UFPE – ´AREA II – Prof. Fernando J. O. Souza MA129 (c´alculo 4) – 2016.2 – turmas Q1 e Q5
SIMULADO DA 3a UNIDADE v. 1.0
Orienta¸c˜ao: Resolver as quest˜oes em sete sess˜oes de 120 minutos cada, sem inter-rup¸c˜ao nem distra¸c˜ao, combinando t´opicos diferentes em cada sess˜ao. Dar solu¸c˜oes leg´ıveis e justificadas, escrevendo os passos, detalhes e propriedades relevantes. Ler as respostas ou solu¸c˜oes de uma sess˜ao s´o depois dela. Pode ser usada a tabela de transformadas de Laplace dada, mencionando-se cada regra e, se for o caso, os valores de seus parˆametros em cada passo que a regra ´e usada.
Quest˜ao 1. Resolver usando transformadas de Laplace e suas inversas:
1.a. y(t) + 2
Z t
0
cos (t−v)y(v)dv=e−t
1.b. y′
(t)−2
Z t
0
e(t−v)
y(v)dv=t; y(0) = 2
1.c. y′
(t) +y(t)−
Z t
0
sen (t−v) y(v)dv=−sen (t) ; y(0) = 1
1.d. d 2y
dt2 + 9y= 12 sen (3t)−50 cosh (4t); y(0) = 2,
dy
dt(0) = 1
1.e. L−1
1200 (s−1) [(s−1)2+ 4]2 (s+ 3)
(t)
1.f. F(s), sabendo que f tem per´ıodo 1 e ´e determinada por:
f(t) =et, se 0< t <1; e f n˜ao est´a definida em t= 1;
1.g–h. G(s) eH(s), sabendo quegehtˆem per´ıodo 4 e s˜ao determinadas por:
g(t) =
−1, se −2< t <−1; 2, se −1< t <1; −1, se 1< t <2;
h(t) =
9, se −2< t <−1; 6−3t, se −1≤t≤1;
3, se 1< t <2;
g n˜ao est´a definida em ±1 e±2, enquanto hn˜ao est´a definida em ±2. 1.i. y′′
(t) +y(t) = 2uπ/2(t)−5δ
t− 3π
2
; y(0) = 0, y′
1.j. y′′
(t) + 4y(t) = 7δt− π
4
−4u3π/2(t); y(0) = 0, y′
(0) = 0;
1.k. y′′
(t) + 4y(t) = 12δ(t−4π)−8u3π(t); y(0) = 0, y′
(0) = 2;
Quest˜ao 2. Sejam as fun¸c˜oesf eg definidas em [0,2] por:
f(x) =
x, se 0≤x≤1;
1, se 1< x≤2. g(x) =
x2, se 0≤x≤1; 0, se 1< x≤2.
2.a. Calcular a s´erie de Fourier associada a fi, extens˜ao ´ımpar de f, ao intervalo [−2,2]. Simplificar a resposta;
2.b. Repetir o Item 2.a para fp, a extens˜ao par def ao mesmo intervalo;
2.c. Repetir o Item 2.a para gi, a extens˜ao ´ımpar de g ao mesmo inter-valo. A s´erie converge em x = 1 ? Em caso afirmativo, para qual valor? 2.d. Calcular a s´erie de Fourier associada a x2 em [−π, π];
2.e. Seja a fun¸c˜ao peri´odica h de per´ıodo 4 determinada em [−2,2] por:
h(x) =
−1, se −2< x < −1; 2, se −1< x < 1;
−1, se 1 < x <2. h n˜ao est´a definida em ±1 e±2. Calcular a s´erie de Fourier associada a h. A s´erie converge em x = 1 ? em x= 2 ? Em casos afirmativos, para quais valores?
2.f. Calcular a s´erie de Fourier para a fun¸c˜ao peri´odica k de per´ıodo 2L
determinada por: k(x) =|x| se −L ≤x≤L.
Para os pr´oximos trˆes itens, seja ℓ a fun¸c˜ao de per´ıodo 2 determinada por:
ℓ(x) = 1−5x, se −1< x < 1; ℓ n˜ao est´a definida em x=±1.
2.g. Calcular a s´erie de Fourier associada a ℓ;
2.i. Usando a identidade de Parseval e os bn’s desta s´erie, calcular
∞
X
n=1
b2 n
2.j. Calcular a s´erie de Fourier associada `a fun¸c˜ao x/2 em [−π,+π] (ou adaptar a associada a x) e, usando a identidade de Parseval, calcular
∞
X
n=1 1
n2
2.k. Repetir o item anterior trocando a fun¸c˜ao por (π−x)/2 em [0,2π]. Obs. Esta s´erie de Fourier coincide com a da extens˜ao ´ımpar fi da fun¸c˜ao f a [−π, π], ondef est´a definida apenas em (0, π] porf(x) = (π−x)/2.
