Física III (2)

Cap´ıtulo 5

Diel´

etricos e Capacitores

Neste cap´ıtulo vamos come¸car apresentando uma por¸c˜ao de fenˆomenos j´a con-hecidos da maior parte de vocˆes e vamos relacion´a-los tentando, ao sistematiz´a-los, produzir f´ormulas matem´aticas que os expressem.

5.1

Rigidez Diel´

etrica

J´a vimos anteriormente a diferen¸ca entre um diel´etrico e um condutor. Nos diel´etricos (ou isolantes) os el´etrons est˜ao presos aos n´ucleos dos ´atomos e portanto, ao contr´ario dos metais, n˜ao existem el´etrons livres nessa substˆancia.

Dado isto, sabemos que se um campo el´etrico for aplicado a um diel´etrico, vai haver uma tendˆencia de afastar os el´etrons de seus n´ucleos devido `a for¸ca externa. Mas o que acontece se aumentarmos muito o campo el´etrico externo? ´E claro que a for¸ca que age em cada el´etron vai aumentando tamb´em, proporcionalmente. Isto pode chegar ao ponto em que a for¸ca externa fica maior do que a for¸ca externa que liga o el´etron ao seu n´ucleo. Quando isto acontece, os el´etrons passar˜ao a ser livres - TRANSFORMANDO ENT ˜AO UM DIEL´ETRICO EM UM CONDUTOR!!!

Esse processo pode ocorrer com qualquer isolante e o campo el´etrico aplicado que o transforma em condutor vai depender da estrutura de cada material.

O valor m´ınimo do campo el´etrico que deve ser aplicado a um diel´etrico para tranform´a-lo em condutor ´e denominado RIGIDEZ DIEL´ETRICA. Cada ma-terial tem seu valor pr´oprio de rigidez diel´etrica, dadas as diferentes estruturas

microsc´opicas de cada um deles.

Verifica-se experimentalmente que a rigidez diel´etrica do vidro ´e 14× 106N/C

(unidade de campo el´etrico!!) enquanto a da mica pode atingir 100× 106N/C. A

rigidez diel´etrica do ar em contrapartida, ´e bem menor, 3× 106N/C.

5.2

Compreendendo centelhas el´

etricas a partir

do fenˆ

omeno da rigidez el´

etrica

Consideremos duas placas eletrizadas com cargas de sinais contr´arios, sepa-radas por uma camada de ar. Se o campo el´etrico criado por essas placas for inferior a 3× 106N/C, o ar entre elas permanecer´a isolante e impedir´a que aja passagem de uma placa `a outra. Entretanto, se o campo exceder esse valor, a rigidez diel´etrica do ar ser´a rompida e o ar se transfromar´a em um condutor.

As cargas, neste momento, ficar˜ao livres e ser˜ao atra´ıdas para as placas com cargas opostas a elas. Isso ocasiona uma descarga el´etrica entre as placas.

Mais fenomenologia: esta descarga vem acompanhada de emiss˜ao de luz e um estalo que ´e causado pela expans˜ao do ar que se aquece com a descarga el´etrica.

A F´ısica e nosso dia a dia:

1) Cada vez que observamos uma fa´ısca el´etrica saltar de um corpo para outro (do pente para o cabelo, entre os terminais de um interruptor el´etrico, etc) podemos concluir que a rigidez diel´etrica do ar situado entre esses corpos foi ultrapassado e ele se tornou um condutor.

2) Outro fenˆomeno comum ligado `a rigidez diel´etrica ´e o raio em uma tem-pestade, que vem acompanhado de um relˆampago e um trov˜ao. Pilotos (corajosos!) verificaram que durante uma tempestade, ocorre uma separa¸c˜ao de cargas nas nu-vens, ficando as nuvens mais baixas eletrizadas negativamente e as mais altas, pos-itivamente.

