O oscilador harmônico simples quântico
Prof. Dr. Vicente Pereira de Barros
Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de São Paulo - Campus Itapetininga
Introdução
Introdução
Na aula de hoje discutiremos a quantização do Oscilador Harmônico simples que é um importante sistema na Física clássica e também apresenta várias aplicações práticas. Na verdade a primeira suposição de Planck para explicar a catástrofe do ultravioleta da radiação de corpo negro foi usando um conjunto de osciladores harmônicos.
Classicamente podemos imaginar d2x dt2 = − k mx = −ω 2 0x (1)
Pensando em termos da representação de Hamilton, a hamiltoniana deste sistema, H,
seria dada por:
H = p 2 2m+m ω02x2 2 (2) 2 / 18
Figura:Ilustração de um oscilador harmônico simples
Usando os métodos matemáticos mais básicos de equações diferenciais podemos
en-contrar uma equação que descreva a posição da partículam, x(t) em função do tempo na
equação (1). O resultado é:
x(t) = Acos(ω0t) + Bsin(ω0t) (3)
Onde:A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais
Na equação (3) temos a descrição clássica da partícula de massa m. A figura a seguir
Introdução
Figura:Ilustração do relacionamento da posição do objeto com a solução clássica.
O parâmetro ω0é a frequencia angular fundamental do sistema e é dada por:
ω0=
r k
m (4)
A equação (2) mostra o hamiltoniano do sistema e através desta representação podemos encontrar a mesma solução (3) usando o método de determinação de trajetórias. Vale a
pena ressaltar que o potencial associado ao oscilador harmônicoV(x) é dado por:
V(x) = mω
2 0x2
2 (5)
Agora podemos finalmente usar a equação de Schrödinger para obtermos o análogo quântico do oscilador harmônico. Para tanto usaremos, a princípio, a equação de
Schrödinger independente do tempo, ou seja, estudaremos os estados estacionários. Para simplificar ainda mais usaremos a equação Schrödinger unidimensional.
−~
2
2m
d2ψ(x)
dx2 +V(x)ψ(x) = Eψ(x) (6)
Então podemos rearranjar a equação para: d2ψ(x)
dx2 +
2m
~2(E − V(x))ψ = 0 (7)
Para facilitar ainda mais o procedimento iremos criar algumas constantes para não car-regarmos tantos termos na equação.
O oscilador harmônico quântico
Para tanto vamos introduzir os seguintes parâmetros:
λ = 2m
~2E (8)
conhecida como o parâmetro de energia. e
α = mω0
~ (9)
Assim temos a seguinte equação. d2ψ(x)
dx2 + (λ − α
2x2)ψ(x) = 0 (10)
Equação acima é relativamente simples, no entanto, precisaremos de um tratamento matemático mais sofisticado.
A função ψ(x) que procuramos deve atender as 5 condições que discutimos em sala para que a mesma seja solução da equação de Schrödinger.
Então, ψ(x) deve ser contínua e finita em todo o espaço. Um procedimento eficaz para encontrar este tipo de solução é a determinação da forma de ψ(x) para valores grandes,
Ou seja, procuramos o comportamento assintótico da função. E simultâneamente intro-duzimos um fator na forma de série de potências, do comportamento de ψ(x) para |x| pequeno.
Este procedimento é conhecido como o método polinomial, para quem irá tratar o sem-inário sobre o método de Frobenius eu recomendo atenção redobrada a partir deste mo-mento, pois o método de Frobenius é uma generalização do método polinomial.
Para |x| muito grande.
d2ψ(x)
dx2 ≈ α
2x2ψ(x) (11)
É “fácil” ver que uma solução plausível para a equação acima é
ψ(x) = e∓α2x2 (12)
O oscilador harmônico quântico
Agora precisamos associar esta solução para a região do espaço compreendida entre −∞ < x < ∞. Baseado na solução assintótica, pela introdução no fator de série de
potências emx e a determinação de seus coeficientes na equação de onda.
ψ(x) = e−α2x2f (x) (13) Assim, dψ dx =e −α 2x2−αxf + df dx (14) e d2ψ dx2 =e −α2x2 α2x2f − αf − 2αxdf dx + d2f dx2 (15) Substituindo este resultado na equação (10) e dividindo por ψ(x) temos que:
d2f
dx2 − 2αx
df
dx + (λ − α)f = 0 (16)
Iremos agora introduzir uma variável nova, ξ, relacionada ax para que deixemos a equação (16) adimensional.
ξ =√αx (17)
e substituindof (x) por H(ξ) e dividindo por α temos:
d2H dξ2 − 2ξ dH dξ + λ α− 1H = 0 (18)
Agora representandoH(ξ) em séries de potencias, tais que:
H(ξ) =X
ν
aνξν (19)
Substituindo na equação (18) temos: X ν ν(ν −1)aνξν−2− 2 X ν νaνξν+ λ α − 1) X ν aνξν =0 (20)
O oscilador harmônico quântico
Fazendo ν → ν +2 na primeira somatória e reagrupando os termos,
X ν (ν +1)(ν + 2)aν+2+ λ α − 1 − 2νaν ξν =0 (21)
devemos então ter que todos os termos em colchetes devem ser nulos
aν+2 = −
λ
α− 2ν − 1
(ν +1)(ν + 2)aν (22)
Esta expressão é uma fórmula de recorrência. Ela permite determinar os coeficientes a2,
a3,a4,... sucessivamente em termos dea0ea1, que são arbitrários.
