Cálculo de risco de crédito, uma aplicação utilizando o modelo CreditRisk+

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Beatriz Jardim Pina Rodrigues

C´

alculo de Risco de Cr´

edito, uma aplica¸

c˜

ao

utilizando o modelo CreditRisk+

Niter´oi - RJ, Brasil 11 de Fevereiro de 2019

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Universidade Federal Fluminense

Beatriz Jardim Pina Rodrigues

C´

alculo de Risco de Cr´

edito, uma

aplica¸

c˜

ao utilizando o modelo

CreditRisk+

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientador: Prof. Marco Aur´elio Sanfins

Niter´oi - RJ, Brasil 11 de Fevereiro de 2019

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Universidade Federal Fluminense

Beatriz Jardim Pina Rodrigues

C´

alculo de Risco de Cr´

edito, uma aplica¸

c˜

ao

utilizando o modelo CreditRisk+

Monografia de Projeto Final de Gradua¸cão sob o t´ıtulo “Cálculo de Risco de Crédito, uma aplica¸cão utilizando o mo-delo CreditRisk+”, defendida por Beatriz Jardim Pina Rodri-gues e aprovada em 11 de Fevereiro de 2019, na cidade de Niterói, no Estado do Rio de Janeiro, pela banca examinadora constitu´ıda pelos professores:

Prof. Dr. Marco Aur´elio Sanfins Departamento de Estat´ıstica – UFF

Prof. Dr. Valentin Sisko Departamento de Estat´ıstica – UFF

Profa. Dr. Daiane Rodrigues dos Santos Departamento de Economia – Candido Mendes

(4)

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Resumo

Devido a crescente instabilidade econômica que se propaga pelo mundo, como acon-teceu em 2008 a “Grande Recessão“ e atualmente a tensão EUA X China, as institui¸cões estão demandando metodologias robustas e mais poderosas de modelagem de risco de crédito a fim de garantir sua saúde financeira.

O modelo estat´ıstico do CreditRisk+ foi desenvolvido pela Crédit Suisse Financial Pro-ducts (CSFP) e é muito difundido no mercado de seguros pois não é necessário assumir premissas. Isso ocorre, pois o modelo é baseado no risco de default [1], ou seja, risco de inadimplência. O objetivo principal é chegar a mensura¸cão de perdas esperadas e não esperadas em uma carteira de crédito. O CreditRisk+ acredita que os pagamentos dos empréstimos são levados ao vencimento, ou seja, o pagamento ou o default é obser-vado apenas na data do vencimento [2]. O modelo considera apenas dois eventos para o devedor: inadimplente ou não. Para mensurar os eventos de default o modelo sugere agru-pamento dos devedores em faixas de exposi¸cão de tal forma que a distribui¸cão de perda pode ser aproximada de uma Poisson(µ) [3]. No modelo básico, as taxas de default são fixas. Para retratar a realidade, foi proposta uma nova modelagem [1] onde as incertezas, volatilidades, das taxas de default são incorporadas, trata-se de um modelo que assume uma distribui¸cão Gama associada a essas incertezas. A partir da distribui¸cão obtida é poss´ıvel calcular o VaR (Value-at-Risk) de crédito assim como a distribui¸cão de perda e algumas estimativas pontuais como a perda esperada em um per´ıodo de tempo e o capital econômico alocado. O presente trabalho realiza uma aplica¸cão do modelo CreditRisk+ usando o software R em uma carteira de crédito. Além disso, foram observados resultados satisfatórios com diversos n´ıveis de confian¸ca.

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Agradecimentos

Agrade¸co a conclusão deste trabalho a todos meus professores que durante a gradua¸cão puderam, mesmo que da mais breve forma, me passar os conhecimentos necessários para a obten¸cão do t´ıtulo de bacharel.

Em especial, agrade¸co o professor orientador Marco Aur´elio Sanfins por ter acompanhado a minha trajet´oria na faculdade desde o segundo per´ıodo e por todo conhecimento e opor-tunidades que compartilhou comigo ao longo desse tempo.

Agrade¸co ao professor Valentin Sisko pelo grande ensinamento em programa¸c˜ao.

Para finalizar agrade¸co a todos os meus colegas de curso e amigos pessoais que me apoi-aram nesses anos.

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Sum´

ario

Lista de Figuras Lista de Tabelas 1 Introdu¸c˜ao p. 10 2 Objetivos p. 13 3 Materiais e M´etodos p. 14

3.1 Revisão dos Modelos de Risco de Crédito . . . p. 14 3.1.1 CreditMetrics . . . p. 14 3.1.2 KMV . . . p. 15 3.2 CreditRisk+ . . . p. 16 3.2.1 Introdu¸cão ao Modelo . . . p. 16 3.2.2 Analisando os Eventos de Default . . . p. 16 3.2.3 CreditRisk+ com taxas de default fixas . . . p. 18 3.2.4 Incerteza sobre as taxas de Default . . . p. 20 3.2.5 Eventos de default com taxas variáveis . . . p. 21 3.2.5.1 Propriedades da Distribui¸cão Gama . . . p. 22 3.2.5.2 Concluindo a Análise Setorial . . . p. 22 3.2.5.3 Cálculo da FGP . . . p. 23 3.2.5.4 Rela¸cão geral de Recorrência . . . p. 24 3.2.6 Convergência do Caso de taxas variáveis para taxas fixas . . . . p. 25

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3.2.7 Generalizando a An´alise Setorial . . . p. 27

4 An´alise dos Resultados p. 29

4.1 Dados e estrutura . . . p. 29 4.2 Aplica¸cão . . . p. 30 4.3 Aplica¸cão com Stress . . . p. 34 4.4 Compara¸cão dos resultados . . . p. 37

5 Conclus˜ao p. 39

(9)

Lista de Figuras

1 Cálculo de Risco de Crédito para o portfólio em Janeiro de 2010 . . . . p. 30 2 Gráficos do risco de crédito por mês . . . p. 32 3 Resultados consolidados . . . p. 33 4 Cálculo de Risco de Crédito para o portfolio em Janeiro de 2010 . . . . p. 33 5 Gráficos dos resultados por nivel de confian¸ca . . . p. 34 6 Gráfico dos resultados com stress . . . p. 35 7 Cálculo de Risco de Crédito considerando stress para o portfolio em

Ja-neiro de 2010 . . . p. 36 8 Compara¸cão entre a perda esperada com e sem stress . . . p. 37 9 Compara¸cão entre o VaR com e sem stress . . . p. 38 10 Compara¸cão entre o ES com e sem stress . . . p. 38 11 Capital Economico Alocado . . . p. 40

(10)

Lista de Tabelas

1 Tabela de Rating . . . p. 30 2 Tabela dos resultados sem stress . . . p. 31 3 Tabela dos resultados com stress . . . p. 35

(11)

10

1 Introdu¸

c˜

ao

Mercado ´e um local onde um indiv´ıduo interessado em vender um bem ou servi¸co, encontra outro indiv´ıduo com o desejo de comprar esse mesmo bem ou servi¸co. O bem ou servi¸co no Mercado Financeiro ´e dinheiro.