Ent˜ao ´e f´acil imaginar que vai haver um campo el´etrico entre essas nuvens. Al´em disso, a nuvem mais baixa (carregada negativamente) vai induzir uma carga positiva na superf´ıcie da Terra e estabelece-se entre essas duas tamb´em um campo

Figura 5.1: Nuvens carregadas

el´etrico. Estamos prontos para entender os raios: `a medida que cargas el´etricas v˜ao se acumulando nas nuvens, as intensidades dos campos el´etricos v˜ao aumentando e ultrapassam a rigidez diel´etrica do ar. Quando isso acontece, o ar torna-se condutor e aparece um relˆampago, que nada mais ´e do que uma enorme centelha el´etrica que salta de uma nuvem para outra, ou de uma nuvem para a Terra. Essa descarga el´etrica aquece o ar, provocando uma expans˜ao que se propraga na forma de uma onda sonora, originando o trov˜ao.

Mais fenomenologia: Como funcionam os p´

ara-raios?

Os p´ara-raios foram inventados pelo cientista americano Benjamim Franklin no s´eculo XVIII. Ele observou que os relˆampagos eram muito semelhantes ´as centelhas el´etricas que se vˆe saltarem entre dois corpos eletrizados em laborat´orio. Suspeitou ent˜ao, que os raios fossem enormes centelhas causadas por eletricidade, que por algum processo desenvolviam-se nas nuvens. Para verificar suas id´eias ele realizou uma experiˆencia que ficou famosa: durante uma tempestade Franklin empinou um papagaio de papel tentando transferir a eletricidade que ele acreditava existir nas nuvens para alguns aparelhos do seu laborat´orio. Ligando a linha do papagaio `a esses aparelhos, Franklin verificou que eles adquiriam carga el´etrica, comprovando sua hip´otese!

Com esse conhecimento e ainda a verifica¸c˜ao experimental (que pode ser hoje comprovado teoricamente) de que quando temos objetos carregados as cargas costu-mam acumular-se nas pontas, resolveu construir assim um aparelho para “atrair” os raios e n˜ao causar os danos que causariam se ca´ıssem aleatoriamente. Assim nasceu

o p´ara-raios, um objeto bastante pontudo, ligado ao solo, de preferˆencia em ligares onde poucos danos seriam produzidos. Funcionou, como sabemos!!

Agora que vocˆe j´a aprendeu a essˆencia de alguns fenˆomenos el´etricos, vamos testar se vocˆe consegue transferir esses conhecimentos para outras situa¸c˜oes:

5.3

Quest˜

oes Desafios

1) Qual a explica¸c˜ao para o fato de a mica ter sido usada durante muito tempo como isolante el´etrico em diversos aparelhos?

Por ter Rigidez Diel´etrica muito elevada.

2) Vocˆe poderia usar um vidro Pirex como isolante el´etrico em um aparelho no qual ele estaria submetido a um campo el´etrico de 2.0× 107N/C? Por quˆe?

N˜ao. Sua rigidez el´etrica ´e menor que este valor. Consulte uma tabela.

3) Sabe-se que quando uma esfera condutora no ar recebe uma carga el´etrica que vai sendo aumentada gradualmente, h´a um limite para o valor da carga que a esfera pode reter. Ap´os esse limite ser atingido

a) O que acontece com a carga que ´e transferida `a esfera? Escoa para o ar.

b) O que se pode afirmar sobre o campo el´etrico na superf´ıcie da esfera? ´

E superior `a rigidez diel´etrica do ar.

5.4

Capacitores

Um capacitor ´e um dos muitos tipos de dispositivos usados em circuitos el´etricos de r´adios, computadores, etc. Capacitores microsc´opicos formam a mem´oria dos bancos de dados dos computadores. A importˆancia dos capacitores est´a princi-palmente na sua propriedade de armazenar energia el´etrica. Pode-se fazer com que eles armazenem e liberem energia em conjuga¸c˜ao com outras fun¸c˜oes do circuito.

A defini¸c˜ao mais precisa de um capacitor ´e a que ele consiste em dois condu-tores que est˜ao pr´oximos, por´em isolados um do outro.

Capacitˆancia ´e a quantifica¸c˜ao do poder que tem um capacitor de armazenar energia. Mais precisamente, a capacitˆancia ´e a raz˜ao entre o m´odulo Q da carga em cada placa e a diferen¸ca de potencial entre as placas.

