Seminário - MA604: Teorema de Baire

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Semin´

ario - MA604: Teorema de Baire

Tales Rick Perche e Juliane C. Baiochi Dalben

Novembro 2017

´

_Indice

1 O Teorema De Baire 2

2 Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme 4

3 Teoremas do Mapeamento Aberto e Gr´afico Fechado 4 4 Aplica¸c˜oes para Adjunticidade de Operadores em Espa¸cos de Hilbert 6

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1 O Teorema De Baire

Lema 1.1. Seja X um espa¸co m´etrico completo e Fn⊂ X conjuntos fehcados n˜ao vazios limitados

para n ∈ N tais que F1⊃ F2⊃ ... ⊃ Fn ⊃ ... e diam Fn−→ 0, ent˜ao

F ≡ ∞ \ n=1 Fn ´e um ´unico ponto.

Demonstra¸c˜ao: Defina dn= diam(Fn), logo dn−→ 0, ent˜ao tome para cada n ∈ N um xn∈ Fn,

de forma que teremos uma sequˆencia (xn) que ser´a de Cauchy. De fato, se > 0, temos que

∃ n0∈ N tal que dn< ∀ n ≥ n0. Assim, se n, m ≥ n0, teremos xn, xm∈ Fn0 e ent˜ao d(xn, xm) ≤

diam(Fn0) = dn0 < . Como temos uma sequência de Cauchy em X, que é completo, esta sequência

converge, digamos xn−→ x. Como cada Fn é fechado e (xn) é uma sequência convergente em Fm

para n ≥ m, temos que x ∈ Fm∀ m ∈ N, pois cada Fm ´e fechado, logo cont´em todos seus pontos

de acumula¸c˜ao. Assim x ∈ Fm∀ m ∈ N e temos x ∈ F .

Teorema 1.2. Seja X espa¸co m´etrico completo e (An) uma sequˆencia de conjuntos abertos densos

em X, ent˜ao o conjunto A =

∞

\

n=1

An ´e denso em X.

Demonstra¸c˜ao: Seja x ∈ X e > 0. Basta mostrar que ∃ x0 ∈ A tal que d(x, x0) < , isto ´e,

basta mostrar queA ≡ A ∩ B(x, ) 6= ∅. Afim de utilizar o lema anterior, vamos construir uma sequência de bolas fechadas contidas cuja interse¸cão estará emA .

n=1: Como A1´e denso em X, ent˜ao ∃x1∈ A1tal que d(x1, x) < ⇒ x1∈ A1∩B(x; ) ≡A1. Como

A1 e B(x; ) são abertos, sua interse¸cão será um aberto, pois é uma interse¸cão finita, assim,

A1´e aberto e x1∈A1, logo, ∃ s1> 0 tal que B(x1; s1) ⊂A1. Tome ent˜ao r1= min{1, s1/2}

e teremos que B[x1; r1] ⊂A1.

n=2: Como A2´e denso em X, ent˜ao ∃ x2∈ A2tal que d(x2, x1) < r1⇒ x2∈ A2∩ B(x1; r1) ≡A2.

Como A2e B(x1; r1) são abertos, sua interse¸cão será um aberto, assim,A2é aberto e x2∈A2,

logo, ∃ s2 > 0 tal que B(x2; s2) ⊂ A2. Tome ent˜ao r2 = min{1/2, s2/2} e teremos que

B[x2; r2] ⊂A2.

H.I.: Suponha que temos xn∈ An∩ B(xn−1; rn−1) ≡An e 0 < rn≤ 1/n tal que B[xn; rn] ⊂An.

n+1: Como An+1 ´e denso em X, ent˜ao ∃ xn+1 ∈ An+1 tal que d(xn+1, xn) < rn ⇒ xn+1 ∈

An+1∩ B(xn; rn) ≡ An+1. Como An+1 e B(xn; rn) são abertos, sua interse¸cão será um

aberto, assim,An+1´e aberto e xn+1∈An+1, logo, ∃ sn+1> 0 tal que B(xn+1; sn+1) ⊂An+1.

Tome ent˜ao rn+1= min{1/(n + 1), sn+1/(n + 1)} e teremos que B[xn+1; rn+1] ⊂An+1.

Assim constru´ımos uma sequˆencia de fechados limitados, Bn≡ B[xn; rn] tais que:

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e diam Bn ≤ 2/n ∀ n ∈ N ⇒ diam Bn −→ 0. Assim, pelo lema anterior, ∞

\

n=1

Bn = {x0}, e, como

x0∈ Bn⊂ B(x; ) ∩ An∀ n ∈ N, temos que x0∈ B(x; ) ∩ A =A . Assim, A 6= ∅ e temos que A ´e

denso em X.

