3- Axiomas de Medição

O próximo passo é aprender a medir o comprimento de um segmento. Para este fim emprega-se diversos instrumentos de medição, dos quais a régua graduada é um dos mais conhecidos. Aprendemos com a experiência que para medir o comprimento de um segmento AB com uma régua graduada, basta colocar a régua graduada sobre o segmento AB; verificar a quais números correspondem o ponto A e o ponto B e então o módulo da diferença será o comprimento do segmento AB: Aprendemos também que se um ponto C está entre A e B, então o comprimento de AB é a soma dos comprimentos dos segmentos AC e CB.

Axiomas de Medição de Segmentos

Axioma de medição 1: A todo par de pontos A e B corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se e somente se A=B.

O número real acima é chamado distância entre A e B.

Definição: o comprimento de um segmento de reta 𝐴𝐵 é dado pela distância de seus extremos. Vamos denotar o comprimento de 𝐴𝐵 por

𝐴𝐵=𝑑(𝐴, 𝐵).

Está implícito no enunciado do axioma, a escolha de uma unidade de medida que será fixada em nossa geometria.

Axioma da régua

Axioma de medição 2: Os pontos de uma reta podem ser sempre colocados em correspondência biunívoca com os números reais, de modo que o módulo da diferença entre estes números meça a distância entre os pontos correspondentes.

Vamos pensar o conjunto de numeros reais arrumados sobre uma linha reta

Pelo axioma da régua, por exemplo, na reta abaixo, 𝑃 está associado ao 0, 𝑅 ao 1,𝑇 a 𝑥₂ e 𝑄 a 𝑥₁.

Seja 𝑙 uma reta. O que este axioma nos diz é que existe então uma função 𝑓: 𝑙 → 𝑅, talque:

1.

2.

3.

O sistema de coordenadas de uma reta não é único. De fato temos o seguinte resultado:

Proposição. Se 𝑓: 𝑙 → 𝑅 é um sistema de coordenadas para a reta l, então:

1. 𝑔: 𝑙 → 𝑅 dada por 𝑔(𝑃) = 𝑓(𝑃) + 𝑐, para todo 𝑃 pertencente a 𝑙 também é um sistema de coordenadas para 𝑙, onde 𝑐 é um número real. 2. ℎ: 𝑙 → 𝑅 dada por ℎ 𝑃 = −𝑓(𝑃), para todo 𝑃

pertencente a 𝑙 também é um sistema de coordenadas para 𝑙.

Teorema. Seja 𝑙 uma reta, e sejam 𝑃 e 𝑄 quaisquer dois pontos de 𝑙. Então, 𝑙 possui um sistema de coordenadas, no qual o coordenada de 𝑃 é 0 e a coordenada 𝑄 é positiva.

PROVA. Seja 𝑓 um sistema qualquer de coordenadas para 𝑙. Seja 𝑎 = 𝑓 (𝑃), e para cada ponto 𝑇 de 𝑙 , seja 𝑔 (𝑇) = 𝑓 (𝑇) − 𝑎 . Logo, 𝑔 é um sistema de coordenadas para 𝑙, e 𝑔 (𝑃) = 0 . Se 𝑔 (𝑄) > 0 , então 𝑔 é a sistema que estávamos procurando. Se 𝑔 (𝑄) < 0, seja ℎ (𝑇) = −𝑔 (𝑇) para cada 𝑇 ∈ 𝑙 . Então ℎ satisfaz as condições do teorema.

Coordenadas de cada reta.

Fixada uma correspondência, o número que corresponde a um ponto da reta é denominado coordenada daquele ponto. Portanto, se 𝑎 e 𝑏 são as coordenadas dos pontos 𝐴 e 𝐵 , respectivamente, então o comprimento do segmento 𝐴𝐵, denotado por 𝐴𝐵é igual a

Axioma de medição 3: Se 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵; então 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 .

É importante observar aqui que o axioma não diz que se 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 então 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵. O que você acha? É verdadeira essa afirmação?

