F ısica Estat ıstica Mecˆanica Estat ıstica Cl assica

(1)

F´ısica Estat´ıstica/PG

(2)

Um exemplo simples

Lanc¸amento de 2 dados

Evento:(face dado 1, face dado 2)

Espac¸o amostral (ensemble)

Ω =                                          (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)                                          Ao jogarmos os dois dados, calculamos a soma dos n ´umeros mostrados nas faces para cima.

(3)

2 ₃₆ 3 → 2 36 4 → 3 36 5 → 4 36 6 → 5 36 7 → 6 36 8 → 5 36 9 → 4 36 10 → 3 36 11 → 2 36

Ω =                                          (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)                                         

(4)

soma probabilidade 2 → 1 36 3 → 2 36 4 → 3 36 5 → 4 36 6 → 5 36 7 → 6 36 8 → 5 36 9 → 4 36 10 → 3 36 11 → 2 36 12 → 1

Ω =                                          (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)                                         

(5)

Ser´a que ´e 7 mesmo?

n

lanc¸amentos

100 lanc¸amentos

(6)

Ser´a que ´e 7 mesmo?

n

lanc¸amentos

10000 lanc¸amentos

(7)

G´as de

N

mol´eculas

₁ _{Estado do g´as ´e representado por}

q1, . . . , q3N =⇒ 3Ncoordenadas can ˆonicas e

p1, . . . , p3N =⇒ 3Nmomentos conjugados

2 _{Espac¸o de fases}Γ 6Ndimens ˜oes

cadapontorepresenta umestado do sistemadeNmol´eculas

(8)

(9)

(10)

(11)

Condição Macrosc ópica=⇒ ρ = N/V = 0.14 U/N = −1.29

• • •

Definic¸˜ao de ensemble

É oconjunto dos sistemas idênticosem composição e em condiç ões macrosc ópicas, mas emdiferentes estados microsc ópicosoupontos representativos.

(12)

Como definir o ensemble?

usando6Nvariáveis can ônicas(q1, q2, . . . , q3N; p1, p2, . . . , p3N)→_(q_{, p)}_para caracterizar uma configuração microsc ópica, ou um ponto no espaçoΓ; usando uma distribuição de pontos emΓ, representada por uma função

densidadeρ(q, p, t), com elemento de volumed3N_{q d}3N_p_{e centrada em torno do}

ponto(q, p), para representar uma condição macrosc ópica

ρ(q, p, t)d3Nq d3Np ≡ _{n úmero de pontos representativos} uma dada condição macrosc ópica ocupa um volume acess´ıvel no espaçoΓ:

Volume acess´ıvel ao sistema

Uma dadacondição macrosc ópicadefine umvolume de pontos representativosno espaçoΓ, todos distintos do ponto de vista microsc ópico, idênticos macroscopicamente e todosacess´ıveis ao sistema.

(13)

Como evolui o ensemble?

a dinâmica do sistema é governada pelasequaç ões de Hamilton

∂H(p, q) ∂pi = ˙qi

∂H(p, q) ∂qi = −˙pi

evolução temporal da função densidadeρ(q, p, t) dρ dt = ∂ρ ∂q˙q+ ∂ρ ∂p˙p+ ∂ρ ∂t dρ dt = {ρ, H} + ∂ρ ∂t {ρ, H} ≡ ∂ρ ∂q∂H∂p − ∂ρ ∂p∂H∂q →parênteses de Poisson

(14)

Como evolui o ensemble?

Teorema de Liouville −∂ρ ∂t = {ρ, H} → dρ dt = 0 =⇒ ρ = constante

→ a densidade de pontosρ´e constante

→ a distribuic¸˜ao de pontos se move como umfluido incompress´ıvel

→ noequil´ıbrio, a densidadeρnão é função expl´ıcita do tempo, ∂ρ

∂t = {ρ, H} = 0 → noequil´ıbrio,ρ = ρ(q, p)

(15)

Essˆencia da teoria de ensemble de Gibbs

Nateoria de ensembleas propriedades termodinâmicasnão sãocalculadas a partir da evolução temporal do sistema no espaçoΓ.