C = Q

∆V

Por conven¸c˜ao, as grandezas nessa equa¸c˜ao s˜ao positivas; Q se define como o m´odulo da carga em cada placa e ∆V ´e o m´odulo da diferen¸ca de potencial entre as placas. Consequentemente, a capacitˆancia C ´e sempre positiva.

Outro ponto importante a ressaltar ´e que a capacitˆancia ´e uma propriedade associada `a geometria do arranjo formado por condutores e ao meio que existe entre eles. A unidade de capacitˆancia no SI ´e o Faraday

1F = 1C 1V

Os capacitores usuais tem capacitˆancias da ordem de microfaradays

1µF = 1× 10−6F

1) Calcule a capacitˆancia de um capacitor plano paralelo de ´area A e distˆancia

L entre os planos no v´acuo. Discuta o que acontece quando esse capacitor ´e preenchido por um diel´etrico em duas situa¸c˜oes:

a) O capacitor plano paralelo de ´area A que tem inicialmente o v´acuo entre os planos e est´a submetido a uma diferen¸ca de potencial V , quando adquire uma carga Q. Esse capacitor ´e desconectado de fios externos sendo mantido isolado antes da introdu¸c˜ao do diel´etrico.

b) idem, mas mantendo a diferen¸ca de potencial fixa.

A diferen¸ca de potencial entre duas placas condutoras depende da carga nestas placas. ´E conveniente portanto primeiro obter a express˜ao para a diferen¸ca entre os potenciais el´etricos dos dois planos.

∆V =| − E · L| Onde L ´e o vetor na dire¸c˜ao normal e

E = µ |Q| 2²₀A − |Q| 2²₀A ¶ n = |Q| ²₀An

Figura 5.2: Capacitor de placas paralelas

E, ∆V = QL ²₀A Portanto C = |Q| |∆V | = ²₀A L

Note a dependˆencia dos fatores geom´etricos A e L e vˆe-se portanto que a capacitˆancia cresce com a ´area e decresce com a distˆancia. Isso nos mostra duas possibilidades de alterar a capacitˆancia de dispositivos em geral. Mas existe ainda uma outra maneira, que ´e muito usada por ser eficiente: colocar um diel´etrico entre as placas do capacitor. As placas condutoras podem ser fixadas no diel´etrico. Porque colocar um diel´etrico altera a capacitˆancia? O campo el´etrico entre as placas num meio diel´etrico ´e dado por

E = |Q|

²A

Onde ² ´e a permissividade do meio. Como _²²

0 ´e, para os materiais usualmente utilizados, maior que 1, o campo el´etrico diminui. Isso provoca automaticamente uma diminui¸c˜ao na diferen¸ca de potencial e assim um aumento na capacitˆancia

C = ²A L

´

E interessante notar tamb´em que o m´odulo da rigidez diel´etrica dos materiais utilizados ´e maior do que a do ar, o que tem como consequˆencia imediata que esse tipo de capacitor pode ser submetido a campos mais intensos do que o ar. Quando a rigidez diel´etrica do material ´e atingida, o capacitor ´e danificado pois, como discutimos anteriormente, como no caso dos raios, haver˜ao descargas el´etricas de um condutor a outro. Portanto, colocar um diel´etrico dentro de um capacitor torna-o mais est´avel.

Podemos tornar essas id´eias mais quantitativas. A capacitˆancia de um capac-itor plano no v´acuo, como vimos, ´e dada por

C₀ = ²0A

L

Nessas condi¸c˜oes, suponhamos que este capacitor seja desconectado de fios externos e seja mantido isolado. Agora tomemos um diel´etrico de permissividade

² e colocamos em seu interior, preenchendo todo o seu volume. A capacitˆancia vai mudar para

Cd=

²A L

E a raz˜ao entre as duas capacitˆancias

C₀ Cd

= ²0

² = K

Onde K > 1 ´e chamado constante diel´etrica. A nova capacitˆancia Cd, pode

ainda ser escrita como

Cd =

Q Vd

Uma vez que a carga n˜ao mudou. O que ser´a que acontece com o potencial? Podemos calcular Vd da seguinte maneira

