Capítulo 5
Funções
5.1
Introdução
DeÞnição: Dados dois conjuntos A e B e uma relação f de A em B, dizemos que f é uma função ou aplicação se, e somente se, para todo elemento x de A existe, em correspondência, um único elemento y de B tal que o par (x,y)
pertença a relação f. Uma função geralmente é dada por uma expressão que
estabelece a correspondência entre os conjuntos A e B.
Qualquer função possui sempre os seguintes três elementos básicos: a) Um conjunto de "saída"chamado Domínio
b) Um conjunto de "chegada"chamado Contradomíno
c)) Uma lei ou regra que permite associar os elementos do Domínio com o s elementos do contradomínio
Notação: Se é o domíno, ! o contradomínio e " é uma função de em !, denotamos
" : ! # "(#)
Domínio: O Domínio da função é o conjunto dos pontos para os quais
faz sentido a aplicação da regra de correspondência entre os conjuntos A e B. Nesse estudo inicial de funções usaremos sempre como domínio um subconjunto ! R e o contradomínio será sempre ! = R$ Notação: O domínio de uma funação " será denotado por %&'(" )
GráÞco: O gráÞco de uma função é um subconjunto do produto cartesiano R × R$ DeÞnimos o gráÞco de uma função, denotado por Graf(f), o seguinte conjunto *+," (" ) = {(#( )) " R × R Á ) = "(#)} $ O gráÞco de uma função " pode ser visualizado geometricamente usando-se o sistema cartesiano ortogonal onde podem ser vistos o conjunto de pontos da forma (#( " (#))
Função Crescente e Decrescente: Uma função é chamada de função
crescente se #1 - #2 # "(#1) $ "(#2)$ Uma função é chamada de função
decrescente se #1- #2# " (#1) % "(#2)$
Exemplo: Considere a função " cuja regra é dada por " (#) = &# ' 1$ Neste caso a expressão&# ' 1 só tem sentido para # % 1( portando o domínio da função, denotado por %(" )( é %(" ) = {# " RÁ# % 1} $ Logo podemos escrever
" : [1( +() R # "(#) =&# ' 1 Como # % 1 # "(#) =&# ' 1 % 0 # Im(") = R+.
Como #1 - #2 # #1' 1 - #2' 1 =#' 1 - ' 1 (Note que isto
vale porque #1' 1 % 0 e #2' 1 % 0) portanto "(#1) - " (#2)$
Logo " é uma função crescente. GráÞco de "(#) =&# ' 1 5 4 3 2 1 0 3 2 1 0 x y x y
5.2
Sistema Cartesiano Ortogonal
Na conceituação de abcissa de um ponto, baseamo-nos na correspondência bi-unívoca entre os pontos de um eixo e os números reais. Analogamente, o conceito de sistema cartesiano surgiu para estabelecer-se uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais
5.3
Função AÞm
Função aÞm: Sejam , e . números reais, sendo , não nulo. Uma função aÞm é uma função " : R R que a cada # " R associa "(#) = ,# + .$ O gráÞco de uma função aÞm é uma reta. O número , representa o coeÞciente angular
da reta e o número . representa o coeÞciente linear. Se , / 0 a função aÞm é
crecente e se , - 0 a função aÞm é decrescente Exemplo : " (#) = 4# + 5
Função linear: Sejam , um número real, sendo , não nulo. Uma função
linear é uma função " : R R que para cada # " R associa "(#) = ,#$ Este é um caso particular da função aÞm, neste caso o coeÞciente linear é zero, ou seja, o gráÞco da função linear sempre passa pela origem
Função constante: Sejam , um número real, sendo , não nulo. Uma função linear é uma função " : R R que para cada # " R associa "(#) = .$ Neste caso o coeÞciente angular é zero, ou seja, o gráÞco da função constate é sempre paralelo ao eixo # e cruza o eixo ) no ponto (0( .)$
5.4
Função Modular
Função Modular: DeÞnimos função modular a " : R R deÞnida por "(#) = |#|
Da deÞnição de módulo a função modular pode ser escrita como "(#) =
½
#( # % 0 '#( # - 0
Observe que a função modular só assume valores positivos, ou seja, " (#) = |#| % 0( para todo # " R$
GráÞco: )= |#|
5.5
Função quadrática
Função quadrática: Sejam ,,. e 0 números reais, sendo , não nulo. Uma função quadrática é uma função " : R R que para cada # " R associa "(#) = ,#2+ .# + 0$ O gráÞco de uma função quadrática é uma parábola.
