre pudesse ter uma ótima educação.

Agradeço minha esposa Priscila, pelo amor, pelo carinho, apoio, compreensão e incentivo nesta fase muito cansativa de nossas vidas, onde tivemos que conciliar trabalho, mestrado, casamento, gravidez, banda e tantos outros compromissos. À minha colega de sala Débora, por toda ajuda e apoio neste árduo, porém compensativo, caminho que decidimos seguir.

Aos amigos do The Mosquitles, pelos momentos de prazer e descontração durante esse turbulento período. A vida ficou mais leve na companhia de vocês. Obrigado! Ao Alessandro por ser o primeiro professor a nos receber no mestrado. Pelo primeiro choque, pelo primeiro conforto, pela cobrança, pelo apoio, tudo na medida certa. Ao coordenador do curso, professor, e grande orientador Afonso por nos guiar com tanta sabedoria e serenidade. Obrigado por todo o apoio prestado durante o curso, passando desde a palestra do curso, entrevista, aulas, seminários, conversas de feedback, até a orientação. Admiração é a palavra, não somente pelo profissional, mas pela pessoa. Muito obrigado!

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Intervalo Legal - Dezembro 2012 e CDI Ocorrido no Período ... 14

Figura 2 – Taxa de Mercado da NTN-B com vencimento em 2045 ... 20

Figura 3 – PCA Posição 31/12/2011 - 3 Fatores ... 39

Figura 11 – Intervalos - Dezembro 2013 e CDI ocorrido ... 48

Figura 16 – Intervalos - Dezembro 2014 (Inflação Hipotética de 6,5% em 2015) ... 76

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Dados dentro da amostra e fora da amostra ... 38

Tabela 2 – PCA Posição 31/12/2011 - Coeficientes de Acoplamento ... 39

Tabela 10 – Intervalos - Dezembro 2013 e CDI ocorrido ... 48

Tabela 11 – Erro Quadrático Médio para avaliação e comparação dos intervalos ... 50

Tabela 12 – Número de Acertos para avaliação e comparação dos intervalos ... 52

Tabela 13 – Intervalos - Dezembro 2011 ... 64

Tabela 25 – Intervalos - Dezembro 2014 (Inflação Hipotética de 6,5% em 2015) ... 76

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Sumário

1. Introdução ... 12

2. O mercado de previdência complementar fechada ... 18

3. Revisão Bibliográfica ... 22

4. Arcabouço Teórico ... 29

4.1. O modelo HJM original (em tempo contínuo) ... 29

4.2. O modelo HJM adaptado (em tempo discreto e parametrização Musiela) ... 31

4.3. O modelo de Svensson ... 34

5. Metodologia ... 36

5.1. Dados para Simulação HJM ... 36

5.2. Predições realizadas (Posição, in-Sample e out-of-sample) ... 37

5.3. Análise de Componentes Principais ... 38

5.4. Market Price of Risk ... 43

5.5. Simulação HJM ... 43

5.6. Definição do Intervalos ... 44

5.6.1. Intervalos Legal ... 44

5.6.2. Intervalos HJM ... 45

5.7. Análise dos resultados ... 45

5.8. Resumo das etapas do processo ... 46

6. Resultados ... 48

6.1. Comparação dos Intervalos contra o retorno do CDI ocorrido ... 48

6.1.1. Erro Quadrático Médio ... 50

6.1.2. Número de Acertos ... 51

7. Conclusões ... 53

REFERÊNCIAS ... 56

APÊNDICES ... 63

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1. Introdução

Em 1671, o holandês Johan de Witt, e em 1693, Edmond Halley, escreveram os primeiros papers onde taxas de desconto foram utilizadas para cálculo do valor presente de obrigações futuras e incertas, mas ainda hoje pesquisadores continuam buscando melhorias e evoluções nos cálculos relacionados a essa taxa de desconto que é uma importante premissa para as projeções realizadas por planos de previdência.

A discussão sobre a premissa de taxa de retorno, taxa de desconto utilizada para encontrar o valor presente de fluxos de caixa de projeções atuariais, é um assunto muito antigo, mas isso não significa necessariamente que em algum momento este assunto deixou de ser atual, na verdade, este é um debate que nunca saiu de moda, e muito provavelmente continuará em discussão por décadas e décadas, se renovando e se reinventando conforme novos modelos e técnicas econômicas e atuariais forem se desenvolvendo ao longo do tempo, como podemos observar nas discussões e reflexões propostas em Zachert (2004), Chan et al. (2007), Lima e Rodrigue (2015), Costa e Santana (2017) e Pádua (2018).

O período de hiperinflação no Brasil deixou diversas marcas em nossa economia, e os planos de previdência não escaparam dessa particularidade, fazendo com que a premissa de taxa de retorno assumida pelos planos de previdência fosse sempre em termos reais, ou seja, aqui tratamos então de uma premissa de taxa de retorno real. É com base nessa premissa de taxa de retorno real que é determinado o Valor Presente dos pagamentos de benefícios futuros esperados pelo plano de previdência conforme explicado em Actuarial Standards Board (2007). Esta premissa se mostra de suma importância para o correto acompanhamento e controle da solvência do plano. Pinheiro (2007) declara que esta premissa deve representar a expectativa de rentabilidade de longo prazo dos investimentos do plano.

Quando pensamos na solvência do plano, este problema por si só é de extrema importância, dado que afeta a aposentadoria e a vida de milhares de pessoas. Somando ainda o efeito da falta de eficiência da previdência social, que mesmo com a recente reforma ainda tem muitos pontos a evoluir e melhorar, como por exemplo

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o sistema de regime de repartição simples (agravado nas últimas décadas no Brasil pelo aumento da expectativa de vida, alteração na estrutura da pirâmide etária e mudanças na forma de contratação de profissionais sem a CLT), esse tema ganha ainda mais importância nesse contexto.

Ciente da importância dessa premissa, o Conselho Nacional de Previdência Complementar (CNPC)1_{, órgão regulador da}_{previdência complementar fechada}_no

Brasil, vem a alguns anos colocando restrições quanto a utilização desta premissa. Em uma definição naive, essa premissa reflete a expectativa de retorno real que a Entidade Fechada de Previdência Complementar (EFPC) esperar obter investindo os recursos acumulados provenientes das contribuições mensais ao longo do período laboral da vida dos participantes do plano de previdência. Nesse sentido o CNPC restringiu os valores que podem ser adotados como premissa de taxa de retorno real pela EFPCs para os planos que administram, assim o risco de solvência é mitigado pois fica limitado o uso de taxas de retorno superestimadas.

A PREVIC, autarquia que supervisiona e fiscaliza o mercado de previdência complementar fechada no Brasil, anualmente divulga uma tabela associando diversos prazos (sendo o mais curto o prazo de 1 ano, e o mais longo o prazo de 35 anos, com variações de 0,5 em 0,5) a uma Taxa de Juros Parâmetro (TJP), uma Taxa de Juros Máxima e uma Taxa de Juros Mínima. Os detalhes da metodologia para apuração dessas taxas são apresentados no capítulo 5. Ao longo deste trabalho iremos nos referir a estes limites definidos pelo CNPC e divulgados pela PREVIC como Intervalo Legal.