Cd= Q Vd = Q V₀ V₀ Vd

Onde V₀´e a diferen¸ca de potencial do capacitor C₀. Mas sabemos que _VQ

0 = C0. Ent˜ao, temos

Cd= C0

V₀ Vd

Usando aqui o que acabamos de descobrir sobre a capacit˜ancia, ie,

Cd= KC0 Temos que KC₀ = C₀V0 Vd −→ V0 Vd = K

Isto ´e, a diferen¸ca de potencial diminui pelo mesmo fator K quando preenchemos o capacitor com um die´etrico.

Toda essa discuss˜ao que fizemos ´e v´alida porque o capacitor est´a isolado do meio externo e as cargas est˜ao fixas nas placas. Mas o que aconteceria se fix´assemos o potencial ao inv´es das cargas como antes? As capacitˆancias C₀ e Cds˜ao as mesmas

que antes, pois como vimos, s´o dependem de fatores geom´etricos e da permissividade do meio ²₀ e ². Portanto continua sendo verdade que a capacitˆancia, na presen¸ca do diel´etrico, vai aumentar da mesma forma

Cd= KC0

Agora, dado que o potencial ´e fixo, podemos nos perguntar o que acontece com as cargas. Para descobrir isto escrevemos

C₀ = Q V Cd = Qd V = Qd Q Q V = Qd Q C0

Portanto, uma vez que Cd= KC0, teremos

Qd

Q = K

ie a carga acumulada no capacitor vai tamb´em aumentar por um fator igual `a constante diel´etrica.

2) Vamos considerar agora o caso de duas esferas concˆentricas e condutoras de raios Ra e Rb (Ra ¡ Rb) com cargas +Q e−Q respectivamente. Qual a capacitˆancia

desse capacitor esf´erico?

Como a capacitˆancia ´e, por defini¸c˜ao dada por

C = |Q| |∆V |

Precisamos calcular, antes de mais nada, o campo el´etrico existente entre essas placas, para depois obter ∆V . A melhor forma de obter o campo el´etricoem casos assim sim´etricos ´e usar a lei de Gauss.

I E· ndS = Q ²₀ R_b R_a R_p Q – Q E r n ^=^

Figura 5.3: Capacitor esf´erico de placas paralelas

As cargas est˜ao nas superf´ıcies dos condutores e portanto o campo el´etrico para R < Ra ´e nulo. Entre os capacitores h´a um campo el´etrico orientado como na

figura, radialmente. Pela lei de Gauss temos I

En· ndS = Q

²₀

O campo el´etrico ´e constante sobre a superf´ıcie de Gauss, e portanto

E I dS = Q ²₀ −→ E4πR 2 P = Q ²₀ E = Q 4π²₀R2_Pr ∆V =− Z E· dl = − Z R_b Ra E· dr |∆V | = Q 4π²o Z r· dRPr R2_P = Q 4π²₀ Rb − Ra RaRb E, consequentemente C = _Q Q 4π²0 R_b−Ra RaR_b = 4π²0RaRb Rb− Ra

Outra vez notamos o aparecimento de qunatidades envolvidascom a geometria do problema e a constante diel´etrica em quest˜ao, no caso o v´acuo.

Quando Rb >> Ra, podemos obter uma express˜ao mais simples para a

ca-pacitˆancia e que pode ser ´util eventualmente. A express˜ao para a capacitˆancia, como est´a escrita, n˜ao ´e adequada para fazer esse limite. Uma regra geral para efetuar aproxima¸c˜oes em f´ısica ´e antes de mais nada, descobrir qual o parˆametro

que ´e pequeno e escrever a express˜ao em termos desse parˆametro. Depois disso, faz-se uma expans˜ao em torno do valor zero para o parˆametro. Esse parˆametro ´e em geral adimensional, dado que freq¨uentemente ´e expresso como uma raz˜ao entre

duas grandezas f´ısicas F₁ e F₂, sendo que F1

F2 << 1 ou vice versa. No nosso caso essa grandeza f´ısica ´e o raio. Ent˜ao nosso parˆametro “pequeno” ser´a Ra

R_b.