De acordo com Alencar (2014), os bancos e as demais institui¸cões financeiras têm um papel importante na economia como o agente intermediador entre os poupadores e os tomadores de empréstimos. O tomador é aquele que precisa de mais capital ou recurso do que possui e o poupador é aquele que possui mais capital ou recurso do que necessita. Segundo Giolo (2009), o lucro do banco está no juros aplicado no crédito concedido ao tomador. Então, para receber o lucro esperado devem ser realizadas a¸cões bancárias, e nessas a¸cões existem riscos que podem acarretar em desequil´ıbrios patrimoniais e até em um colapso da entidade.

A literatura segrega o risco em cinco tipos de riscos financeiros em uma institui¸cão [4]: o risco de mercado, risco de liquidez, risco operacional, risco legal e risco de crédito e todos se não analisados e mensurados podem implicar em grandes perdas financeiras.

• Risco de Mercado é definido como o comportamento do pre¸co do ativo devido a mu-dan¸cas nos pre¸cos ou parâmetros de mercado. Esse risco é influenciado pelo cenário econômico-politico global. Um exemplo de risco de mercado foi o impeachment de Dilma Rousseff, tiveram varia¸cões nas cota¸cões de a¸cões das principais empresas de capital aberto brasileiras e o câmbio chegou a 4,00 reais.

• Risco de liquidez é relacionado a incapacidade de liquidar determinado ativo em tempo razoável ao pre¸co prevalecente de mercado. Isso se da pelo interesse dos investidores em tal ativo, por exemplo, as a¸cões de uma multinacional têm compra e venda mais rápidas do que de uma microempresa nacional.

• Risco operacional, de acordo com Soares (2009), é relacionado a processos inade-quados ou falhas humanas. É necessário o mapeamento de todos os processos para

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1 Introdu¸c˜ao 11

identificar os pontos mais vulneráveis nas opera¸cões. Um exemplo de Risco Opera-cional é falhas de softwares.

• Risco legal está associado a perdas decorrentes de multas, penalidades ou inde-niza¸cões por não cumprimento correto da legisla¸cão.

• Risco de Crédito é a possibilidade de perdas causadas pelo não pagamento de valores contratados pela contraparte, ou seja, o devedor não cumpre com suas respectivas obriga¸cões financeiras.

O Risco de Crédito está diretamente associado a concessão de crédito, que se trata da principal fun¸cão de uma institui¸cão financeira. ASSAF NETO e SILVA [5] definem crédito como sendo uma troca de bens presentes por bens futuros. Assim, pode-se definir uma opera¸cão de crédito como aquela na qual se troca um valor atual pela promessa de pagamento futuro.

Inadimplência, ou como chamam no mercado ‘Default’, é quando a contraparte não realiza o pagamento futuro na data acordada, ou seja, não cumpre com as obriga¸cões contratuais [6].

Opera¸cões de crédito envolvem um valor de inadimplência esperado. O risco de crédito, segundo Frota (2015), é o cálculo da inadimplência não esperada decorrente do erro na estimativa da Probabilidade de Default. As institui¸cões financeiras e não financeiras de-vem, além de acompanhar a recupera¸cão do crédito concedido, se atentar a consolidar bases confiáveis de informa¸cões sobre os clientes.

O Novo Acordo da Capital de Basiléia [7] definiu que o valor do VaR (Value at Risk), ou seja, do risco de crédito deve ser aprovisionado como garantia até finaliza¸cão do processo. Este acordo tem como finalidade evitar falências de institui¸cões financeiras. Como uma institui¸cão se sustenta de emprestar crédito, o cálculo do VaR deve ser com precisão para não ter crédito aprovisionado desnecessariamente. Sendo assim, é imprescind´ıvel uma boa analise de risco de crédito.

O CreditRisk+ é um modelo apresentado pela Credit Suisse Financial Products (CSFP) [1], o objeto desse modelo é encontrar as perdas esperadas da carteira e as perdas não esperadas para fins de aloca¸cão de capital. Existem outros modelos que falaremos breve-mente durante esse trabalho, entretanto, o CreditRisk+ é o foco dessa monografia. No próximo cap´ıtulo será apresentado o objetivo do trabalho. O terceiro cap´ıtulo será uma breve passagem pelos métodos de cálculo do Risco de Crédito mais famosos e, então, será apresentado o modelo CreditRisk+ e alguns conceitos necessários para a aplica¸cão do método. No quarto cap´ıtulo serão apresentados os resultados do cálculo do Risco de

(13)

1 Introdu¸c˜ao 12

Crédito em uma carteira de crédito. Por fim, o último cap´ıtulo apresenta conclusões e considera¸cões finais sobre a aplica¸cão do cálculo de Risco de Crédito utilizando o modelo CreditRisk+.

(14)

13

2 Objetivos

O objetivo principal deste trabalho é quantificar o risco envolvido em opera¸cões de concessão de crédito fazendo aplica¸cões no software R do modelo CreditRisk+ em um portfolio. Serão feitas aplica¸cões mês a mês de uma financeira de uma industria de asfalto. Além disso, o trabalho procura ilustrar a influência do n´ıvel de confian¸ca escolhido e a utiliza¸cão do método de stress nas categorias, ou seja, diminuir 2 categorias de cada individuo do portfólio a fim de considerar o pior cenário.