A criação do Intervalo Legal por parte do CNPC foi um avanço fundamental para o mercado de previdência complementar fechada, pois não apenas foi um marco regulatório baseado em modelos e técnicas avançadas, mas também serviu como um grande incentivo que fomentou o desenvolvimento de novas pesquisas, questionando a atenção e o tratamento dado a essa premissa fundamental de taxa de retorno real. Este trabalho também é um fruto e uma extensão deste importante marco regulatório.

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A principal pergunta que este estudo traz diz respeito a um diferente método para definição do Intervalo com o qual as EFPCs podem trabalhar.

O CDI foi utilizado como Benchmark por ser um dos principais comparativos para desempenho de investimentos de Renda Fixa. Como as alocações dos planos de previdência complementar fechada possuem carteiras diversificadas e horizontes de investimentos longos, uma possibilidade seria a comparação com retornos de alocações que representam estas carteiras (compostas por ativos de renda fixa, renda variável, investimentos estruturados, etc.), e como os intervalos são construídos com base nos dados de títulos públicos, uma outra possibilidade seria a comparação com retornos de índices representativos desses títulos públicos, tais como IMA-S, IRF-M e IMA-B. Por se tratar de um estudo exploratório, esse trabalho se concentrou em uma análise mais simplificada visando apenas a comparação com o retorno do ativo de menor risco (CDI), não obstante a importância dessas outras opções de comparação.

O gráfico a seguir sugere a existência de uma possível melhoria a ser feita no Intervalo Legal. Através de um exercício de Backtesting a metodologia atual foi utilizada para apurar o Intervalo Legal que estaria vigente em dezembro de 2012, e este intervalo foi comparado ao retorno real do CDI ocorrido (acumulado e anualizado) para cada prazo e período em questão.

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O resultado desejável para o gráfico anterior seria aquele no qual as observações do CDI ocorrido no período (pontos pretos) se encontrassem dentro do Intervalo Legal (faixa azul), pois dessa forma o Intervalo Legal estaria definindo os limites de forma coerente com o retorno futuro do CDI.

Uma importante reflexão pode ser explorada acerca da posição do Intervalo em relação ao retorno do CDI Ocorrido no Período. Quando o intervalo fica acima dos retornos do CDI, o Intervalo superestimou o retorno esperado e consequentemente as reservas matemáticas podem ser subestimadas, o que pode significar uma avaliação superestimada da solvência. Por outro lado, quando o intervalo fica abaixo dos retornos do CDI, temos a situação contrária, o Intervalo subestimou o retorno esperado e consequentemente as reservas matemáticas podem estar superestimadas, o que pode significar uma avaliação subestimada da solvência. Em suma, caso o intervalo “erre”, é preferível que o intervalo fique acima dos pontos, pois assim a tomada de decisão será conservadora em relação a solvência.

De forma sucinta a metodologia do Intervalo Legal tem como base o modelo de Svensson (1994), trabalhando com uma média de ETTJs observadas no passado e definindo os limites máximos e mínimos a partir dessa média. Os detalhes da metodologia para apuração do Intervalo Legal são apresentados no capítulo 4 e 5. A metodologia explorada e estudada neste trabalho tem como base o modelo HJM proposto por Heath Jarrow e Morton (1992), trabalhando com ETTJs futuras simuladas por processo estocástico e definindo os limites máximos e mínimos observando os valores extremos dos cenários simulados com um certo nível de confiança. Os detalhes dessa metodologia são apresentados no capítulo 4 e 5. Ao longo deste trabalho iremos nos referir a estes limites definidos com o suporte do modelo HJM como Intervalo HJM.

Uma diferença fundamental entre o Intervalo Legal e o Intervalo HJM é que o intervalo legal trabalha com a média da ETTJ diária nos últimos cinco anos, o que pode ser um problema porque o nível de da taxa de juros no futuro pode ser muito diferente do nível histórico, além disso para essa metodologia a informação da ETTJ de hoje tem o mesmo peso da informação da ETTJ de 5 anos atrás. Na metodologia explorada pelo Intervalo HJM, a ETTJ hoje é uma importante informação para o

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modelo e serve de base e ponto de partida para as projeções realizadas pelo modelo. Dessa forma o nível da taxa de juros projetado é mais coerente com a posição na qual é calculado o Intervalo.

O objetivo desta pesquisa é explorar, através da utilização do modelo HJM, uma possível alternativa de metodologia para definição dos limites da premissa de taxa de retorno real. Neste sentido, a principal pergunta que este trabalho busca responder é se o modelo HJM pode ser um bom modelo para definir os limites para a premissa de taxa de retorno real.

Para atingir este objetivo, esta pesquisa realizará a implementação e utilização do modelo HJM, com as modificações que resultam na discretização do modelo, conforme proposta de Glasserman (2003), na utilização de dois grids de tempo, conforme proposta de Nojima (2013), e na parametrização do modelo em função do prazo de maturidade, conforme proposta de Brace e Musiela (1994), utilizando ainda do procedimento de Principal Component Analysis (PCA) para construção das estruturas de volatilidade com fatores não correlacionados, viabilizando assim a utilização do modelo através de simulações numéricas com a aplicação do método de Monte Carlo. Os dados utilizados são os parâmetros das curvas de juros reais calculados e divulgados pela ANBIMA através do modelo de Svensson calibrado com os dados de mercado de títulos públicos (NTN-Bs, NTN-Fs e LTNs). Por fim, a comparação das duas metodologias para definição do Limite Legal e do Limite HJM foi realizada via Backtesting, observando o retorno real do CDI ocorrido, no período entre 2011 e 2019.

Este trabalho é composto por 7 capítulos. No capítulo dois é apresentado um panorama geral do mercado de previdência complementar fechada, assim como os principais conceitos utilizados nesta dissertação. O capítulo três discorre sobre a revisão bibliográfica acerca dos modelos, técnicas e estudos já realizados, que estão de alguma forma relacionadas ao tema tratado. No capítulo quatro são apresentados os principais modelos que serviram de base para esta pesquisa, em especial o Modelo HJM adaptado para uma abordagem numérica eficiente por simulação de Monte Carlo. O capítulo cinco detalha todos os passos necessários para o desenvolvimento desta dissertação, desde a coleta e tratamento dos dados, até o método de comparação dos resultados que fundamentaram a conclusão. No capítulo

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seis, são apresentados os resultados simulados pelo modelo HJM, assim como os resultados para o Intervalo HJM e suas análises comparativas frente ao Intervalo Legal. O último capítulo conclui o trabalho sintetizando as respostas encontradas pela pesquisa e direcionando os possíveis caminhos a serem seguidos para continuidade do desenvolvimento do tema abordado.

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2. O mercado de previdência complementar fechada

Anualmente cada EFPC, Entidades Fechadas de Previdência Complementar, faz uma avaliação atuarial para cada plano por ela administrado, dessa forma a PREVIC, autarquia que supervisiona e fiscaliza esse mercado de previdência complementar fechada, fica ciente da situação (superávit ou déficit) em que o plano se encontra, além receber uma série de informações importantes sobre o plano (estatísticas dos participantes do plano, premissas utilizadas para projeção, carteira de ativos, política de investimentos, etc.). Uma das muitas informações demonstradas nesta avaliação é a reserva matemática.