Estas propriedades s˜ao calculadas a partir doensemblede estados equivalentes descritos pela densidade de pontosρ(q, p).

Cada ensemble ´e caracterizado por um conjunto depropriedades macrosc ´opicas

Ensemble Microcan ônico → N, V, E Ensemble Can ônico → N, V, T Ensemble Grande-Can ônico → µ, V, T

Cada ensemble ´e definido por um densidade de pontosρ(q, p), definida pelas propriedades macrosc ´opicas.

Cada ensemble terá um conjunto de equaç ões relacionando a Mecânica Estat´ıstica com a Termodinâmica.

(16)

Sistemas isolados: o ensembleNVE

o n úmero de part´ıculasNé constante o volumeVé fixo

a energiaE´e uma constante de movimento

superf´ıcie de energiaE:

formada por todos os pontos que satisfazemH (p, q) = E

durante a evolução temporal, os pontos descrevem uma trajet ória sobre a superf´ıcie de energia constanteE

Como calcular am´ediade um observ´avelA?

h_Ai=1 τ

Z t0+τ t0

dτ A q(t), p(t) (m´edia temporal)

Como paraNgrande a evolução dos pontos produz uma trajet ória complicada no espaçoΓ,não temos como calcular a média temporal de forma expl´ıcita!

(17)

h_Ai=1 τ t0

dτ A q(t), p(t) (m´edia temporal)

Hip ´otese erg ´odica

Durante o intervalo de tempoτ, tomado suficientemente longo, o sistema tem igual probabilidade de ser encontrado em qualquer posição sobre a superf´ıcie de energia constanteEdo espaçoΓ

Consequências da hip ótese erg ódica

Amédia temporalé igual àmédiarealizada sobre oensemble(conjunto) destes sistemas equivalentes

h_Ai₌ Z

d3N_{q d}3N_{p A}_q_{, p ρ(q, p)} _{(m´edia de ensemble)}

(18)

O ensemble microcan ˆonico

Coleção de um n úmero grande de cópias mentais(microestados)do sistema, definida porΩ(E),todas idênticas macroscopicamente(mesmo valor deN,VeE), mas que diferem nos seus detalhes microscópicos.

Condição Macrosc ópica=⇒ ρ = N/V = 0.14 U/N = −1.29

• • •

(19)

Postulado da igual probabilidade a priori

Quando um sistema macroscópico está emequil´ıbrio, éigualmente provávelde encontrá-lo emqualquer umde seus estados acess´ıveis(microestados), todos condizentes com as condições macroscópicas que definem o ensemble. Para oensemble microcan ônico

ρ(q, p)=          constante seE< H(q, p) < E + δE

0 para outros casos

M´edia de ensembledo observ´avelA

h_Ai ≡ Z

d3Nq d3NpAρ(q, p)

Z

(20)

Paramagneto ideal de spin 1/2 H= −µ0H N X i=1 σj Caso comN= 3 Microestado: (+ − +) 1 + + + +3µ0 −3µ0H 2 + + − +µ0 −µ0H 3 + − + +µ0 −µ0H 4 − + + +µ₀ −µ₀_H 5 + − − −_µ₀ _+µ₀_H 6 − + − −µ₀ +µ₀_H 7 − − + −µ₀ +µ₀_H 8 − − − −3µ₀ +3µ₀_H

(21)

Condição macrosc ópica

Ensemble de energia total−_µ0H

(+ + −) (+ − +) (− + +)

Probabilidade de que o primeiro spin seja+ :P+=2₃

P(yk)=Ω(E; yk) Ω(E)

Sistema de N part´ıculas fixas

H= −µ0H N X

i=1 σj

N1tem spin(+) N2tem spin(−)

N= N1+ N2

E= −µ0HN1+ µ0HN2

Ω(E, N) = N! N1! N2!

N ´umero de microestados com energia E

Ω(E, N) =h N! 1 2 N − E µ0H i !h1 2 N+ E µ0H i !