(15)

14

3 Materiais e M´

etodos

3.1 Revis˜

ao dos Modelos de Risco de Cr´

edito

3.1.1 CreditMetrics

O CreditMetrics é um método que se baseia na avalia¸cão de risco de uma carteira de crédito devida a mudan¸ca na classifica¸cão de crédito dos devedores. Foi criado pelo JP Morgan em 1997 [8] e faz-se necessário ter dados dispon´ıveis sobre a classifica¸cão de crédito do devedor para calcular o valor de mercado do empréstimo e sua volatilidade. Segundo Clark (2013), o metódo CreditMetrics pode ser resumido em 3 macro etapas:

• Etapa 1 - Estimar o valor de exposi¸c˜ao de cada devedor no portfolio.

O intuito nesta etapa é analisar a classifica¸cão de crédito do devedor conjuntamente com a probabilidade do seu rating ser mudado para minimizar o risco de crédito. Esta etapa é fundamental para um bom cálculo de risco de crédito e um ponto de aten¸cão é observar se os dados são viesados.

• Etapa 2 - Calcular a volatilidade do valor em exposi¸cão devido a migra¸cão da clas-sifica¸cão dos devedores.

Para efetuar os cálculos desta segunda etapa são necessários, as probabilidades de que as classifica¸cões de crédito(rating) do devedor mudem com o tempo e os spreads. Este rating do devedor pode sofrer upgrades e downgrades [4] .

Com essas informa¸c˜oes calcula-se a volatilidade das estimativas do valor de mercado, ou seja, pode-se calcular o VaR (Value at Risk) de um devedor de uma carteira de cr´edito.

• Etapa 3 - Calcular a correla¸cão entre os ratings dos devedores e o cálculo do risco da carteira. O cálculo das correla¸cões entre os ratings é feito através das informa¸cões de agências classificadoras [9]. Se o portfolio é consideravelmente grande será ne-cessário auxilio do computador para realizar os cálculos. Com as estimativas de

(16)

3.1 Revis˜ao dos Modelos de Risco de Cr´edito 15

correla¸cões é poss´ıvel realizar simula¸cões da probabilidade de migra¸cão do devedor e seus pagamentos, assim temos a fun¸cão de distribui¸cão de perda do portfólio. [4]

3.1.2 KMV

O modelo KMV foi desenvolvido pela KMV Corporation com base no modelo de Merton (1974) [10] e utiliza a precifica¸cão de op¸cões. Diferente do CreditMetrics o modelo KMV não utiliza dados de agências de classifica¸cão para o cálculo das probabilidades de default [9]. A base para a estima¸cão do default do modelo KMV é o valor de mercado dos ativos. O processo do modelo pode ser divido em três etapas.

• Etapa 1 - Estimativa do valor de mercado e volatilidade dos ativos da empresa. As variáveis do modelo são: valor dos ativos, distribui¸cão futura dos ativos, volatilidade dos ativos e ponto de Default. O modelo KMV assume que os valores de ativos seguem distribui¸cão log-normal. Se os ativos estão menor que o ponto de default a empresa entra em inadimplência.

• Etapa 2 - Calculando a distância a inadimplência Para garantir a precisão na ava-lia¸cão dos valores dos ativos, a KMV realiza o cálculo da distância a inadimplência antes da apura¸cão das probabilidades de default. A distância de default é calculada pela fórmula abaixo:

D = ln( V (a)

d ) + (µ − 0.5tσ 2₎

σ√t (3.1)

Sendo V (a) o valor de mercado dos ativos, d o ponto de default estimado na etapa anterior, µ o retorno esperado dos ativos, também calculado na etapa anterior e σ a volatilidade do retorno dos ativos obtido, também, na etapa anterior. Está distancia do default representa o número de desvios-padrões entre a média da distribui¸cão de pre¸cos dos ativos e o ponto de default.

• Etapa 3 - Calculando as probabilidades de default. Na etapa final, o modelo KMV realiza um estudo para segmentar as empresas que possuem a mesma distancia ao default e observa quantas ficaram inadimplentes no intervalo de tempo avaliado. Estabelecida a estimativa do modelo, é constru´ıda matrizes para observar o rating de cada devedor e avaliar a probabilidade de um devedor trocar de rating no intervalo de tempo determinado. O modelo calcula o VaR de crédito da carteira com essas estimativas. Os fluxos de caixa são descontados pelas probabilidades neutras ao

(17)

3.2 CreditRisk+ 16

risco, obtida pela f´ormula de cada devedor que ´e dada abaixo:

Vp =

(Vs(1 − LGD) + Vf(LGD)(1 − q))

(1 + i) (3.2)

Sendo Vf o fluxo de caixa, LGD a perda dada a inadimplência, q a probabilidade de inadimplência e i a taxa livre de risco. A fun¸cão de perda é obtida pela aproxima¸cão da distribui¸cão de uma Log Normal, e então irá retornar o valor em risco de crédito [9].

3.2 CreditRisk+

3.2.1 Introdu¸

c˜

ao ao Modelo

O modelo foi desenvolvido pela Credit Suisse Financial Products (CSFP) [1] e é muito difundido no mercado gra¸cas à sua simplicidade, já que não considera premissas sobre o motivo do default, não sendo poss´ıvel determinar o momento exato da Inadimplência. O CreditRisk+ considera que o pagamento ou o default é observado apenas na data do vencimento. Logo, apenas dois eventos são poss´ıveis para cada devedor: Inadimplente ou não. Para medir os eventos de default o modelo sugere agrupamento dos devedores em faixas de exposi¸cão. Além disso, deve-se saber ou calcular o valor do Loss Given Default (LGD) que é o valor do emprestimo que se perde no momento da inadimplência. O modelo existe sob duas formas:

• Taxas de Default fixas • Taxas de Default Vari´aveis

3.2.2 Analisando os Eventos de Default

Seja N a variável aleatória definida como total de Default na carteira. Para analisar a distribui¸cão de perdas de toda a carteira com n devedores, introduzimos a Fun¸cão Geradora de Probabilidades (FGP) [11] em termos de uma variável auxiliar z, dada por:

FN(z) = ∞ X

n=0

p(N = n)zn (3.3)

(18)