Quest˜ao 3. Resolver os seguinte problemas de contorno:
3.a. y′′
(x)−y(x) = 1−2x, 0< x < 1; y(0) = 0, y(1) = 1 +e
3.b. y′′
(x) +y(x) = 0, y(0) = 1 =y(2π)
3.c. y′′
(x)−3y′
(x) = 0, y(0) = 1, y′
(1) = 9e3
3.d. Para cada n´umero realλ,
y′′
(x) +λ y(x) = 0, 0< x < π; y′
(0) = 0, y(π) = 0
Dicas sobre problemas de contorno para EDPs. Seguem-se bases para as autofun¸c˜oes deZ′′
(z) =−λ Z(z) com 0≤z ≤L(logo, o autovalor ´e−λ) submetidas `as respectivas condi¸c˜oes de contorno (abaixo, n ´e inteiro).
Caso Z′
(0) = 0 =Z′
(L): Zn(z) = cosn π z
L
, λn =
n π L
2
para n >0; e
Z0(z) = 1, λ0 = 0 (para n= 0); Caso Z(0) = 0 =Z(L): Zn(z) = senn π z
L
, λn=
n π L
2
Quest˜ao 4. Considere-se a EDP do calor com as condi¸c˜oes dadas abaixo:
ut=uxx para 0< x <1 e t >0,
u(0, t) = 10 e u(1, t) =−8 para t >0, u(x,0) = 0 para 0 ≤x≤1.
4.a. Escrever o problema que descreve a fun¸c˜ao estado estacion´ario v(x), e calcul´a-la;
Pelo m´etodo da separa¸c˜ao de vari´aveis para EDPs, calcular a fun¸c˜ao transi-ente w(x, t) e a solu¸c˜ao u(x, t) =v(x) +w(x, t). Para tanto, seuir os passos abaixo:
4.b. Escrever o problema que descreve w(x, t) e, ent˜ao, reescrever a EDP e as condi¸c˜oes homogˆeneas paraw(x, t) como dois problemas com EDOs (uma, em x, e a outra, em t);
4.c. Calcular a solu¸c˜ao w(x, t) da EDP submetida `as condi¸c˜oes homogˆe-neas, expressando-a como uma s´erie formal (as dicas podem ser usadas);
4.d. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.
Quest˜ao 5. Considere-se a EDP do calor com as condi¸c˜oes dadas abaixo:
ut(x, t) =uxx(x, t) para 0< x <3 e t >0,
ux(0, t) = 0 =ux(3, t) para t >0,
u(x,0) = cos(π x)−4cos(5π x) para 0 ≤x≤3.
5.a. Expressar a solu¸c˜aou(x, t) da EDP submetida `as condi¸c˜oes homogˆeneas como uma s´erie formal (as dicas podem ser usadas);
Quest˜ao 6. Repetir a quest˜ao anterior com os dados abaixo:
ut=uxx para 0< x <1 e t >0,
ux(0, t) = 0 =ux(1, t) para t >0, u(x,0) = sen(2π x) para 0≤x≤1.
Quest˜ao 7. Considere-se a EDP abaixo submetida `as condi¸c˜oes dadas:
utt(x, t) = 4uxx(x, t) para 0< x <1 e t >0,
u(0, t) = 0 =u(1, t) para t >0,
u(x,0) = 32 sen(5π x)−4 sen(2π x), ut(x,0) = 12 sen(3π x), 0≤x≤1.
7.a. Pelo m´etodo da separa¸c˜ao de vari´aveis, reescrever a EDP e as con-di¸c˜oes homogˆeneas como dois problemas com EDOs, um em x e um t;
7.b. Calcular a solu¸c˜ao formal da EDP com as condi¸c˜oes homogˆeneas, expressando-a como uma s´erie formal (as dicas podem ser usadas);
7.c. Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular os coeficientes de u(x, t) submetida a todas as condi¸c˜oes do problema dado.
Quest˜ao 8. Repetir a quest˜ao anterior para a EDP da onda modificada abaixo submetida `as condi¸c˜oes dadas:
utt(x, t) + 4u(x, t) =uxx(x, t) para 0 < x <1 e t >0, u(0, t) = 0 =u(1, t) para t >0,
ut(x,0) = 0 e u(x,0) = 12 sen(3π x)−8 sen(4π x) para 0< x <1.