(22)

S ´olido de Einstein:

sistema deNosciladores harm ônicos unidimensionais, localizados e não interagentes, de mesma frequênciaω

Auto energias →En1,...,nN = n1+ 1 2 ~ω + . . . + nN+ 1 2 ~ω = n1+ n2+ . . . nN+ N 2 ~ω = M+N 2 ~ω

Problema combinat ´orio:distribuirM= E/~ω − N/2quanta de energia entre osN

osciladores Ω(E, N) =(M+ N − 1)! M! (N − 1)! = _E ~ω+ N 2 − 1 ! E ~ω− N 2 ! (N − 1)!

(23)

Reif 2.1: Uma part´ıcula livre

Uma part´ıcula de massa m é livre para se mover em uma dimensão. Indique sua posição por x e seu momento por p. Suponha que a part´ıcula esteja confinada numa caixa, de tal forma que esteja localizada entre x= 0 e x = L, e que sua energia é conhecida entre E e E + δE. Desenhe o espaço de fases clássico da part´ıcula, indicando no espaço as regiões que são acess´ıveis à part´ıcula.

O momento da part´ıcula:

p= √

2mE

Energia entre E e E+ δE:

δp =1 2(2mE)

−1/2_{2mδE =}r m

2EδE

Volume do espac¸o de fases acess´ıvel ao sistema:

Ω(E, L, δE) = 2Lδp =2m E

1/2 LδE

(24)

Reif 2.3: Oscilador harm ˆonico

Considere umensemble de osciladores cl´assicosem uma dimens˜ao.

(a) Seja x o deslocamento do oscilador como função do tempo t, dado por x= A cos(ωt + φ). Suponha que o ângulo de faseφ é igualmente provável de assumir qualquer valor no intervalo 0< φ < 2π. A probabilidade W(φ) dφ de que φ esteja no intervalo entre φ e φ + dφ é dada por W(φ)dφ = (2π)−1_d_{φ. Para qualquer tempo t, encontre a probabilidade P(x)dx que x esteja}

entre x e x+ dx, somando W(φ)dφ sobre todos os ˆangulos φ para os quais x esteja compreendido neste intervalo.

(b) Considere o espaço de fase clássico para tal ensemble de osciladores, com sua energia sendo conhecida entre E e E+ δE. Calcule P(x)dx através da razão entre o volume do espaço de fase compreendido por este intervalo de energia num intervalo entre x e x+ dx, com o volume total do espaço de fase compreendido pelo intervalo de energia E e E+ δE. Relacionado E com a amplitude A, mostre que o resultado é o mesmo obtido em (a).

(25)

(a) Seja x o deslocamento do oscilador como função do tempo t, dado por x= A cos(ωt + φ). Suponha que o ângulo de faseφ é igualmente provável de assumir qualquer valor no intervalo 0< φ < 2π. A probabilidade W(φ) dφ de que φ esteja no intervalo entre φ e φ + dφ é dada por W(φ)dφ = (2π)−1_d_{φ. Para qualquer tempo t, encontre a probabilidade P(x)dx que x esteja}

entre x e x+ dx, somando W(φ)dφ sobre todos os ˆangulos φ para os quais x esteja compreendido neste intervalo.

(b) Considere o espaço de fase clássico para tal ensemble de osciladores, com sua energia sendo conhecida entre E e E+ δE. Calcule P(x)dx através da razão entre o volume do espaço de fase compreendido por este intervalo de energia num intervalo entre x e x+ dx, com o volume total do espaço de fase compreendido pelo intervalo de energia E e E+ δE. Relacionado E com a amplitude A, mostre que o resultado é o mesmo obtido em (a).

(26)

(a)

Energia do oscilador para o ensemble:

E= p2 2m+ 1 2kx 2 ou p2 2mE+ x2 2E/k= 1

(27)

Deslocamento x do oscilador: x(t)= A cos(ωt + φ) Probabilidade paraφ: W(φ)dφ =d_2πφ Probabilidade para x: P(x)dx=2W(φ)dφ =dφ π

(28)