Teorema 1.3. Sejam X um espa¸co m´etrico completo e (Fn) uma sequˆencia de subconjuntos

fecha-dos de X com interior vazio. Se F =

∞

[

n=1

Fn, ent˜ao int(F ) = ∅.

Demonstra¸cão: Seja X um espa¸co métrico completo. Considere (An) uma sequência de

subcon-juntos abertos em X e denote por Fn = Anc. Assim, observe que:

An= X ⇐⇒ Xc= (An)c= int(Anc) ⇐⇒ int(Fn) = ∅

Temos tamb´em, pelas leis de DeMorgan, que:

X = ∞ \ n=1 An ⇐⇒ Xc= ∞ \ n=1 An c = int ∞ \ n=1 An !c = int ∞ [ n=1 Anc ! ⇐⇒ int ∞ [ n=1 Fn ! = ∅. Portanto, An= X =⇒ X = ∞ \ n=1 An ⇐⇒ int(Fn) = ∅ =⇒ int ∞ [ n=1 Fn ! = ∅. E isto demonstra a equivalˆ_{encia dos teoremas.}

Defini¸cão 1.4. Seja X um espa¸co métrico. Dizemos que M ⊂ X ´_{e nunca denso se int(M ) = ∅.} Defini¸cão 1.5. Seja X um espa¸co métrico. Um subconjunto M ⊂ X é dito magro em X se é união enumerável de conjuntos nunca densos. Isto é, se M =

∞

[

n=1

Mn, com Mn ´e nunca denso ∀ n ∈ N.

Proposi¸cão 1.6. Seja X um espa¸co métrico completo, então todo conjunto magro em X tem interior vazio.

Demonstra¸cão: Seja M ⊂ X magro, então existe uma sequência de conjuntos magros (Mn) tais

que M =

∞

[

n=1

Mn. Como cada Mn ´e magro, temos int Mn = ∅ ∀ n ∈ N. Assim, Mn s˜ao fechados e

o teorema 1.3 garante que int

∞ [ n=1 Mn ! = ∅. Assim: M = ∞ [ n=1 Mn⊂ ∞ [ n=1 Mn ⇒ int(M ) ⊂ int ∞ [ n=1 Mn ! = ∅.

Observa¸cão 1.7. Assim, se (Xn) é uma sequência de subconjuntos fechados de X tais que X = ∞

[

n=1

Xn,

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2 Princ´ıpio da Limita¸

c˜

ao Uniforme

Teorema 2.1. Sejam X e Y espa¸cos de Banach e (Ti)i∈I uma fam´ılia de operadores lineares

cont´ınuos de X para Y . Se sup i∈I ||Tix|| < ∞, ∀ x ∈ X, ent˜ao sup i∈I ||Ti|| < ∞, ∀ i ∈ I.

Demonstra¸c˜ao: _{Para todo n ∈ N, considere}

Xn= {x ∈ X : ||Tix|| ≤ n, ∀ i ∈ I}.

Ent˜ao Xn ´e fechado e, como supi∈I||Tix|| < ∞, temos que X = ∞

[

n=1

Xn. Logo, pela observa¸c˜ao 1.7,

existe n0 ∈ N tal que int(Xn0) = int(Xn0) 6= ∅. Tome x0 ∈ X e r > 0 tais que BX(x0; r) ⊂ Xn0.

Assim, ∀ z ∈ BX(0; 1) e ∀ i ∈ I, temos:

n0≥ ||Ti(x0+ rz)|| ≥ r||Tiz|| − ||Tix0|| ⇒ n0+ ||Tix0|| ≥ r||Tiz||

Assim, tomando o supremo sobre todos os z ∈ BX(0; 1), temos:

sup z∈BX(0;1) r||Tiz|| = r||Ti|| ≤ n0+ ||Tix0|| ⇒ sup i∈I ||Ti|| < ∞ pois sup i∈I

||Tix0|| < ∞, por hip´otese.

3 Teoremas do Mapeamento Aberto e Gr´

afico Fechado

Teorema 3.1 (Mapeamento Aberto). Sejam X e Y espa¸cos de Banach e T : X −→ Y um operador linear cont´ınuo sobrejetor, ent˜ao T ´e um mapa aberto.

