O Teorema de Mergulho de Whitney

O Teorema de Mergulho de Whitney

Gabriel Weber Dezembro de 2007

Sumário

1 Introdução 1

2 Conjuntos de Medida Nula 1

3 Aproximação por Mapas Regulares 4

4 Aproximação por Mapas Injetores 9

5 O Teorema de Mergulho 11

A Alguns Resultados sobre Espaços Paracompactos 13

B Mapeamentos Lineares e Transformações Lineares Induzidas 14

C Subvariedades 14

1

Introdução

Nesse trabalho demonstramos um teorema devido a Hassler Whitney, que ge-neraliza o seguinte resultado obtido durante o curso:

Teorema 1.1 Seja (X ,tau) uma variedade topológica de dimensão n, então existe uma funcção injetora H_{: X → R}m, com m= k(n + 1) tal que H : X → H(X ) é um homeomorfismo. Essa função H é dita ser um mergulho1

para o caso de uma variedade diferenciável não necessariamente compacta e com m= 2n + 1.

Um teorema desses é dito ser um teorema de metrização, pois nos permite concluir que variedade é um espaço métrico. Além do mais, dessa forma podemos enxergar uma variedade diferenciável qualquer como uma subvariedade fechada de Rm.

2

Conjuntos de Medida Nula

Nessa seção estudamos os conjuntos de medida nula e algumas de suas pro-priedades relevantes para a demonstração do teorema de mergulho de Whitney, notadamente, o comportamento de mapas diferenciáveis atuando sobre tais con-juntos. Para podermos introduzir sua definição necessitamos, porém, do conceito de hipercubo.

Definição 2.1 Seja x ∈ Rn_{. Definimos o hipercubo Q(x, r), de lado r > 0 e centro}

em x, como o conjunto de todos os pontos y_{∈ R}n tais que |yi− xi| ≤1/2r, para

i= 1, . . . , n.

Claramente, o volume de Q(x, r) é rn. Com isso podemos definir o que se entende por um conjunto de medida zero.

Definição 2.2 Seja S ⊂ Rn. Se para todo ε > 0 existir uma família enumerável de hipercubos que cubram S e cujo volume total seja menor do que ε, então, dizemos que S possui medida zero ou nula.

A seguinte proposição é imediata.

Proposição 2.1 Seja S um conjunto de medida zero, então Rnr S é denso em Rn. Demonstração:

Seja z /∈ S, então nenhum hipercubo Q(z, r) pode estar contido em S ∪ {z}, pois, caso contrário qualquer recobrimento de S por hipercubos possuiria um volume total maior ou igual a rn. Logo, todo hipercubo com centro em z possui um ponto que não está em S ∪ {z}. O que mostra que Rnr S é denso em Rn.

 Lema 2.1 Seja um conjunto aberto U ⊂ Rn e um mapeamento diferenciável σ : U_{→ R}n. Se S⊂ U possuir medida nula, então σ(S) também possui medida nula. Demonstração:

Seja ε > 0. Por hipótese, S pode ser recoberto por uma família enumerável de hipercubos cujo volume total é menor do que ε. Mostramos, inicialmente que podemos considerar que tais hipercubos estão em U , para isso é suficiente que demonstremos que, se Q for um hipercubo qualquer, Q ∩ U pode ser coberto por uma família finita ou enumerável de hipercubos contidos em U e cujo volume total não exceda o volume de Q.

Seja Q(x, r) um hipercubo que não esteja contido em U . Subdivida-o em 2n hi-percubos de lado1_{/2r, de forma, que eles se sobreponham somente nos hiperplanos}

2 Conjuntos de Medida Nula 3

contidos em U e subdivida de uma forma similar os que sobrarem. Repita esse processo até obter uma família finita ou enumerável de hipercubos que estejam contidos em U e que não excedam o volume de Q(x, r).

Seja y ∈ Q(x, r) ∩ U . Então, y possui uma vizinhança de raio ρ > 0 contida em U . Quando o processo de subdivisão chegar ao estágio no qual os lados dos hipercubos forem menores do que1_{/2ρ, então, y certamente estará contido em um}

dos hipercubos que foi mantido. Dessa forma, fica claro que a família finita, ou ao menos enumerável, que contruímos recobre Q(x, r) ∩U .