Quest˜ao 9. Resolver os problemas abaixo:
9.a.
utt(x, t) = 16uxx(x, t) para x∈R, t > 0;
u(x,0) = 2 exp (−x2), ut(x,0) = 2 exp (x/4); x∈R.
Dica: Pelo m´etodo de D’Alembert, a solu¸c˜ao se decomp˜oe como u(x, t) =
9.b.
utt(x, t) = 4uxx(x, t) para x∈R, t >0,
u(x,0) =x, ut(x,0) =x para x∈R.
Dica: A solu¸c˜ao se decomp˜oe como u(x, t) = A(x+ 2t) +B(x−2t) para fun¸c˜oes A(ψ) e B(η) convenientes.
9.c.
utt(x, t) = 9uxx(x, t) para x∈R e t >0,
u(x,0) = exp (−x2), ut(x,0) = sen(x) para x∈R.
Dica: A solu¸c˜ao se decomp˜oe como u(x, t) = A(x+ 3t) +B(x−3t) para fun¸c˜oes A(ψ) e B(η) convenientes.
Quest˜ao 10. Pelo m´etodo da separa¸c˜ao de vari´aveis, calcular a solu¸c˜ao
u(x, t) da EDP abaixo submetida `as condi¸c˜oes homogˆeneas, expressando-a como uma s´erie formal (as dicas podem ser usadas). Ent˜ao, assumindo a con-vergˆencia da s´erie, calcular u(x, t) para o problema com todas as condi¸c˜oes.
ut t(x, t) + 16u(x, t) =ux x(x, t) para 0< x <3 e t >0, u(0, t) = 0 =u(3, t) para t >0,
u(x,0) = 0 e ut(x,0) = 32πsen(2π x) para 0< x <3.
Obs. Tentar resolver exerc´ıcios com outras variantes da EDP da onda!
Quest˜ao 11. Considere-se o seguinte problema:
uxx+uyy = 0, 0< x < a, 0< y < b
uy(x,0) = 0, uy(x, b) =f(x), 0< x < a
ux(0, y) = 0, ux(a, y) = 0, 0< y < b
Suponha-se que f(0) = 0, f ´e cont´ınua, e R0af(x)dx= 0. Usando o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis, calcular a solu¸c˜aou(x, t) seguindo o roteiro abaixo:
11.a. Para solu¸c˜oes do tipo u(x, y) = X(x)Y(y), encontrar as equa¸c˜oes que expressam a EDP e as condi¸c˜oes homogˆeneas do problema acima em termos de X(x) e Y(y);
11.b. Impondo as condi¸c˜oes de contorno homogˆeneas, calcularX(x) eY(y);
Regra f(t) =L−1
{F(s)}(t) Const. s ∈ F(s) =L{f(t)}(s)
01 eat a∈R (a,+∞) 1/(s−a)
02 cos (ωt) ω∈R (0,+∞) s/(s2+ω2) 03 sen(ωt) ω∈R (0,+∞) ω/(s2+ω2) 04 cosh (ωt) ω∈R (|ω|,+∞) s/(s2−ω2) 05 senh(ωt) ω∈R (|ω|,+∞) ω/(s2−ω2)
06 tn n ∈N (0,+∞) n!/ sn+1
07 tr r∈(−1,+∞) (0,+∞) Γ(r+ 1)/ sr+1
08 δ(t−c) c∈[0,+∞) R e−cs
Regra f(t) = L−1
{F(s)}(t) Const. F(s) = L{f(t)}(s) 09 a f(t) +b g(t) a, b∈R a F(s) +b G(s)
10 f(a t) a∈(0,+∞) F(s/a)/ a
11 eatf(t) a∈R F(s−a)
12 tnf(t) n ∈N (−1)nF(n)(s)
13 f(t)
t se h´a limt→0+
f(t)
t
Z +∞
s
F(v)dv
14 f(k)(t) k ∈N skF(s)
− k−1
X
=0
f()(0)sk−1−
15
Z t
0
f(u)du F(s)
s
16 uc(t)f(t) c∈(0,+∞) e−cs
L{f(t+c)}(s) 17 uc(t)f(t−c) c∈[0,+∞) e−cs
F(s)
18 Sef(t+P) =f(t) P ∈(0,+∞) 1 1−e−sP
Z P
0
e−st
f(t)dt
19 (f ∗g)(t) F(s)G(s)
Regra 20 lim
s→+∞ F(s) = 0
21 lim
s→+∞s F(s) = tlim→0+
f(t)
22 lim
s→0+
SOLU ¸
C ˜
OES
1.a: Pelo teorema da convolu¸c˜ao (Regra 19) e as regras 2 (ω = 1) e 1 (a=−1), conclu´ımos que:
Y(s) + 2 s
s2+ 1Y(s) = 1
s−(−1) ∴
s2+ 1 + 2s
s2+ 1 Y(s) = 1
s+ 1 ∴
Y(s) = s 2+ 1 (s+ 1)3 =
A s+ 1 +
B
(s+ 1)2 +
C
(s+ 1)3 ∴
s2+ 1 =A(s+ 1)2+B(s+ 1) +C =As2+ (2A+B)s+ (A+B+C)∴
A= 1, B =−2, C = 2∴Y(s) = 1
s+ 1 −2 1 (s+ 1)2 +
2 (s+ 1)3 ∴ Pela Regra 11 (a=−1), y(t) =e−t
L−1
1
s(0+1) −2 1
s(1+1) + 2
s(2+1)
(t).