Vamos agora reescrever a express˜ao para C em termos desse parˆametro

C = 4π²0RaRb Rb − Ra = 4π²0RaR_b R_b R_b−R_a R_b = 4π²0Ra 1− Ra R_b

Na express˜ao acima vˆe-se claramente que quando nosso parˆametro tende a zero

CR_B→∞ = 4π²0Ra

Tente fazer agora, seguindo os mesmos passos, o problema an´alogo para um capacitor feito de dois cabos coaxiais de comprimento L, de raios Rae Rb(Ra< Rb),

e cargas Q (em R₀) e −Q (em Rb). A solu¸c˜ao desse problema ´e C = _{ln R}2π²₂0_/RL₁. O que

acontece no limite R₂ >> R₁ neste caso?

5.4.1

Associa¸

c˜

ao de Capacitores:

Quando falamos em circuitos el´etricos, os capacitores s˜ao certamente disposi-tivos importantes nos mesmos. Al´em disso, ´e frequentemente ´util construir circuitos com capacitores ligados entre si. ´E por isso importante saber qual a capacitˆancia equivalente dessa associa¸c˜ao. Existem essencialmente duas maneiras de conectar capacitores: em s´erie ou em paralelo. No primeiro caso,

x – + – + C₁ C₂ y _z – + C x _z

Figura 5.4: Associa¸c˜ao em s´erie de capacitores

uma das placas ´e conectada, por meio de fios condutores `a placa (com carga oposta `a do primeiro) de um outro capacitor. Isso forma uma liga¸c˜ao em s´erie.

Podemos calcular a capacitˆancia equivalente a esses dois capacitores C − 1 e

C− 2 ligados como mostra a figura.

A diferen¸ca de potencial entre as placas do primeiro capacitor ´e

∆V₁ = Vy − Vx

∆V₂ = Vz− Vy

A diferen¸ca de potencial entre z e x ´e

∆V = ∆V₁+ ∆V₂ = Vz − Vx

Assim, aprendemos que para capacitores em s´erie, a diferen¸ca de potencial entre os pontos z e a ´e dada pela soma das diferen¸cas do potencial em cada capacitor. Portanto o capacitor equivalente deve estar submetido a essa diferen¸ca de potencial. O que acontece com as cargas? N˜ao ´e dif´ıcil ver que, em m´odulo, as cargas em todas as placas deve ser a mesma. Se n˜ao fosse assim, o campo produzido pelas placas externas n˜ao seria completamente anulado pelos campos produzidos pelas placas internas e haveria campo el´etrico na regi˜ao que liga os dois capacitores.

Como calcular a capacitˆancia equivalente? Usamos a id´eia acima, ie, que o capacitor equivalente deve ter a mesma carga Q que os capacitores em s´erie, Q. Portanto ∆V = Q C = ∆V1+ ∆V2 = Q C₁ + Q C₂

Portanto, a capacitˆancia equivalente obedece a equa¸c˜ao

1 C = 1 C₁ + 1 C₂

e portanto menor do que a capacitˆanciados capacitores individuais. E os capacitores em paralelo? Quanto vale a capacitˆancia equivalente? No caso anterior vimos que capacitores em s´erie tem uma coisa em comum que ´e a carga Q. Os capacitores em paralelo tem em comum a diferen¸ca de potencial.

C₁ = Q1 ∆Vxz

e C₂ = Q2 ∆Vxz

A carga total nas placas dos capacitores ´e a soma das cargas nos capacitores individuais

Q = Q₁+ Q₂ E essa ´e a carga do capacitor equivalente

– + C x _z – + – + C₁ C₂ x z

Figura 5.5: Associa¸c˜ao em paralelo de capacitores

C = Q ∆Vxz = C1∆Vxz+ C2∆Vxz ∆Vxz Ou seja C = C₁+ C₂

E a capacitˆancia do capacitor equivalente ´e sempre maior do que as ca-pacitˆancias individuais.