Demonstra¸c˜ao: Por simplicidade, vamos denotar BX(0; r) e BY(0, r) por BX(r) e BY(r),

respec-tivamente e utilizaremos sem pudor que B(v0; r) = v0+B(r), pois a transla¸c˜ao ´e homeomorfismo em

espa¸cos vetoriais. Primeiramente, vamos mostrar que ∃ > 0 tal que BY() ⊂ T (BX(2)): Temos que

X =

∞

[

n=1

BX(n), logo, como T ´e sobrejetora, Y = T (X) = ∞

[

n=1

T (BX(n)) e, pelo teorema de Baire,

deve existir n0 ∈ N tal que int(T (BX(n0))) 6= ∅. Ainda, como T (BX(1)) = _n1

0T (BX(n0)), pois o

produto por escalar é homeomorfismo e T é linear, então T (BX(1)) tem interior não vazio. Assim,

tome y0∈ T (BX(1)) e existe > 0 tal que y0+ BY() ⊂ T (BX(1)) ⇒ BY() ⊂ T (BX(1)) − y0.

Mostremos que T (BX(1)) − y0 ⊂ T (BX(2)): Seja y ∈ T (BX(1)), ent˜ao existe uma sequˆencia

(xn) em BX(1) tal que T xn −→ y. Como y0 ∈ T (BX(1)), tamb´em existe uma sequˆencia (zn)

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||xn− zn|| ≤ ||xn|| + ||zn|| < 2 ⇒ (xn− zn) ´e sequˆencia em BX(2) que converge a y − y0. Assim,

y − y0 ∈ T (BX(2)) e conclu´ımos que T (BX(1)) − y0 ⊂ T (BX(2)). Desta forma, ∃ > 0 tal que

BY() ⊂ T (BX(1)) − y0⊂ T (BX(2)).

Note, em partiucular, que para todo α > 0 temos que BY(α) ⊂ T (BX(α2)), pois, dado

y0∈ BY(α), y ≡ y0/α ´e tal que y0∈ BY() ⊂ T (BX(2)), logo existe uma sequˆencia (xn) em BX(2)

tal que T xn −→ y. Assim, tomando zn = αxn, zn ∈ BX(2α) e T zn −→ αy = y0, logo existe uma

sequˆencia (zn) em BX(2α) tal que T zn−→ y0⇒ y0 ∈ T (BX(2α)) ⇒ BY(α) ⊂ T (BX(α2)).

Agora, vamos mostrar que para o mesmo acima, vale que BY(/4) ⊂ T (BX(1)): Seja y ∈

BY(/4) ⊂ T (BX(1/2)), ent˜ao existe x1 ∈ BX(1/2) tal que ||y − T x1|| < /8 ⇒ y − T x1 ∈

BY(/8) ⊂ T (BX(1/4)), ent˜ao existe x2 ∈ BX(1/4) tal que ||y − T x1− T x2|| < /16 ⇒ y −

T x1− T x2 ∈ BY(/16) e ent˜ao conseguimos construir indutivamente uma sequˆencia (xn) tal que

||y −Pk n=1T xn|| < /2k+2∀ k ∈ N e ||xn|| < 1/2n∀ n ∈ N. Assim, se definirmos zn =P n k=1xk teremos, para m > n: ||zn− zm|| = m X k=n+1 xk ≤ m X k=n+1 ||xk|| ≤ m X k=n+1 1 2k < 1 2n

de forma que a sequência (zn) é de Cauchy e, como X é Completo por hipótese, converge. Digamos

zn−→ z. Al´em disso, ||z|| = ∞ X k=1 xk ≤ ∞ X k=1 ||xk|| < ∞ X k=1 1 2k = 1.

Desta forma z ∈ BX(1) e, claramente, T zn −→ y, por constru¸c˜ao, mas, como T ´e cont´ınua,

T zn −→ T z = y, assim, existe z ∈ BX(1) tal que y = T z, logo BY(/4) ⊂ T (BX(1)), como

quer´ıamos demonstrar. Além disso, é claro, temos que se α > 0, então BY(α/4) ⊂ T (BX(α)), pois

T ´e linear e produto por escalar ´e homeomorfismo.

Podemos finalmente concluir a demosntra¸cão: seja A aberto em X, basta mostrar que T (A) é aberto em Y . Assim, seja y ∈ T (A), então ∃ x ∈ A tal que T x = y, e, como A é aberto, existe r > 0 tal que x + BX(r) ⊂ A ⇒ T x + T (BX(r)) ⊂ T (A) ⇒ y + T (BX(r)) ⊂ T (A). Mas, pelo que

fizemos at´e ent˜ao, temos que BY(r/4) ⊂ T (BX(r)), logo:

y + BY(r/4) ⊂ T (A)

e conclu´ımos que y é ponto interior de T (A). Assim, T mapeia abertos em abertos e é uma fun¸cão aberta.