O Axioma de Medição 2 diz apenas que existe uma bijeção entre os pontos de uma reta e os números reais, porém não fixa nenhuma restrição para a bijeção. O Axioma de Medição 3, garante que a bijeção não será arbitrária, ela tem que satisfazer a uma certa ordem. É isto que diz a próxima proposição.

Proposição. Se em uma semirreta 𝑆_𝐴𝐵 considerarmos um segmento 𝐴𝐶 com 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵, então 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵.

Demonstração. Sabemos que, pelo Axioma de Ordem 2, só pode ocorrer uma das seguintes possibilidades:

𝐵 ∗ 𝐴 ∗ 𝐶 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶

Vamos mostrar que não pode ocorrer a primeira nem a segunda possibilidade.

Como 𝐴 é a origem da semirreta 𝑆_𝐴𝐵; então não é verdade que 𝐵 ∗ 𝐴 ∗ 𝐶 , caso contrário teríamos 𝐶 não pertenceria a esta semirreta. Se 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, então, pelo Axioma de Medição 3 teríamos 𝐴𝐵+𝐵𝐶= 𝐴𝐶, implicando que 𝐴𝐵 <𝐴𝐶, que é uma contradição com a hipótese 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵. Logo, só pode ocorrer 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵.

Teorema. Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 pontos distintos de

uma reta cujas coordenadas são,

respectivamente, 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Então 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵 se e somente se o número 𝑐 está entre 𝑎 e 𝑏.

Definição. O ponto médio 𝐶 de um segmento 𝐴𝐵 é um ponto deste segmento tal que 𝐴𝐶=𝐶𝐵.

Teorema. Um segmento tem exatamente um ponto médio.

Definição: Sejam 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 dois segmentos. Se 𝐴𝐵=𝐶𝐷, dizemos que 𝐴𝐵 é congruente a 𝐶𝐷 e denotamos por 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷.

Observação: Uma relação ~ definida em um conjunto A, chama-se uma relação de equivalência, se as seguintes condições se verificam:

(1) Reflexividade. 𝑎~𝑎.

(2) Simetria. Se 𝑎~𝑏, então 𝑏~𝑎.

Proposição: Para segmentos, a congruência é uma relação de equivalência. Ou seja, cada segmento é congruente a si mesmo, se 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷 , então 𝐶𝐷 ≅ 𝐴𝐵 ; se 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷 e 𝐶𝐷 ≅ 𝐸𝐹, então 𝐴𝐵 ≅ 𝐸𝐹.

Demonstração: Como as congruencia de segmentos se verifica com a igualdade de seus comprimentos, esta proposição segue diretamente da propriedade da igualdede entre números.

Proposição: Dado um segmento 𝐴𝐵 e uma semirreta 𝑆_𝐶𝐷, existe exatamente um ponto 𝐸 em 𝑆_𝐶𝐷 tal que 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐸.

Demonstração: Pelo teorema de colocação da régua, seja f um sistema de coordenadas para a reta 𝐶𝐷 , de tal forma que 𝑓 (𝐶) = 0 e 𝑓 (𝐷) > 𝑂.

Na figura, indicamos que o número de 𝐶𝐷 é a coordenada do ponto 𝐷, e isso é correto, porque 𝑓 (𝐷) > 𝑂. Se 𝐸 é um ponto de 𝑆_𝐶𝐷, temos que 𝐶𝐸 ≅ 𝐴𝐵 se e somente se 𝑓 (𝐸) = 𝐴𝐵 como na figura. Assim 𝐶𝐸 ≅ 𝐴𝐵 se e somente se 𝐸 = 𝑓−1 (𝐴𝐵). Existe exatamente um tal ponto 𝑓−1 (𝐴𝐵), e, portanto, é exatamente o ponto 𝐸.

A próxima proposição nos diz que, se os segmentos congruentes são colocados com pontos extremos comuns, os segmentos resultantes são congruentes.