3.2 CreditRisk+ 17

X1 = (

0, se acontece Default 1, se n˜ao acontece Default

Ent˜ao, Xi ≈ B(pi), sendo pi a probabilidade de Default do devedor i. P (X1 = 1) = Px1

P (X1 = 0) = 1 - Px1

A FGP de cada devedor, pode ser escrita como:

Fx1(z) = 1 − Px1 + Px1z = 1 + (z − 1)Px1 (3.4)

Como as taxas de Default s˜ao constantes, os eventos s˜ao independentes, logo: FN(z) = n Y i=1 Fxi(z) = n Y i=1 1 + (z − 1)Pxi (3.5)

Tomando o log da ultima equa¸c˜ao, temos: ln(FN(z)) = ln( n Y i=1 Fxi(z)) = n X i=1 ln(1 + (z − 1)Pxi) (3.6)

Vale lembrar que quando x ´e pequeno, pode-se escrever: ln(1+x) ≈ x. Demonstra¸c˜ao:

lim x→0ln(1 + x) = limx→0ln( 1 x + 1) = ln limx→0( 1 x + 1) = ln(e x_{) = x} _(3.7)

Logo, supondo Px1 pr´oximo a zero, temos:

ln(FN(z)) = n X i=1 (z − 1)Pxi → FN(z) = exp n X i=1 (z − 1)Pxi ! = eµ(z−1) (3.8)

No qual, µ =P Pxi conforme definido anteriomente.

A fun¸cão geradora de momentos (FGM) de uma variável aleatória que segue distri-bui¸cão P(µ) é: E(Zx) = inf X k=0 zke−µµk k! = e −µ inf X k=0 (zµ)k k! = e −µ ezµ = eµ(z−1) (3.9) Então, N ≈P(µ), ou seja,

p(N = n) = e −µ_µn

n! (3.10)

(19)

3.2 CreditRisk+ 18

possui distribui¸c˜ao de Poisson(µ)

3.2.3 CreditRisk+ com taxas de default fixas

O primeiro passo na obten¸cão da distribui¸cão de perdas, como supracitado, é agrupar as exposi¸cões da carteira em faixas. Para esse tipo do Modelo, usaremos as seguintes nota¸cões:

Referˆencia Nota¸c˜ao

Devedor Xi

Exposi¸c˜ao do devedor Xi Lxi

Probabilidade de default de Xi Pxi

Perda esperada de Xi λxi

Al´em disso, definiremos os seguintes valores auxiliares, para cada Xi, sendo L a ex-posi¸c˜ao total da Carteira.

vxi =

Lxi

L e εxi =

λxi

L

O passo principal ´e arredondar cada vxi para o inteiro mais pr´oximo e na maioria das

vezes múltiplo de 10 ou 100, reduzindo o número poss´ıvel de exposi¸cões entre os devedores [1]. Assim, o portfólio é dividido em m faixas de exposi¸cão, identificadas pelo ´ındice j. Com respeito a cada faixa, usaremos as seguintes nota¸cões:

Referˆencia Nota¸c˜ao

Exposi¸c˜ao comum na faixa j vj Perda esperada na faixa j εj N´umero esperado de defaults na faixa j µj

Com isso, temos que:

εj = vjµj ⇒ µj = εj vj = X xi∈F aixaj εxi vxi

Sendo µ o n´umero total esperado de defaults na carteira, podemos dizer: µ =

m X

j=1

µj (3.11)

Agora que já analisamos a distribui¸cão dos eventos de default, vamos prosseguir para o cálculo da distribui¸cão de Perdas. Seja G(z) a FGP das perdas, expressadas como um

(20)

3.2 CreditRisk+ 19

m´ultiplo da unidade de exposi¸c˜ao (nL).

G(z) = ∞ X

n=0

p(perdas = nL)zn (3.12)

Como as faixas do Portf´olio foram assumidas sendo independentes, segue que: G(z) =

m Y

j=1

Gj(z) (3.13)

Tratando cada faixa como um portfólio, o produto de nL pode ser interpretado como o número de ocorrências de default (n) multiplicado pela exposi¸cão da faixa (vj). Sendo assim, temos que:

Gj(z) = ∞ X n=0 p(n def aults)znvj ₌ ∞ X n=0 e−µµn n! z nvj _{= exp (−µ} j+ µjzvj) (3.14) Logo: G(z) = m Y j=1 exp(−µj+ µjzvj) = exp − m X j=1 µj+ m X j=1 µjzvj ! (3.15) Finalmente, vamos calcular a rela¸cão recursiva para a distribui¸cão de perdas. Dado um inteiro n, seja An a probabilidade de uma perda de nL. Pela expansão de G em série de Taylor, temos: p(perda = nL) = An= 1 n! dnG(z) dzn (0) (3.16)

Mas temos que:

G0(z) = d dz − m X j=1 µj+ m X j=1 µjzvj ! G(z) (3.17) O que nos d´a 1 n! dnG(z) dzn (0) = 1 n! dn−1K(z)G(z) dzn−1 (0), com K(z) = d dz( m X j=1 µjzvj) (3.18)

Usando a conhecida F´ormula de Leibniz para o c´alculo de derivadas, temos: 1 n! dn_G(z) dzn (0) = 1 n!( n−1 X k=0 n − 1 k dn−k−1_G(z) dzn−k−1 dk_K(z) dzk )(0) (3.19)

Mas, temos que:

dk_K(z) dzk (0) = dk+1 dzk+1( m X j=1 µjzvj)(0) (3.20)

(21)

3.2 CreditRisk+ 20

µj(k + 1)!. Por defini¸c˜ao, temos: dn−k−1G(z)

dzn−k−1 (0) = (n − k − 1)!An−k−1 (3.21)

Com isso, temos: An= X k≤n−1k=vj−1 1 n! n − 1 k (k + 1)!(n − k − 1)!An−k−1µj (3.22) = X j|vj≤n vjµj n An−vj = X j|vj≤n εj nAn−vj (3.23)

A f´ormula de recorrˆencia se completa quando vemos que:

A0 = G(0) = e−µ (3.24)

3.2.4 Incerteza sobre as taxas de Default

Dados históricos mostram que as taxas de default variam com o tempo. A variabili-dade dessas taxas pode ser associada à mudan¸ca de alguns fatores. O estado da economia ou até a mudan¸ca de um fator econômico pode afetar um grande número de devedores de uma maneira parecida. Para medir o efeito de altera¸cões em um dado fator sobre o portfólio, precisamos estabelecer a extensão da influência sobre o grupo de devedores. A divisão do Portfólio [1] em setores se dá quando agrupamos os devedores de acordo com fatores de influência comuns a eles. O modelo considera cada setor como um subconjunto do total de devedores, que é dirigido por um fator principal que será associado a incerteza sobre as taxas de default dos respectivos devedores. Quando fazemos a divisão em seto-res, passamos a pensar em cada setor como um Portfólio por si mesmo. Assim, faremos o agrupamento em faixas (dentro de cada setor), como fizemos no modelo com taxas fixas.