A reserva matemática de um plano de previdência é um passivo que representa o valor presente dos fluxos de caixa futuros do plano (pagamentos de aposentadorias e recebimentos de contribuições). Esse valor presente é calculado com uma taxa de desconto chamada de “hipótese de taxa de real de juros2_{”, que neste trabalho é}

chamada de “premissa de taxa de retorno real”. Dado um fluxo de caixa futuro (pagamentos de benefícios e recebimentos de contribuições) projetado por métodos atuariais, a relação da reserva matemática e a premissa de taxa de juros real possui a mesma relação entre o preço de um bond e a yield do mesmo, ou seja, a reserva matemática e a premissa de taxa de juros real possuem uma relação inversamente proporcional. Considerando de forma simplificada que o fluxo de caixa não muda com a alteração desta premissa, uma premissa de taxa de juros real menor resulta em uma reserva maior, e uma premissa de taxa de juros real menor resulta em uma reserva maior. Essa lógica fica fácil de ser visualizada quando pensamos que essa premissa representa a expectativa de retorno dos investimentos, para honrar obrigações futuras com um retorno menor é necessário um capital maior para manter os valores das obrigações futuras no mesmo nível.

De posse da informação do valor da reserva matemática, é fácil visualizar a situação de solvência do plano. Se o valor do ativo (recursos acumulados, provenientes de contribuições dos participantes e retornos desses recursos investidos no mercado de capitais) for menor do que a reserva matemática o plano está com déficit, se o valor

2_{Essa hipótese de taxa juros é “real” porque o plano tem um índice de inflação que serve de}

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do ativo for maior do que a reserva matemática o plano está com superávit. Existem regras que limitam o quanto um plano pode acumular de déficit ou superávit, caso o plano atinja um certo limite ele pode ser obrigado a fazer ajustes, fazendo um equacionamento de déficit ou uma distribuição de superávit. Apesar de este ponto da legislação ser muito interessante, como não é foco deste trabalho, mais detalhes sobre essas regras não serão abordados.

A grande discussão deste trabalho gira em torno da premissa de taxa de retorno real, e apesar das primeiras regulamentações de EFPCs surgirem em 1978, a importância dessa premissa ganhou mais visibilidade somente nos últimos anos. A primeira lei definindo uma restrição para a premissa de taxa de retorno real adotada pelos planos de previdência fechada surgiu em outubro de 1978 (Resolução MPAS/CPC Nº1 de 09 de outubro de 1978), e sua única regra era que a premissa de taxa de retorno real fosse no máximo 6% ao ano (Restrição mantida na resolução MPS/CGPC Nº18, de 28 de março de 2006).

Quase 35 anos mais tarde, em 2012, houve a primeira alteração nesta restrição de 6% ao ano. Foi definido que esse teto de 6% iria permanecer para o ano de 2012, e nos anos seguintes esse limite seria reduzido em 0,25% a cada ano, e de 2018 para frente o limite ficaria em 4,5% ao ano (Resolução MPS/CNPC Nº09, de 29 de novembro de 2012).

A partir do ano de 2015 ocorreu uma grande e inovadora mudança em relação a restrição da premissa de taxa de retorno real. Foram introduzidos pela primeira vez neste mercado os conceitos de ETTJ Média, Taxa de Juros Parâmetro (TJP), Taxa Máxima e Taxa Mínima. Sendo: a ETTJ Média definida como a Média dos últimos três anos das ETTJs diárias baseadas em títulos públicos, a TJP definida como a taxa cujo ponto da ETTJ Média seja o mais próximo à Duration do passivo do plano em questão, a taxa máxima definida como TJP+0,4%, e a taxa mínima definida como 70%xTJP (Resolução MPS/CNPC Nº15, de 19 de novembro de 2014).

A partir do ano de 2019 o cálculo da ETTJ Média passou a ser a Média dos últimos cinco anos das ETTJs diárias baseadas em títulos públicos, permanecendo sem alteração as definições da TJP, Taxa Máxima e Taxa Mínima (Resolução CNPC Nº30, de 10 de outubro de 2018).

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Para entender as motivações dessas mudanças nos últimos anos vamos recorrer ao histórico da yield da NTN-B com vencimento em 2045 negociada no mercado. As NTN-Bs são títulos fundamentais para as estratégias de alocação de planos de previdência, pois a variação do passivo que se dá por conta do indexador do plano (algum índice de inflação) terá um bom respaldo na NTN-B por conta seu indexador (IPCA), enquanto a variação do passivo que se dá por conta da premissa de taxa de retorno real poderá ter como referência para comparação a yield do título, de modo que a tomada de decisão fica muito mais fácil se compararmos a qualquer outro ativo. Além dessa característica, um ponto muito positivo é o fato de ser um título de dívida do governo, o que faz com que seja um ativo com baixíssimo risco de crédito.

Figura 2 – Taxa de Mercado da NTN-B com vencimento em 2045

Analisando o gráfico da Figura 2, o histórico de alterações na legislação faz todo sentido, não que as mudanças tenham sido as mais apropriadas, porém pode-se observar que as atualizações nas normas foram uma resposta aos impactos sofridos pelo mercado de capitais, mais especificamente nos títulos públicos, por conta do desenvolvimento econômico do Brasil.

Podemos observar no gráfico da Figura 2 que a NTN-B 2045 até meados de 2010 nunca havia atingido um yield abaixo de 6% ao ano (exceto em um curto período em junho de 2007), os investidores estavam acostumados com uma taxa de 9%, 8%,

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7%, no mínimo 6,5% ao ano. Era uma época em que a premissa de taxa de retorno real de 6% a.a. era fácil de ser atingida.

Essa época passou, e em 2010 e 2011 o Órgão Regulador e as EFPCs começaram a ter uma preocupação que até o momento não tinham: “E se o novo nível de taxa de juros real no Brasil for muito inferior a 6%?”. Foi quando em 2012 houve a primeira alteração na legislação, referente ao limite de 6% ao ano, mencionada anteriormente.

O que era esperado, um Brasil com um patamar baixo de taxa de juros real, não se concretizou e em 2013 as taxas voltaram a subir até chegar novamente no nível de 6,5% a.a. onde permaneceu até meados de 2016. Justamente um ano após o Órgão Regulador trazer a inovadora mudança nos limites da premissa de taxa de retorno real. Novamente a mudança foi muito bem-vinda e em um momento muito acertado, mas até onde a nova regra é adequada a realidade?

Seria a alteração na forma de cálculo da ETTJ Média, ocorrida neste ano de 2019, um sinal de que ainda há melhorias a serem feitas na definição dos limites da taxa de retorno real?

No próximo capítulo é apresentada a revisão bibliográfica utilizada neste trabalho, pontuando os principais estudos, modelos e técnicas que contextualizam o desenvolvimento desta pesquisa.

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3. Revisão Bibliográfica

Tilley (1992) explorou conceitos fundamentais da teoria de não-arbitragem para a construção e implementação de modelos com simulação estocástica em tempo contínuo para taxa de juros, e declarou diversas vezes durante seu paper que tais modelos podem ser uma valiosa ferramenta para os atuários. O autor testa alguns destes modelos de taxa de juros, que respeitam totalmente ou parcialmente a hipótese de não-arbitragem, e calcula o valor esperado de fluxos de caixa incertos que depende de uma taxa de juros. Em sua conclusão pontua as vantagens dos modelos contínuos em relação aos modelos discretos, e comenta sobre um possível tratamento do drift do processo estocástico afim de torna-lo neutro ao risco. Neste

paper o autor comenta ainda sobre o modelo HJM, que apesar do ano de publicação

do artigo de Heath et al. (1992), o estudo já havia sido apresentado ao mundo acadêmico e científico na forma de Working Paper na universidade Cornell em Nova York em 1988.