Agora, considere o mapeamento σ dado por σ(x) = ( f1(x), . . . , fn(x)). Seja

Qum hipercubo qualquer contido em U e denote por K(Q) o máximo de todas as funções |∂ fi/∂xj| no conjunto compacto Q. Então para quaisquer dois pontos

x, y ∈ Q, temos que2_: fi(x) − fi(y) = n

∑

j=1 fi(y1, . . . , yj−1, xj, . . . , xn) − fi(y1, . . . , yj, xj+1, . . . , xn)

Se aplicarmos o teorema do valor médio para cada termo da soma no lado direito, obtemos: fi(x) − fi(y) = n

∑

j=1 ∂ fi ∂xj     zj (xj− yj)

onde z1_{, . . . , z}n_{são pontos em Q. Assim,}

| fi(x) − fi(y)| ≤ K(Q) n

∑

j=1

|xj− yj|

para i = 1, . . . , n. Logo, se Q(x, r) ⊂ U , temos que:

σ(Q(x, r)) ⊂ Q(σ(x), nK(Q(x, r))r)

Recubra, então, S com hipercubos Q1, Q2, . . . ⊂ U . Para cada i existe um

hiper-cubo Hi⊂ U, cujo interior Hi⊃ Qi. Claramente, S ∩ Hitem medida zero. Recubra

S∩ Hi com hipercubos Q(yi1, r1), Q(yi2, r2), . . . que estejam contidos em Hi e cujo

volume total seja menor do queε/₂i_nn_K(H

i)n. Como

σ(Q(yij, rj)) ⊂ Q(σ(yij), nK(Hi)rj)

podemos concluir que σ(S ∩ Hi) é recoberto por hipercubos Q(σ(yi1), nK(Hi)r1),

Q(σ(yi2), nK(Hi)r2), . . . cujo volume total é menor do queε/2

i_{. Conseqüentemente,}

σ(S) é recoberto por uma família enumerável {Q(σ(yij), nK(Hi)rj)} de hipercubos

cujo volume total é menor do que ε ∑∞

i=1(1/2)i= ε. Isso mostra que σ(S) possui

medida nula.

 Lema 2.2 Seja um conjunto aberto U ⊂ Rn e um mapeamento diferenciável σ : U→ Rp_{. Se n< p, então σ(U ) possui medida zero.}

Demonstração:

Seja z = (z1, . . . , zp−n) ∈ Rp−n, mostrar-se-á que U × {z} possui medida zero em

Rp. Uma vez que U × {z} ⊂ Rp−1× {zp−n}, é suficiente mostrar que o último

possui medida zero. Para isso, seja δ > 0 e considere a região Hδ em R

p _{entre as}

hipersuperfícies:

xp= zp−n±

δ

1 + (x2₁+ · · · + x2_p−1)p−1

Claramente, Rp−1× {zp−n} ⊂ Hδ, seu volume v(Hδ) é finito, e v(Hδ) = δv(H1).

É possível encaixar uma seqüência de hipercubos em Hδde forma que o volume

desses hipercubos seja menor do que v(Hδ) e ainda assim recubram Rp−1× {zp−n}.

Como v(H_δ) pode ser feito arbitrariamente pequeno, o conjunto Rp−1× {zp−n}

possui medida nula.

Seja π : Rp= Rn×Rp−n→ Rn_{a projeção natural, isto é, (x}

1, . . . , xp) 7→ (x1, . . . , xn).

Então, σ ◦ π : U × Rp−n→ Rp_{é um mapeamento diferenciável. Pelo lema (2.1),}

σ ◦ π(U × {z}) = σ(U ) possui medida zero.

 Definição 2.3 Seja M uma variedade diferenciável e considere S ⊂ M. O con-junto S é dito possuir medida nula, se para toda carta de coordenadas(U, φ) da variedade M, o conjunto φ(S ∩U ) possuir medida zero.

Em virtude dessa definição, é imediato o seguinte corolário do lema (2.2).

Corolário 2.1 Sejam duas variedades diferenciáveis M e N, tais que dim M < dim N e considere o mapeamento diferenciável σ : M → N, então σ(M) possui medida zero.

3

Aproximação por Mapas Regulares

A noção de mapeamentos regulares é revista brevemente no Apêndice B. Considere o espaço vetorial de todas as matrizes p × n,

M

(p × n). Claramente,

M

(p × n) é isomórfico a Rpnpelo seguinte mapa:

   a₁₁ · · · a_1n .. . . .. ... a_p1 · · · apn   7→ (a11, . . . , a1n, a21, . . . , apn)

3 Aproximação por Mapas Regulares 5

dessa forma, podemos atribuir a estrutura diferenciável de Rpna

M

(p × n). Deno-taremos por

M

(p × n, k), o subconjunto de

M

(p × n) constituído pelas matrizes de posto k.

Lema 3.1 Se k ≤ min{p, n}, então

M

(p × n, k) é uma subvariedade de

M

(p × n), cuja dimensão é k(p + n − k).

