i  1019)1()3(3

LISTA GERAL DE COMPLEXOS - FORMA ALGÉBRICA E TRIGONOMÉTRICA - GABARITO 1) Represente os seguintes números no plano:

a) P1 = 2+3i b) P2 = 4-i c) P3 = -3-4i d) P4 = -1+2i e) P5 = -2i

Solução. Representando cada número complexo como pontos no plano Argand-Gauss, temos:

2) Determine o módulo e o argumento dos seguintes complexos:

a) 4+3i b) 2-2i c) 3+i d) 3 e)2i f) a+bi Solução. Aplicando a fórmula do módulo e identificando os valores de cosseno e seno, temos:

a) ^{43i  (4)2(3)2  169  255}; º8,36

5 3 5 cos 4

:)(  

















 sen z Arg

b) ²²i  ⁽²⁾²⁽²⁾²  ⁴⁴  ⁸ ^{2 2} ; 315º 2

2 22 2

2 2 22 cos 2

:)(  











 













sen z Arg

c) ^{3i  (3)2(1)2  91 10}; º4,18 10 1 10 cos 3 :)(  



















sen z Arg

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br

d) ^{3  (3)2  9 3}; º0 3 0 0 3 1 cos 3

:)(  

















 sen z Arg

e) ²i  ⁽²⁾²  ⁴ ²; º90 2 1 2 2 0 cos 0

:)(  

















 sen z Arg

e) ^{abi  (a)2(b)2  a2b2} ;

a arctgb

ba sen b

ba a

zArg 









 

 







2 2

2

cos 2

:)(

3) Obtenha o produto w = z z z₁. ₂. ₃ onde:

a)

z i

z i

z i

1 2 3

16 160 160

5 325 325

308 308

 

 

 

(cos sen )

(cos sen )

cos sen

 

 

 

b)

) 43 sen 43

(cos 6

) 31 sen 31

(cos 4

) 14 sen 14

(cos 3

3 2 1













i z

i z

i z













Solução. Aplicando a fórmula do produto entre complexos na forma trigonométrica e encontrando a primeira determinação positiva, se necessário, temos:

a) . . 80.(cos793 793 ) 80.(cos73 73 )

)]

308 º 325 º 160 ( )

308 º 325 º 160 )[cos(

1 )(

5 ).(

16 ( . .

3 2 1

3 2 1













isen isen

z z z

isen z

z z





















b) . . 72.(cos88 88 )

)]

43 º 31 º 14 ( )

43 º 31 º 14 )[cos(

6 )(

4 ).(

3 ( . .

3 2 1

3 2 1









isen z

z z

isen z

z z

















4) Sendo z= 2

4 4

(cos _ sen )

i , determine z², z³ e z⁴.

Solução. Aplicando a fórmula da potência na forma trigonométrica dos complexos, temos:

i) ^{z2 }_^{ 2(cos}₄ ^isen₄⁾_^{2 } ^{2 2.(cos2.}₄ ^isen2.₄^)2(cos₂ ^isen₂⁾

ii) ^{z3 }_^{ 2(cos}₄ ^isen₄⁾_^{3 } ^{2 3.(cos3.}₄ ^isen3.₄^{)2 2(cos3}₄^{ isen3}₄^)

iii) ^{z4 }_^{ 2(cos}₄^isen₄⁾_^{4 } ^{2 4.(cos4.}₄ ^isen4.₄^{)2(cosisen)}

OBS: Repare que ) 4 (cos4

2  

isen

z  representado na forma algébrica seria z1i. O cálculo de z², z³ e z⁴ poderia ser feito nesta forma. No caso deste exercício, representando os resultados na forma algébrica teríamos:

i) z isen ) 2.(0 i) 2i 2

(cos2

2 2      

ii) z isen i ) 2 2i

2 2 2

( 2 2 2 4 ) 3 4

(cos3 2

3 2        

. iii) z^{4 2(cos} ^isen^{)2(10)2}

5) Determine o módulo e o argumento do número z⁴ para os complexos:

a) z = 3(cos125+isen125) b) z = 2(cos300º + isen300º)