Concavidade: No gráÞco da párabola "(#) = ,#2+ .# + 0 :
i) Se , / 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e ii) Se , - 0 a concavidade é voltada para baixo.
Zeros: Os valores de # para os quais temos " (#) = 0 são chamados os
zeros da função quadrática. Os zeros são as abcissas dos pontos onde o gráÞco da parábola intercepta o eixo dos #$ Para encontrarmos os zeros da função
quadrática devemos resolver a equação ,#2+ .# + 0 = 0$ Uma das formas mais
comuns de resolver essa equação é usando a famosa fórmula de Baskara:
#= '. ±
&
.2' 4,0
2,
Fazendo = .2
' 4,0( é chamado de discriminante, podemos escrever a fórmula de Baskara da seguinte forma:
#= '. ±
& 2,
Se / 0 os zeros são reais e ddistintos. Se - 0 a equação não possui zeros reais e se = 0 a equação possui zeros reais e iguais
Vértices da parábola: As coordenadas dos vértices da parábola são dados por
# = ' .
GráÞcos: Portanto Dependendo do valor de e do sinal de , temos os seguintes casos:
5.6
Função Raiz n-ésima de x
DeÞnimos função raiz n-ésima de # a função " : %&'"(") R deÞnida por "(#) = &#= #1$
Se 1 é um número par então %&'(" ) = [0( +() e Im(") = [0( +() Se 1 é um número impar então %&'(" ) = R e Im(" ) = R
Exemplos
Função raiz quadrada de # ( "(#) =&# 5 4 3 2 1 0 3 2 1 0 x y x y
Função raiz quarta de # "(#) =&4# 5 4 3 2 1 0 3 2 1 0 x y x y
Função raiz cúbica de # "(#) =&3 # 4 2 0 -2 -4 2 0 -2 x y x y
Função raiz quinta de # "(#) =&5# 4 2 0 -2 -4 3 2 1 0 -1 -2 -3 x y x y
5.7
Função Exponencial
Função Exponencial: Dado um número real , / 0( , 6= 1( deÞnimos função
exponencial de base , à função " : R R deÞnida por "(#) = ,!
$ Se , / 1 a função " (#) = ,!
é uma função crescente, ou seja, #1- #2se e
somente se " (#1) - " (#2)$ Isto quer dizer que se #1 - #2 então ,!1 - ,!2$Se
, - 1 a função " (#) = ,!
é uma função decrescente, ou seja, #1 - #2 se e
somente se " (#1) / " (#2)$ Isto quer dizer que se #1- #2então ,!1 / ,!2$
Observe que:
a) O domínio da função exponencial é R
b) A função exponencial só assume valores positivos, isto é, " (#) = ,!
/0
para todo # " R
c) O gráÞco da função exponencial sempre passa pelo ponto (0( 1)$ GráÞcos: Dependendo do valor de , temos as seguintes situações
Um caso particular da função exponencial e que é muito usado em aplicações práticas é a função exponencial de base 2 = 2$ 718 3$$ deÞnida por "(#) = 2!
$ O gráÞco de ) = 2!
5.8
Função Logarítmica
Logarítmo: Dado , / 0, , 6= 1( e um número real positivo . denominamos de
logarítmo de . na base , ao expoente que se deve elevar à base , de modo que o resultado obtido seja igual a .$ Matematicamente escrevemos
log".= # )# , !
= . Propriedades dos logarítmos:
a) log"1 = 0 b) log",= 1 c) log", # = ' d) log".= log"0 )# . = 0 e) ,log!$= .
f) log"(.$0) = log".+ log"0
g) log" $ % = log". ' log"0 h) log". # = '$ log". i) log".= log"$ log""
Função Logarítmica: Dado um número real ,( , / 0 e , 6= 1( deÞnimos
função logarítmica à função " : R+ R deÞnida por (!) = log !"
Se # $ 1 a função (!) = log ! é uma função crescente, ou seja, !1% !2se e
somente se (!1) % (!2)" Isto quer dizer que se !1% !2então log !1% log !2"
Se 0 % # % 1 a função (!) = log ! é uma função decrescente, ou seja,
!1 % !2 se e somente se (!1) $ (!2)" Isto quer dizer que se !1 % !2 então
log !1$ log !2"
Observe que:
a) O domínio da função logarítmica é R+
b) A função logarítmica assume todos os valores reais
c) O gráÞco da função logarítmica sempre passa pelo ponto (1& 0)" GráÞcos: Dependendo do valor de # temos as seguintes situações:
O gráÞco de ( = ln ! tem a seguinte forma:
O gráÞco de ( = log ! tem a seguinte forma:
5.9
Tipos importantes de funções
Função par: Se (!) = (!), para todo ! ! )*+( ) então dizemos que a
função f é uma função par. (note que o gráÞco é uma curva simétrica pelo eixo y).
