Invers˜ao e m´aquina de Peaucellier
Eduardo Marques de S´a, DMUC, 2006
1 Invers˜ ao
E dado um c´ırculo de referˆencia, de centro´ C e raior, relativamente ao qual se vai definir uma opera¸c˜ao dita “invers˜ao”relativamente ao c´ırculo (ou `a sua circunferˆencia lim´ıtrofe). Considera-se um ponto P, arbitr´ario, distinto de C. Na semi-recta ˙CP existe um e um s´o ponto P0 que satisfaz
CP ·CP0 =r2.
P0 diz-seinverso deP (relativamente ao c´ırculo1). Da defini¸c˜ao segue-se que P ´e, por sua vez, o inverso de P0. O caso r = 1 justifica o nome dado `a transforma¸c˜ao, pois as distˆancias de C a P e a P0 s˜ao, ent˜ao, mutuamente inversas. Claro queP ´e exterior ao c´ırculo se e s´o se P0 ´e interior. Os pontos da circunferˆencia s˜ao pontos fixos da transforma¸c˜ao, isto ´e, s˜ao inversos de si pr´oprios. O ponto C, dito centro de invers˜ao, n˜ao tem inverso.2
Portanto, a invers˜ao ´e uma bijec¸c˜ao do conjunto constitu´ıdo pelo plano ex- cepto C, sobre si pr´oprio.
1A referˆencia ao c´ırculo, ou `a circunferˆencia vai entre parˆentesis para indicar que ela se omite sempre que seja ´obvio, pelo contexto, de que c´ırculo se trata.
2H´a uma t´ecnica interessante de “completar”o plano P em que estamos a trabalhar:
acrescentamos aP um elemento, designado porinfinito e denotado por∞. Ao conjunto P∞ :=P∪ {∞} chamamosplano completo. Depois de criado este advent´ıcio, ´e preciso dizer quais as regras operat´orias a que ele deve submeter-se, i.e., a que n´os devemos submeter-nos ao falar dele. Uma regra importante ´e a defini¸c˜ao de limite: dizemos que uma sucess˜ao de pontos (P1, P2, P3, . . .)converge para∞se a sucess˜ao de n´umeros reais (OP1, OP2, OP3, . . .) ´e um infinitamente grande. De acordo com a defini¸c˜ao, as 4 sucess˜oes de termos gerais Pn = (n,0), Qn = (−n,0), Rn = (0, n), eSn = (0,−n) convergem para
∞, convergem todas para o mesmo ponto! Em termos intuitivos: se marcharmos indefinida e continuamente num dos semi-eixos Norte-Sul, para Norte ou para Sul, ou Este-Oeste, para Este ou para Oeste chegaremos, no limite, ao mesmo ponto!
Nesta completa¸c˜ao (existem outras, matematicamente t˜ao aceit´aveis quanto esta), cada rectaS tem∞como ´unico ponto no infinito; podemos, ent˜ao, completarS acrescentando- lhe∞. Por defini¸c˜ao, a rectaS completada (ouacabada) ´e o conjuntoS∞:=S∪ {∞}.
A recta assim acabada ´e, em muitos aspectos (no aspecto topol´ogico, em particular), isomorfa a uma circunferˆencia
Resumindo: a defini¸c˜ao de limite infinito leva, naturalmente, a pensar em∞como sendo o “ponto do infinito”de cada recta, o mesmo ponto para todas as rectas.
Esta opera¸c˜ao ´e construt´ıvel com r´egua e compasso, conforme mostra a figura, onde se sup˜oe P fora do c´ırculo. Come¸camos por construir uma recta que passe por P e seja tangente `a circunferˆencia; o ponto P0 ´e a projec¸c˜ao orto- gonal do ponto de tangˆencia, T, sobre a recta CP. A demonstra¸c˜ao, muito simples, de que esta projec¸c˜ao ´e mesmo o inverso de P, baseia-se na seme- lhan¸ca dos triˆangulos MCP T e MCP0T. Se P estiver dentro do c´ırculo, a constru¸ca ´e obviamente a “inversa”: tra¸ca-se por P a perpendicular a C;
selecciona-se T, um dos pontos de intersec¸c˜ao dessa perpendicular com a circunferˆencia, e passa-se por T a perpendicular a CT; o inverso de P ´e a intersec¸c˜ao desta perpendicular com CP0.