5) Calcule a capacitˆancia equivalente entre os pontos A e B do circuito mostrado na figura abaixo nas seguintes condi¸c˜oes

a) A chave S est´a aberta

C₁ C₄ C₂ C₃ A B C D S

Nos exerc´ıcios envolvendo v´arios capacitores a primeira coisa a fazer ´e identi-ficar quais est˜ao ligados em s´erie e quais est˜ao ligados em paralelo. No caso acima, com a chave S aberta, vemos imediatamente que C₁ e C₄ est˜ao em s´erie e C₂ e C₃ tamb´em est˜ao em s´erie. Os capacitores equivalentes a C₁ e C₄ e a C₂ e C₃estar˜ao em paralelo. Ent˜ao, primeiro precisamos das capacitˆancias equivalentes dos capacitores em s´erie 1 C_1,4 = 1 C₁ + 1 C₄ e 1 C_2,3 = 1 C₂ + 1 C₃

O que nos leva indiretamente a

C_1,4= C1C4

C₁ + C₄ e C2,3 =

C₂C₃ C₂+ C₃

Agora esses novos dois capacitores C_1,4e C_2,3devem ser associados em paralelo. Portanto a capacitˆancia final resultante ´e dada por

C = C_1,4+ C_2,3 = C1C4

C₁+ C₄ +

C₂C₃ C₂+ C₃

Note que se todos os capacitores tiverem a mesma capacitˆancia C₁ = C₂ =

C₃ = C₄ = C0, teremos C = C 02 2C0 + C02 2C0 = C 0

Fazer limites simples para testar a resposta a qual chegamos ´e sempre uma boa t´atica para achar erros de conta. Se houver algum erro de conta, em boa parte das vezes, ele pode ser detectado fazendo-se um limite conhecido.

b) A chave S est´a fechada.

O que muda quando fechamos a chave S? A diferen¸ca de potencial entre C e

D ser´a a mesma, nessas condi¸c˜oes. Isto implica imediatamente que o conjunto (C₁ ,

C₂) estar´a em paralelo, assim como o conjunto (C₃ , C₄). Os respectivos capacitores equivalentes estar˜ao em s´erie uma vez que a diferen¸ca de potencial entre eles deve ser a soma das diferen¸cas de potencial dos capacitores equivalentes.

Calculemos ent˜ao, primeiro a capacitˆancia equivalente entre C₁ e C₂ e entre

C_1,2 = C₁+ C₂ e C_3,4 = C₃+ C₄ E pelo racioc´ınio acima

1 C = 1 C_1,2 + 1 C_3,4 = 1 C₁+ C₂ + 1 C₃+ C₄ Ap´os um pouco de ´algebra simples obtemos

C = (C1+ C2)(C3+ C4)

(C₁+ C₂+ C₃+ C₄)

Note que, outro vez, o limite de todos os capacitores iguais (e iguais a C0) nos fornece

C = C0

6) Considere o capacitor semipreenchido por um diel´etrico mostrado na figura

d₁ D d₂

x z

Figura 5.7: Capacitor semipreenchido por diel´etrico

A ´area do capacitor plano ´e A, a distˆancia entre as placas ´e L = d₁+ D + d₂ e a espessura do diel´etrico ´e D. O resto do volume do capacitor ´e ocupado pelo ar. Qual ´e a capacitˆancia desse capacitor?

Podemos pensar no capacitor resultante como sendo composto por uma associa c c˜ao em s´erie de trˆes capacitores. O primeiro que envolve a distˆancia d₁ e tem ar entre as placas tem capacitˆancia

C₁ = ²0A

O segundo, formado pelo diel´etrico,

C₂ = ²A

D

E o terceiro correspondente a um capacitor com ar entre as placas, cuja distˆancia ´e d₂

C₃ = ²0A

d₂

A capacitˆancia resultante ´e

1 C = 1 C₁ + 1 C₂ + 1 C₃ = d₁+ d₂ ²₀A + D ²A

Podemos ainda introduzir a distˆancia L = d₁+ D + d₂ da seguinte forma

1 C = L− D ²₀A + D ²A = ²(L− D) + ²₀D ²²₀A E, portanto C = ²²0A ²(L− D) + ²₀D = ²A K(L− D) + D Onde usamos _²² 0 = K.

Um aspecto interessante da express˜ao acima ´e que aprendemos que a ca-pacitˆancia resultante N ˜AO DEPENDE da posi¸c˜ao do diel´etrico entre as placas (d₁ e d₂), mas apenas da sua espessura.