Demonstração:

Seja

P

uma matriz quadrada p × p não-singular e

Q

uma matriz quadrada n × n, também não-singular. Então, é claro que o mapa

M

(p × n) →

M

(p × n),

M

7→

P M Q

é um difeomorfismo. Caso

M

∈

_M

(p × n, k), existem matrizes

_P

e

Q

não singulares, tais que,

P M Q

= 

A B

C D



com

A

uma matriz k × k não-singular. Conseqüentemente, é suficiente construir cartas de coordenadas em

M

(p × n, k) para matrizes dessa forma.

Considere,

M

0= 

A

0

B

0

C

0

D

0 

onde

M

0∈

M

(p × n, k) e

A

0é uma matriz k × k, não-singular. Seja

A

∈

M

(k × k),

e defina s(

A

,

A

0) := maxki, j=1|(a)i j− (a0)i j|. Como o det

A

06= 0 e o determinante

de uma matriz é uma função contínua das componentes da matriz em questão, podemos concluir que existe um δ > 0 tal que se s(

A

,

A

0) < δ, então o det

A

6= 0,

e portanto

A

é não-singular. Seja, pois, U o conjunto de todas as matrizes

M

∈

M

(p × n) tais que

M

= 

A B

C D



com

A

∈

_M

(k × k) e s(

A

,

A

0) < δ. Então, U é um subconjunto aberto de

M

(p ×

n). A matriz  1k 0 −

_{C A}

−1 1p−k  

A B

C D

 = 

A

B

0 −

_{C A}

−1

_B

+

D



possui o mesmo posto que a matriz

M

acima. Conseqüentemente, rk

M

= k, se e somente se,

D

=

C A

−1

_B

_{. Dessa forma, as matrizes que constituem o conjunto}

aberto U ∩

M

(p × n, k) ⊂

M

(p × n, k) são da seguinte forma: 

A

B

C C A

−1

_B



O conjunto de matrizes de

M

(p × n) da forma 

A B

C

0



onde, novamente,

A

∈

_M

(k × k), possui a estrutura diferenciável de um espaço eu-clideano de dimensão pn − (p − k)(n − k) = k(p + n − k). Denote por W o subcon-junto formado por essas matrizes para as quais s(

A

,

A

0) < δ, então W ⊂ Rk(p+n−k)

é um aberto. Considere agorta o mapeamento injetor σ : W →

M

(p × n), que seja sobrejetor em U ∩

M

(p × n, k), definido por:

σ 

A B

C

0  = 

A

B

C C A

−1

_B



σ é claramente diferenciável. Se τ : U → W é definido por:

τ 

A B

C D

 = 

A B

C

0 

então, τ é um mapa diferenciável e τ ◦ σ é a identidade em W . Pelo teorema (B.1) temos que σ é regular em W , logo, U ∩

M

(p × n, k) é uma subvariedade de

M

(p × n), de acordo com a definição (C.1). Se considerarmos U ∩

M

(p × n, k) como uma carta local de

M

(p × n, k), então

_M

(p × n, k) é uma subvariedade de

M

(p × n) com dimensão k(p + n − k).

 Lema 3.2 Seja U ⊂ Rn um conjunto aberto e considere o seguinte mapeamento diferenciável σ : U → Rp, com p≥ 2n. Para cada ε > 0 existe uma matriz p × n,

A

= (ai j) tal que |ai j| < ε, para i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , n e o mapa τ : U → Rp

definido por:

τ(x) := σ(x) +

A

· x é regular em U .

Demonstração:

Defina o seguinte mapa ρk:

M

(p × n, k) ×U →

M

(p × n) por:

ρk(

M

, x) =

M

− J(x)

onde J(x) é a matriz jacobiana do mapa σ, definida por:

    ∂y1 ∂x1 · · · ∂y1 ∂xn .. . . .. ... ∂yp ∂x1 · · · ∂yp ∂xn    

3 Aproximação por Mapas Regulares 7

onde y = σ(x). Claramente ρk é um mapeamento diferenciável de uma variedade

diferenciável de dimensão k(p + n − k) + n em uma outra variedade diferenciável de dimensão pn. Seja k ≤ n − 1. Como, por hipótese, p ≥ 2n, temos que:

pn− [k(p + n − k) + n] = (p − k)(n − k) − n

≥ (2n − n + 1)(n − n + 1) − n = 1 > 0

Assim, o lema (2.2) requer que a imagem de ρktenha medida zero em

M

(p ×

n), para todo k ≤ n − 1. Logo, o complemento da imagem de ρk é denso em

M

(p × n).