No qual definimos: v_jk= L k j L e ε k j = λk j L (3.25) Sendo 1 ≤ k ≤ n e 1 ≤ j ≤ m(k)

Podemos entender m(k) como o n´umero de faixas de setor k.

(22)

3.2 CreditRisk+ 21 justo dizer: µk= m(k) X j=1 εk j vk j (3.26)

3.2.5 Eventos de default com taxas vari´

aveis

Neste ponto o objetivo é encontrar a distribui¸cão dos eventos de default, para isso usaremos a Fun¸cão geradora de Probabilidades. Então, Definiremos a seguinte fam´ılia de variáveis aleatórias.

Yk= quantidade de defaults no setor k Isso deixa claro que o n´umero de defaults da carteira ser´a:

Y = n X

k=1

Yk (3.27)

Agora, faremos as contas. Da defini¸c˜ao de FGP, temos: F (z) =

∞ X

n=0

p(Y = n)zn (3.28)

Cada setor, por defini¸cão, é influenciado por fatores distintos e disjuntos. Sendo assim, é razoável supor independência entre os setores. Isso nos permite escrever:

F (z) = n Y

k=1

Fk(z) (3.29)

Com isso, focaremos na análise de um setor qualquer, que nos levará a encontrar o que queremos. Com base no resultado que temos no modelo de taxas fixas e na defini¸cão de Fk(z) temos:

Fk(z)|(Xk= x) = ex(z−1) (3.30)

Supondo que a densidade de Xk ´e fk, e usando o Teorema de Bayes, teremos: F (z) = ∞ X n=0 zn Z ∞ 0 p(Y = n|Xk = x)fk(xk)dxk (3.31)

Rearranjando a conta, temos:

F (z) = Z ∞ 0 [ ∞ X n=0 znp(Y = n|Xk = x)]fk(xk)dxk (3.32)

(23)

3.2 CreditRisk+ 22 Isso nos d´a: F (z) = Z ∞ 0 Fk(z)|(Xk= x)fk(xk)dxk (3.33) F (z) = Z ∞ 0 ex(z−1)fk(xk)dxk (3.34)

Para encontrarmos uma forma explicita para nossa FGP, precisaremos escolher, apro-priadamente, uma distribui¸cão para Xk que tenha média µk e variância σk. O modelo sugere que escolhamos a Gama.

3.2.5.1 Propriedades da Distribui¸c˜ao Gama Fun¸c˜ao densidade de Probabilidade:

f (x) = 1 βα_Γ(α)e

−x

β _xα−1 _(3.35)

M´edia e Variˆancia:

µ = αβ σ2 = αβ2 Fun¸c˜ao Gama: Γ(α) = Z +∞ 0 e−xxα−1 (3.36)

3.2.5.2 Concluindo a An´alise Setorial

Ent˜ao, olhando para cada setor k ao resolver o sistema, teremos: αk= µ2_k σ2 k βk = σ_k2 µk

Ent˜ao, substituindo a express˜ao da densidade da Gama na nossa conta, teremos: F (z) = Z ∞ 0 exk(z−1) 1 βαk k Γ(αk) e−xkβk _x_kαk−1_dx k (3.37) = 1 βαk k Γ(αk) Z ∞ 0 e−xk(_βk1 +1−z) xkαk−1dxk (3.38) Fazendo y = xk(_β1_k + 1 − z), teremos: = 1 βαk k Γ(αk) Z ∞ 0 e−y ₁ y βk + 1 − z !αk−1 dy 1 βk + 1 − z (3.39)

(24)

3.2 CreditRisk+ 23

Fazendo alguns ajustes nessa conta, obteremos: Fk(z) = 1 − p_k 1 − pkz αk (3.40) Onde, temos: pk= βk 1+βk 3.2.5.3 C´alculo da FGP

Agora que já analisamos a distribui¸cão dos eventos de default, vamos prosseguir para o cálculo da distribui¸cão de Perdas. Seja G(z) a FGP das perdas, expressadas como um múltiplo da exposi¸cão Base (nL). Temos que:

G(z) = ∞ X

n=0

p(perdas = nL)zn (3.41)

Como os setores em que dividimos o Portf´olio foram assumidos sendo independentes, segue que: G(z) = n Y k=1 Gk(z) (3.42)

Sendo Gj(z) a FGP das perdas no setor k.

Precisamos, ent˜ao, calcular a FGP de cada setor. Pelo Teorema de Bayes [12], temos:

Gk(z) = ∞ X n=0 zn Z +∞ 0 P (perda = nL|Xk = x)fk(xk)dxk (3.43) Porém, se o valor médio de defaults é conhecido, sabemos, do modelo com taxas fixas, que: ∞ X n=0 P (perda = nL|Xk = x)zn = exp(− m(k) X j=1 µk_j + m(k) X j=1 εk_j vk j zvjk) = e(xk(Rk(z)−1)) _(3.44)

Onde, temos que:

xk = m(k) X

j=1

µk_j (3.45)

E, para facilitar um pouco as contas, definiremos a seguinte fam´ılia de polinˆomios:

Rk(z) = 1 µk m(k) X j=1 εk j vk j zvkj _(3.46)

(25)

3.2 CreditRisk+ 24

Isso nos d´a que:

Gk(z) = Z +∞

0

exk(Rk(z)−1)_f

k(xk)dxk (3.47)

