2972236-Matematica-Exercicios-Resolvidos-Sequencias-PA

Seqüências ou Sucessões

Termo Geral PA => a_n =a₁+(n−1)r

Soma dos termos de uma PA ⇒ _Sn=

2 1 an a + .n Si-S p= TM ⇒ Termo Médio ⇒ TM = 2 1 an a +

Sp= soma dos números pares Si= soma dos números ímpares

Sp-Si=

2 .r

n

1. O valor de “K” para que 2K-1, 3K e 3K+2 formem nesta ordem uma PA, é igual a:

Solução:

(2K-1;3K;3K+2)PA 3K-(2K-1)=3K+2-3K

3K-2K+1=2 K=1 r=2

2. O 15.º termo da PA onde a1 = -7 e r = 3, vale:

Solução: a15 =? a1 = -7 r = 3 r n a a_n = ₁+( −1) a₁₅ = a₁+14r ⇒ _{a15 = -7+14.3} ⇒ _{a15 = -7+42} a₁₅ = 35

3. Qual é a razão de uma PA de 23 termos cujo primeiro termo é 8 e o último 74?

Solução: r=? a_n =a₁+(n−1)r n=23 a₁=8 a_n= a₂₃=74 a₂₃= a₁+22r ⇒ _74=8+22r ⇒ _r= 22 66 =3 4. Quantos múltiplos de 7 existem entre 100 e 300?

Solução:

PA de r =7

100 divido por 7 dá resto 2 (100-2=98+7=105), logo, se dividirmos 105 por 7, dará resto zero, equivalem ao 1.º termo da seqüência.

300 divido por 7 dá resto 6 (300-6=294), logo, se dividirmos 294 por 7, dará resto zero, equivalem ao último termo da seqüência.

294=105(n-1)7 ⇒ 189=(n-1)7 ⇒ _n=28

5. O 20.º termo de uma PA onde a7=20 e a13=38, é igual a: Solução: a20=? a7=20 a13=38 an =a1+(n−1)r a₂₀= a₁+19r ⇒_{a20= a7+13r} ⇒_{a20= a13+7r} a₁₃= a₇+6r ⇒ _38=20+6r ⇒ _r=3 a₇= a₁+6r ⇒ _20=a1+6r a₁₃= a₁+12r ⇒ _38=a1+12r ⇒_{subst: 38= a1+12.3}⇒ _a1=2 18=0+6r ⇒ _r=3 a₂₀= a₁+19r a₂₀= 2+19.3 a₂₀= 59

6. Obter 3 números em PA de modo que sua soma seja 18 e seu produto 66

Solução: 3n.º⇒ _(x-r,x,x+r)

3(x-r)+x(x+r)=18 ⇒ _3x=18 ⇒_x=6

(x-r).x.(x+r)=66 ⇒ _{(6-r).6.(6+r)=66} ⇒ _{r=5 (1 , 6 e 11)}

7. A Soma do antecessor com o sucessor do 5.º termo da série dada por a_n=n(n−5)(n−6) para n∈IN* é: Solução: a4+ a6=? an =a1+(n−1)r n=4 n=6 a4=4 ) 6 4 ( ) 5 4 ( − − _a 6=6 ) 6 6 ( ) 5 6 ( − − a4=4 ) 2 ( ) 1 (− − _a 6=6 ) 0 ( ) 1 ( a4=42 a6=60 a4=16 a6=1 a4+ a6=16+1=17

8. Se em uma PA a diferença entre o 6.º e o 3.º termos é igual a 12, então, a razão vale: Solução: a₆-a₃=12 a_n =a₁+(n−1)r r=? a6= a1+5r a3= a1+2r 12=0+3r ⇒ _r=4

9. O termo geral da seqüência ,5,... 2 7 , 2 , 2 1 é: Solução: a_n=? a₁= 2 1 a₂=2 a3= 2 7 a4=5 achando a razão ⇒ _{a2= a1+r} ⇒ ₂₌ 2 1 +r ⇒ 2 1 4− _⇒ r= 2 3 r ) 1 n ( a a_n = ₁+ − ⇒ 2 1 +(n-1). 2 3 ⇒ 2 1 + 2 3n -2 3 _⇒ 2 3n -2