Seja ε > 0. Deve existir uma matriz

A

= (ai j) com |ai j| < ε, para i = 1, . . . , p,

j= 1, . . . , n, que não esteja na imagem de ρ0, ρ1, . . . , ρn−1. Considere τ como no

enunciado para todo x ∈ U . A matriz jacobiana de τ é J(x) +

A

e claramente não pode pertencer a

M

(p × n, k), para k ≤ n − 1, pois caso contrário ρk(J(x) +

A

, x) =

A

estaria na imagem de ρk. Logo, J(x) +

A

possui posto n para todo x ∈ U , o que

mostra que τ é regular em U .

 Teorema 3.1 Seja M uma variedade diferenciável de dimensão n e considere um subconjunto fechado C⊂ M. Seja σ : M → Rp _{com p≥ 2n um mapeamento}

di-ferenciável regular em C. Para cada função contínua e positiva η : M → R existe um mapeamento diferenciável e regular τ : M → Rp tal que τ(m) = σ(m), para qualquer m∈ M e d(τ(m), σ(m)) < η(m), para qualquer m ∈ M.

Demonstração:

Se m ∈ C, existe uma vizinhança de m na qual σ é regular. Dessa forma, podemos concluir que C está contido em um conjunto aberto, digamos A, no qual σ é regular. Não é difícil ver que os conjuntos abertos {A, M rC} recobrem M. Pelo teorema (A.3), esse recobrimento possui um refinamento B contável, localmente finito e normalizado. Numeraremos os conjunto Vj∈ B com inteiros positivos e negativos,

de forma que Vj⊂ A se j < 0 e Vj⊂ M rC se j > 0. Se ϕjé a carta de coordenadas

associada a carta local Vj, denote Vj0= ϕ−1j (B2) e Vj00= ϕ−1j (B1), onde Br:= {x ∈

Rn: d(x, 0) < r}3. Novamente, o teorema (A.3) afirma que os conjuntos {Vj00}

recobrem M.

Construiremos indutivamente uma seqüência σ0, σ1, . . . de mapeamentos

dife-renciáveis σk: M → Rptais que as seguintes condições sejam satisfeitas:

1. σ0= σ;

2. σké regular em Fk=∪j<0Vj00∪V100∪ · · · ∪Vk00, para k = 1, 2, . . .;

3_{Relembre que nesse contexto V}

3. σk(m) = σk−1(m) para todo m /∈ Vk0, k = 1, 2, . . .;

4. d(σk(m), σk−1(m)) <η(m)/₂k_{para todo m ∈ M, k = 1, 2, . . ..}

O primeiro mapa dessa seqüência está trivialmente construído, σ0= σ.

Supo-nha, então σ1, . . . , σk−1 também tenham sido construídos, e construamos a partir

deles σk. Seja ψ : Rn→ R uma função diferenciável, tal que 0 ≤ ψ(x) ≤ 1,

ψ(x) = 

0 , x∈ B/ ₂ 1 , x∈ B1

Para toda matriz

M

∈

_M

(p × n) e todo x ∈ B3defina:

Φ_M(x) = σk−1◦ ϕ−1k (x) + ψ(x)

M

· x

onde ϕké a carta de coordenadas associada à carta local Vk. Então Φ_M : B3→ Rp

é um mapeamento diferenciável.

Seja J(

M

, x) a matriz jacobiana de Φ_M e Jk(x) a matriz jacobiana de σk−1◦

ϕ−1_k . Se

M

= (mi j), então: J(

_M

, x) = Jk(x) + ψ(x)

M

+ ∂ψ ∂xj n

∑

k=1 mikxk !

Dessa forma, as componentes de J(

M

, x) são funções diferenciáveis de x e das componentes de

M

. Podemos, pois, considerar o seguinte mapa:

(

M

, x) 7→ J(

M

, x) como um mapeamento de Vpn_{× B}

3, que é um subconjunto aberto de Vpn+n, em

Vpn.

Seja z ∈ ϕk(Vk0∩Fk−1). Então J(0, z) = Jk(z) é de posto n, dado que σk−1◦ϕ−1k é

regular em z. Logo, existe uma vizinhança do ponto (0, z) ∈ Rpn× B₃, da seguinte forma Wz× Uz com 0 ∈ Wz⊂ Rpn e z ∈ Uz⊂ B3, na qual J(M, x) é de posto n.

Por outro lado, o conjunto {0} × ϕk(Vk0∩ Fk−1) é compacto, e conseqüentemente

recoberto por apenas um número finito dessas vizinhanças. Dessa forma, podemos concluir que existe uma vizinhança W (3 0) ⊂ Rpntal que, se M ∈ W e z ∈ ϕk(V_k0∩

F_k−1), então J(M, z) possui posto n e ΦM é, pois, regular em z. Podemos supor

que W é suficientemente pequeno de forma a garantir que d(0, M · x) <ηk/2k _para

todo x ∈ B2e M ∈ W , onde ηk:= min_m∈V0 kη(m).