Cowling et al. (2004) criticam algumas práticas atuariais e discutem sobre princípios relacionados a solvência de fundos de pensão na Inglaterra. Os autores sugerem que um procedimento comum que é utilizado é o uso de taxas de desconto acima de

yields de títulos de baixo risco, e defendem que ao buscar tal retorno é necessário

correr um risco de crédito, risco este que não é considerado no passivo do plano. Caso o pior cenário venha a ocorrer, o plano terá sua situação prejudicada não apenas por conta de risco de crédito, mas também por um fluxo de contribuições insuficientes para pagamento das aposentadorias. Concluem alertando que nos últimos anos apesar da área atuarial ter desenvolvido orientações detalhadas descrevendo métodos de avaliação e contextos dos relatórios de avaliação atuarial, pouco foi desenvolvido sobre orientações para premissas financeiras e tratamento de déficit, que segundo os autores são as mais importantes na prática. Por fim, em relação a premissa de taxa de retorno real, comentam que uma orientação significativa sobre essa premissa seria a indicação da margem que deveria ser deduzida de uma yield de títulos do governo para se chegar em uma premissa de taxa de desconto apropriada.

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Brown e Pennacchi (2015) argumentam que a taxa de desconto mais apropriada para o passivo de um plano depende do objetivo que se pretende atingir. Caso o objetivo seja medir a solvência do plano, se a situação é de déficit ou superávit, deve-se usar sempre uma taxa livre de risco de crédito. Caso o objetivo seja calcular o valor a mercado da reserva atuarial do plano, é mais apropriada uma taxa que tenha embutido o risco de crédito. Neste sentido discutem ainda qual seria a escolha da taxa de desconto livre de risco de crédito, e apesar de pontuarem que mesmo as

treasuries (Títulos Públicos do Governo dos Estados Unidos) não são de fato bonds

livre de risco de crédito, no fim aceitam que as yields das treasuries são uma boa aproximação de uma taxa livre de risco de crédito.

Turner et al. (2017) discutem sobre as abordagens utilizadas atualmente pelos órgãos reguladores nos Estados Unidos na definição da base utilizada para taxa de desconto para planos de benefício definido. Em uma primeira abordagem a taxa de desconto é baseada no retorno de títulos públicos, e os autores consideram que o cálculo da reserva matemática por esse caminho seria usado por alguém com uma visão de comprador desse passivo, quanto maior a Duration do passivo, maior o risco do mesmo, e consequentemente maior a taxa de desconto necessária e mais barato o preço para comprar esse passivo, ou seja, como a taxa de desconto é livre de risco, o risco considerado é o risco do passivo representado por sua Duration. Enquanto em uma segunda abordagem a base para taxa de desconto advém do retorno esperado do portfólio do plano de previdência, e esta abordagem por outro lado considera basicamente o risco do ativo. Assim sendo, os autores argumentam que o melhor caminho para definir a taxa desconto não é nem a primeira e nem a segunda abordagem, mas sim uma terceira abordagem que considera tanto o risco do ativo como o risco do passivo, propondo então um modelo baseado na probabilidade da necessidade de contribuições futuras além das previstas na posição da avaliação. A taxa de desconto calculada por esse modelo resulta em taxas menores que a taxa baseada no retorno do portfólio, mas ao mesmo tempo em taxas maiores que a taxa baseada no retorno de títulos públicos. Os autores concluem dizendo que a definição desta premissa depende de vários riscos diferentes e particulares de cada plano, mas sugerem que a decisão de aprovação pode ser subjetiva e delimitada conforme o modelo proposto. A proposta seria então

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a taxa de desconto ser escolhida dentro de um certo limite, abaixo do retorno esperado do portfólio e acima do retorno de títulos públicos.

Zachert (2004) pesquisa a possível inconsistência da premissa de taxa de retorno real máxima determinada pela legislação de previdência complementar (na época 6% a.a.), analisando o histórico de retorno dos ativos no período de 1995 e 2003. Na conclusão de seu estudo afirma que há incoerência entre a performance dos investimentos frente a premissa de taxa de retorno real dos planos de previdência (cerca de 70% das EFPCs adotavam a taxa máxima de 6% a.a. como premissa de taxa de retorno real) e ressalta a importância de analisar a coerência desta premissa para evitar a ocorrência de eventuais desequilíbrios na solvência dos planos de previdência.

Chan et al. (2007) fazem uma reflexão acerca da solvência dos planos de previdência complementar de modalidade Benefício Definido e Contribuição Variável, através da simulação de um plano hipotético, e em uma das análises realizadas pelos autores foi constatada que a utilização de uma premissa de taxa de retorno real fixa ao longo do tempo, em contraposição a uma taxa variável relacionada com expectativas do mercado, propicia distorções na análise de solvência do plano, mas ressaltam que umas das dificuldades de um caminho alternativo de utilizar uma taxa variável é justamente estabelecer uma estrutura temporal de taxa de juros que possa refletir a realidade do plano.

Lima e Rodrigues (2015) apresentam e discutem a importância das premissas atuariais e as formas de avaliação para verificar se essas premissas foram fixadas de forma adequada ou não. No trabalho os autores reconhecem a premissa de taxa de retorno real como a premissa mais importante, e apesar de fazerem algumas análises a luz da legislação vigente na época e considerando o contexto econômico vivido no momento (junho de 2015), concluem que o assunto é vasto e requer monitoramento de desenvolvimentos que possibilitem a aprimoração das técnicas de gestão atuarial.

Costa e Santana (2017) exploram duas abordagens diferentes para cálculo das reservas matemáticas de passivos previdenciários, sendo que na primeira abordagem a premissa de taxa de retorno real foi calculada com base em uma

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carteira composta pelos ativos “Renda Fixa”, “Renda Variável”, “Investimentos Imobiliários” e “Operações com Participantes” e premissas de retorno para cada ativo considerado, e na segunda abordagem a premissa de taxa de retorno real foi extraída de uma carteira de NTN-Bs com pesos distribuídos em diferentes maturidades com pesos definidos pela aplicação de um modelo de cash flow

matching. Como resultado os autores concluíram que a segunda abordagem

ocasionava um aumento de quase 3% na reserva matemática calculada pela primeira abordagem.

Em relação aos modelos utilizados neste trabalho para projeção da Estrutura a Termo de Taxa de Juros, destacamos as referências descritas a seguir.

Heath, Jarrow e Morton (1992) desenvolveram um modelo que possibilita a projeção da evolução de uma curva inteira de taxas forward. Sendo que o drift da equação diferencial estocástica principal do modelo é definido como função da difusão (volatilidade) do processo, sendo que esta relação é possível graças a hipótese de não arbitragem que é adotada pelo modelo. Um problema gerado por esta hipótese é que o modelo se torna um processo não Markoviano.

Svensson (1994) desenvolveu um modelo baseado no modelo de Nelson e Siegel (1987) para cálculo da estrutura a termo de taxa de juros em uma determinada posição calibrada com dados de mercado. A calibração dos parâmetros do modelo é realizada através de algum processo de otimização numérica com os dados de mercado, como por exemplo o método da Máxima Verossimilhança. Basicamente Svensson adicionou um quarto fator no modelo de Nelson e Siegel, representando mais um fator de curvatura, aumentando assim o poder preditivo do modelo capturando melhor estruturas com diferentes formatos de curvas em prazos mais longos.