Corolário 3.1.1. Sejam X e Y espa¸cos de Banach e T : X −→ Y um operador linear cont´ınuo bijetor. Então T−1 é cont´ınuo, e, por tanto, T é homeomorfismo.

Demonstra¸cão: Seja U ⊂ X subconjunto aberto qualquer. Então, pelo teorema 3.1, T (U ) é aberto em Y . Assim, (T−1)−1(U ) = T (U ) é aberto em Y , para todo U ⊂ X aberto. Logo, T−1 é cont´ınuo, pois a pré-imagem de qualquer aberto por T−1´_{e aberta.}

Corol´ario 3.1.2. Seja X espa¸co vetorial munido de duas normas, ||.||1 e ||.||2. Se X ´e um espa¸co

de Banach por ambas as normas e existe uma constante c > 0 tal que ||x||2 ≤ c||x||1, ∀ x ∈ X,

(6)

Demonstra¸c˜ao: Considere o operador identidade I : (X, ||.||1) −→ (X, ||.||2), que claramente

é linear e bijetor. Além disso, como existe c > 0 tal que ||x||2 ≤ c||x||1, ∀ x ∈ X, então I é

lipschitziano, logo I é cont´ınuo. Assim, pelo corolário 3.1.1, I é homeomorfismo, logo os espa¸cos em questão s˜_{ao homeomorfos.}

Defini¸cão 3.2. Sejam X e Y espa¸cos normados, D subespa¸co de X e T : D −→ Y operador linear. Dizemos que T é fechado se seu gráfico, Γ(T ) = {(x, T x) : x ∈ D}, é fechado.

Observa¸cão 3.3. A defini¸cão acima é equivalente a dizer que toda sequência em Γ(T ) que converge, converge para um ponto de Γ(T ). Ou seja, se (xn) é uma sequência em D tal que xn −→ x e

T xn−→ y, temos que ter x ∈ D e T x = y.

Teorema 3.4 (Gráfico Fechado). Sejam X e Y espa¸cos de Banach e T : D ⊂ X −→ Y um operador linear fechado com D fechado. Então T é limitado.

Demonstra¸c˜ao: Sabemos que X × Y ´e um espa¸co de Banach com a norma ||(x, y)|| = ||x||X+ ||y||Y

e, como T é linear, Γ(T ) = {(x, T x) : x ∈ D} é um subespa¸co de Y , pois (x, T x) + (y, T y) = (x + y, T (x + y)) ∈ Γ(T ). Além disso, por hipótese, Γ(T ) é fechado em um completo, logo é completo e, então, Γ(T ) é Banach. Assim, considere Π : Γ(T ) −→ D tal que Π(x.T x) = x. Temos, então, que Π é uma bije¸cão linear cont´ınua, logo é aberto, pelo teorema 3.1, e Π−1 : D −→ Γ(T ) é cont´ınua, pelo corolário 3.1.1, logo é limitada e, se x ∈ D, temos que

||x||X+ ||T x||Y = ||Π−1(x, T x)|| ≤ c||x||

⇒ ||T x|| ≤ (c − 1)||x|| Logo, T ´_{e limitado em D, portanto cont´ınuo.}

4 Aplica¸

c˜

oes para Adjunticidade de Operadores em Espa¸

cos

de Hilbert

Defini¸cão 4.1. SejaH um espa¸co de Hilbert e D ⊂ H um subconjunto denso. Se T : D −→ H é um operador linear, então definimos o conjunto:

D∗_{= {h ∈}_{H : ∃ h}∗_∈_{H tal que hT x, hi = hx, h}∗_{i ∀ x ∈ D}}

e o operador T∗: D∗−→H tal que T∗_{h = h}∗_{. ( ´}_{E poss´ıvel mostrar que se D ´}_{e denso em}_{H , ent˜ao}

de fato existe um ´unico h∗ ∈H para cada h ∈ H de maneira que T∗ _est´_{a bem definido e ´}_{e um}

operador linear.)

Adicionalmente, se o operador T é tal que T = T∗, então dizemos que T é um operador auto-adjunto, ou hermiteano. (Note que temos que ter, em particular, que D = D∗para que um operador seja hermiteano).

Teorema 4.2. Se H é espa¸co de Hilbert e T : D ⊂ H −→ H é operador linear densamente definido, então T∗: D∗−→H é um operador fechado.