Ao aplicarmos o lema (3.2), tomando U como B2, σ como σk−1◦ ϕ−1k e ε

determinado pelo tamanho da vizinhança W , concluímos que existe um M ∈ W tal que o mapa:

x7→ σk−1◦ ϕ−1k (x) + M · x

4 Aproximação por Mapas Injetores 9

σk(m) =



σk−1(m) + ψ(ϕk(m))M · ϕk(m) , m∈ Vk

σk−1(m) , m∈ V/ k0

O mapa σk é construído a partir de dois mapas diferenciáveis que concordam

no conjunto aberto Vkr Vk0, de forma que ele é por si mesmo diferenciável em M.

Como ψ(ϕk(m)) = 1 para m ∈ Vk00, a nossa escolha de M garante que σ é regular

para m ∈ V_k00. Do fato que M ∈ W , concluímos que σké regular em Vk0∩ Fk−1. No

que sobra do conjunto Fk−1, σk(m) = σk−1(m), e portanto, σk também é regular.

Logo, σké regular em todo Fk−1e conseqüentemente em Fk. Observamos, também

que, d(σk(m), σk−1(m)) = ψ(ϕk(m))d(0, M · ϕk(m)) < ηk 2k ≤ η(m) 2k

para m ∈ V_k0. Uma vez que essa distância é 0 para m /∈ V0

k, obtemos que para

todo m ∈ M é verdade que d(σk(m), σk−1(m)) <η(m)/₂k_{. E assim, completamos a}

construção da seqüência de mapas σ0, σ1, . . ..

Considere, agora, o ponto m0∈ M. Existe uma vizinhança N 3 m0_{, que}

in-tercepta somente um número finito de conjuntos V1,V2, . . .. Logo, para um

in-teiro k suficientemente grande, os mapas σk, σk+1, . . . coincidem em N. Definimos

τ(m0) = σk(m0). Como τ(m) = σk(m) para todo m ∈ N, concluímos que τ : M →

Rpé diferenciável. Segue da nossa construção que τ é regular em ∪∞k=1Fk= M.

Seja m ∈ C. Se m ∈ V_k0, então Vk não está contido no complemento de C e

portanto k < 0. Logo, m /∈ V_k0, para todo k > 0 e concluímos que τ(m) = σ0(m) =

σ(m). Finalmente, observamos que:

d(τ(m), σ(m)) ≤ d(τ(m), σk(m)) + k

∑

j=1

d(σj(m), σj−1(m))

para k suficientemente grande, temos que

d(τ(m), σ(m)) < η(m) k

∑

j=1 (1 2) j_{< η(m)} para cada m ∈ M. 

4

Aproximação por Mapas Injetores

Definição 4.1 Seja σ : M → N um mapeamento diferenciável e regular, entre vari-edades diferenciáveis distintas, M e N. Se σ for injetor, σ(M) é uma subvariedade de N e dizemos que σ é um difeomorfismo de M em N.

Teorema 4.1 Seja M uma variedade diferenciável de dimensão n e considere um mapeamento regular e diferenciável σ : M → Rp, p≥ 2n + 1, que seja injetor em um conjunto aberto U⊃ C, onde C é um subconjunto fechado de M. Para cada função positiva e contínua η : M → R existe um difeomorfismo τ : M → Rptal que σ(m) = τ(m), para todo m ∈ C e d(τ(m), σ(m)) < η(m), para todo m ∈ M.

Demonstração:

Considere um ponto arbitrário m ∈ M, como σ é regular em m, existe uma vizi-nhança Umde m na qual σ é injetor. Podemos assumir, sem perda de generalidade,

que ou Um⊂ U ou Um⊂ (M rC). Seja B = {Vj} um refinamento localmente finito

e normalizado do recobrimento {Um}, e defina Vj0 e Vj00 como no teorema (3.1).

Renumeramos os conjuntos de B com inteiros positivos e negativos de forma a satisfazer: Vj⊂ U, se j < 0 e Vj⊂ (M rC), se j > 0.