Exemplos: (!) = !2 é uma função par pois ("!) = ("!)2= !2= (!)
,(!) = cos(!) é uma função par, já que ("!) = cos("!) = cos ! = (!)
Função ímpar: Se ("!) = (!), para todo ! ! )*+( ) então dizemos
que a função f é uma
função ímpar. (note que o gráÞco é uma curva simétrica pela origem). Exemplos: (!) = !3 é uma função impar pois ("!) = ("!)3 = "!3 =
" (!)"
Função injetora: Se para quaisquer !1e !2no domínio de f, !16= !2=#
(!1) 6= (!2), então
dizemos que f é uma função injetora.
Exemplos: (!) = !3é uma função injetora já que !
1 6= !2 # !31 6= !32 #
(!1) 6= (!2)
(!) = !2não é injetora pois tomando !
1= 3 e !2= "3 temos
!16= !2mas (!1) = 9 e (!2) = 9 # (!1) = (!2)
Geometricamente, para uma função : R R& se qualquer reta paralela ao eixo dos ! cortar o gráÞco de ´em apenas um ponto a função é uma função injetora.
Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contra-domínio.
Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora.
Função composta: Sejam , : - . e : Im(,) /. A função $ , :
- / dada por
( $ ,) (!) = (,(!)) é a função composta da função com a função ," Exemplos: ,(!) = !"3 e (!) = |!| então ( $ ,) (!) = (,(!)) = (!"3) = |! " 3|
0(!) = '"
e 1(!) = sin ! então (1 $ 0) (!) = 1(0(!)) = 1('") =
sin('")
Observação: Note que em geral ( $ ,) (!) 6= (, $ ) (!)"No exemplo acima (, $ ) (!) = ,( (!)) = ,(|!|) = |!| " 3
# (, $ ) (!) = |!| " 3 6= |! " 3| = ( $ ,) (!)
Função inversa: Seja ( = (!) uma função onde : - .. Se, para
cada ( ! .& existir exatamente um valor de ! ! - tal que ( = (!)& então podemos deÞnir uma função , : . - tal que ! = ,(()" A função , deÞnida desta maneira é chamada função inversa de e denotada por !1"
Observação :a) Pela deÞnição podemos concluir que para existir a função inversa a função deve ser bijetora.
b) Se a função possui uma inversa !1 então
¡
$ !1¢(() = ( e ¡ !1$ ¢(!) = !
2 1.5 1 0.5 0 2 1.5 1 0.5 0 x y x y
5.10
Construção de GráÞcos
Se 3 é um número real positivo então:
O gráÞco de (!+3) é o gráÞco de (!) deslocado c unidades para a esquerda. O gráÞco de (!"3) é o gráÞco de (!) deslocado c unidades para a direita.· O gráÞco de (!) + 3 é o gráÞco de (!) deslocado c unidades para cima. O gráÞco de (!) " 3 é o gráÞco de (!) deslocado c unidades para baixo. O gráÞco de | (!)| é igual ao gráÞco de (!) se ! é positivo e é o gráÞco de (!) reßetido através do eixo 2! se ! é negativo
5.11
Exercícios Resolvidos
1) Encontre os zeros da seguintes funções: a) (!) = 2!2" 3! " 5 b) (!) = "3!2+ 2! c) (!) = (7! " 1)(2! " 3) 2) Resolver as inequações: a) !2" 4! + 3 $ 0 b) 3!2 " 4! % 0 c) "2!2+ 7! " 3 ' 0 d) !2+ ! + 1 $ 0 e) "2!2+ 5! " 4 ( 0
3) Resolver as inequações exponenciais a) 4"$ 1
4
b)¡12¢2"%¡12¢3"!1 c) 3"2
$ 3"
4) Resolver as inequações logaritmicas a) log3(!2" ! + 3) $ 2 b) 0 % log2(2! " 1) ' 1 c) log1 2(! + 2) + log 1 2(! " 3) $ 2
5) Determinar o domínio da função deÞnida por ( =&3"+2" 3!"