Densidade de probabilidade ´e positiva: P(x)= 1 π dφ dx = 1 π dx dφ !−1 onde dx dφ= −A sin(ωt + φ) ou P(x)dx= 1 π dx A sin(ωt + φ) Em termos de A e x: sin2(ωt + φ) = 1 − cos2(ωt + φ) = 1 −x2 A2 ou A sin(ωt + φ) = √A2−_x2

tal que a probabilidade de encontrar x entre x e x+ dx ´e dada por

(a) P(x)dx= dx π√A2−x2

(29)

P(x)dx= dx π√A2−_x2

x= ±A :

menor˙x →maiorprobabilidade x= 0 :

(30)

(a) Seja x o deslocamento do oscilador como func¸˜ao do tempo t, dado por

x= A cos(ωt + φ). Suponha que o ângulo de fase φ é igualmente provável de assumir qualquer valor no intervalo 0< φ < 2π. A probabilidade W(φ) dφ de que φ esteja no intervalo entreφ e φ + dφ é dada por W(φ)dφ = (2π)−1_{dφ. Para qualquer tempo t,} encontre a probabilidade P(x)dx que x esteja entre x e x+ dx, somando W(φ)dφ sobre todos os ângulosφ para os quais x esteja compreendido neste intervalo.

(b)Considere o espaço de fase clássico para talensemblede osciladores, com sua energia sendo conhecida entre E e E+ δE. Calcule P(x)dx através da razão entre o volume do espaço de fase compreendido por este intervalo de energia num intervalo entre x e x+ dx, com o volume total do espaço de fase compreendido pelo intervalo de energia E e E+ δE. Relacionado E com a amplitude A, mostre que o resultado é o mesmo obtido em (a).

(31)

(a) Seja x o deslocamento do oscilador como func¸˜ao do tempo t, dado por

x= A cos(ωt + φ). Suponha que o ângulo de fase φ é igualmente provável de assumir qualquer valor no intervalo 0< φ < 2π. A probabilidade W(φ) dφ de que φ esteja no intervalo entreφ e φ + dφ é dada por W(φ)dφ = (2π)−1_{dφ. Para qualquer tempo t,}

encontre a probabilidade P(x)dx que x esteja entre x e x+ dx, somando W(φ)dφ sobre todos os ˆangulosφ para os quais x esteja compreendido neste intervalo.

(b)Considere o espaço de fase clássico para talensemblede osciladores, com sua energia sendo conhecida entre E e E+ δE. Calcule P(x)dx através da razão entre o volume do espaço de fase compreendido por este intervalo de energia num intervalo entre x e x+ dx, com o volume total do espaço de fase compreendido pelo intervalo de energia E e E+ δE. Relacionado E com a amplitude A, mostre que o resultado é o mesmo obtido em (a).

(32)

(b)

´ Area da elipse: S= πpmaxxmax ou S= π√2mE r 2E k = π2E r m k = 2π ωE Região acess´ıvel é umacascaesférica:

S=2π ωδE

Probabilidade de encontrarmos x entre x e x+ dx: P(x)dx=δS S = 2δxδp 2π ωδE

(33)

E= p 2 2m+ 1 2kx 2 ou p= √ 2mE − kmx2

Como para x fixo,

δE = p mδp P(x)dx = 2δxδp 2π ω p mδp =mω π dx p = mω_π √ dx 2mE − kmx2 Masω =√k/m, ou E= p 2 2m+ m ω2_x2 2 Como x= A cos(ωt + φ), p= m˙x = −mAω sin(ωt + φ) ou E = mω 2 2 A 2_sin2_{(ωt + φ) +}k 2A 2_cos2_{(ωt + φ)} = 1 2mω 2_A2 Com isto, (b) P(x)dx= dx π√A2−_x2

(34)

Volume(adimensional)ocupado pelo ensemblemicrocan ˆonico no espac¸oΓ Ω(E) = 1 h3N Z E<H(p, q)<E+δEd 3N_{p d}3N_q

hé uma constante com dimens ões demomento × energia h3N_{representa um volume do espaço de fases}

do ponto de vista clássico,hé arbitrário: os resultados termodinâmicos não podem depender da escolha deh

(35)

Nmoléculasmonoat ômicasidênticas, num volumeV

energia entreEeE+ δE

E= 1 2m N X i=1 p2_i

N úmero de estados acess´ıveis entre E e E+ δE é proporcional ao volume no espaço Γ