Brace e Musiela (1994) propuseram uma mudança da variável no modelo HJM original, trocando a variável 𝑇 (que representa uma data de vencimento fixa) para a variável 𝜏 (que representa um prazo de maturidade). Esta alteração de parâmetros de 𝑇 para 𝜏, será doravante denominada parametrização Musiela. Essa mudança produz um espaço de estado mais conveniente para a implementação do modelo em sua forma multifatorial e com processo estocástico Gaussiano e Markoviano.

(26)

Renò e Uboldi (2002) discorrem sobre a implementação do modelo HJM com a utilização do PCA. O PCA é usado para calibrar os parâmetros da volatilidade em uma forma funcional, e as principais características da estrutura a termo são mantidas respeitando a hipótese de não arbitragem do modelo original.

Glasserman (2003) propõe uma possibilidade de tratamento do Drift discreto para aproximar do limite contínuo, preservando a propriedade martingal para o preço descontado de um título.

Jarrow e Yildirim (2003) utilizaram o modelo HJM com três fatores para projeção da evolução da inflação e das curvas de juros nominais e reais. Os dados que serviram de base para os cálculos do modelo foram os preços de mercado dos títulos americanos Treasury Inflation-Protected Securities (TIPS) e Bonds pré-fixados. Os autores utilizaram ainda o procedimento de stripping para construção da ETTJ, e validaram e ilustraram o modelo precificando TIPS através de uma estratégia de

hedging e precificando opções de compra de índice de inflação.

Shreve (2004) mostrou que é possível a utilização de dados históricos para construção da estrutura de volatilidade no mundo neutro ao risco. Assim é possível chegar a uma Equação Diferencial Estocástica livre de arbitragem e com movimento browniano no mundo neutro ao risco.

Tamagushiku (2006) pesquisou sobre o modelo HJM com um, dois e três fatores, aplicado na precificação de derivativos e concluiu que existe superioridade significativa na utilização de três fatores no modelo HJM.

Ferreira (2011) utilizou o modelo HJM em árvore binomial e na forma unifatorial com volatilidade constante para precificação de opções de futuros de DI, e comparou os resultados obtidos com os dados de mercado. Em sua conclusão o autor afirma que a BMF super apreçou algumas opções observadas no mercado.

Franklin Jr. et al. (2012) propuseram uma metodologia para construção da estrutura a termo da taxa de juros livre de risco no Brasil. Utilizando o modelo de Svensson, os autores exploram dois métodos de otimização para calibração dos parâmetros do modelo, um método de otimização não linear Quasi-Newton, e um método que combina Algoritmo Genético com Quasi-Newton, sendo seus resultado e análises

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baseados em dados de mercado de títulos públicos (NTN-Bs, NTN-Fs e LTNs). Importante salientar que os autores declaram de forma explícita no objetivo e na conclusão do trabalho que a contribuição buscada pelo trabalho se refere a um método mais consistente e coerente para desconto de fluxos de caixa de seguradoras, resseguradoras e Entidades Abertas de Previdências Complementar, afim de mitigar riscos, como por exemplo, contribuindo com melhores estimativas para o cálculo de provisões (equivalente das reservas matemáticas de previdência complementar fechada). Neste sentido, apesar de não serem citadas as Entidades Fechadas de Previdência Complementar, esta pesquisa é plenamente aproveitada para o mercado de previdência complementar fechada, dadas suas características e técnicas atuarias muito similares.

Nojima (2013) utilizou o modelo HJM multifatorial na forma discreta, e com apoio do procedimento de Principal Component Analysis (PCA) para construção da estrutura de volatilidade com fatores ortogonais, fez através de simulações de Monte Carlo a precificação de alguns derivativos do mercado Brasileiro como opções de IDI, opções de futuro de DI e futuros de DI.

Antonini (2019) utilizou o modelo HJM proposto por Jarrow e Yildirim (2003) no mercado Brasileiro, na sua forma discreta e com três fatores, para estimar a estrutura a termo do IPCA utilizando dados de NTN-Bs e LTNs. Assim como Nojima (2013), utilizou o PCA para calibrar as estruturas de volatilidade e a simulação de Monte Carlo para projeção do modelo. Os resultados projetados foram comparados com as expectativas do relatório FOCUS do Banco Central e com as variações do IPCA realizadas nos períodos analisados. Como conclusão, Antonini obteve indícios de que o modelo pode ser uma alternativa válida para a estimação da estrutura a termo do índice de inflação.

Apesar de existirem vários estudos recentes com a aplicação do modelo HJM no Mercado Brasileiro, todas as pesquisas são focadas na implementação do modelo para dar suporte a precificação de ativos. Não obstante a importância desta aplicação e destes estudos, uma possível utilização do modelo HJM pode ser explorada com foco no suporte de decisões relacionadas aos passivos, e para este trabalho mais especificamente, passivos de planos de previdência complementar

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fechada, sendo sua aplicação diretamente relacionada a premissa de taxa de retorno real.

A grande contribuição desta pesquisa está relacionada a utilização desta poderosa ferramenta, que é o modelo HJM, aplicada ao mercado brasileiro de previdência complementar fechada, estudando uma nova opção de metodologia para definição do intervalo para a premissa de taxa de retorno real adotada pelos planos de previdência, em comparação a metodologia para definição do Intervalo Legal atualmente vigente.

Pesquisas nacionais específicas sobre a premissa de taxa de retorno real e seu Intervalo Legal são escassas. Essa escassez é justificável dado que a realidade Brasileira de cenário econômico com juros baixos é relativamente recente, assim como a legislação sobre o intervalo que além de ser relativamente nova tem sofrido alterações frequentes nos últimos anos, conforme descrito no capítulo 2.

Dentre os benefícios buscados ao explorar novas abordagens para essa premissa, podemos citar dois de maior importância:

1. Melhor estimativa das reservas matemáticas do plano de previdência, propiciando melhores condições para tomada de decisões relacionadas a equacionamento de déficit ou distribuição de superávit, colaborando assim para a mitigação do risco de solvência do plano.

2. Uma regulação mais eficiente de forma a evitar a oneração dos custos administrativos das EFPCs para manutenção dos planos, dado que os estudos e procedimentos necessários perante a PREVIC para utilização de uma premissa de taxa de retorno real fora do Intervalo Legal possuem custos muito mais elevados em comparação aos estudos e procedimentos necessários para a utilização de uma taxa de retorno real situada dentro do intervalo legal.

No próximo capítulo são apresentados os principais modelos utilizados como base para o desenvolvimento deste trabalho.

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4. Arcabouço Teórico

Neste capítulo será apresentado o modelo HJM original (em tempo contínuo) proposto por Heath, Jarrow e Morton, e o modelo HJM adaptado (em tempo discreto e com parametrização Musiela) com suas devidas modificações para que seja viável a utilização do modelo HJM através de simulações numéricas com a aplicação do método de Monte Carlo. Será descrito também o modelo proposto por Svensson para estimação da estrutura a termo da curva de juros, modelo este utilizado pela ANBIMA para tratamento dos dados que serviram de entrada para o modelo HJM adaptado.