Solução. Aplicando a fórmula da potência na forma trigonométrica dos complexos e encontrando a primeira determinação positiva, se necessário, temos:

a)

   







 

















º 140 ) 81

º 140 º

140 (cos 81

) º 500 º

500 (cos 81 )]

º 125 ).(

4 ( )

º 125 ).(

4 .[cos(

3 ) º 125 º

125 (cos 3

4

4 4 4

 isen 

z

isen isen

isen z

b)

   







 

















º 120 ) 16

º 120 º

120 (cos 16

) º 1200 º

1200 (cos 16 )]

º 300 ).(

4 ( )

º 300 ).(

4 .[cos(

2 ) º 300 º

300 (cos 2

4

4 4 4

 isen 

z

isen isen

isen z

6) Calcule as potências, dando a resposta na forma algébrica ou trigonométrica.

a) (1i 3)⁸ b) ( 3i)⁶

Solução. Escreve-se os números entre parênteses na forma trigonométrica e calculam-se as potências.

a) Calculando módulo e argumento:

- ^{1i 3  (1)2( 3)2  13 42}; º300 2

3 2 cos 1

:)(  



















sen z Arg

-

   

 

 ⁱ  ^{i i A ébrica}

ou

rica Trigonomét cis

isen i

isen isen

isen

lg 3

128 2 128

3 2

. 1 256 3

1

º 240 . 256 º 240 º

240 (cos 256 3

1

) º 2400 º

2400 (cos 256 )]

º 300 ).(

8 ( )

º 300 ).(

8 .[cos(

2 ) º 300 º

300 (cos 2

8 8

8 8















 



























b) Calculando módulo e argumento:

- ^{3i  ( 3)2 (1)2  31 42}; º30 2 1 2 cos 3

:)( 











 





sen zArg

-

   

 

 ⁱ  ⁱ  ^{A ébrica}

ou

rica Trigonomét cis

i

isen isen

isen

lg 64

0 . 1 . 64 3

º 180 . 64 3

) º 180 º

180 (cos 64 )]

º 30 ).(

6 ( )

º 30 ).(

6 .[cos(

2 ) º 30 º

30 (cos 2

6 6

6 6

































OBS: A opção de representar o número na forma trigonométrica antes de calcular a potência agilizou os cálculos. A escolha em todo caso é de cada um. Experimente calcular somente na forma algébrica e verifique se houve mais ou menos dificuldade.

7) Dado o número complexo z = cos 45 + isen 45º calcule: w = z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶

Solução. Observe que o valor de “w” representa uma soma de seis termos da progressão geométrica de razão “z”. Temos:

i) .(1 )

2 º 2 45 º

45

cos isen i

z    ii) z i i i   i i



 







 



 





 







 .(1 2 1)

4 ) 2 2 1 4 .(

) 2 1 2 .(

2 ² _{2 2}

2

iii) ( 1 )

2 ) 2 ).(

1 2 ( . ² 2

3 zz i i i

z       iv) z⁴ z².z² (i).(i)i² 1

v) ( 1 )

2 ) 2 1 ).(

1 2 ( . ⁴ 2

5 zz i i

z        vi) z⁶  z^{2 3}  i ³ i

Logo,

2 2 2

1 2

) 2 (

2 2 ) 2 1 2 (

2 2 ) 2 2 (

2 2

2

i w

i i i

i i w





 



 









 



 









 



 







 



 



8) Escreva as expressões abaixo na forma abi:

a) (4i)i(63i)i b)  

 ²

2

3 2

i i



 c) (4i).(14i) d) i i 5 4

3





Solução. Se necessário, utilizam-se as propriedades do conjugado e separam-se as partes real e imaginária.

a) (4i)i(63i)i4ii6i3i² 436i76i b)  

   

   

   

^{23 3}  ^{.5105  25 50100 25 2}

. 6 3

. 3 3 2 3

2 ^{2 2 2}

2 2 2 2

2

2 i i i i

i i i i i

i i i i

i    



 