5.12
Exercícios de Fixação
1) Sendo (!) = 3! " 1 a) Calcular (0)
b) Calcular ("1 3)
c) Para que valor de !& temos (!) = 0"
d) Sendo (!) = #! + 4 uma função aÞm e sendo 5 e 6 números reais e distintos, calcular (5)& (6) e mostrar que #($)!#(%)$!% = #
2) Resolver as inequações a) (2! " 3)(! " 1) $ 0 b) (! " 2)(3! + 1) % 0 c) !2 ( 5 d) !2+ 1 % 2!2" 3 ' "5! e) 0 % !2+ ! + 1 % 1 f) 4 % !2" 12 ' 4! g) 2! + 1 ' !2% 2! + 3 h) "1 ' !2 " 3 ' 1 i)¡!2+ 4! + 3¢(2! + 5) % 0 j)¯¯2!2+ 3! + 3¯¯ ' 3 k) !3 " !2" ! " 2 $ 0
3) Resolver as inequações quocientes a) "2+"!6
2"2
b) "2("!2)4 !2"!15 ' 0 c) !6"2!"+2 6"2 !5"+1 $ 0 d) " "!1" 2 "+1 ' 0 e) "!1 "!2 % "!3"!4 f) 2 2"+3 ( 2 "!5 g) "!2 3"+5 ' 4 h) "+1 2"!3 $ 2 i) "+1 2!" % " 3+"
4) Resolver as equações exponenciais a) 2"!3+ 2"!1+ 2"= 52
b)³&3
2"+4´"!2= 1
5) Resolver as inequações exponenciais a)¡&3¢2"+4$¡&3¢3"
b) 5"2
!8"!20% 1
c) (0& 3)4"2
!2"!2( (0& 3)2"!3
6) Resolver as inequações logarítmicas a) log2(! " 2) " log1 2(! " 3) % 1 =# 7 = {! ! RÁ3 % ! % 4} b) log1 2(! 2"3 2) ( 1 =# 7 = n ! ! RÁ "&2 ' ! % "q3 2 ou q 3 2 % ! % & 2o c) !(log ")+1$ #2! para 0 % # % 1"
d) Dar o domínio da função (!) =plog(!2" 2!)
7) Se uma bola é atirada para cima com uma velocidade inicial de 32 +89& então, após : segundos, a distância 9 acima do ponto de partida, em metros, é dada por 9 = 32: " 16:2" Em que instante a bola estará no ponto mais alto e
qual será esta altura? (Faça um esboço do gráÞco da equação).
8) A energia potencial elástica ; armazenada numa mola esticada é dada
pela expressão ; = 1
2<!
2onde < é a constante elástica da mola e ! é o quanto
a mola está alongada
Para uma constante elástica igual a 10 unidades
i) Qual o número que exprime o valor de sua energia potencial ; , para um alongamento de 2 unidades
ii) De quanto está esticada a mola quando sua energia potencial é de 80 unidades.
9) Desenhar o gráÞco das seguintes funções i) (!) = |!|
ii) (!) =&!
d) ( = ln |!|
11) Resolva cada equação em ! a) ln ! = "1
b) ln(2! " 1) = 3 c) '3"!4= 2
d) ' "= /'&"& onde / é uma constante e # 6= 4
ln(ln !) = 1
12) Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas, então o número de bactérias após : horas é = = (:) = 100"2!3 :
a) Encontre a função inversa de e explique seu signiÞcado. b) Quando a população atingirá 50.000 bactérias?
13) Após acionado o Flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do ßash, o qual armazena uma carga elétrica dada por >(:) = >0(1 " '!
!
) (A capacidade máxima de carga é >
0, e : é medido em
segundos.)
a) Encontre a função inversa de > e explique seu signiÞcado.
b) Quanto tempo levará para o capacitor recarregar 90% da capacidade se # = 2?
14) Se (!) = ln ! e ,(!) = !2
" 9& encontre as funções $ ,& , $ & $ & , $ , 15) Expresse a função ? (!) = & 1
"+"" como uma composta de três funções.
16) Faça o gráÞco da função ( ="1
17) A função de Heaviside @ é deÞnida por @(:) = ½
0 se ! " 0
1 se ! 0 # Essa
função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantanea-mente ligada:
a) Faça o gráÞco da função de heaviside b) Faça um esboço da função rampa $ = !%(!)