Pelas regras 9 (escalares 1−2 e 1) e 6 (n= 0, n= 1 e 2 respectivamente):
y(t) =e−t
(1−2t+t2)∴y(t) = e−t
(t−1)2.
1.b: [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.7, Exerc´ıcio 22. Manuscrito: Item 2.g no arquivo “simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
1.c: [Nagle et al.] Se¸c˜ao 7.7, Exerc´ıcio 21. Manuscrito: Item 1.a no arquivo “ee3-gabarito-v1 0.pdf” de 2012.2.
1.d. Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados da EDO (neste item, n˜ao mencionamos as regras), obtemos:
12· 3
s2+ 32 −50·
s
s2−42 =s 2Y(s)
−(sy(0) +y′
(0)) + 9Y(s) =
(s2+ 9)Y(s)−(2s+ 1)∴Y(s) = 2s+ 1
s2+ 32 +
36 (s2+ 32)2 −
50s
(s2−42)(s2+ 32) A primeira das parcelas indica uma C.L. de cos (3t) e sen (3t). De
fato, 2s+ 1
s2+ 32 = 2 ·
s s2+ 32 +
1 3 ·
3
s2+ 32 transformada de Laplace de 2 cos (3t) + 1
3sen (3t).
A segunda parcela ´e 36
(s2+ 32)2 =
2·3
s2+ 32
2 = 4
3
s2+ 32
transformada de Laplace inversa ´e, pelo teorema de convolu¸c˜ao, 4 sen (3t)∗ sen (3t) = 4
Z t
0
sen (3v)· sen (3(t−v)) dv=−2t cos (3t) + 2
3sen (3t).
Finalmente, a terceira parcela deve ser expandida em fra¸c˜oes parciais:
s
(s2−42)(s2+ 32) =
A s−4+
B s+ 4 +
Cs+E·3
s2+ 32 onde a ´ultima j´a foi prepa-rada para obtermosEsen (3t). Alternativamente, podemos expandi-la como:
s
(s2−42)(s2+ 32) =
e
As+Be·4
s2−42 +
Cs+E·3
s2+ 32 , trocando o conjunto L.I. de fun¸c˜oes {e4t, e−4t
} pelo conjunto {cosh (4t), senh (4t)}, uma vez que ambos s˜ao bases para o mesmo espa¸co bidimensional de fun¸c˜oes. Calculando pela primeira vers˜ao:
−50s = (s2 + 9)[A(s + 4) +B(s −4)] + (Cs+ 3E)(s2 −16). Calculando ambos os lados em s = −4, s = 4 e, digamos, s = 0 e s = 1, obtemos: 200 = −200B ∴ B = −1; −200 = 200A ∴ A = −1; / j´a usando que
A−B = 0, 0 = −48E ∴ E = 0; e j´a substituindo os valores anteriores, −50 = −20−15C ∴ C = 2. Logo, a terceira parcela ´e a transformada de Laplace de −e−4t
−e4t+ 2 cos (3t) = −2 cosh (4t) + 2 cos (3t).
Somando os trˆes termos e simplificando o resultado, obtemos que:
y(t) = sen (3t) + (4−2t) cos (3t)−e−4t
−e4t= sen (3t) + (4−2t) cos (3t)−2 cosh (4t).