4.1. O modelo HJM original (em tempo contínuo)

O modelo HJM, acrônimo formado pelas iniciais dos sobrenomes de David Heath, Robert Jarrow e Andy Morton, pesquisadores que propuseram o modelo em um

paper de 1992, modela a dinâmica e a evolução das taxas forward instantâneas ao

longo de um horizonte de tempo, possibilitando dessa forma uma projeção da estrutura a termo da taxa de juros através de um processo estocástico. Entre suas principais características podemos destacar que o modelo:

1. Pressupõe a condição de não arbitragem, tendo como base a medida de probabilidade equivalente martingal neutra ao risco;

2. Considera uma família de potencias processos estocásticos, sendo o processo estocástico multifatorial (mais de um fator de aleatoriedade influencia o processo);

3. Utiliza de uma curva inicial de taxas forward.

Definindo 𝑓(𝑡, 𝑇) como a taxa forward instantânea observada em um instante 𝑡 válida até o instante 𝑇 (que representa uma data de vencimento fixa), e tomando 𝑑𝑓(𝑡, 𝑇) como o diferencial com uma pequena variação em 𝑡 mantendo 𝑇 constante, o processo da taxa 𝑓(𝑡, 𝑇) é modelado pelo HJM segundo a equação parcial estocástica:

(30)

𝑑𝑓(𝑡, 𝑇) = 𝜇(𝑡, 𝑇)𝑑𝑡 + ∑ 𝜎_𝑛(𝑡, 𝑇)𝑑𝑊_𝑛(𝑡)

𝑁

𝑛=1

, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, 4.1.1i

Onde 𝜇(𝑡, 𝑇) é o drift, 𝜎𝑛(𝑡, 𝑇) é a difusão do fator 𝑛, e 𝑊𝑛 é o movimento browniano

(processo de Wiener) do fator 𝑛, sendo os movimentos brownianos independentes e sob a medida de probabilidade real.

Particularmente sob a hipótese de não arbitragem, condição na qual passamos da medida de probabilidade real para medida de probabilidade neutra ao risco, o drift apresenta uma relação direta com o termo de difusão do processo, resultando na seguinte igualdade: 𝜇(𝑡, 𝑇) = ∑ 𝜎𝑛(𝑡, 𝑇) ∫ 𝜎𝑛(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠 𝑇 𝑡 𝑁 𝑛=1 4.1.2i

Dessa forma, substituindo a expressão 4.1.2i na equação inicial 4.1.1i, e

considerando 𝑊̃𝑛 os movimentos brownianos independentes sob a medida de

probabilidade neutra ao risco, temos:

𝑑𝑓(𝑡, 𝑇) = [∑ 𝜎𝑛(𝑡, 𝑇) ∫ 𝜎𝑛(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠 𝑇 𝑡 𝑁 𝑛=1 ] 𝑑𝑡 + ∑ 𝜎𝑛(𝑡, 𝑇)𝑑𝑊̃𝑛(𝑡) 𝑁 𝑛=1 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 4.1.3i

O modelo acima é não é o modelo mais apropriado para se trabalhar com taxas reais. Para este caso o modelo mais apropriado é o modelo descrito no trabalho de Jarrow e Yildirim (2003), no qual os autores tratam o modelo HJM com apoio do conceito de paridade da moeda. Com uma analogia baseada neste conceito, o índice de inflação é tratado como uma taxa de câmbio, que relaciona a taxa nominal tratada como uma moeda local e a taxa real tratada como uma moeda estrangeira. Como não é foco deste trabalho, as demonstrações matemáticas detalhadas podem ser consultadas nos trabalhos de Jarrow e Yildirim (2003) e Antonini (2019). Como consequência desta abordagem um novo termo é adicionado ao drift do modelo original HJM descrito pela equação 4.1.3:

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𝑑𝑓_𝑟(𝑡, 𝑇) = {∑ 𝜎_𝑛,𝑟(𝑡, 𝑇) 𝑁 𝑛=1 [∫ 𝜎𝑛,𝑟(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠 − 𝜌_𝑟𝐼𝜎𝐼(𝑡) 𝑇 𝑡 ]} 𝑑𝑡 + ∑ 𝜎_𝑛,𝑟(𝑡, 𝑇)𝑑𝑊̃_𝑛,𝑟(𝑡) 𝑁 𝑛=1 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 4.1.4i

O novo termo adicionado no drift é o resultado do produto de 𝜌𝑟𝐼 (correlação entre a

taxa real e o índice de inflação) e 𝜎_𝐼 (volatilidade do índice de inflação). Os outros termos da equação são reescritos com o “𝑟” subscrito para indicar que a taxa tratada por esta equação se trata de uma taxa real.

4.2. O modelo HJM adaptado (em tempo discreto e parametrização Musiela)

O modelo utilizado neste trabalho e exposto a seguir, é o modelo apresentado em Nojima (2013), aqui denominado de HJM adaptado. Este modelo utiliza de 3 principais modificações, sendo elas, a parametrização proposta por Brace e Musiela (1994), que muda a variável 𝑇 (que representa uma data de vencimento fixa) para a variável 𝜏 (que representa um prazo de maturidade), a abordagem proposta por Glasserman (2003) que resulta em uma solução numérica em tempo discreto, e a estrutura dos dados proposta pelo próprio Nojima (2013) baseada na utilização de dois grids separados, um grid de tempo t e um grid de prazo de maturidade 𝜏.

Como resultado destas modificações no modelo HJM original, o modelo HJM adaptado viabiliza de forma eficiente a implementação do modelo através das simulações numéricas com a aplicação do método de Monte Carlo.

Para a primeira modificação denominada parametrização Musiela, observamos que em todas as equações do modelo HJM original temos a variável 𝑇 que representa uma data de vencimento fixa, porém idealmente é preferível que essa variável seja definida como um prazo de maturidade 𝜏 variável em relação ao instante 𝑡, pois dessa forma as curvas forward estarão sempre definidas em um espaço de estados em ℝ+. Essa mudança de variável ocorre através da definição do instante 𝑇 como 𝑡 + 𝜏, e como 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, temos que 𝜏 ≥ 0. Enquanto no modelo HJM original temos

(32)

𝑓(𝑡, 𝑇), com essa primeira modificação ficamos com 𝑓(𝑡, 𝑡 + 𝜏), mas para não deixar as expressões matemáticas que serão apresentadas com uma notação muito carregada definimos 𝑟(𝑡, 𝜏) = 𝑓(𝑡, 𝑡 + 𝜏). Como consequência dessa alteração de parâmetro, modificação proposta por Brace e Musiela (1994), a equação diferencial estocástica 4.1.3i resulta na equação:

𝑑𝑟(𝑡,𝜏) = [𝜕𝑟(𝑡, 𝜏) 𝜕𝜏 ∑ 𝜎𝑛(𝑡, 𝜏) ∫ 𝜎𝑛(𝑡, 𝑠)𝑑𝑠 𝜏 0 𝑁 𝑛=1 ] 𝑑𝑡 + ∑ 𝜎_𝑛(𝑡, 𝜏)𝑑𝑊̃_𝑛(𝑡) 𝑁 𝑛=1 , 𝜏 ≥ 0 4.2.1i

Para a segunda e a terceira modificação, seguimos com a discretização do modelo HJM com dois grids separados para o tempo t e o prazo de maturidade 𝜏 (segunda e terceira modificação), primeiramente discretizamos 𝑟(𝑡, 𝜏) definindo o grid de tempo 𝑡, 0 = 𝑡0 < 𝑡1 < ⋯ < 𝑡𝑀, e o grid de prazo de maturidade 𝜏, 𝜏1 < 𝜏2 < ⋯ < 𝜏𝐽,

chegando assim na fórmula da dinâmica da taxa forward no tempo discreto 𝑟̂(𝑡𝑖, 𝜏𝑗)