Proposição: (adição de segmentos) Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐴´, 𝐵´, 𝐶´ pontos tais que

(1) 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, (2) A′∗B ‘∗C′ ,

(3) 𝐴𝐵 ≅ 𝐴′ 𝐵 ′ e (4) 𝐵𝐶 ≅ 𝐵′𝐶′. Então

𝐴𝐶 ≅ 𝐴′𝐶′ . A recíproca também é verdadeira:

Proposição: (subtração de segmentos) Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐴´, 𝐵´, 𝐶´ pontos tais que (1) 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, (2) A′∗B ‘∗C′ ,

(3) 𝐴𝐵 ≅ 𝐴′ 𝐵 ′ e (4)𝐴𝐶 ≅ 𝐴′𝐶′ . Então

𝐵𝐶 ≅ 𝐵′𝐶′

Um pouco mais sobre a separação de

planos...

Proposição: Dada uma reta, e uma semirreta, que tem o seu ponto de extremidade na reta mas que não é semirreta da reta dada. Então todos os pontos da semirreta, exceto para o ponto final, estão no mesmo lado da reta.

PROVA. Seja 𝐿 a linha e seja 𝑆_𝐴𝐵 ser o raio, com 𝐴 ∈ 𝐿. Suponhamos que contém um ponto 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 tal que 𝐵 e 𝐶 estão em lados opostos de 𝐿 . Então 𝐵𝐶 cruza 𝐿 em algum momento, e este ponto deve ser 𝐴, porque 𝐵𝐶 está contido em 𝑆_𝐴𝐵 e 𝑆_𝐴𝐵 intersecta 𝐿 apenas em 𝐴 . Portanto 𝐶 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 . Mas isto é impossível. Portanto, todos pontos da semirreta, diferente de 𝐴, estão no mesmo lado do 𝐿, ou seja, o lado que contém 𝐵.

Da mesma forma vale para os segmentos:

Proposição. Seja 𝐿 uma reta, seja 𝐴 um ponto de 𝐿, e seja 𝐵 um ponto que não está em 𝐿. Então, todos os pontos de 𝐴𝐵 − {𝐴} estão do mesmo lado de 𝐿.

Prova: Como 𝐴𝐵 − {𝐴} está contido em 𝑆_𝐴𝐵, o resultado segue da proposição anterior.

Definição: Um ângulo é a figura formada pela união de duas semirretas com origem comum. A origem comum é chamado de vértice do ângulo e as duas semirretas são chamadas laterais ou lados do ângulo.

Proposição: Cada lado de um triângulo encontra-se, com exceção de seus pontos finais, no interior do ângulo oposto a este lado.

Proposição: Se 𝐹 está no interior de 𝐵𝐴𝐶,

Proposição: Seja 𝐴𝐵𝐶 um triângulo, e sejam 𝐹, 𝐷, 𝐺 pontos de tal modo que 𝐵 ∗ 𝐹 ∗ 𝐶, 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐷, e 𝐴 ∗ 𝐹 ∗ 𝐺. Então 𝐺 está no interior de  _{𝐵𝐶𝐷.}

Na figura abaixo, 𝐷 é está no interior de 𝐵𝐴𝐶. É intuitivamente claro que 𝐴𝐷 deve cruzar 𝐵𝐶, como a figura sugere. Mas não é óbvio que isto pode ser provado com base nos postulados que já incluimos na teoria até agora, e, de fato, a prova é difícil. Vamos precisar de alguns resultados preliminares.

Proposição: (Teorema do Z) Seja 𝐿 uma reta e sejam 𝐴 e 𝐹 dois (diferentes) pontos de 𝐿. Se 𝐵 e 𝐺 são pontos sobre os lados opostos de 𝐿,

Proposição. Em ∆𝐹𝐵𝐺, seja 𝐴 um ponto entre 𝐹 e 𝐶, seja D um ponto tal que 𝐷 e 𝐵 estão no mesmo lado da 𝐹𝐺. Então 𝑆_𝐴𝐷 cruza ou 𝐹𝐵 ou 𝐵𝐺.

Teorema. (Teorema da barra atravessada ou crossbar) Se 𝐷 for no interior de ∆𝐵𝐴𝐶, então 𝑆_𝐴𝐷 intercepta 𝐵𝐶, em um ponto entre 𝐵 e 𝐶.