Ser´a que isto est´a certo? Podemos fazer um limite que conhecemos bem, que ´e fazer D −→ 0, ou seja, preencher o espa¸co interior completamente por ar. Neste caso, podemos fazer diretamente D −→ 0 na express˜ao acima. Teremos

C −→ ²A KL =

²₀A

L (D −→ 0)

(Como deveria ser!)

Podemos tamb´em testar o caso em que o capacitor est´a completamente preenchido pelo diel´etrico, i.e, D −→ L. Esta express˜ao tamb´em conhecemos bem. Ent˜ao

C = ²A

K(L− D) + L −→ ²A

(Como esper´avamos!)

7) Calcular a capacitˆancia equivalente do conjunto apresentado na figura 5.8.

ε

ε

ε

Figura 5.8: Capacitor com diel´etricos

A ´area correspondente ao diel´etrico ²₃ ´e A. A correspondente ao diel´etrico ²₁ ´e a.

Discuta os seguintes limites

a) a−→ 0 b) a−→ A c) ²₁ −→ ²₂ d) ²₁ −→ ²₃

e) ²₁ = ²₂ = ²₃ = ²

Como ´e o arranjo dos capacitores como os quais estamos lidando? O capacitor

C₃ (correspondente a ²₃) est´a em s´erie com o capacitor resultante da combina¸c˜ao em paralelo de C₃ e C₁ (correspondentes a ²₂ e ²₁, respectivamente).

Vamos, neste caso deixar a ´algebra para vocˆe e escrever a resposta

C = ²3A[²1a + ²2(A− a)] d[²₁a + ²₂(A− a)] + ²₃AD

Esta express˜ao ´e uma fun¸c˜ao complicada dos parˆametros do problema, at´e porque eles s˜ao muitos. Essa ´e a desvantagem. A vantagem ´e que temos tamb´em v´arios limites para testar a express˜ao. Vamos l´a

a) a−→ 0

C −→ ²3A²2A d[²₂A] + ²₃AD =

²₃²₂A d²₂+ ²₃D

Isto deve ser igual `a capacitˆancia em s´erie de C₃ e C₂. Vamos ver se ´e?

1 C_3,2 = 1 C₃ + 1 C₂ = d ²₃A + D ²₂A = d²₂+ ²₃D ²₂²₃A Portanto C_3,2 = ²2²3A d²₂+ ²₃D

Confirmando que a resposta geral obtida est´a correta nesse limite.

b) a −→ A. (Este deixamos para vocˆe. ´E completamente an´alogo ao caso anterior).

c) ²₁ −→ ²₂. Neste caso, teremos dois capacitores em s´erie C₃ e C₂. A f´ormula geral nos fornece

(²₁ −→ ²₂) C −→ ²3A[²2A + ²2(A− a)] d[²₂a + ²₂(A− a)] + ²₃AD = ²3²2A[2A− a] d²₂[A] + ²₃AD = ²₃²₂(2A− a) d²₂+ ²₃D

Estar´a correto? Para isso calculemos diretamente o caso ao qual o limite cor-responda. O que significa ²₁ −→ ²₂? Significa que temos outra vez tr˜es capacitores,

C₃ e os outros dois diferem apenas na ´area.

C₁ −→ C₂0 = ²2D

a e C2 = ²₂D

Se vocˆe calcular a capacitˆancia resultante desse conjunto, vai encontrar exata-mente a express˜ao acima.

d) ²₁ −→ ²₃. ´E bem parecido com o caso anterior. Deixamos para vocˆe! e) ²₁ = ²₂ = ²₃ = ². A express˜ao geral nos fornece

C −→ ²A[²a + ²(A− a)] d[²a + ²(A− a)] + ²AD =

²2A[A] d²[A] + ²AD = ²A d + A = ²A d + D = ²A L