(em contraposição a taxa forward no tempo contínuo 𝑟(𝑡_𝑖, 𝜏_𝑗)), descrita por:

𝑟̂(𝑡_𝑖, 𝜏_𝑗) = 𝑟̂(𝑡_𝑖−1, 𝜏_𝑗) + [𝑟̂(𝑡𝑖−1, 𝜏𝑗+1) − 𝑟̂(𝑡𝑖−1, 𝜏𝑗) 𝜏𝑗+1− 𝜏𝑗 + 𝑎̂(𝑡_𝑖−1, 𝜏_𝑗)] [𝑡_𝑖 − 𝑡_𝑖−1] + ∑ 𝑠̂𝑛(𝑡𝑖−1, 𝜏𝑗)√𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1 𝑍𝑖𝑛 𝑁 𝑛=1 , 𝑍𝑖𝑛~𝑁(0,1) 4.2.2i

Com 𝑖 = 1, … , 𝑀 e 𝑗 = 1, … , 𝐽 e onde 𝑁 é o número de fatores do modelo.

Temos ainda 𝑍_𝑖𝑛 que são vetores aleatórios independentes 𝑁(0,1), 𝑠̂_𝑛 que é o n-ésimo elemento de um vetor 𝑠̂ = (ŝ₁, ⋯ , ŝ_N) que representa a estrutura de volatilidade do fator 𝑛, e 𝑎̂(𝑡_𝑖−1, 𝜏_𝑗) que é o drift discreto.

Glasserman (2003) sugere uma abordagem de aproximação do drift discreto do limite contínuo que tem como principal característica a preservação da propriedade martingal para o preço descontado de bonds.

(33)

Dessa forma o drift discreto 𝑎̂(𝑡_𝑖−1, 𝜏_𝑗), multifator e livre de arbitragem baseado na abordagem proposta por Glasserman (2003) e com parametrização Musiela, demonstrado e definido por Nojima (2013) é definido por:

𝑎̂(𝑡𝑖−1, 𝜏𝑗) = 1 2[𝜏𝑗+1− 𝜏𝑗] [∑ (∑ 𝑠̂𝑛(𝑡𝑖−1, 𝜏𝑙)[𝜏𝑙+1− 𝜏𝑙] 𝑗 𝑙=0 ) 2 𝑁 𝑛=1 − ∑ (∑ 𝑠̂𝑛(𝑡𝑖−1, 𝜏𝑙)[𝜏𝑙+1− 𝜏𝑙] 𝑗−1 𝑙=0 ) 2 𝑁 𝑛=1 ] 4.2.3i

No caso da taxa real, o drift discreto é descrito pela expressão:

𝑎̂(𝑡𝑖−1, 𝜏𝑗) = 1 2[𝜏𝑗+1− 𝜏𝑗] [∑ (∑ 𝑠̂𝑛(𝑡𝑖−1, 𝜏𝑙)[𝜏𝑙+1− 𝜏𝑙] 𝑗 𝑙=0 ) 2 𝑁 𝑛=1 − ∑ (∑ 𝑠̂𝑛(𝑡𝑖−1, 𝜏𝑙)[𝜏𝑙+1− 𝜏𝑙] 𝑗−1 𝑙=0 ) 2 𝑁 𝑛=1 − 𝜌𝑟𝐼𝜎𝐼(𝑡𝑖−1)] 4.2.4i

O drift discreto possui um termo extra advindo do termo 𝜌_𝑟𝐼𝜎_𝐼 da equação 4.1.4. O termo 𝜌𝑟𝐼𝜎𝐼 estimado para períodos de amostra de 1 ano tem valores da ordem de

grandeza de 10−3_{. Esses valores quando expressos em percentual ao ano têm}

impacto significativo nas curvas de juros. Contudo, ao utilizarmos períodos de amostra de 5 anos, os valores encontrados para este termo apresentam uma ordem de grandeza de 10−4_{, reduzindo seu efeito na variação das taxas dentro da dinâmica}

proposta em relação aos níveis atuais das taxas reais de juros. Dessa forma, para esta análise exploratória esse termo foi desconsiderado para o cálculo, e a expressão utilizada para a aplicação do modelo foi a equação 4.2.3.

Por fim, ao trabalharmos com projeções de curvas de taxas juros reais, é necessário passar do mundo neutro ao risco para o mundo real. Yassuoka (2015) detalha o procedimento que discretiza a expressão que contêm o Market Price of Risk. Este termo existente no modelo HJM, e demonstrado por Heath, Jarrow e Morton (1992), não foi explorado a fundo por estes pesquisadores, dado que a aplicação do modelo em seu trabalho se dava no mundo neutro ao risco, sem a preocupação em passar para o mundo real, e consequentemente sem a preocupação com o termo que

(34)

representa o Market Price of Risk. No contexto deste trabalho, segundo Yassuoka (2015) este termo pode ser estimado pela seguinte expressão:

𝜙𝑛 ≈ 1 ρ𝑛 ∑ Ε (Δ𝑟𝑖 Δt) 𝑚 i=1 𝑒_𝑖(𝑛) _4.2.5 i onde:

• 𝜙_𝑛 é o Market Price of Risk do fator 𝑛; • 𝜌𝑛 é o autovalor do fator 𝑛;

• 𝑒(𝑛)_{é o seu autovetor do fator 𝑛;}

• Ε (Δ𝑟𝑖

Δt) é a média histórica das variações das taxas forward;

• 𝑚 é o número de vértices utilizados no modelo.

4.3. O modelo de Svensson

Diferente do modelo HJM, o modelo de Svensson não serve para projeção da estrutura a termo de taxa de juros, porém é muito útil para descrever a estrutura a termo de taxa de juros em um determinado instante de tempo com base nos dados observados no mercado. No contexto deste trabalho, o modelo de Svensson foi utilizado pela ANBIMA para cálculo da estrutura a termo de taxa de juros diária, e os resultados obtidos foram utilizados como dados de entrada para cálculo da estrutura de volatilidade e para a estrutura a termo de taxa de juros no instante inicial da simulação.

O modelo proposto por Svensson é utilizado por bancos centrais de vários países para dar suporte as decisões relacionadas as políticas monetárias, pois através desse modelo é possível descrever a estrutura temporal das taxas de juros de uma forma simples e flexível com apenas quatro parâmetros 𝛽₁, 𝛽₂, 𝛽₃ e 𝛽₄, respeitando ainda os preços de mercado.

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A equação que define a taxa de juros no instante 𝑡 para o prazo 𝜏, segundo o modelo de Svensson é definida como:

𝑟𝑡(𝜏)=𝛽1+ 𝛽2𝑡( 1 − 𝑒−𝜆1𝑡𝜏 𝜆1𝑡𝜏 )+𝛽3𝑡( 1 − 𝑒−𝜆1𝑡𝜏 𝜆1𝑡𝜏 − 𝑒−𝜆1𝑡𝜏₎ +𝛽4𝑡( 1 − 𝑒−𝜆2𝑡𝜏 𝜆2𝑡𝜏 − 𝑒−𝜆2𝑡𝜏₎ 4.3.1i

os fatores da estrutura deste modelo possuem as seguintes interpretações: 𝛽₁ representa o nível, 𝛽₂ representa o a inclinação, 𝛽₃ e 𝛽₄ representam curvaturas, e os parâmeros 𝜆1 e 𝜆2 representam os decaimentos onde os pesos de 𝛽3 e 𝛽4

atingem seu máximo. Para calibrar os parâmetros do modelo, Svensson utiliza da premissa de que o preço de um bond é igual ao valor presente de seu fluxo de caixa calculado por uma função desconto. Como essa função desconto possui taxas de juros embutidas para determinados prazos, a calibração do modelo se dá através de um processo de minimização dos erros entre os preços observados no mercado e os preços calculado pelo modelo.