Note, então, que já fizemos uma conta parecida quando estávamos no caso anterior, mas, no lugar de Rk(z) havia só a variável z. Como a variável de integra¸cão é xk, temos que:

Gk(z) = Fk(Rk(z)) = 1 − pk 1 − pkRk(z) αk (3.48) Com isso, conclu´ımos que:

Gk(z) = n Y k=1 1 − pk 1 − pkRk(z) αk (3.49)

3.2.5.4 Rela¸cão geral de Recorrência Supondo a expansão em série de G, temos:

G(z) = ∞ X

n=0

Anzn (3.50)

Queremos encontrar esses coeficientes An. Ent˜ao, iremos supor G(z) tal que: d(log(G(z))) dz = G0(z) G(z) = A(z) B(z) (3.51)

Onde, pediremos que A e B sejam polinômios. Isso faz sentido já que o denominador da fra¸cão que representa G(z) é um polinômio. Tomaremos A e B da seguinte forma:

A(z) = a0+ a1z + . . . + arzr B(z) = b0+ b1z + . . . + bszs Assumindo isso, podemos escrever:

B(z)G0(z) = G(z)A(z) (3.52)

Derivando G, e substituindo os termos, teremos a seguinte igualdade: s X j=0 bjzj ! _∞ X n=0 (n + 1)An+1zn ! = r X i=0 aizi ! _∞ X n=0 Anzn ! (3.53)

Se efetuarmos os produtos em ambos os lados da equa¸cão, obteremos duas séries de potências em z. Então, como os coeficientes de zn _{devem ser iguais, nos dois lados,}

(26)

3.2 CreditRisk+ 25

qualquer que seja n, temos:

min(s,n) X j=0 bj(n − j + 1)An−j+1= min(r,n) X i=0 aiAn−i (3.54)

Abrindo a express˜ao, e organizando, teremos:

b0(n + 1)An+1+ min(s,n) X j=1 bj(n − j + 1)An−j+1 = min(r,n) X i=0 aiAn−i (3.55)

Isso nos d´a que:

An+1 = 1 b0(n + 1)   min(r,n) X i=0 aiAn−i− min(s,n) X j=1 bj(n − j + 1)An−j+1   (3.56)

A rela¸c˜ao de recorrˆencia se completa quanto notamos que:

A0 = G(0) = n Y

k=0

(1 − pk)αk (3.57)

3.2.6 Convergˆ

encia do Caso de taxas vari´

aveis para taxas fixas

Embora o CreditRisk+ seja projetado para incorporar os efeitos da variabilidade nas taxas médias de default, há circunstância em que o modelo se comporta como se os ´ındices de inadimplência fossem corrigidos [1]. O que vamos mostrar nessa se¸cão é que, quando o desvio padrão da taxa de inadimplência média para cada setor tende a zero, ocorre a convergência entre o modelo de taxas variáveis e o modelo de taxas fixas. Nossa discussão, então, consistirá em demonstrar que a fun¸cão geradora de probabilidades que encontramos no caso de taxas variáveis converge para a FGP encontrada no caso em que as taxas são fixas. Relembramos que a FGP encontrada no caso de taxas variáveis é:

G(z) = n Y k=1 Gk(z) = n Y k=1 1 − pk 1 − pkRk(z) αk (3.58) Onde: αk = µ2 k σ2 k , βk = σ2 k µk , pk= βk 1 + βk , µk= m(k) X j=1 µk_j , µk_j = ε k j vk j , Rk(z) = 1 µk m(k) X j=1 εk_j vk j zvjk

(27)

3.2 CreditRisk+ 26

podemos ver que lim βk→0

pk

βk = 1. Ou seja, operando um limite com βk → 0, podemos usa-lo

para aproximar pk. Com base nessas observa¸c˜oes, vemos que, na verdade, pra provar o resultado que desejamos, basta calcularmos lim

βk→0

Gk(z).

Teorema 3.2.1 Segundo o Credit Suisse Bank (1997), quando o desvio padrão da taxa de inadimplência média para cada setor tende a zero, a fun¸cão geradora de probabilidades das perdas no modelo com taxas de default variáveis converge para a do modelo de taxas fixas. Demonstra¸cão: lim βk→0 Gk(z) = lim βk→0 1 − pk 1 − pkRk(z) αk (3.59) . = lim βk→0 1 − pk 1 − pkRk(z) µk_βk = lim βk→0 1 − βk 1 − βkRk(z) µk_βk = lim βk→0 1 − βk 1 − βkRk(z) _βk1 !µk = lim βk→0 (1 − βk) 1 βk µk × lim βk→0 (1 − βkRk(z)) 1 βk −µk .

Note que Rk(z) n˜ao depende de βk. Usando o limite fundamental exponencial, temos que:

lim βk→0

Gk(z) = e−µk × e(−Rk(z))(−µk) = e−µk× eµkRk(z) (3.60) Isso nos permite concluir que:

G(z) → n Y k=1 e−µk _{× e}µkRk(z) _{= exp}  − n X k=1 m(k) X j=1 εk_j vk j + n X k=1 m(k) X j=1 εk_j vk j zvkj   (3.61)

Como as faixas são dadas pela mesma unidade base de exposi¸cão, independentemente do setor, a equa¸cão (3.61) vai nos permitir agrupar os devedores de setores diferentes,

(28)

3.2 CreditRisk+ 27

pertencentes a uma mesma faixa. Sendo assim, o somatório em k desaparece. Nossa expressão, então, se resumirá a:

G(z) = exp − m X j=1 εj vj + m X j=1 εj vj zvj ! (3.62)

Essa expressão é exatamente a que encontramos para a FGP das perdas no caso de taxas fixas. Notar isso, conclui nossa demonstra¸cão.

3.2.7 Generalizando a An´

alise Setorial

Até aqui, nossa análise supôs que os devedores eram afetados por apenas um fator principal, que determinava os setores em que dividir´ıamos nosso portfólio. Faremos agora, uma análise um pouco mais geral, que considera um devedor sendo afetado por mais de um fator. Para isso, vamos olhar para a conta que nos levou a encontrar a FGP.

