Ficha de trabalho nº 17

1ª Parte 1. Seja 2

1

0

( )

3

1

0

kx

e

se

x

g x

x

se

x





_



 



_



. O valor de k para o qual é possível aplicar o teorema de

Bolzano à função g, no intervalo



1,1



é:

(A) 1 (B) 3 2 (C) 1 2 (D) 2 3

2. Na figura ao lado, está representada graficamente uma função f , de domínio ℝ0+.

Quanto à existência de assíntotas do gráfico da função 1

f , pode-se afirmar que:

(A) são as retas de equações y 3 , x0e x2

(B) são as retas de equações 1 1

2 3

x e y (C) não existem

(D) são as retas de equações 1 , 0 2 3

y x e x

3. Considere a figura onde se encontra a representação gráfica da função f e da sua única assíntota de equação y 1. O valor de ( ) x f x lim x  é: (A) 1 (B) 0 (C)



(D)



Ficha de trabalho nº 17

Continuidade, teorema de Bolzano e assíntotas

12ºano – Matemática A

4. Para um certo valor de k, a função f , definida por 2 2

(

2)

0

( )

_ln(3

₁₎

0

x

k

x

e

se

x

f x

_x

se

x

x



  







 







é contínua em ℝ. Qual é o valor de k?

(A) 11

3

 (B) 0 (C) 1 (D)

3

5. Considere f uma função, de domínio



0, 



, contínua. Sabe-se que:



O gráfico de f tem uma única assíntota.



lim ( ) 0

x

f x x

 

Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função f e, a tracejado, a sua assíntota?

6. Seja f uma função de domínio ℝ−. Sabe-se que:



lim ( ) 2 6 x f x x x   



O gráfico de f tem uma única assíntota.

Qual das condições seguintes pode representar a equação dessa assíntota?

(A) y x 3 (B) y2x (C) y  2x 1 (D) y4x

7. De uma função h, de domínio ℝ−, sabe-se que a reta de equação y2 é assíntota do seu gráfico. Qual é o valor de lim ( )_x

x

h x e

 ?

2ª Parte

8. Considere a função f definida por:

 











































2

3

ln

0

2

2

2

x

se

k

x

x

x

x

se

x

x

x

f

Nota: resolva as alíneas seguintes por processos exclusivamente analíticos.

8.1)

Determine k de modo que f seja contínua em

x



2

.

Apresente o resultado com uma casa decimal. Na resolução das alíneas seguintes utilize

k



3

.

8.2) Estude a função f quanto à existência de assíntotas no intervalo



, 2 \ 0



 

. 8.3) Comente a afirmação “A reta de equação y  x 3 é uma assíntota do gráfico de f

, no intervalo



2, 



”.

9. Considere a função h, real de variável real, definida por

h x

( )

 

3

x

x

2. Mostre que:

9.1) o gráfico de h interseta o eixo das abcissas num ponto de abcissa pertencente ao intervalo



1, 0



;

9.2) a equação h x( )3 tem pelo menos uma solução pertencente ao intervalo

 

1, 2 .

10. Estude a continuidade da função , real de variável real, definida por:

3 3 2 1 1 1 ( ) 1 4 2 1 1 3 3 x se x x f x se x x x se x x  _{ }   _   _      _  _ 

11. Considere a função de domínio ℝ, definida por: ( ) 1 2 1 3

x

f x   e . Utilize métodos exclusivamente analíticos para estudar f quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados.

12. Considere as funções f e g definidas por: 2 2 ( ) x_x 2 ( ) log ( ) 3 f x x e g x x x e    

12.1) Mostre que a reta de equação y2x é assíntota do gráfico de f . 12.2) Determine as equações das assíntotas do gráfico de g.

12.3) Mostre que a equação g x( )



é possível no intervalo 1 , 3 2

 

 

 .

13. Determine k de modo que a reta de equação y3x1 seja assíntota do gráfico da função

3 2 2 3 1 ( ) 3 1 kx x x f x x      .

14. Considere uma função f de domínio ℝ+, positiva em todo o seu domínio, sendo o eixo

Ox

uma assíntota do seu gráfico. Mostre, analiticamente, que o gráfico de 1

f não tem assíntota horizontal.

15. De uma função g, contínua em ℝ, sabe-se que:  1 é zero de g.

 g(3)0

Prove que a equação ( ) (3) 2

g

g x  tem, pelo menos, uma solução no intervalo

 

1,3 . 16. Considere as funções 2 2

1

( )

3

2 ln( )

( )

4(

1)

x

e

f x

x

x

e g x

x



_









.

16.1) Estude g quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados.

16.2) Comente a afirmação “A função f é contínua, portanto o seu gráfico não tem assíntotas verticais” 16.3) Determine 1 ( 1) 3 lim x f x x    .

16.4) Determine a área do triângulo



OPQ



, sendo

O

a origem do referencial, P o ponto de interseção dos gráficos das funções f e g e Q o ponto do eixo Oy de ordenada igual à do ponto P.

17. No dia 27 de Janeiro, o João deu entrada no hospital com dores nas costas. Às 14h foi-lhe administrado o analgésico “Anti-dor”. Admita que a concentração deste medicamento, em miligramas por litro de sangue,

t

horas após ter sido administrado, é dada por:

2 0,3

( )

2

t

,

0

C t



t



e



t



.

17.1) Qual a concentração do medicamento às 15 horas do mesmo dia? Apresente o resultado com uma casa decimal.

17.2) Mostre que houve um instante entre as 16 horas e as 17 horas, desse dia, em que a concentração do medicamento no sangue foi 5mg l/ .

17.3) Calcule

lim

( )

t

C t

e interprete o valor obtido no contexto do problema.

SOLUÇÕES

1 2 3 4 5 6 7

B D B C A D D

8.1) 3,4 8.2) Tem duas assíntotas, de equações x0 e y x 8.3) Falsa 10.) 𝑓 é contínua em ℝ\{1}.

Apesar de ser descontínua em

x



1

é, no entanto, contínua à direita em 𝑥 = 1. 11.) Não admite assíntotas verticais e possui uma assíntota horizontal de equação

3 1  y 12.2)

x



0

13.)

k



9

16.2) Falsa 16.3) 1 16.4) 10,3 (u.a.)

17.1) 1,5mg /l 17.3) 0 . Com o passar do tempo, a concentração do medicamento no sangue tende a desaparecer.