 isenisenzz ).º150º150(cos4)]º90º60()º90º60[cos(1.4  isenisenzz ).º75º75(cos15)]º45º35()º45º35[cos(5.3

LISTA DE COMPLEXOS – MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO E POTENCIAÇÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA - GABARITO

1. Sejam z

1

e z

2

os números complexos z

1

= 3.(cos30º + isen30º) e z

2

= 5.(cos45º + isen45º). Que número complexo representa o produto de z

1

por z

2

?

Solução. Utilizando a expressão para o produto na forma trigonométrica, temos que se os

complexos são:

) (cos

) (cos

2 2

2 2

1 1

1 1









isen z

z

isen z

z







 ,então z

1

z

2

 z

1

z

2

^[cos( 

1

 

2

⁾  isen ⁽ 

1

 

2

^)] . Logo, o

produto pedido será: z

₁

z

₂

 3 . 5 [cos( 35 º  45 º )  isen ( 35 º  45 º )]  15 (cos 75 º  isen 75 º ).

2. Sejam os complexos z

1

= 4.(cos 60º + i sen 60º) e z

2

= (cos 90º + i sen 90º). Qual a forma algébrica do complexo z = z

1

.z

2

?

Solução. O produto é: z

₁

z

₂

 4 . 1 [cos( 60 º  90 º )  isen ( 60 º  90 º )]  4 (cos 150 º  isen 150 º ). Como 30º = (180º - 150º) temos que sen150º = sen30º e cos150º = - cos30º, pois 150º  2º Quadrante.

Substituindo, vem: ) 2 3 2 .

2 ( 1 2 ( 3

2

4

1

z i i

z      

3. Dados z

1

= 10.(cos 90º + i sen 90º) e z

2

= 2.(cos 30º + i sen 30º), que número complexo representa z

1

÷z

2

?

Solução. Utilizando a expressão para o quociente na forma trigonométrica, temos que se os

complexos são:

) (cos

) (cos

2 2

2 2

1 1

1 1









isen z

z

isen z

z







 ,então ^[cos(

1 2

^{) (}

1 2

^)]

2 1 2

1

      isen   

z z z

z . Logo, o

quociente pedido será: [cos( 90 º 30 º ) ( 90 º 30 º )] 5 (cos 60 º 60 º ).

2 10

2

1

z isen isen

z       

4. Qual o produto dos três números complexos z

1

= 2.(cos 40º + i sen 40º) ; z

2

= 3.(cos 135º + i sen 135º) e z

3

= (cos 125º + i sen 125º)?

Solução.

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III

3

^a

SÉRIE - MATEMÁTICA I

COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

O produto é: z

1

z

2

z

3

 ^{2 . 3 . 1 [cos( 40 º}  ^{135 º}  ^{125 º )}  isen ^{( 40 º}  ^{135 º}  ^{125 º )]}  ^{6 (cos 300 º}  isen ^{300 º ).}

Como 60º = (360º - 300º) temos que sen300º = - sen60º e cos300º = cos60º, pois 300º  4º

Quadrante. Substituindo, vem: ) 3 3 .

2 ( 3 2 ( 1

3

6

2

1

z z i i

z    

5. Calcule o módulo do número complexo (1 + 3i)

⁴

.

Solução. O desenvolvimento binomial da potência é possível, mas a escrita do complexo na forma trigonométrica simplifica os cálculos. Calculando o módulo, vem:

i) z  1  3 i  z  1

²

 3

²

 10

ii)

^{z4 }



^13i



^{4  z4}



¹⁰



^{4 }_^



¹⁰



^2_^{2 102 100.}

6. Dado o número complexo z = cos 6

 + i sen 6

 , qual o valor de z

¹²

?

Solução. Lembrando que ^z

ⁿ

^{ z}

ⁿ

^{(cos   isen  )}

ⁿ

^{ z}

ⁿ

^{[cos( n  )  isen ( n  )]} , temos:

. 1 ) 0 1 .(

1 )]

2 ( )

2 [cos(

1 6 )]

. 12 ( 6 )

. 12 [cos(

1 6 ) (cos 6

1

¹²



¹²

      

      

isen isen

isen z

ⁿ

7. Quando z

1

= 2. (cos 4

 + i sen 4

 )e z

2

= 2 . (cos 4 3 

+ i sen 4 3 

), calcule os valores de z

1

+ z

2

e

z

1

.z

2

, respectivamente.

Solução. O produto será calculado na forma trigonométrica. A soma será realizada na forma algébrica por motivos de simplificação dos cálculos:

i) ) 4 (cos ) 4 ( 1 0 ) 4 .

4 4 4

(cos 4 4 4 )]

3 ( 4 4 )

3 [cos( 4 2 .

2

2

1

                    

isen isen

isen z

z

ii) ) 2 2 .