Construiremos por indução finita uma seqüência σ0, σ1, . . . de mapas regulares

e diferenciáveis σk: M → Rptais que as seguintes condições sejam verdadeiras:

1. σ0= σ;

2. σk(m) = σk−1(m), se m /∈ Vk, k = 1, 2, . . .;

3. σk(m) = σk(m0), somente se σk−1(m) = σk−1(m0), para qualquer m, m0∈ M;

4. d(σk(m), σk−1(m)) <η(m)/₂k_{, para qualquer m ∈ M e k = 1, 2, . . ..}

O primeiro mapa dessa seqüência, σ0, já está construído. Suponhamos, então,

que tenhamos também construído todos os outros mapas dessa seqüência até σk−1

e a partir deles construamos o mapa σk. Seja ψ a função homônima definida na

demosntração do teorema (3.1). Se z ∈ Rp, defina: Φz(x) := σk−1◦ ϕ−1k (x) + ψ(x)z

para todo x ∈ B3. Então, existe uma vizinhança W do ponto 0 ∈ Rp tal que, se

z∈ W e x ∈ B2, então Φzé regular em x. Essa vizinhança pode ser tomada pequena

o suficiente de modo a garantir que d(0, z) <ηk/2k_{, para todo z ∈ W , onde η} k:= min_y∈V kη(y). Defina: θk(m) =  ψ(ϕk(m)) , m∈ Vk 0 , m∈ V/ k

que é claramente diferenciável em M. Seja Qk um subconjunto aberto de M × M

consistindo dos pontos (m, m0) tais que θk(m) 6= θk(m0). Defina também:

ρk(m, m0) =

−1 θk(m) − θk(m0)

5 O Teorema de Mergulho 11

para (m, m0) ∈ Qk. Então ρk: Qk → Rp é um mapa diferenciável. Como p > 2n,

a imagem de ρk(Qk) possui medida zero, conseqüentemente, Rpr ρk(Qk) é um

conjunto denso, sendo, pois, possível encontrar um z ∈ W tal que z /∈ ρk(Qk) e

z6= 0. Com esse z, definimos σk: M → Rppor:

σk(m) = σk−1(m) + θk(m)z

Não é difícil ver que σké diferenciável e regular em M, pois σk(m) = Φz(ϕk(m))

para m ∈ V_k0e σk(m) = σk−1(m) para m /∈ Vk0. Além do mais, se σk(m) = σk(m 0_),

então

σk−1(m) − σk−1(m0) = −[θk(m) − θk(m0)]z

Uma vez que z /∈ ρk(Qk), temos que θk(m) = θk(m0) e conseqüentemente que

σk−1(m) = σk−1(m0). Finalmente,

d(σk(m), σk−1(m)) = θk(m)d(0, z) <

η(m) 2k

para m ∈ Vke portanto, para todo M. Assim, completamos a construção da

seqüên-cia de mapas σ0, σ1, . . ..

Definamos o mapa τ : M → Rp como no teorema (3.1), de forma análoga, verifica-se que τ é regular e diferenciável em todo M, coincidindo com σ em C e satisfazendo d(τ(m), σ(m)) < η(m) para todo m ∈ M. Resta-nos provar que τ é injetor. Suponha por absurdo que τ(m) = τ(m0), então existe um inteiro j tal que

τ(m) = σj(m) = σj+1(m) = · · ·

τ(m0) = σj(m0) = σj+1(m0) = · · ·

Logo, σk(m) = σk(m0) para k ≥ j e portanto para todo k ≥ 0. Em particular,

σ(m) = σ(m0). Porém, σ é injetor em cada um dos conjuntos Vk. Considere um

m∈ V_k00. Então, σk(m) = σk−1(m) + z. Se m0∈ V/ k, temos que σk(m) = σk(m0) =

σk−1(m0) = σk−1(m), que acarreta que z = 0. Como isso não pode ser verdade,

concluímos que m0∈ Vk e portanto que m = m0, o que completa a demonstração.



5

O Teorema de Mergulho

Nessa seção demonstramos o Teorema de Mergulho de Whitney. Porém, antes de fazê-lo, uma breve discussão sobre convergência de seqüências em variedades se faz necessária.

Definição 5.1 Seja M uma variedade diferenciável e considere uma seqüência de pontos m1, m2, . . . ∈ M. Essa seqüência é dita convergente, se existir uma carta local de coordenadas(U, ϕ) e um inteiro k tais que mj_{∈ U para todo j ≥ k e a}

Seja x0o limite da seqüência ϕ(mk), ϕ(mk+1), . . ., é claro que o ponto ϕ−1(x0) não depende da carta local de coordenadas empregada. Denotamos por m0 = ϕ−1(x0) o limite da seqüência m1, m2, . . .. Em geral, um ponto m0 será denomi-nado o ponto limite de uma seqüência m1, m2, . . . se m0 for o limite de alguma subseqüência de m1, m2, . . ..

Seja σ : M → Rpum mapa contínuo e considere o conjunto de todas as seqüên-cias {mi} ∈ M que não possuem pontos limites. As seqüências induzidas por σ, {σ(mi

)} ∈ Rp, em geral, não são convergentes, porém, algumas delas podem, de fato, convergir. Denote o conjunto dos pontos limites dessas seqüências {σ(mi)}, que são convergentes, por L(σ). Não é difícil ver que σ(M) é um subconjunto fechado de Rp, se e somente se, L(σ) ⊂ σ(M).