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Demonstra¸c˜ao: Seja (hn) sequˆencia em D∗ tal que hn −→ h ∈H e T∗hn −→ k ∈H . Como

hn ∈ D∗, ∀ x ∈ D temos hT x, hni = hx, T∗hni. Como o produto interno e T s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas,

podemos tomar o limite da sequˆencia hn e obteremos hT x, hi = hx, T∗hi. Ou seja, existe h∗ =

T∗h ∈ D∗ tal que hT x, hi = hx, h∗i, logo h ∈ D∗ _{e T}∗_{h = k, o que implica que T}∗_´_{e fechado, pela}

observa¸c˜_{ao 3.3.}

Corolário 4.2.1. Seja T : D −→H um operador auto-adjunto com D = H , então T é limitado. Demonstra¸cão: Pelo teorema 4.2, temos que T∗ é fechado, então, pelo teorema 3.4 temos que T∗é limitado, mas como T é auto-adjunto, T = T∗, e então T ´_{e limitado.}

Exemplo: Neste exemplo trabalharemos com o espa¸co de Hilbert

L2_{(R) = {ψ : R −→ R :} Z ∞

−∞

|f (x)|2_{dx < ∞}}

que, apesar de n˜ao termos definido precisamente no curso de MA604, podemos trabalhar com suas propriedades essenciais.

Considere ent˜ao o operador X em L2

(R) que age em fun¸c˜oes ψ ∈ L2

(R) da seguinte forma: Xψ(x) = xψ(x). Não definimos por hora o dom´ınio de X, pois vamos acabar esbarrando em sua defini¸cão ao longo do exemplo. Mostremos que o operador em questão é ilimitado: Considere a sequência de fun¸cões ψn(x) = H(12− |x − n|), onde H(x) é a fun¸cão de Heavyside. Assim temos

que: ||ψn||2= Z ∞ −∞ |ψn(x)|2dx = Z ∞ −∞ H(1/2 − |x − n|)dx = Z n+1₂ n−1 2 dx = n +1 2 − (n − 1 2) = 1. Então os ψn são normalizados ∀ n ∈ N. Então, se X fosse limitado dever´ıamos ter ||Xψn|| ≤

||X|| ∀ n ∈ N. Mas temos que:

||Xψn||2= Z ∞ −∞ x2H2(1/2 − |x − n|)dx = Z n+12 n−1 2 x2dx = 1 3 n +1 2 3 − n −1 2 3! = n2+ 1 12. Assim temos ||Xψn|| = q n2₊ 1

12 e se X fosse limitado ter´ıamos

q n2₊ 1

12 < ||X|| ∀ n ∈ N, que

seria um absurdo.

N˜ao entraremos em detalhes sobre o fato que o operador X pode ser definido de forma a ser auto-adjunto (levando em conta detalhes de dom´ınio), mas utilizaremos este fato, de forma que, pelo teorema 4.2, X n˜ao pode estar definido em todo L2

(R). De fato, considere a func˜ao:

φ(x) = ( ₁ 2|x| |x| ≥ 1 1 2 |x| < 1. Ent˜ao temos: ||φ||2₌ Z ∞ −∞ |φ(x)|2_{dx = 2} Z ∞ 0 |φ(x)|2_{dx = 2} Z 1 0 1 4dx+2 Z ∞ 1 1 4x2dx = 1 2+ 1 2 − lim x−→∞ 1 x+ 1 1 = 1

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De forma que φ ∈ L2

(R). Mas, mesmo assim, aplicando o operador X em φ obtemos:

Xφ(x) = xφ(x) = ( _x

2|x| |x| ≥ 1 x

2 |x| < 1.

Que claramente não é quadrado integrável, pois φ(x) = 1 ∀ x ∈ [1, ∞). Assim, o operador X não pode ser aplicado a esta fun¸cão sem que se saia do espa¸co L2_(R).

Para consertar este problema, basta definir o dom´ınio do operador X como: D = {ψ : R −→ R : xψ(x) ∈ L2(R)}

E teremos que, neste dom´ınio o operador em questão está bem definido e é auto-adjunto.

Apesar de parecer um exemplo trivial no sentido matemático, temos uma série de complica¸cões que podem aparecer em mecânica quântica com fun¸cões de onda que não pertencem ao dom´ınio do operador posi¸cão, pois estes estados quânticos não tem posi¸cão bem definida.

Bibliografia

[Ale] _{Liviana Palmisano Alexander Gorodnik. MATH 36202/M6202 Functional Analysis. url:} https://people.maths.bris.ac.uk/~mazag/fa17/.

[Bre10] H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Uni-versitext. Springer New York, 2010. isbn: 9780387709130. url: https://books.google. com.br/books?id=GAA2XqOIIGoC.

[Kre] Erwin Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley classics library. Wiley India Pvt. Limited. isbn: 9788126511914. url: https://books.google.com.br/ books?id=osXw-pRsptoC.