 



 











 



 











 





c) (4i).(14i)(4i).(14i)(416ii4i²)17i17i

d)  

  4  5 ^{167 1925 7 4119}

5 4 15 12 5 4

5 . 4 5 4

3

2 2

2 i i

i i i i i

i i

i  



 







 









9) Resolva em C as seguintes equações:

a) z² 2i b) z² 2z1i c)

3 1 1 3

1  

 z

z

Solução. Escrevendo z = a + bi, encontramos as soluções pela comparação com os coeficientes real e imaginário.

a) 

}1;

1 1{

1

1 1.

1 22

0) )((

2 0 )( 2

2 _{2 2} ²²

2 2 2

ii i V

z i

aa a ab ab

ba bab ba a ib ba

bia abia z

iz



 





 

 



















 



 



 









b)











 

























ii b ab

a b a bi a b abi a bia bia

z z

i z z

)2 2(

1 2 2

2 2

) (2 ) (2

1

2 ^{2 2}

2 2

2 2

2

i) Observando a 1ª equação, temos: a²2a1b²(a1)² b²

ii) Expressando o valor de “b” na 2ª equação, temos: ^{2ab2b1b} _2(a¹_1) .

iii) Elevando “b” ao quadrado e igualando em (i), temos: 2

2 2

2

) 1 ( 4 ) 1 1 ) (

1 ( 4

1

 



 

 a a

b a

iv) Calculando “a” e “b”:

















 



















 













































 





2 2 2

1 2 )1

1( 2 2

1

2 2 2 1 2 )1

1( 2 2

1

)1 (2

1 2

1 2 2 1 2

2 2 2

1 2

1 4

1 1 4

)1 1 )1 (

(4 )1 1

( 4 2

4 4 2

2

b b

b a a

a

a a a

a



Logo, as raízes são:







    

 2

2 2

;2 2

2 2

2 i i

V

10) Escrevendo o complexo

3 1

1 i z i



  , calcule os valores do módulo e do argumento.

Solução. Escrevendo o numerador e o denominador na forma complexa e dividindo, temos:

i) 4

7 2 1 2 cos 1 2 1 1 )1(

)1(

1 ^{2 2}  



































sen i

ii)

3 2

3 2 cos 1 2 4 3 1 )3 ( )1(

3

1 ^{2 2}  





































sen i

Logo,











 



 



 



 



 



 



 



 

 





 

 





 



 



 



 

 

 

12 ) 17 (

2 2 12

17 12

cos 17 2 .

2

3 4 7 3

4 cos 7 2 .

2 3

cos3 .2

4 7 4

cos7 .2 3 1

1























z Arg

z isen

z

isen isen

isen i

z i

.

11) Qual é a forma algébrica do número complexo z representado na figura . Solução. Observe que a figura representa um círculo de raio 2 3e centro na origem. O complexo marcado está 30º acima de 180º. Logo no sentido anti- horário ele está no ângulo de 150º.

O número é z2 3.(cos150ºisen150º) ou



 



 

 6

º 5 6 cos5 . 3

2  isen 

z e sua representação algébrica é

.

12) A figura abaixo representa um octógono regular inscrito numa circunferência.

Sabendo-se que BF 8, determine as formas algébrica e trigonométrica dos números complexos cujos afixos são os pontos B ^e D^.

Solução. Se BF 8então a circunferência possui raio 4. Os ângulos centrais do octógono medem 360º ÷ 8 = 45º. Observando as posições dos afixos, temos que B está em 45º e D em 135º. Logo:

i) Ponto B: _{z i i a ébrica}

rica trigonomét isen

z

lg 2

2 2 2 2

2 2

. 2 4

) º 45 º

45 .(cos 4













 









ii) Ponto D: _{z i i a ébrica}

rica trigonomét isen

z

lg 2

2 2 2 2

2 2

. 2 4

) º 135 º

135 .(cos 4















 









Fonte: Deptº Matemática - UFMG