Lema 5.1 Seja M uma variedade diferenciável, então existe uma função diferen-ciável σ : M → R tal que L(σ) = ∅

Demonstração:

Seja {Vj, ϕj}, com j = 1, 2, . . . um recobrimento enumerável, localmente finito e

normalizado de M por cartas locais de coordenadas. Defina Vj0, Vj00e ψ como na

demosntração do teorema (3.1). Se m0∈ M, existe um k tal que m0_{∈ V/}

j para todo

j≥ k, dessa forma podemos definir:

σ(m0) = k

∑

j=1 jψ(ϕj(m0)) = ∞

∑

j=1 jψ(ϕj(m0))

Do fato que o mesmo natural k serve para todos os pontos de uma dada vizi-nhança de m0, segue que a função σ : M → R é diferenciável.

Seja m1_{, m}2_{, . . . uma seqüência de pontos de M que não possui nenhum ponto}

limite e considere um inteiro positivo q e o seguinte conjunto compacto V₁0∪ · · · ∪ V0

q. Assim, somente um número finito de pontos da seqüência acima definida pode

estar nesse conjunto compacto. Logo, existe um natural j tal que mj∈ V/ ₁0∪ · · · ∪V0 q.

Conseqüentemente, ψ(ϕk(mj)) = 0 para k = 1, . . . , q, portanto σ(mj) > q. Dessa

forma, a seqüência σ(m1), σ(m2), . . . não é limitada e não pode convergir. Provando que L(σ) é vazio.

 Teorema 5.1 Seja M uma variedade diferenciável com dimensão n, então existe um difeomorfismo τ : M → R2n+1tal que τ(M) é fechado em R2n+1.

Demonstração:

O lema (5.1) garante a existência de uma função diferenciável σ : M → R com L_{(σ) = ∅. Defina σ}1: M → R2n+1 por m 7→ (σ(m), 0, . . . , 0). Assim, σ1 é um

A Alguns Resultados sobre Espaços Paracompactos 13

mapeamento diferenciável e regular σ2: M → R2n+1tal que d(σ2(m), σ1(m)) <1/2

para todo m ∈ M. Já, o teorema (4.1) afirma que existe um difeomorfismo τ : M → R2n+1tal que d(τ(m), σ2(m)) <1/2para qualquer m ∈ M. Logo, d(τ(m), σ1(m)) <

1 para todo m ∈ M. Provamos, em seguida que L(τ) = ∅, de onde podemos con-cluir4que τ(M) é um subconjunto fechado de R2n+1.

Suponha, então, por absurdo que exista um ponto x ∈ L(τ), existe, pois, uma seqüência m1, m2, . . . de pontos de M não convergente, mas tal que x = limj→∞τ(mj). No entanto,

d(x, σ1(mj)) ≤ d(x, τ(mj)) + d(τ(mj), σ1(mj))

≤ d(x, τ(mj)) + 1

Dessa forma, a seqüência σ1(m1), σ1(m2), . . . é limitada e conseqüentemente

alguma subseqüência sua σ1(mi1), σ1(mi2), . . . deve convergir. Por outro lado, como

a seqüência mi1_{, m}i2_{, . . . não possui nenhum ponto limite, somos forçados a concluir}

que L(σ1) 6= ∅, o que é um absurdo! Logo, L(τ) = ∅.



A

Alguns Resultados sobre Espaços Paracompactos

Nesse apêndice relembramos alguns resultados relevantes sobre espaços para-compactos. Iniciamos com três relevantes definições.

Definição A.1 Seja (X , τ) um espaço topológico. Um recobrimento de X é dito localmente finito se todo ponto x∈ X possuir uma vizinhança, cuja intersecção com os elementos do recobrimento seja não-vazia apenas para um número finito deles.

Definição A.2 Um espaço topológico (X , τ) é dito paracompacto se todo recobri-mento de X por abertos possuir um refinarecobri-mento por abertos localmente finito.

Definição A.3 Um espaço topológico (X , τ) é dito ser segundo-contável se possuir uma base contável.

Um resultado importante é o seguinte.

Teorema A.1 Seja (X , τ) um espaço topológico Hausdorff localmente compacto e segundo-contável, então(X , τ) é paracompacto.

O seguinte resultado aproxima a noção de paracompacidade da definição de variedade diferenciável.

Teorema A.2 Todo espaço topológico localmente euclideano é localmente com-pacto.