E instrutivo e interessante determinar inversos de conjuntos do plano.´ 3 Para tanto, o melhor ´e come¸car pelos casos mais simples: rectas e circunferˆencias.
Se uma recta R passa pelo centro de invers˜ao, o inverso de cada um dos seus pontos (exceptoC) pertence aR, pelo que uma tal recta ´e inversa de si pr´opria (excepto C, claro). Com pouco mais se deduz que o inverso de um segmento de recta alinhado com C, mas que n˜ao contenhaC, ´e um segmento de recta. (E se o segmento contiver C?)
Mas, se uma recta R n˜ao passar por C, ela ter´a por inversa uma (quase-) circunferˆencia. A prova disso pode fazer-se com aux´ılio duma figura como a seguinte [...] onde se supˆos, para simplificar, que R n˜ao intersecta o c´ırculo.
Seja A a projec¸c˜ao ortogonal deC sobre a recta dada, A0 o seu inverso e S a circunferˆencia que tem [CA0] por diˆametro.
Teorema 1.1 O conjunto inverso da recta R ´e o que se obt´em da circun- ferˆencia S excluindo o ponto C.
Demonstra¸c˜ao. Considere-se um qualquer ponto P da recta, e seja Q o ponto de intersec¸c˜ao da recta P C com S. Os triˆangulos MCAP e MCA0Q s˜ao semelhantes. Da´ı resulta ser a raz˜ao das hipotenusas, CA0/CP, igual `a
Em linguagem precisa, o plano completo, P∞, ´e isomorfo a uma esfera R (recorde, da An´alise Complexa, a esfera de Riemann e a projec¸c˜ao estereogr´afica); a origem de P projecta-se no p´olo sul de R, as rectas do plano transformam-se em circunferˆencias sobre R que passam pelo seu p´olo norte. Etc.. Para concluir, num processo de invers˜ao relativamente a um c´ırculo de centroC, definimos que o inverso deC´e∞; nessas condi¸c˜oes, a invers˜ao constitui uma bijec¸c˜ao deP∞ sobre si mesmo.
3Obviamente que o inverso de um conjunto X ´e o conjunto X0 constitu´ıdo pelos inversos dos pontosP ∈X.
dos catetos hom´ologos, CQ/CA. Segue-se
CP ·CQ=CA·CA0 =r2,
i.e., Q ´e o inverso de P. Portanto a invers˜ao transforma R em S\{C}, e
vice-versa. ¤
A prova de que a invers˜ao duma circunferˆencia produz, em geral, uma cir- cunferˆencia passa por um resultado auxiliar envolvendo os inversos de trˆes pontos em situa¸c˜ao especial.
Lema 1.2 Considerem-se trˆes pontos, M, N, P, distintos de C, e os seus inversos M0, N0, P0. Se N est´a na semi-recta CM˙ , s˜ao iguais os ˆangulos ]MP N e ]M0P0N0.
Demonstra¸c˜ao. A situa¸c˜ao em causa est´a esbo¸cada na figura [...]. Das rela¸c˜oes de invers˜ao CP CP0 =CN CN0 =r2 resulta
CN
CP = CP0
CN0 . (1)
Trata-se de uma rela¸c˜ao de proporcionalidade entre lados dos triˆangulos MCNP eMCN0P0. Ora, os lados envolvidos determinam, nos dois triˆangulos, o mesmo ˆangulo (em C), o que prova tratar-se de triˆangulos semelhantes.
