1. 5 Fl u x o d e P o t ê n c i a C o n t i n u a d o
P r o f . A b i l i o M a n u e l V a r i z
A n á l i s e d e R e d e s I - P P E E - U F J F
P r o g r a m a d e P ó s - G r a d u a ç ã o e m E n g e n h a r i a E l é t r i c a d a U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e J u i z d e F o r a
P e r í o d o I - 2 0 10
2
Fluxo de Potência Continuado
Constitui uma das mais eficazes ferramentas no
estudo de estabilidade de tensão;
Possibilita obter o perfil de tensão em todas as
barras de um SEP à medida que o carregamento é aumentado;
3
Fluxo de Potência
4Fluxo de Potência
5 Método de Newton-Raphson:
6
Princípios Básicos do Fluxo Continuado
O método de continuação consiste nas seguintes
etapas:
Obtenção da solução base: ( Y1 , γ1 )
Em Fluxo de Potência:
Y é o Vetor solução (Tensão)
γ é o Vetor de carregamento (Potência)
Solução obtida por um fluxo de potência convencional.
A partir da solução anterior obter as subseqüentes do
sistema variando-se o vetor γ: ( Y2 , γ2 )
7
Metodologia
O Fluxo de Potência Continuado é baseado em
DUAS ETAPAS:
Etapa de ESTIMAÇÂO (ou Previsão),
8
V
Carregamento máximo A
B B'
estimação (vetor tangente)
correção
margem de carregamento
Ponto corrigido
Ponto estimado
Carregamento
Processo de Cálculo
9
Variação de V e γ
V
Carregamento máximo A
B B' vetor tangente
correção
margem de carregamento
Ponto corrigido Ponto estimado
γ
∆
γ
V
∆
V ∆
γ
∆
V
∆
γ
∆
10
Inclusão de uma nova variável γ
que no caso específico é o carregamento adicional do sistema
Utilização de um Passo de continuação:
distância de avanço pré-determinada.
Sistema de equações não-lineares do Fluxo
Continuado é:
Desenvolvimento Matemático
11
Fluxo de Potência Continuado
Etapa de ESTIMAÇÂO (ou Previsão),
Parâmetro de Variação:
Carregamento Tensão
Formulação:
Polar
Retangular
V
Carregamento máximo A
B B' vetor tangente
correção
margem de carregamento
Ponto corrigido Ponto estimado
γ
∆
γ
V
∆
V
∆
γ ∆
V
∆
γ
12
Características básicas:
vetor tangente:
forma matricial:
onde:
Processo de estimação
(
)
[
F
θ
,
V
,
γ
]
=
0
d
[
]
=
0
γ
θ
γ θ
d
V
d
d
F
F
F
V(
)
θ
γ
θ
θ
d
V
F
F
=
∂
,
,
(
)
dV
V
F
F
V=
∂
θ
,
,
γ
(
)
γ
γ
θ
γ
d
V
F
13
Para garantir a não singularidade da matriz no ponto
de colapso, o sistema é modificado para:
(1)
Onde:
z define o tamanho do parâmetro de continuação;
e é um vetor com elementos nulos, exceto na posição k, onde tem
valor unitário;
A posição k depende do tipo de estimação.
Ex: Na estimação pelo carregamento, k refere-se a posição diagonal.
=
z
d
V
d
d
e
F
F
F
t
V
0
γ
θ
γ θ
14
Com a solução de (1) é obtido um novo ponto de
operação (estimado):
Obs.:
A cada etapa de estimação deve-se escolher a variável que
define o tamanho da variação do parâmetro de continuação (z).