Uma vez que uma variedade diferenciável é um espaço Hausdorff, localmente euclideano e segundo contável, segue do teorema (A.1) que é paracompacto. En-tretanto, pode-se mostrar um resultado mais forte no contexto de variedades dife-renciáveis.

Teorema A.3 Seja M uma variedade diferenciável e considere um recobrimento de M por abertos U= {Uα}. Então existe uma família contável B de cartas locais

de M tais que as seguintes condições são verdadeiras:

1. B é um refinamento localmente finito de U;

2. Se V ∈ B e ϕ : V → Rn_{é a carta de coordenadas associada à carta local V ,}

então ϕ(V ) = B3;

3. Se para cada carta local de coordenadas(V, ϕ) definirmos, V00= ϕ−1(B1),

então a família B0formada pelos conjuntos V00recobre M.

No teorema acima, e em outras ocasiões utilizamos da seguinte notação: Br:=

{x ∈ Rn_{: |x|}2_{= ∑}n

i=1x2i < r2}.

Definição A.4 Um recobrimento enumerável B de uma variedade diferenciável M por cartas locais de coordenadas que satisfaça as condições2. e 3. do teorema (A.3) é dita ser normalizada.

B

Mapeamentos Lineares e Transformações Lineares

In-duzidas

Nesse apêndice recordamos uma importante propriedade das transformações lineares induzidas por mapeamentos diferenciáveis5.

Definição B.1 Sejam duas variedades diferenciáveis M e M0e considere um con-junto aberto V⊂ M. Um mapeamento diferenciável σ : V → M0é dito regular no ponto m∈ V se a transformação linear induzida σ∗: TmM→ Tσ(m)M

0 _{for injetora}

em m. Se σ for regular em todo ponto m ∈ V , então σ é dita ser regular em V .

Teorema B.1 Sejam duas variedades diferenciáveis M e M0. Considere um con-junto aberto W ⊂ M e um mapa diferenciável σ : W → M0. Então σ é regular em m∈ W , se e seomente se, existirem uma vizinhança U de σ(m) e um mapeamento diferenciável τ : U → W tais que τ(U ) é um conjunto aberto e τ ◦ σ é a identidade em τ(U ).

5_{Em muitos textos, a transformação linear induzida σ}

∗, pelo mapeamento diferenciável σ, é

C Subvariedades 15

C

Subvariedades

Em termos gerais, um subconjunto M0 de uma variedade diferenciável M é uma subvariedade, se for uma variedade diferenciável cuja estrutura diferenciável é derivada da estrutura diferenciável de M. Dessa forma, as funções diferenciáveis em M0 devem ser necessariamente restrições locais de funções diferenciáveis de M.

Definição C.1 Seja M uma variedade diferenciável e M0⊂ M. M0é dita ser uma subvariedade de M se existir uma variedade diferenciável N e um mapeamento diferenciável σ : N → M tais que as seguintes condições são satisfeitas:

1. σ é injetora; 2. σ(N) = M0;

3. Para qualquer função diferenciável f _{: NR e qualquer ponto n ∈ N existem} uma vizinhança U de n e uma função diferenciável g_{: M → R tais que g◦σ =}

f em U .

De todas as condições impostas sobre o mapa σ pela definição acima, somente a terceira pode levantar dúvidas quanto ao seu real significado, o seguinte resultado deve esclarecê-las.

Teorema C.1 Sejam M e N duas variedades diferenciáveis e considere um ma-peamento diferenciável σ : N → M. Se para toda função diferenciável f : N → R existir uma vizinhança U de um ponto n∈ N e uma função diferenciável g : M → R tais que g◦ σ = f em U, então σ é regular em n.

Em virtude do teorema (C.1) fica claro que a terceira condição na definição (C.1) tem como principal conseqüência a exigência de que o mapeamento diferen-ciável σ seja regular no ponto n ∈ N. Dessa forma, a estrutura diferendiferen-ciável de N é transferida para M0 pelo mapa injetor σ, o que implica que as funções diferen-ciáveis em M0 são precisamente as restrições locais de funções diferenciáveis em M. Notamos, entretanto, que a topologia transferida de N para M0não é necessari-amente a topologia induzida em M0por M.

Teorema C.2 Sejam M e N duas variedades diferenciáveis e σ : N → M um ma-peamento diferenciável regular, então para qualquer ponto n∈ N e qualquer fun-ção f _{: M → R existem uma vizinhança U do ponto n e uma função diferenciável} g_{: M → R tais que g ◦ σ = f em U.}

Referências

[1] L.Auslander, R.E.Mackenzie, Introduction to Differentiable Manifolds, McGraw-Hill Book Company.

[2] J.C.A.Barata, Curso de Física Matemática, [http://denebola.if.usp.br/˜jbarata/Notas_de_Aula];