1.e. L−1
1200 (s−1) [(s−1)2+ 4]2 (s+ 3)
(t) =L−1
1200 s−1 [(s−1)2+ 4]2 ·
1
s+ 3
(t) =
600
etL−1
2s
(s2+ 22)2
(t)
∗ L−1
1
s+ 3
(t) =
600
et·
L−1
s s2 + 22
∗ L−1
2
s2+ 22
(t)
∗ L−1
1
s+ 3
(t) =
600 et·(cos(2t)∗ sen (2t))∗ e−3t
=
600
et
Z t
0
cos (2v) sen (2(t−v)) dv
∗ e−3t
= 600
et· t sen (2t) 2
∗ e−3t
=
300
Z t
0
evv sen (2v)e−3(t−v)
dv=
1.f. (Exerc´ıcio 22 da Se¸c. 7.6 de [Nagle/Saff/Snider])
(1−e−1s
)F(s) =
Z 1
0
e−st
f(t)dt=
Z 1
0
e−st
etdt=
Z 1
0
e(1−s)t
dt= 1
1−se
(1−s)t
1 t=0 =
e(1−s)
−1
1−s ∴F(s) =
e(1−s)
−1 (1−s)(1−e−s)
1.g. (1−e−4s
)G(s) =
Z 4
0
e−st
g(t)dt=
Z 1
0
2e−st
dt+
Z 3
1
(−1)e−st
dt+
Z 4
3
2e−st
dt
= 1 −s
h
2e−st1
t=0− e
−st3
t=1+ 2e
−st4
t=3
i
=−1
s
2e−s
−2−e−3s
+e−s
+ 2e−4s
−2e−3s
= 1
s
2−3e−s
+ 3e−3s
−2e−4s ∴
G(s) = 2−3e
−s
+ 3e−3s
−2e−4s
s(1−e−4s) .
Obs. Denotando por, digamos, z o termo e−s
, e manipulando a fun¸c˜ao racional em z dada por s G(s), podemos reescrever G(S). Essencialmente, cancelamos o fator 1−z2 = 1−e−2s
do numerador e do denominador. Assim:
G(s) = 2e
−2s
−3e−s
+ 2
s(e−2s
+ 1)
1.h. Manuscrito: Item 5.c no arquivo “simulado 02-pt2-v1 0.pdf” de 2014.1.
1.i: s2Y(s)−s y(0)−y′
(0)+Y(s) = 2e
−(πs/2)
s −5e
−(3πs/2)
, onde aplica-mos as regras 9 (a = 2 e b = −5), 14 (k = 2), 16 (c= π/2) e 8 (c= 3π/2). Logo: Y(s) = 2 e
−(πs/2)
s(s2+ 1) −5
e−(3πs/2)
s2+ 1. Denotemos por g(t) uma fun¸c˜ao tal que G(s) = 1
s(s2+ 1) =
1 +s2−s2
s(s2+ 1) =
1 +s2
s(s2+ 1) −
s2
s(s2+ 1) = 1
s − s s2+ 1, expans˜ao em fra¸c˜oes parciais que tamb´em podemos obter resolvendo um sis-tema de equa¸c˜oes lineares para os coeficientes do formato gen´erico da expan-s˜ao para este caso, a saber, A
s +
Bs+C
s2+ 1 . Das regras 9 (a= 1 eb =−1), 1 (a=0) e 2 (ω = 1), temos que g(t) = 1−cos (t). Das regras 3 (ω = 1) e 17 (c=π/2 e c= 3π/2, respectivamente), obtemos que:
y(t) = 2uπ/2(t)·1−cost− π
2
−5u3π/2(t)·sen
t−3π
2
y(t) = 2uπ/2(t)·(1− sen (t))−5u3π/2(t)·cos (t).
Resolu¸c˜ao alternativa por convolu¸c˜ao: Denotemos porh(t) uma fun¸c˜ao
tal que H(s) = e
−(πs/2)
s(s2+ 1) =
e−(πs/2)
s ·
1
s2+ 1 Pelo teorema da convolu¸c˜ao (Regra 19) e as regras 17 (c = π/2), 1 (a=0) e 3 (ω = 1), conclu´ımos que
h(t) = uπ/2∗sen
(t) =
Z t
0
sen (t−v)uπ/2(v)dv.
Para 0 ≤t≤π/2: uπ/2(v) = 0 para todov em [0, t), donde h(t) = 0; Para t > π/2: h(t) =
Z t
0
sen (t−v)uπ/2(v)dv=
Z π/2
0
sen (t−v)✘✘uπ/2(✘✘v)dv+
Z t
π/2
sen (t−v)uπ/2(v)dv=
Z t
π/2
sen (t−v) dv=
Z t−t
t−π
2
−sen (w) dw=
Z t−π
2
0
sen (w) dw= −cos (w)
t−π
2
w=0
= cos (0)−cos (t− π
2) = 1− sen (t). Combinando os resultados, temos que h(t) = uπ/2(t)·(1− sen (t)).