2 ( 2 2 2

2 2

2 2

2 2

[ 2 2 4 ) 3 4

(cos 3 2 4 ) (cos 4

2

2

1

z isen isen i i i i

z               

8. Se um número complexo z tem módulo igual a ₂ e argumento igual a 4

 , expresse a parte real e a

parte imaginaria de z

⁷

.

Solução. A forma trigonométrica do complexo indicado é: ).

4 (cos 4

2  

isen

z   Logo, a

potência será: ^z

⁷

^   ²

⁷

^{(cos } ₄ ^{ isen } ₄ ⁾

⁷

^{ 8 2 (cos 7 . } ₄ ^{ isen 7 . } ₄ ^{)  8 2 (} ₂ ^{2  i} ₂ ^{2 )  8 ( 1  i ).}

i) Re(z) = 8 ii) Im(z) = - 8

9. Calcule o valor de (1 + i)

⁴

.

Solução. O desenvolvimento binomial da potência é possível, mas a escrita do complexo na forma trigonométrica simplifica os cálculos. Calculando o módulo e argumento, vem:

i) ^{z  1  i  z  1}

²

^{ 1}

²

^{ 2  z}

⁴

^   ²

⁴

^{ 4}

ii) (4 4)01 4 )

4 4 (cos4 4

44 ) (cos2 4 2 1 2 cos 1

4 4





 



 













 



 







z isen z

isen z

sen 



 





10. Um número complexo z é tal que o seu módulo é _{2 2} e se argumento principal é 15º. Escreva a forma algébrica de z

³

.

Solução. A forma trigonométrica do complexo indicado é: z  2 2 (cos 15 º  isen 15 º ). Logo, a

potência será:

 

).

1 ( 16 2 )

2 2

( 2 2 16

) º 45 º

45 (cos 2 16

) º 15 . 3 º

15 . 3 (cos 2 16 ) º 15 º

15 (cos 2 2

3 3

3 3 3

i i

z

isen z

isen isen

z





















11. Qual o valor do complexo

₁₂

) 1 (

1

 i ?

Solução. Se z = 1 – i então calculamos o módulo e argumento escrevendo a forma trigonométrica.

Depois, basta aplicar a potência negativa (- 12):

i) z  1  i  z  1

²

 (  1 )

²

 2 . Logo, temos: ) 4 3 4 (cos 3 4 2

3 2 1 2 cos 1





 





isen z

sen











 



 



 



ii)

 

64 . ) 1 0 1 64 (

1

) 9 9

2 (cos ] 1 4 ). 3 12 4 (

). 3 12 [cos(

2 )

1 ) ( 1 (

1

12

6 12 12

12 12

 

























 





 



z

isen isen

i i

z    

12. Calcule o valor da expressão

109

2 2 2

2  



 

  i , onde i é a unidade imaginária dos complexos.

Solução. Escrevendo

109

2 2 2

2  



 

  i na forma trigonométrica observando o módulo 1 e os

respectivos cosseno e seno, temos: ⁾

4 .(cos 4

2 1 2 2

2  

isen i

z    



 

 

 . Elevando a potência

indicada, temos: ) . 4 4 109

. 109 (cos 1

¹⁰⁹

109

 

isen

z   . Calculando

4 26 5 4

109  _  _ 

observamos que o termo 26 indica 13 voltas completas. Calculamos apenas o cosseno e seno de

4 5 

. Logo

o valor da potência será: .

2 2 2

) 2 4 5 4

(cos 5

109

1 isen i

z       

13. Calcule o valor de (1 + i)

¹⁰

+ (1 - i)

¹⁰

, onde i é a unidade imaginária.

Solução. Escrevendo (1 + i) e (1 – i) nas formas trigonométricas e nas potências, temos:

i) ^{( 1  i )  2 (cos } ₄ ^{ isen } ₄ ^{)  ( 1  i )}

¹⁰

^   ²

¹⁰

^{(cos 10} ₄ ^{  isen 10} ₄ ^{ )  32 (cos 5} ₂ ^{  isen 5} ₂ ^{ )  32}

i) ^{( 1  i )  2 (cos 3} ₄ ^{  isen 3} ₄ ^{ )  ( 1  i )}

¹⁰

^   ²

¹⁰

^{(cos 30} ₄ ^{  isen 30} ₄ ^{ )  32 (cos 15} ₂ ^{  isen 15} ₂ ^{ )   32}

Logo, a soma será: (32) + (- 32) = 0.

14. Calcular z

⁵

, sendo z  2  i 2 3 .

Solução. Se z  2  i 2 3 então calculamos o módulo e argumento escrevendo a forma trigonométrica. Depois, basta aplicar a potência (5):

i) z  2  i 2 3  z  2

²

 ( 2 3 )

²

 4  12  16  4 . Logo,

3 2

3 4

3 2

2 1 4 cos 2

 









 



 











sen

ii)

. 3 512 512 2 )

3 2 ( 1 1024 3 )

5 3

(cos 5 1024 3 )

(cos 3 4

3 ) (cos 3

4

5 5

5

isen isen i i

z

isen z