Ω(E) ∼ Z Z . . . Z d3r1d3r2. . . d3rN Z Z . . . Z | {z } E 6 1 2m N X i=1 p2_i 6 E + δE d3p1d3p2. . . d3pN, como Z d3ri= V → Ω(E) ∼ VNχ(E) χ(E) ∼ Z Z . . . Z | {z } 1 XN d3p1d3p2. . . d3pN

(36)

G´as ideal cl´assico

Mol´ecula em 2 dimens ˜oes

E= 1 2m(p 2 x+ p2y) p2x+ p2y= R2 → R= √ 2mE

Volume ocupado em 2 dimens ˜oes → Ω(E) ∼ R2

Caso mais geral

2mE= N X i=1 3 X k=1 p2_ik → _{espac¸o de f}= 3N dimens˜oes

(37)

G´as ideal cl´assico

Como avaliarΩ(E) em f dimens˜oes?

N ´umero total de estados acess´ıveis com energia menor do que E

φ(E) ∼ Rf _{= (2mE)}f/2 _R₌√_2mE

N ´umero de estados acess´ıveis com energia entre E e E+ δE χ(E) = φ(E + δE) − φ(E) = ∂φ

∂E !

δE ∼ Ef/2−1∼_E(3N/2)−1

Volume ocupado em f dimens ões por um gás monoat ômico clássico Ω(E) = BVN_E3N/2_,

(38)

G´as ideal cl´assico de

N

moléculas monoat ômicas idênticas

H= 1 2m N X i=1 p2_i Ω(E) = 1 h3N Z Z . . . Z d3_r 1d3r2. . . d3rN Z Z . . . Z | {z } E 6 H 6 E + δE d3_p 1d3p2. . . d3pN Ω(N, V, E; δE) = VN h3N (2πmE)3N/2 3N 2 − 1 ! δE E

(39)

H= N X j=1 ₁ 2mp 2 j + 1 2kx 2 j

Volume do espac¸o de fase (2N-dimens ˜oes)

Ω = Z Z . . . Z dx1dx2. . . dxN | {z } 2E k 6 x21+...+x 2 N6 2 k(E+δE) Z Z . . . Z dp1dp2. . . dpN | {z } 2mE 6 p2 1+...+p2N6 2m(E+δE)

Hipercoroa esférica de raioRe espessuraδR, num espaçon-dimensional Ωn(R;δR) = CnRn−1δR → ver Salinas, Apêndice A.4 Espaço x:n= N e R=q2E

k

δR =12E−1/2 2δE =1 k !1/2

(40)

Sistema deNosciladores cl´assicos unidimensionais, localizados e n˜ao interagentes H= N X j=1 ₁ 2mp 2 j + 1 2kx 2 j

Ω = Z Z . . . Z dx1dx2. . . dxN | {z } 2E k 6 x21+...+x2N6 2 k(E+δE) Z Z . . . Z dp1dp2. . . dpN | {z } 2mE 6 p2 1+...+p 2 N6 2m(E+δE)

Hipercoroa esférica de raioRe espessuraδR, num espaçon-dimensional Ωn(R;δR) = CnRn−1δR → ver Salinas, Apêndice A.4 Espaço p:n= N e R=√2mE δR = 1 2(2mE) −1/2_2m_{δE =} √m 2mEδE = _m 2 1/2 δE E1/2

(41)

H₌ N X j=1 ₁ 2mp 2 j + 1 2kx 2 j

Ω = Z Z . . . Z dx1dx2. . . dxN | {z } 2E k 6 x21+...+x 2 N6 2 k(E+δE) Z Z . . . Z dp1dp2. . . dpN | {z } 2mE 6 p2 1+...+p2N6 2m(E+δE) Ω = ANBN _m 2 1/2₁ 2k 1/2_2E k 1₂(N−1) (2mE)12(N−1) 1 E1/2 1 E1/2(δE) 2 = ANBN 1 2 _m k 1/2₂ k N/2−1/2 (2m)N/2−1/2EN/2−1/2EN/2−1/2E−1_(δE)2