10. Interpolando-se 2x meios aritméticos entre 2 e 32, e x meios aritméticos entre 40 e 64, o quociente entre a razão da PA no primeiro caso e a razão do segundo é igual a

3 2

. Sendo assim, as progressões têm, respectivamente:

Solução: 2x meios 2 e 32 – r.2x x meios 40 e 64 – r.x 3 2 . 2 . ₌ x r x r 1.º termo 2.º termo a1= 2 a1= 40 an= 32 an= 64 r.2x= 2 r.x= 3 r ) 1 n ( a a_n = ₁+ − 34=2+(n-1).2 64=40+(n-1).3 30=2n-2 24=3n-3 n=16 n=9

11. A Soma dos termos de uma PA 2,8,14,... é igual a:

Solução: S12=? Sn= 2 a a₁+ _n .n r=6 n=12 S12= .12 2 a a_{1 12}       + a_n =a₁+(n−1)r S12= .12 2 68 2       + a₁₂= a1+11r ⇒ 2+11.6 ⇒ 68 S12= 420

12. A Soma dos 20 primeiros termos de uma PA onde an= 3n-2, vale: Solução: S20=? Sn= 2 a a₁+ _n .n an= 3n-2

S20= .20 2 a a_{1 20}       + n=1

⇒

a₁= 3.1-2 =1 S₂₀= .20 2 58 1       ₊ n=2 ⇒ _{a2= 3.2-2 =4} S₂₀= 590 n=3 ⇒ _{a3= 3.3-2 =7} (1 ; 4 ; 7)

13. O 5.º termo da PA, cuja soma dos “n” primeiros termos é dada por n²+2n, é:

Solução: S_n= 2 a a₁+ _n .n

⇒

Sn= n²+2n n=1

⇒

S1= 1²+2.1

⇒

a1= 3 n=2

⇒

S2= 2²+2.2 = 8

⇒

r=2

⇒

a1+ a2 = 5

⇒

a2=5 n=5

⇒

S5 = a1+ a2+ a3+ a4+a5

⇒

a1=3, a2=5, a3=7, a4=9 S₅ = S4+a5

⇒

5²+2.5 = 4²+2.4+ a5

⇒

35 = 24+ a5

⇒

a5=11

14. A Soma de todos os números naturais entre 100 e 220 tal que o resto da divisão de cada um destes números por 5 seja igual a 2, vale:

Solução:

(110, 111, ..., 218, 220)

r=5

⇒

(112,117, ..., ) logo 112 dividido por 5 dá 22

⇒

= n a₁= 112 a_n=217 n=22 S_n= 2 a a₁+ _n .n

⇒

2 217 112+ .22 = 3619

15. A soma dos vinte primeiros termos de uma PA é -15. Determine a soma do sexto termo dessa PA com o décimo quinto.

Solução:

S20= -15 a6+ a15 =?

A soma dos termos externos é igual a soma dos termos eqüidistantes S_n= 2 a a₁+ _n .n

⇒

S20= 2 20 1 a a + .20

⇒

-15 = 2 a a₆ + ₁₅ .20

⇒

-1,05

16. Em uma PA , a₃= 13 e a₁₃= 33. Assim, a soma do 33 primeiros termos é:

Solução: S₃₃=? a₃= 13 a₁₃= 33 a_n =a₁+(n−1)r a3= a1+(3-1).r

⇒

13 = a1+ 2.r a13= a1+(13-1).r

⇒

33 = a1+12.r

⇒

20 = 0 +10.r

⇒

r = 2 13 = a1+ 2.r

⇒

13 = a1+ 2.2

⇒

a1= 9 r ) 1 n ( a a_n = ₁+ −

⇒

a₃₃= a1+(n-1).r

⇒

a33 = 9 + (33-1).2

⇒

73

S_n= 2 a a₁+ _n .n

⇒

S₃₃ = 2 73 9+ .33

⇒

1373

17. Em uma PA o primeiro termo vale 5, a razão vale 4 e a soma do n primeiros termos vale 10877, pode-se dizer que n vale:

Solução: a1= 5 r= 4 Sn=10877 n=? Sn=? r ) 1 n ( a a_n = ₁+ −

⇒

a _n= 5+(n-1).4

⇒

a _n= 5+4n-4

⇒

a _n= 4n+1 S_n= 2 a a₁+ _n .n

⇒

10877 = 2 1 4 5+ n+ .n

⇒

10877.2 = 5n+4n²+n

⇒

21754 = 4n²+6n 4n²+6n-21754 = 0

⇒

2n²+3n-10877 = 0

⇒

báskara

⇒

x = - b ± a . 2 c . a . 4 b2+ n = -3 ± 2 . 2 ) 10877 .( 2 . 4 32+ −

_⇒

n = -3 ± 4 ) 10877 .( 8 9+ −

_⇒

n = -3 ± 4 87016 9+

_⇒

n = -3 ± 4 87025

_⇒

n = -3 ± 4 295

_⇒

nI = 3 -4 295

_⇒

-76,75 nII = -3 + 4 295

_⇒

73

18. Em uma PA a diferença da soma dos termos pares com a soma dos termos ímpares é 24 e o número de termos é o triplo da razão. Sendo “n” o número de termos e “r” a razão, valem:

Solução:

Sp= soma dos números pares Si= soma dos números ímpares Sp-Si= 2 .r n Sp-Si= 24 n = 3.r

⇒

12 24= 2 ). 3 ( r r

_⇒

3r² = 48

⇒

r² =16

⇒

r = ± 4

⇒

r = 4

19. A Soma dos 20 primeiros termos de uma progressão aritmética é igual ao quíntuplo da soma dos seus 5 primeiros termos. Nestas condições o primeiro termo está para a razão, assim como:

Solução: S₂₀= 5. S₅ r a₁ = ? S_n= 2 a a₁+ _n .n

⇒

S₂₀= 2 a a₁+ _n .20 ∴ S₅= 2 a a₁+ _n .5 2 a a₁+ _n .20 = 5. 2 a a₁+ _n .5

⇒

a₁+ a_n.4 = 5.( a₁+ a_n)

⇒

4a₁+ 4a_n = 5a₁+ 5a_n

⇒

a_n= a₁

⇒

a_n =a₁+(n−1)r

⇒

4a₁+ 4a_n[ a₁+(20-1).r] = 5a₁+ 5a_n[ a₁+(5-1).r]

⇒

4a₁+ 4a_n[ a₁+19.r] = 5a₁+ 5a_n[ a₁+4.r]

⇒

4a₁+ 4a₁ +76r = 5a₁+ 5a₁ +20r

⇒

8a₁+ 6r = 10a₁+ 20r

⇒

8a₁- 10a₁= 20r -76r

⇒

-2a₁= -56r

⇒

a₁= 28r r a₁ = 1 28

20. Sejam as seqüências de termos gerais An= 2n+1; Bn=2n e Cn= an. bn+1, onde n∈IN. O vigésimo termos da seqüência do termo geral Cn é:

Solução:

n=20 An= 2n+1 Bn=2n Cn= an. bn+1 C₂₀= a ₂₀. b₂₁

⇒

2.20+1 = 2.21

⇒

41.42 = 1722

21. Sejam M = ab e N = ba dois números formados pelos algarismos a e b.

Intercalando-se o número zero entre a e b temos um número de três algarismos P = a0b. Sabendo-se que M, N e P formam nesta ordem uma PA, a razão vale:

Solução: M = ab

⇒

10.a + 1.b N = ba

⇒

10.b + 1.a r ) 1 n ( a

a_n = ₁+ −

⇒

10.a+b-(10.b+a)= 10.b+a-(10.a+b)

⇒

b= 6.a

⇒

a=1

⇒

b= 6

⇒

M = ab

⇒

M = 1.6

⇒

N = ba

⇒

N= 6.1

⇒

P = a0b

⇒

P = 1.0.6 r = 61-16 = 45 ou 106 – 61 = 45

22. A Soma do 4.º e 8.º termos de uma PA é 20, o 31.º termo é o dobro do 16.º

termo. Determine a PA.