1.j. Semelhante ao Item 1.i.
1.k. Manuscrito: Item 1.a no arquivo “ee3-gabarito-v1 0.pdf” de 2012.2.
2.a. O fato de fi ser fun¸c˜ao ´ımpar j´a nos diz que fi s´o possui termos em
sennπx 2
, ou seja
∞
X
n=1
bn sen
nπx
2
, onde bn= 1 2
Z 2
−2
fi(x) sen
nπx
2
dx.
Sendo o produto de fun¸c˜oes ´ımpares uma fun¸c˜ao par, obtemos a primeira igualdade abaixo. Sendo fi uma extens˜ao de f, que est´a definida em [0,2], obtemos a segunda:
bn= 6 2 62
Z 2
0
fi(x) sennπx 2
dx=
Z 2
0
f(x) sennπx 2
dx =
Z 1
0
x sennπx 2
dx+
Z 2
1
sennπx 2
dx=
−2
nπ x cos nπx 2 1 x=0 − Z 1 0 −2 nπ cos nπx 2
dx+ −2
−2 nπ ✟✟ ✟✟ ✟✟
cosnπ 2
−0
+ 4
n2π2 sen
nπx 2 1 x=0 +−2
nπ
cos
nπ 62
62 − ✟✟ ✟✟ ✟✟
cosnπ 2
=
4
n2π2
h
sennπ 2
−❳❳sen (0)❳❳i+−2
nπ (−1)
n
∴bn = 4
n2π2 sen
nπ
2
+ (−1)n+1 2
nπ
onde a primeira parcela se reescreve de v´arios modos, contribuindo apenas
quando n ´e ´ımpar: sennπ 2 =
0, se n ´e par;
1, se n−1 ´e m´ultiplo de 4; −1, sen˜ao (n−3 ´e m´ultiplo de 4). Para efeito deste exame, esta resposta seria satisfat´oria devido `a comple-xidade dela para a experiˆencia esperada dos estudantes. Em todo caso, um exemplo b´asico de reescritura, constru´ıdo caso a caso, ´e: particionamos os ´ımpares positivos em 4k−3 e 4k−1, onde k ´e inteiro positivo (eles corres-pondem aos casos que d˜ao 1 e−1 acima). J´a os pares positivos s˜ao da forma 2k. Simplificando as express˜oes, obtemos a s´erie abaixo, onde a ´ultima das trˆes parcelas do termo geral ´e a contribui¸c˜ao dos pares positivos:
∞
X
k=1
2(4k−3)π+ 4 (4k−3)2π2 sen
(4k−3)πx
2
+2(4k−1)π−4 (4k−1)2π2 sen
(4k−1)πx
2
− 1
kπ sen (kπx)
2.b. O fato de fp ser fun¸c˜ao par j´a nos diz que fp s´o possui termos em
cosnπx 2
e constante, ou seja a0 2 +
∞
X
n=1
an cos
nπx
2
, onde
a0 = 1 2
Z 2
−2
fp(x)dx e, para n >0, an = 1 2
Z 2
−2
fp(x) cosnπx 2
dx. Sendo o
produto de fun¸c˜oes ´ımpares uma fun¸c˜ao par, obtemos a primeira igualdade abaixo. Sendo fp uma extens˜ao de f, que est´a definida em [0,2], obtemos a segunda:
a0 = 6 2 62
Z 2
0
fp(x)dx=
Z 2
0
f(x)dx=
Z 1
0
x dx+
Z 2
1
1dx= x 2 2 1 x=0 + x 2 x=1 = 1
2 −0 + 2−1 = 3
2 ∴a0 = 3
2 e, analogamente para n >0,
an = 6 2 62
Z 2
0
fp(x) cosnπx 2
dx=
Z 2
0
f(x) cosnπx 2
Z 1
0
x cosnπx 2
dx+
Z 2
1
cosnπx 2
dx=
2
nπ x sen nπx 2 1 x=0 − Z 1 0 2 nπ sen nπx 2
dx+ 2
nπ sen nπx 2 2 x=1 = 2 nπ ✟✟ ✟✟ ✟✟
sennπ 2
−0
+ 4
n2π2cos
nπx 2 1 x=0 + 2 nπ "❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ sen nπ 62
62 − ✟✟ ✟✟ ✟✟
sennπ 2
#
=
4
n2π2
h
cosnπ 2
−cos (0)i∴an= 4
n2π2
h
cosnπ 2
−1i, se n >0. Mas:
cosnπ 2 =
0, sen ´e ´ımpar;