Al´em disso, (1) mostra que, nessa semelhan¸ca, o v´ertice C ´e comum, P0 corresponde a N e N0 corresponde a P. Portanto,
]CP0N0 =]CNP.
A mesma argumenta¸c˜ao, aplicada a MCMP eMCM0P0, conduz `a identidade ]CP0M0 =]CMP.
Destas duas equa¸c˜oes deduz-se facilmente a igualdade pretendida,]MP N =
]M0P0N0. ¤
Teorema 1.3 O inverso duma circunferˆenciaD que n˜ao passa por C´e uma circunferˆencia D0 que n˜ao passa porC. Se[MN]´e o diˆametro deD alinhado com C, ent˜ao D0 ´e a circunferˆencia que tem como diˆametro o segmento inverso de [MN].
Demonstra¸c˜ao. Se [MN] ´e o tal diˆametro de D, para cada ponto P ∈ D, o ˆangulo ]MP N ´e recto. Pelo lema anterior, tamb´em ]MP N =]M0P0N0 ´e recto. Mas isto significa, exactamente, que P0 pertence `a circunferˆencia que tem diˆametro [M0N0]. E, para cada pontoX desta, existe umY ∈D (qual?)
cujo inverso ´e X. ¤
2 M´ aquinas articuladas
As m´aquinas a considerar vivem no plano, e tˆem como destino desenhar figuras no plano. S˜ao constitu´ıdas por bra¸cos ligados uns aos outros por articula¸c˜oes. Em matem´atica, “bra¸co”´e sin´onimo de segmento de recta com a possibilidade de se mover no plano sem alterar o comprimento. Um bra¸co pode articular-se com outro, i.e., ter com outro um ponto em comum, que est´a fixado em ambos.
Exemplos. Podemos articular o segmento [AB] com [CD], ligando o extremo B ao extremoC; quando imobilizamos [AB], a articula¸c˜ao apenas permite a [CD] rodar em torno deC e Ddescrever´a, ent˜ao, um arco de circunferˆencia.
Se imobilizamos o ponto Ae fizermosD descrever uma traject´oria qualquer, o ponto C, por estar solid´ario comB, descreve um arco de circunferˆencia de centro em A.
Admitamos que os dois segmentos tˆem comprimento 1 e que o ponto B est´a fixado ao ponto m´edio de [CD]. Imobilizemos o pontoAna origem e fa¸camos D descrever a recta x = 1 (na medida do poss´ıvel). Enquanto D descreve um segmento dessa recta, C descreve um arco da curva alg´ebrica de equa¸c˜ao y4 +x2y2 − 34y2 + (34 −x)2 = 0. Uma m´aquina muito simples que permite transformar um segmento de recta numa curva bem complicada.
Opant´ografo´e uma m´aquina articulada muito simples, de resultados imedia- tos muito interessantes e de fabrico caseiro muito acess´ıvel. ´E constitu´ıdo por 4 hastes: uma de comprimento a, outra de comprimentob e duas do mesmo comprimento a+b. As duas hastes maiores, [CV] e [V P] (vd. figura), est˜ao ligadas pelo ponto V, claro! O ponto C est´a imobilizado no plano. U e W s˜ao pontos das hastes maiores, `a distˆancia a deC e V, respectivamente;
s˜ao os pontos de liga¸c˜ao das duas hastes mais pequenas, as quais partilham, entre si, o pontoQ, como mostra a figura. Repare que a haste [CV]n˜ao est´a
articulada em U; trata-se de uma barrar´ıgida de comprimento a+b, i.e., os pontos C, U e V s˜ao obrigatoriamente colineares; U apenas funciona como articula¸c˜ao de [UQ]. Os mesmos coment´arios se aplicam a V, W e P, que s˜ao obrigatoriamente colineares.