+
=
γ
θ
γ
θ
γ
θ
d
V
d
d
V
V
A B'
Processo de estimação
V
Carregamento máximo A
B B' vetor tangente
correção
margem de carregamento
Ponto corrigido Ponto estimado
γ
∆
γ
V
∆
V
∆ γ
∆
V
∆
γ
15
Forma de escolha da variável que define o tamanho de z:
A que tiver maior variação (γ ou V) é escolhida. Geralmente:
Longe do ponto de colapso: CARREGAMENTO
carregamento extra do sistema;
Próximo ao ponto de colapso: TENSÂO
módulo da tensão de uma das barras do tipo PQ, que apresentar maior
variação percentual de tensão dentre elas;
Processo de estimação
( )
% 100% var_A B A
γ γ γ
γ = − var_
( )
% 100%A B A
V V V
16
Estimação pelo CARREGAMENTO na formulação
POLAR convencional:
Processo de Estimação pelo Carregamento
=
γ γ
γ
γ
θ
p
d
V
d
d
J
J
J
t t
Q P
P
0
0
1
0
0
Positiv o, se o ponto de colapso não tiver sido atingido;
N egativ o, em caso contrário.
γ
p
Nota: A variação no carregamento
deve ser igual ao passo de
variação do
carregamento de forma que
γ
γ
17
Termos adicionais do J acobiano:
Obs.: e = variável de parametrização;
Potência de Carga:
Processo de Estimação pelo Carregamento
(
)
γ
γ
θ
γ
∂
∂
=
P
,
V
,
J
P(
γ
)
γ
θ
γ
∂
∂
=
Q
,
V
,
J
Q0
)
(
)
(
) , ( )
, (
=
∂
∂
=
∂
∂
m k m
k
V
e
e
γ
θ
γ
1
)
(
=
∂
∂
γ
γ
e
) 1
(
0 +γ
= L
L P
P
) 1
(
0 +γ
= L
L Q
18
Estimação pela TENSÃO na formulação POLAR:
Deve-se determinar a barra k com a maior variação percentual
de tensão entre os dois últimos pontos corrigidos;
Processo de Estimação pela Tensão
− = V n K t Q Q P Q P p d dV dV dV d J J J J J n K 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 γ θ γ γ γ γ
Nota: A variação de tensão
na barra escolhida deve ser igual ao negativo do passo de variação de tensão pv .
dV V
19
Termos adicionais do J acobiano:
Os termos JP e JQ são os mesmos da estimação pelo
carregamento;
Demais termos:
Onde a tensão na barra k é a variável para o passo de continuação.
Processo de Estimação pela Tensão
0
)
(
) , (
=
∂
∂
m k
k
V
e
θ
0
)
(
=
∂
∂
γ
kV
e
0
)
(
=
∂
∂
m k
V
V
e
1
)
(
=
∂
∂
k k
20
Estimação na formulação RETANGULAR:
Vetor tangente:
Onde:
Processo de Estimação na Forma Retangular
; 0 ; = ≠
= t z
d V d
V d
t m k
r γ
=
z
d
V
d
V
d
e
F
F
F
m r t VVr m
0
γ
γ ( ) r m r V dV V V F F r γ , , ∂ = ( ) m m r V dV V V F F mr γ , , ∂ = ( ) γ γ γ d V V FF ∂ r, m,
21
Na formulação RETANGULAR:
obtidos como na formulação polar;
Processo de Estimação pelo Carregamento
=
γ γ
γ
γ
p
d
V
d
V
d
J
J
J
m r
t t
Q r
P
0
0
1
0
0
0 )
( )
(
) , ( )
, (
= ∂
∂ = ∂
∂
m k m m
k
r V
e V
e
γ
γ
1
)
(
=
∂
∂
γ
γ
e
γ
P
22
Na formulação RETANGULAR:
Processo de Estimação pela Tensão
− = pv d dV dV dV dV dV dV V V V V J J J J J J J n k n k n k n k m m m r r r mk rk Q Q Q r P P P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 γ γ γ γ γ γ γ
Por não ter o
módulo da tensão explicito, considera-se a seguinte equação: Linearizando: 2 2 2 k k m r
k
V
V
V
=
+
k k k k m k m r k r k V V V V V V
V = ∆ + ∆
23
Fluxo de Potência Continuado
Etapa de CORREÇÂO.
Parâmetro de correção:
pelo Carregamento pela Tensão;
Formulação:
Polar
Retangular.