G(z) = n Y j=1 Z +∞ 0 exk(Rk(z)−1)_f k(xk)dxk (3.63)

Se olharmos a equa¸c˜ao (3.63) como uma integral m´ultipla teremos:

G(z) = Z +∞ x1=0 Z +∞ x2=0 . . . Z +∞ xn=0 exp n X k=1 xk(Rk(z) − 1) ! _n Y k=1 fk(xk)dxk (3.64)

Podemos redefinir Rk(z) como soma nos devedores do setor k: Rk(z) = 1 µk X xi∈k εxi vxi zvxi _(3.65)

Com essa informa¸c˜ao, podemos escrever: n X k=1 xk(Rk(z) − 1) = n X k=1 X xi∈k xk µk εxi vxi (zvxi _{− 1) =} X xi,k δxik xk µk εxi vxi (zvxi _{− 1)} _(3.66)

Sendo δAk dada por:

δxik =

(

0 se xi ∈ k/ 1 se xi ∈ k

Para generalizar o conceito de setor, trocaremos a fun¸c˜ao δ por um n´umero θxik que

represente o quanto fator principal do setor k afeta o devedor xi. Pediremos apenas que n

X

k=1

(29)

3.2 CreditRisk+ 28

em que temos θxik = δxik. Com isso, nesse caso mais geral, ficamos com:

n X k=1 xk(Rk(z) − 1) = X xi,k θxik xk µk εxi vxi (zvxi _{− 1)} _(3.67)

Se redefinirmos o valor esperado das perdas no setor k como sendo µk= X xi θxik εxi vxi . Com isso, nosso Rk(z) ser´a reescrito da seguinte forma: Rk(z) = _µ1_k

X xi θxik εxi vxi zvxi_{. Operando}

com esse novo polinˆomio,

conseguiremos obter a FGP das perdas de maneira idˆentica ao caso particular que hav´ıamos visto.

(30)

29

4 An´

alise dos Resultados

4.1 Dados e estrutura

Para calcular o valor inesperado (VaR) e o valor esperado de perda (PE) utilizando o método de CreditRisk+ foram utilizados dados financeiros reais de uma industria de asfalto. Por motivo de confidenciabilidade, não será informada a fonte. O cálculo foi realizado por mês, iniciando em janeiro de 2010 e terminando em dezembro de 2010. A estima¸cão do risco de crédito utilizando o modelo Creditrisk+ foi realizada no software R e o pacote utilizado foi o ”crp.CSFP”. Para realizar a estima¸cão pelo R, o portfolio deve ter as seguintes colunas:

• CPnumber: numerar os individuos do portfolio; • CPname: nome do individuo;

• exposure: exposi¸cão do individuo (valor do empréstimo que ainda precisa ser pago); • lgd: percentual de perdas de uma exposi¸cão de risco no momento na inadimplência; • maturity: tempo de considera¸cão para as estimativas;

• rating: classifica¸c˜ao do individuo ;

• S1: 0 ou 1; caso o individuo perten¸ca ao setor 1; • S2: 0 ou 1; caso o individuo perten¸ca ao setor 2; • S3: 0 ou 1; caso o individuo perten¸ca ao setor 3.

No caso do portfólio utilizado nesse trabalho, a maturidade é de 365 dias e os in-div´ıduos fazem parte do mesmo setor. Schuermann (2004) afirmou que a distribui¸cão de perdas é bimodal com picos em 0,25 e 0,75. Sendo assim, com o objetivo de ser mais conservador foi adotado para todos os indiv´ıduos do portfolio o valor para lgd, loss given default, de 0,75.

(31)

4.2 Aplica¸c˜ao 30

A matriz de rating, matriz que cruza as probabilidades de default com as classifica¸c˜oes, foi definida utilizando as classifica¸c˜oes do SERASA [21] e do Banco Central.

RATING PD SD A 0.0025 0.00144 B 0.0075 0.00144 C 0.0169 0.00577 D 0.0588 0.02021 E 0.1250 0.01443 F 0.2250 0.04330 G 0.4000 0.05774 H 0.7500 0.14434

Tabela 1: Tabela de Rating

Na coluna ’RATING’ da Tabela 1 é poss´ıvel observer as categorias, já na coluna ’PD’ e ’SD’ estão listados os valores da probabilidade deR def aulteodesviopadrãorespectivamente.

4.2 Aplica¸

c˜

ao

A figura 1 apresenta as sa´ıdas do R para o c´alculo de CreditRisk+ do portfolio em Janeiro de 2010 usando a fun¸c˜oes ”init”e ”crp.CSFP”.

(a) Gr´afico (b) Saidas do R

Figura 1: Cálculo de Risco de Crédito para o portfólio em Janeiro de 2010

O valor de perda esperada (PE) na carteira é de 1,69 Mio (Mio = 106_{), no gr´}_{afico a} perda esperada está ilustrada pela linha verde (EL - Expected Loss). Sendo assim, 1,69 Mio é automaticamente provisionado por ser a perda natural das transa¸cões.

Ao nivel de confian¸ca de 99,9%, o VaR, ou seja, o valor de perda não esperada é de 14 Mio. No gráfico o VaR é representado pela linha azul. A diferen¸ca entre o VaR e a

(32)

Perda Esperada, ou seja, linha azul menos a linha verde é chamado de Capital Econômico Alocado (EC). O EC representa o valor que devo provisionar no fundo para garantir que caso aconte¸ca alguma perda inesperada a financeira não vá a falencia. Nesse caso, será provisionado no fundo 12,31 Mio.

Já a linha vermelha do gráfico (Figura 1 painel A) representa Expected Shortfall (ES) que é a perda média nos piores casos, ou seja, no 0,1%. Então caso a perda ultrapasse o VaR, o valor esperado é de 15,47 Mio. Uma forma de ser mais conservador poss´ıvel, seria provisionar o valor do ES no fundo no lugar do VaR.

Os mesmos passos foram feitos para os outros meses até Dezembro de 2010. Seguem abaixo os gráficos de cada mês utilizando o nivel de confian¸ca de 99,9% e também tabela com o VaR, Valor Esperado e Expected Shortfall levando em considera¸cão diferentes niveis de confian¸ca.

Tabela 2: Tabela dos resultados sem stress ´

E poss´ıvel observar na Tabela 2 que quanto maior o n´ıvel de confian¸ca maiores são os valores do VaR e ES. A Perda Esperada não é uma previsão, sendo assim, o valor se mantém constante independente do n´ıvel de confian¸ca.