Solução: r ) 1 n ( a a_n = ₁+ − a4+a8 = 20 a31 = 2. a16 a4= a1+3.r a8 = a1+7.r a1+3.r + a1+7.r = 20

⇒

2 a1+ 10.r = 20

⇒

30.r = 2 a1

⇒

a1+ 30.r = 2 (a1 +15.r)

⇒

a1= 0

⇒

r = 2

⇒

(0, 2, 4, ...)PA

23. Num hexágono, os ângulos internos estão em PA. A soma, em radianos, do 3.º e 4.º termos dessa progressão é:

Solução:

Considerar hexágono regular, seus ângulos internos medem cada um 120°, para dois termos 120° + 120° = 240° converta para radianos. Para converter um ângulo de grau para radiano : multiplicar por pi e dividir por 180 de radiano para grau : multiplicar por 180 e dividir por pi

180º ____________ π 240º ____________X

⇒

3 4π ou

⇒

a1+a6 = a2+ a5 = a3 + a4 S_n= 2 a a₁+ _n .n

⇒

S6= π (6-2) = 4π = a1+a6 + a2+ a5 + a3 + a4

⇒

3(a3 + a4)= 4π

a₃ + a₄=

3 4π

24. Interpolando-se (colocar entre) 7 meios aritméticos entre 10 e 98, obtem-se uma PA cujo termo central é:

Solução:

10, __, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 98 ⇒_{dá pra calcular a razão, 7+ 1+ 1 = 9}

TM tenho o 1.º e o último termo.

r ) 1 n ( a a_n = ₁+ − ⇒ a₉ = a₁+ 8.r ⇒ _{a9 = 10+ 8.r} ⇒ _{a9 = 10+ 8.9} ⇒ _{a9 = 54} Si-S p= TM ⇒ Termo Médio ⇒ TM = 2 a a₁+ _n ⇒ 2 98 10+ _⇒ 54 25. A soma dos 18 primeiros termos da PA 1, 4, 7, ...é:

Solução: a1=1 r = 3 r ) 1 n ( a a_n = ₁+ − ⇒ a₁₈ = a₁+ 17.r ⇒ 1+ 17.3 ⇒ a₁₈= 52 S_n= 2 a a₁+ _n .n

⇒

S18 =       + 2 52 1 .18

⇒

S18 =       + 2 52 1 .18

⇒

477

26. A Soma de 3 termos de uma PA é 27 e seu produto 720. Com base nisto, determine-os: Solução : a1= x – r a1+ a2+ a3 = 27

⇒

x – r + x + x + r = 27 a2= x a3= x + r x = 27 dividido por 3

⇒

x = 9 r ) 1 n ( a a_n = ₁+ −

⇒

produto= 720

⇒

(9-r).9.(9+r)= 720

⇒

r= ± 1 (8, 9 , 10) e (10, 9, 8)

27. Em uma PA, a4= 12 e a9= 27. Então, a soma dos 12 primeiros termos é: Solução: r ) 1 n ( a a_n = ₁+ −

⇒

a4= a1+3.r= 12

⇒

a1+3.3= 12

⇒

a1=3 a9= a1+8.r= 27 0 + 5.r= 15

⇒

r = 3 r ) 1 n ( a a_n = ₁+ −

⇒

a₁₂ =a₁+ 11.r

⇒

3+11.3

⇒

a₁₂ = 36 S_n= 2 a a₁+ _n .n

⇒

S12 = 2 a a_{1+ 12} .12

⇒

S12 =3+36.6= 234

28. O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

Para que a seqüência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r (2) 1 - 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2): (1) => r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2

(2) => 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2 => 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3 Ou seja, -1 < n < 0

29. Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da seqüência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:

(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i - 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da seqüência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) - 1 se n é par Logo: a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 E portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59

30. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA: S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são eqüidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21 E, portanto:

a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem: 20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

a6 + a15 = -15/10 = -1,5

31. Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine

n tal que Sn é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n - 1).4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2 Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n - 2912 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau obtemos: n1 = 26 e n2 = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

32. As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.

Solução:

Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e

c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:

b = a - 6 e c = a - 3

Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que: a2 = b2 + c2 => a2 = (a - 6)2 + (a - 3)2

Resolvendo os produtos notáveis:

a2 = a2 - 12a + 36 + a2 - 6a + 9 = 2a2 - 18a + 45 => a2 - 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo: a = 15 => b = 15 - 6 = 9 e c = 15 - 3 = 12

E a PA é: (9; 12; 15).