No próximo capítulo é descrita a metodologia para implementação e utilização do modelo HJM adaptado, utilizando os dados calculados pela ANBIMA através do modelo de Svensson e com o a calibração da estrutura de volatilidade através do

PCA, assim como a definição do Intervalo HJM e as análises realizadas para

(36)

5. Metodologia

Este capítulo descreve de forma detalhada todos os passos realizados neste trabalho para a implementação e utilização do modelo HJM adaptado para definição do Intervalo HJM avaliado neste trabalho. São explicados ainda o tratamento de alguns dados de mercado, e os critérios da análise de comparação entre o Intervalo HJM e o Intervalo Legal.

5.1. Dados para Simulação HJM

A ANBIMA calcula e divulga diariamente todos os parâmetros do modelo de Svensson (𝛽₁, 𝛽₂, 𝛽₃, 𝛽₄, 𝜆₁ e 𝜆₂) com bases nos dados de mercado de títulos públicos, sendo que o método de otimização definido pela ANBIMA e utilizado para calibração dos parâmetros é baseado na minimização da soma dos erros quadráticos (diferenças entre os preços de mercado e os preços estimados pelo modelo) de todos os títulos ponderados pelo inverno da Duration .

Nesta pesquisa foram coletados os parâmetros acima mencionados das curvas diárias de 02/05/2006 até 30/04/2018 e a equação 4.3.1i foi utilizada para a

construção da base de dados de curvas de taxas de juros reais diárias.

Como essas curvas são taxas spot e o modelo HJM é baseado em taxas forward, recorreu-se a equação 5.1.1i apresentada a seguir para cálculo das taxas forward.

𝐹_𝑡₁_~𝑡₂ = [(1 + 𝑆𝑡2) (₂₅₂𝑡2) (1 + 𝑆_𝑡₁)(252𝑡1) ] (_𝑡252 2−𝑡1) − 1 5.1.1i

Onde 𝐹_𝑡₁_~𝑡₂ é a taxa forward anual entre os instantes 𝑡₁ e 𝑡₂ (instantes em dias úteis), 𝑆_𝑡_𝑛é a taxa spot anual do instante 𝑡 = 0 até o instante 𝑡_𝑛.

(37)

Como essas curvas são taxas compostas e o modelo HJM é baseado em taxas contínuas, recorreu-se a equação 5.1.2i apresentada a seguir para cálculo das taxas

contínuas equivalentes.

𝑟𝑦 = 𝑙n (1 + 𝑖𝑦) _5.1.2

i

Onde 𝑖_𝑦 é a taxa composta anual (252 dias úteis por ano) e 𝑟_𝑦 é a taxa contínua anual equivalente.

De posse das curvas forward contínuas, foi aplicado o procedimento de Principal

Component Analysis, considerando três fatores. Os autovalores e autovetores

obtidos são então utilizados como as estruturas de volatilidade dos fatores do modelo HJM adaptado.

5.2. Predições realizadas (Posição, in-Sample e out-of-sample)

Dada uma posição para a simulação do modelo HJM e a estimação do Intervalo HJM, o período in-sample é composto pelos 5 anos anteriores a esta posição. Assim sendo as curvas forward contínuas diárias dos últimos 5 anos que antecedem a posição da simulação são utilizadas para o cálculo do Intervalo Legal, e essas mesmas curvas são utilizadas para a construção das estruturas de volatilidades dos três fatores através do PCA. Para a simulação HJM é utilizada ainda a informação da última curva forward instantânea disponível no in-sample, tomada como a curva vigente no instante inicial da simulação. A informação out-of-sample para análise comparativa dos dois intervalos é a informação do retorno real do CDI ex post, ocorrida para os diferentes prazos e períodos avaliados.

Para melhor visualização dos períodos in-sample e out-of-sample descritos no parágrafo anterior e utilizados nas simulações HJM, são apresentadas na Tabela 1 as datas iniciais e datas finais de cada período considerado.

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Tabela 1 – Dados dentro da amostra e fora da amostra

Cada Predição é uma Simulação HJM com Posição, in-sample e out-of-sample bem definidos.

5.3. Análise de Componentes Principais

A implementação do procedimento de PCA se deu através de um programa em linguagem Python elaborado no software Anaconda e desenvolvido pelo autor, sendo que para o código específico do procedimento de PCA foi utilizado o pacote estatístico Sklearn Python.

O coeficiente de acoplamento do fator 𝑗 = (1, … , 𝐾) é definido pela expressão abaixo e descreve o percentual de variação explicado pelos componentes considerados no PCA.

𝜆_j

∑𝐾k=1𝜆𝑘

,

sendo 𝜆 = (𝜆₁, ⋯ , λ𝑘) os autovalores resultantes do PCA e 𝐾 o número de fatores

considerado no modelo.

A seguir são apresentados os gráficos dos vetores resultantes do PCA dos 3 fatores considerados para cada posição analisada, e utilizados como estruturas de volatilidade no modelo, assim como seus coeficientes de acoplamento, com base nos dados In-sample descritos na Tabela 1.

Predição Posição In-Sample Out-Of-Sample

1 31/12/2011 01/05/2006 até 30/04/2011 31/12/2011 até 30/06/2019 2 31/12/2012 01/05/2007 até 30/04/2012 31/12/2012 até 30/06/2019 3 31/12/2013 01/05/2008 até 30/04/2013 31/12/2013 até 30/06/2019 4 31/12/2014 01/05/2009 até 30/04/2014 31/12/2014 até 30/06/2019 5 31/12/2015 01/05/2010 até 30/04/2015 31/12/2015 até 30/06/2019 6 31/12/2016 01/05/2011 até 30/04/2016 31/12/2016 até 30/06/2019 7 31/12/2017 01/05/2012 até 30/04/2017 31/12/2017 até 30/06/2019 8 31/12/2018 01/05/2013 até 30/04/2018 31/12/2018 até 30/06/2019

(39)

Figura 3 – PCA Posição 31/12/2011 - 3 Fatores

Tabela 2 – PCA Posição 31/12/2011 - Coeficientes de Acoplamento

Componente Valor Acumulado

1º Fator (nível) 72,51% 72,51%

2º Fator (inclinação) 6,80% 79,30%

3º Fator (curvatura) 14,34% 93,65%

PCA Posição 31/12/2011 - Coeficientes de Acoplamento

1º Fator (nível) 62,66% 62,66%

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1º Fator (nível) 77,96% 77,96%

1º Fator (nível) 83,26% 83,26%

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1º Fator (nível) 83,10% 83,10%

1º Fator (nível) 89,09% 89,09%

(42)

Todos os resultados apresentaram um Coeficiente de Acoplamento Acumulado superior a 93%, com exceção do resultado do PCA com posição em 31/12/2012 que ficou em 89%. Apesar de ser um valor relativamente menor, ainda pode ser

1º Fator (nível) 90,10% 90,10%

1º Fator (nível) 85,56% 85,56%