(33)

(34)

Os resultados consolidados podem ser observados no gr´afico abaixo:

Figura 3: Resultados consolidados

A Figura 3 torna evidente que o valor estimado do Capital Econˆomico (VaR - PE) ´e bastante influenciado pelo n´ıvel de confian¸ca.

Com o intuito de visualizarmos como se comportou o VaR e o Expected Shortfall (ES) ao longo do ano, foi construido o gr´afico abaixo:

(a) VaR (b) Expected Shortfall

Figura 4: C´alculo de Risco de Cr´edito para o portfolio em Janeiro de 2010

Outra forma de analisar ´e comparar os cen´arios, ou seja, resultados de cada n´ıvel de confian¸ca.

(35)

4.3 Aplica¸c˜ao com Stress 34

Figura 5: Gr´aficos dos resultados por nivel de confian¸ca

4.3 Aplica¸

c˜

ao com Stress

O objetivo dessa se¸cão é realizar a mesma analise de risco de crédito stressando os rating, isso significa pensar no pior cenário poss´ıvel onde um indiv´ıduo esta 2 classifica¸cões abaixo do que ele realmente é. Para os indiv´ıduos das classifica¸cões 7 (penúltima) e 8 (última) da tabela de score será considerado que o indiv´ıduo está na última categoria -8. O método de stress é normalmente utilizado no mercado para analisar se a institui¸cão financeira conseguiria arcar com as perdas em uma crise econômica.

(36)

Tabela 3: Tabela dos resultados com stress

O total da carteira de crédito no mês de Setembro é de 100 MM, então observando o VaR na Tabela 3 no mês de Setembro com n´ıvel de confian¸ca de 99.9% representa metade da carteira no mês.

Figura 6: Gr´afico dos resultados com stress

De acordo com a Figura 6 poss´ıvel observar que o VaR de 99.9% dos meses de Maio a Dezembro são em torno de 50 Mio, como o portfolio tem como valor total 104 Mio então a provisionamento total, ou seja, VaR (PE + CE) é de 50% do valor total do portfolio.

(37)

Sendo assim, os valores de VaR com stress e n´ıvel de confian¸ca 99.9% comprometem a institui¸c˜ao financeira.

(a) VaR (b) Expected Shortfall

Figura 7: C´alculo de Risco de Cr´edito considerando stress para o portfolio em Janeiro de 2010

(38)

4.4 Compara¸c˜ao dos resultados 37

4.4 Compara¸

c˜

ao dos resultados

A primeira compara¸cão feita foi na Perda Esperada (Figura 8), pois, como dito an-teriormente, é o valor que automaticamente é perdido nas transa¸cões. Utilizar o método com stress acarreta na perda 4 vezes maior do que o método sem stress, como é poss´ıvel ver no gráfico abaixo.

Figura 8: Compara¸c˜ao entre a perda esperada com e sem stress

Como pode ser visto na Figura 8, independente do n´ıvel de confian¸ca, o VaR consi-derando stress ´e sempre maior que o sem stress. A diferen¸ca entre os VaR com stress ´e maior do que a sem stress, mostrando que o n´ıvel de confian¸ca escolhido impacta muito no resultado.

(39)

4.4 Compara¸c˜ao dos resultados 38

Figura 9: Compara¸c˜ao entre o VaR com e sem stress

O Expected Shortfall segue o mesmo comportamento do VaR, a diferen¸ca ´e que os valores s˜ao mais altos como esperado.

Figura 10: Compara¸c˜ao entre o ES com e sem stress

O valor do ES com stress é sempre maior que o valor sem stress independente do n´ıvel de confian¸ca. Isso mostra que o método de stress é extremo.

(40)

39

5 Conclus˜

ao

No presente trabalho de conclusão de curso, foram apresentados conceitos de concessão de crédito como: tomador, poupador e probabilidade de inadimplência. Além disso, foram abordados os tipos de riscos envolvidos em transa¸cões e métodos de cálculo de risco de crédito. O foco desse estudo foi, realizar uma aplica¸cão do CreditRisk+ em um portfólio e mostrar a importância do cálculo do risco de crédito para as empresas, principalmente institui¸cões financeiras.

Deve-se ressaltar que uma área de gestão de risco deveria periodicamente monitorar a perda esperada, o VaR e o CE, pois esses valores impactam na mitiga¸cão do risco de falência[7] e retorno esperado. Sendo assim, medidas preventivas podem ser elaboradas para manter a sustentabilidade da institui¸cão, como criar um fundo para suportar as perda.

Um único valor, o VaR, é capaz de trazer inúmeras informa¸cões, como: 1) Valores altos do VaR devem ser avisados a área de concessão de crédito para ela se tornar mais eficiente no tocante a melhorar critérios para escolha dos seus clientes. 2) O VaR auxilia na calibragem do Risco-Retorno, ou seja, caso a carteira de crédito esteja muito arriscada então é necessário aumentar a gordura dos retornos.

Por fim, foram realizadas aplica¸cões do método CreditRisk+ no software R utilizando um portfólio mês a mês de uma financeira de uma industria de asfalto. Consideradou-se diferentes n´ıveis de confian¸ca e método de stress das categorias a fim de comparar os métodos.

A analise dos resultados nos fez concluir que o Capital Economico Alocado (CE), ou seja, a diferen¸ca entre o VaR e o valor de perda esperada (PE) é sempre maior considerando o método stress. Esse resultado é importante, pois o CE é o valor que é aconselhavel provisionar em um fundo para a institui¸cão se proteger em (1-α) % das vezes. Com o intuito de ilustrar essa conclusão, segue abaixo gráfico do Capital Economico considerando o nivel de confian¸ca de 95%.

(41)

5 Conclus˜ao 40

Figura 11: Capital Economico Alocado

Concluimos que a utiliza¸cão de diferentes n´ıveis de confian¸ca acarretam em diferentes resultados o que pode ser crucial para defini¸cão do valor provisionado em fundos cria-dos. Além disso, quando utilizado o método de stress os valores de PE, VaR e ES são consideravelmente maiores do que sem o stress.

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Referˆ

encias

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