E ´obvio que o quadril´atero [UV W Q] ´e um paralelogramo. Um racioc´ınio´ simples mostra que os pontos O, P eQ s˜ao colineares e que
CP = (1 +b/a)·CQ.
Portanto, o pant´ografo ´e uma m´aquina de homotetia: se P descreve uma figura X, o ponto Q descreve uma miniatura de X. Para mudarmos a raz˜ao de homotetia, basta alterar o quociente b/a.
A constru¸c˜ao de um pant´ografo n˜ao levanta problemas t´ecnicos s´erios. Basta construir 4 r´eguas iguais (em madeira, por exemplo), com dimens˜oes (em mm) de cerca de 500×20×5. Cada r´egua ´e perfurada, com furos igualmente espa¸cados (de 20 em 20 mm, digamos, cerca de 20 e poucos furos por cada r´egua). Estes furos permitem variar as posi¸c˜oes de U e W e, consequen- temente, seleccionar a raz˜ao de homotetia pretendida. Os furos devem ser feitos com precis˜ao, para que o modelo real se aproxime do ideal matem´atico.
Depois, montam-se as r´eguas de acordo com a figura, imobiliza-seCcom uma cavilha (numa base de madeira, por exemplo, para n˜ao estragar a mesa de trabalho), usam-se cavilhas (palitos cil´ındricos iguais, de diˆametro igual ao dos furos) para as articula¸c˜oes U, V, W e colocam-se l´apis ou cavilhas em P e Q.
O estudo matem´atico destas m´aquinas articuladas foi muito popular durante o s´eculo XIX. James Watt (1736- 1819), famoso pela inven¸c˜ao da m´aquina a vapor, criou v´arios dispositivos destes para coordena¸c˜ao dos movimentos rotativos e de vaiv´em pr´oprios das locomotivas. Eis a descri¸c˜ao matem´atica de uma m´aquina por ele inventada.
Um problema importante proposto por Watt foi o da transforma¸c˜ao do mo- vimento circular num movimento rectil´ıneo perfeito, por meio de um instru- mento de bra¸cos articulados. Tal problema viria a ser resolvido em 1864 por Charles Peucellier. Vamos descrever a sua inven¸c˜ao.
O inversor de Peucellier [ver figura] consta de 6 hastes articuladas entre si. Duas delas, [CK] e [CL], tˆem ambas comprimento a e, como a nota¸c˜ao indica, o pontoC´e-lhes comum; este ponto est´a rigidamente fixado no plano.
As outras quatro hastes tˆem comprimento b, com b < a, e ligam-se entre si de modo a constituir o losango [KP LQ] da figura. Nestas condi¸c˜oes, os pontos C, P, Q s˜ao colineares. ´E muito f´acil provar que CP CQ = a2−b2, i.e., em qualquer posi¸c˜ao que o sistema articulado se coloque (sem ruptura das articula¸c˜oes, claro) o ponto Q ´e sempre o inverso de P relativamente ao c´ırculo de centro C e raio √
a2−b2. Portanto
Se for¸carmos Q a descrever uma circunferˆencia que passe por C, o ponto P descrever´a um segmento de recta.
Isto resolve o problema de Watt acima referido. Note que o tal movimento circular de Q pode gerar-se acrescentando mais uma haste ao sistema: es- colha um ponto X do plano e considere uma haste [XY] de comprimento igual a [XC]; fixe-a ao plano em X; o ponto Y pode, para j´a, mover-se livremente sobre a circunferˆencia S de centro X e raio [XC]. Desloca-se a m´aquina inversora e a nova haste, de modo a fazer coincidir Q com Y e “colam-se”estes dois pontos. Desloque a nova m´aquina, sem ruptura das articula¸c˜oes; Q apenas pode mover-se sobre S e, entretanto, P ter´a uma traject´oria rectil´ınea.
Em 1876, A. Kempe provou que todo o segmento de toda a curva alg´ebrica, pode ser gerado por uma m´aquina articulada adequada.