1, sen ´e m´ultiplo de 4;
−1, sen˜ao (ou seja, se n−2 ´e m´ultiplo de 4). ∴
cosnπ 2
−1 =
−1, se n ´e ´ımpar;
0, se n ´e m´ultiplo de 4;
−2, sen˜ao. Um modo de se escrever esta s´erie ´e: 3
4+
∞
X
k=1
4(−1)
(2k−1)2π2 cos
(2k−1)πx
2 + ∞ X k=1
4(−2)
(4k−2)2π2 cos
(4k−2)πx
2 = 3 4+ ∞ X k=1
4(−1)
(2k−1)2π2 cos
(2k−1)πx
2 + ∞ X k=1
4(−2)
4(2k−1)2π2 cos ((2k−1)πx)∴
fp(x)∼ 3 4 − 1 π2 ∞ X k=1 1 (2k−1)2
4 cos
(2k−1)πx
2
+ 2 cos ((2k−1)πx)
2.c. O c´alculo da s´erie ´e semelhante ao do Item 2.a, com valores para os (cos)senos obtidos nos itens 2.a e 2.b:
bn= 6 2 62
Z 2
0
gi(x) sen
nπx 2 dx= Z 1 0
x2 sennπx 2
dx, donde:
gi(x)∼
∞
X
n=1
16−8nπ sen (nπ/2) + (2n2π2−16) cos (nπ/2)
n3π3 sen
nπx
2
Pelo teorema de Dirichlet, a s´erie converge, em x = 1, para a m´edia dos seguintes limites laterais:
lim x→1−
gi(x) = lim x→1−
g(x) = lim x→1−
x2 = 12 = 1 e lim
x→1+
gi(x) = lim x→1+
g(x) = lim x→1+
2.d. x2´e par. Logo, x2 ∼ a0 2 +
∞
X
n=1
an cos
n 6πx
6π
. Calculando (exerc´ıcio),
obtivemos as respostas:
a0 = 1
π Z π
−π
x2dx= 2π 2
3 e, para todo natural n >0,
an = 1
π Z π
−π
x2 cos (nx)dx= 4 cos (nπ)
n2 =
4 (−1)n
n2 Da´ı:
x2 ∼ π2 3 +
∞
X
n=1
4(−1) n
n2 cos (nx)
2.e. Manuscrito: Itens 2.a–b no arquivo “ee3-gabarito-v1 0.pdf” de 2012.2.
2.f. Manuscrito: Item 4.b no arquivo “simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2, onde k est´a denotada por f.
2.g–i. Manuscrito: Quest˜ao 2 no arquivo “ee3–v1 0-gabarito-v1 0.pdf” de 2014.1, onde ℓ est´a denotada por h.
2.j. Como x∼
∞
X
n=1 26π n6π(−1)
n+1 sen
n6πx
6π
, temos que
x
2 ∼
∞
X
n=1
(−1)n+1
n sen (nx). Do teorema de Parseval, segue-se que:
∞
X
n=1 1
n2 =
∞
X
n=1
(−1)n+1
n 2
= 1
π Z π
−π
x
2
2
dx= 2
π Z π
0
x2 4 dx=
x3 6π
π
x=0 ∴
∞
X
n=1 1
n2 =
π2 6
2.k. Gra¸cas `a observa¸c˜ao no enunciado, j´a sabemos que a s´erie de Fourier desejada s´o possui coeficientes bn. Assim, em [0,2π]:
π−x
2 ∼
∞
X
n=1
bn sen
n6πx
6π
bn = 1
π Z 2π
0
π−x
2 sen (nπx) dx= −1
2π Z 2π
0
x sen (nπx) dx (Por quˆe?).
Inte-gre por partes e obtenha que bn= 1/n. Da´ı:
π−x
2 ∼
∞
X
n=1 1
n sen (nx).
Do teorema de Parseval, segue-se que:
∞
X
n=1 1
n2 = 1
π Z 2π
0
π−x
2
2
dx =
1 4π
Z 2π
0
(π−x)2dx= −1
12π (π−x)
3
2π
x=0
= 2×(−π 3) 12π ∴
∞
X
n=1 1
n2 =
π2 6
3.a. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.2, Exerc´ıcio 5. Manuscrito: Item 5.a no arquivo “simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
3.b. Manuscrito: Item 1.c no arquivo “ee3–v2 0-gabarito-v1 0.pdf”de 2013.1.
3.c. Manuscrito: Item 1.b no arquivo “ee3–v1 0-gabarito-v1 0.pdf”de 2014.1.