Para valores arbitrários do parâmetro de energia λ a sérieH(ξ) consiste em um número
infinito de termos e não atenderia a condição de ser solução da equação de Schrödinger,
pois os valores da série aumentaria rapidamente com o aumento dex impossibilitando a
normalização.
Para nos livrarmos deste problema usaremos um artifício de comparar H(ξ) com outra
função,eξ2 para verificarmos quais as condições impostas aos coeficientes da expressão
(22) para queH(ξ) seja uma função de onda, isto é, satisfaça a equação de Schrödinger.
Sabemos que: eξ2 =1 + ξ2+ξ 4 2! + ξ6 3! + ... + ξν (ν2)!+ ξν+2 (ν2 +1)! (23)
para grandes valores de ξ os primeiros termos desta série nãos são importantes. Definindo
bν como sendo os termos que acompanham as potencias de ξ, sendoc a razão entre os
coeficientes do ν-ésimo termo da expansãoH(ξ) e a da expansão (3), chegamos em:
c = aν bν
(24) Para grandes valores de ν temos a seguinte expressão assintótica
aν+2= 2 νaν (25) bν+2= 2 νbν (26)
O oscilador harmônico quântico assim para ν grande,
aν+2
bν+2
= aν bν
(27)
Devemos escolher valores do parâmetro energia para os quais a série H(ξ) seja
trun-cada para um número finito de termos. Isto faz com quem a função de onda satisfaça as
condições de contorno, pois o fator da exponencial negativo , e−ξ2, tende a
aproximada-mente zero para grandes valores de |ξ|. Portanto o valor de λ que trunca a série é então, pela equação (22), aν+2 = − λ α− 2ν − 1 (ν +1)(ν + 2)aν =0 (28) Fazendo ν =n teremos λ α =2n + 1 ⇒ λ = (2n + 1)α (29)
Temos novamente uma quantização, um agrupamento de valores discretos como ocorreu para os poços de potencial finito e infinito.
A condição para a existência da n−ésima função de onda é:λ = 2mE ~2 ; α = mω0 ~ e λ = (2n + 1)α. Torna-se E = En= (n + 1 2)~ω0 (30)
Para cada valorEnde energia, uma solução de satisfaz à equação de onda
d2ψ(x) dt2 + 2m ~2(E − mω 2 0x2)ψ =0 (31)
pode ser obtida pelo uso das fórmulas recursivas discutidas acima.
O oscilador harmônico quântico
Finalmente, as soluções da equação de onda podem ser escritas da seguinte forma ψ(x) = Ane−
mω0x2
2~ Hn(ξ) (32)
onde: An são constantes de normalização e Hn(ξ)são polinômios de ordem n
denomi-nado polinômios de Hermite, estes polinômios são bem conhecidos em virtude de que a equação diferencial geradora dos mesmos ser muito importante na Física Matemática e é dada por: G(ξ, t) = e−t2+2tξ = ∞ X n=0 Hn(ξ) n! t n (33)
A seguir temos alguns poucos polinômios de hermite.
Figura: Os primeiros polinômios de Hermite
O estado fundamental do oscilador hamônico é dado por: ψ0(x) = A0e−
mω0x2
2~ (34)
O oscilador harmônico quântico ψ1(x) = 2A1 r mω0 ~ xe −mω0x2 2 (35) e ψ2(x) = A2(4 mω0 ~ x 2− 2)e−mω0x2 2 (36)
Os gráficos são dados por:
Figura: função de onda do estado fundamental (esquerda) e primeiro estado excitado.
Podemos sintetizar um pouco do que vimos até o momento em alguns pontos, a saber: O oscilador harmônico simples para ser quantizado necessidade apenas a inserção do potencial do oscilador harmônico clássico na equação de Schrödinger
independente do tempo.
A resolução do oscilador harmônico simples em uma dimensão necessita de um ferramental matemático bem trabalhoso, apesar de simples.
O uso do método polinomial nos leva aos polinômios de hermite para descrever as funções de onda do oscilador harmônico.
A evolução temporal das funções de onda do oscilador harmônico simples usam o mesmo princípio geral ψn(x, t) = e−i(En~)tψn(x).
A principal aplicação do oscilador harmoônico ocorre que as moléculas, ao vibrar, se comportam como osciladores harmônicos. Medindo a frequencia das vibrações é possível determinar constantes de força, a energia de ligações químicas e outras propriedades.
conclusões
Referências bibliográficas
NUSSENVEIG, H. H. “Um curso de Física Básica” vol.4 Edgard Blücher:São Paulo, 1998. SAKURAI, J. J. “Modern quantum mechanics” Addison-Wesley: New York, 1995.