3.d. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.2, Exerc´ıcio 10. Manuscrito: Item 5.b no arquivo “simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
4. Manuscrito: Quest˜ao 6 no arquivo “simulado 3-ps1-v1 0.pdf” de 2012.2.
5. Manuscrito: Quest˜ao 4 no arquivo “ee3–v1 0-gabarito-v1 0.pdf”de 2014.1.
6. Manuscrito: Quest˜ao 5 no arquivo “simulado-03-v1 0-complemento.pdf” de 2013.1.
7. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.6, Exerc´ıcio 17. Manuscrito: Quest˜ao 3 no arquivo “ee3-gabarito-v1 0.pdf” de 2012.2.
8.
utt+ 4u=uxx para 0< x <1 e t >0,
u(0, t) = 0 =u(1, t) para t >0,
ut(x,0) = 0 e u(x,0) = 12 sen(3π x)−8 sen(4π x) para 0 < x <1.
X(x)T′′
(t) + 4X(x)T(t) =X′′
(x)T(t) ∴ X ′′
(x)
X(x) =
T′′
(t) + 4T(t)
T(t) nos pontos (x, t) tais que X(x) = 0 e6 T(t)6= 0. Assim, uma fun¸c˜ao de x e uma fun¸c˜ao dets˜ao iguais, donde se conclui que elas s˜ao iguais a uma constante−λ(dita
constante de separa¸c˜ao). Portanto:
X′′
(x) +λ X(x) = 0 para 0< x <1, (1)
T′′
(x) + (4 +λ)T(t) = 0 para t >0. (2)
Como n˜ao desejamosT ≡0, as condi¸c˜oes de contornoX(0)T(t) =u(0, t) = 0 e X(1)T(t) = u(1, t) = 0 traduzem-se por:
X(0) = 0 =X(1). (3)
Como n˜ao desejamos X ≡ 0, a condi¸c˜ao inicial X(x)T′
(0) = ut(x,0) = 0 traduz-se por:
T′
(0) = 0. (4)
Com isto, (1) e (3) definem um problema de contorno em X(x), enquanto (2) e (4) definem um problema em T(t).
8.b. Das dicas fornecidas, o problema descrito por (1) e (3) tem solu¸c˜oes n˜ao-nulas dadas pelos m´ultiplos n˜ao-nulos de Xn(x) = sen (µnx), autofun¸c˜oes do autovalor −λn=−µn2, onde µn =nπ paran inteiro positivo. Aplicando, a (2), os valoresλnencontrados paraλacima, obtemos a equa¸c˜ao caracter´ıstica
r2+ 4 +λ
n= 0 ∴r2 =−(4 +λn) =−(4 +µ2n)<0∴r =±i
p
4 +µ2
n =±i νn, denotando por νn =
p
4 +µ2
n > 0 ∴ T(t) = Acos (νnt) +Bsen (νnt) ∴
T′
(t) = −νnAsen (νnt) +νnBcos (νnt). Da condi¸c˜ao (4), temos que 0 =
T′
(0) =νn[−A·0 +B·1] =νnB. Mas νn>0∴B = 0∴T(t) =Acos (νnt), e h´a solu¸c˜oes n˜ao-triviais, m´ultiplas n˜ao-nulas de Tn(x) = cos (νnt). Combi-nando linearmente as solu¸c˜oes un(x, t) = Xn(x)Tn(t) para formarmos uma s´erie formal como limite de tais somas parciais, e assumindo a convergˆencia da s´erie, temos a solu¸c˜ao formal:
u(x, t) =
∞
X
n=1
cnun(x, t) =
∞
X
n=1
cn sen (nπ x) cos
√
8.c.
∞
X
n=1
cn sen (nπ x)·1 = u(x,0) = sen(3π x)−8 sen(4π x) ∴ cn = 0 para todo n >0 exceto c3 = 1 e c4 =−8. Logo:
u(x, t) = sen (3π x) cos√4 + 9π2 t−8 sen (4π x) cos2√1 + 4π2 t.
9.a. Quest˜ao 3 de “ee3-v1 0-gabarito-v1 0.pdf” de 2014.1.
9.b. Quest˜ao 3 do “ee3-v2 0-gabarito-v1 0.pdf” de 2013.1.
9.c. [Nagle et al.] Se¸c˜ao 10.6, Exerc´ıcio 17. ´E a Quest˜ao 7 no arquivo “simulado-03-v1 0-complemento.pdf” de 2013.1.
10. Quest˜ao 3 de final-v1 0-gabarito-v1 0.pdf de 2014.1.