V
Carregamento máximo A
B B'
estimação (vetor tangente)
correção
margem de carregamento
Ponto corrigido Ponto estimado
24
Processo de Correção
Desenvolvimento Matemático:
Execução de um Fluxo de Potência Convencional aplicado no
ponto estimado;
Resultado:
25
Formulação do Processo de Correção
Características básicas
Sistema a ser resolvido:
Sistema linearizado na formulação polar:
[ ]
0
)
,
,
(
=
−
estimado kk
x
x
V
F
θ
γ
∆
∆
=
∆
∆
∆
0
Q
P
V
e
F
F
F
t V
γ
θ
γ θ
26
Correção na formulação POLAR convencional.
Sistema Matricial:
O carregamento e as tensões obtidas no processo de estimação são
utilizadas nesta etapa.
∆
∆
=
∆
∆
Q
P
V
J
P
θ
27 ∆ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 0 1 0 0 1 1 1 n k n k t Q Q P Q P Q Q Q P V V V J J J J J n k γ θ γ γ γ γ Os elementos e
e a posição dos termos 0 e 1 são obtidos da mesma forma que na etapa de
estimação por tensão.
Processo de Correção pela Tensão
Correção na formulação POLAR convencional.
28
[ ]
0
)
,
,
(
=
−
estimado kk
m r
x
x
V
V
F
γ
∆
∆
=
∆
∆
∆
0
Q
P
V
V
e
F
F
F
m r
t V Vr m
γ
γ
Processo de correção
29
Correção na formulação retangular convencional
Execução do fluxo de potência convencional aplicado
no ponto estimado;
valores de e corrigidos mediante um definido;
∆
∆
=
∆
∆
Q
P
V
V
J
m
r
r
30 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 n k n k m m m r r r mk rk Q Q Q r P P P Q Q Q P P P V V V V V V V V V V J J J J J J J n k n k n k n k γ γ γ γ γ γ γ Os elementos e são obtidos da mesma forma que na etapa de estimação por tensão.
Processo de Correção pela Tensão
31
Fluxograma do Fluxo Continuado
Solução do caso base
Estimação por carregamento
Correção por carregamento
Convergência normal obtida?
Arquivos gráficos e resultados
Escolha da barra
Estimação por V
Correção por V
Convergência normal obtida?
Divisão do passo γpor 2 Parar?
Var_γ > Var_V?
Passo γatingiu seu valor mínimo ou foi dividido por 2 mais de 10 vezes?
Passo V atingiu seu valor mínimo ou foi dividido por 2 mais de 10
vezes?
Divisão do passo V por 2
Todas as barras foram utilizadas?
Arquivos gráficos e Parar? Var_γ > Var_V?
SIM
SIM
NÃO NÃO
NÃO SIM
SIM
SIM
NÃO NÃO
SIM
NÃO SIM
NÃO SIM
NÃO
SIM
32
j1 p.u 1+j0 p.u
PL2=0.1; QL2=0 V2+teta2
Exemplo numérico
Solução no Caso Base (FP con v en cion al):
−
−
=
1
1
1
1
j
j
j
j
Y
BUSu
p
33
Exemplo numérico
Considerar o parâmetro de continuação como sendo
a potência ativa consumida na barra 2.
Supondo o tamanho do passo de variação do
carregamento como sendo ;
e com:
0 _
1 . 0 _
2 2
= − =
calc Q
calc P
0
=
γ
0 1 . 0 =
− =
γ γ
Q P
34
J acobiana do flow no ponto V2 = 0.9949∠-5.7685 p.u
9949 .
0 9949
. 0 / 1 * ) 9949 .
0 (
1 . 0
1005 .
0 9949
. 0
1 . 0
98983 .
0 1
* 9949 .
0
2 2
22 2 2 2
22
22 2 2 2
22
2
22 2 2 2
22
2 22
2 2 2
22
= −
− = −
=
− = −
=
− = −
= +
=
= =
− −
=
V
B V Q
L
G V P
M
V
G V P
N
B V Q
H
35 = − − − 5 . 0 0 0 1 0 0 0 9949 . 0 10 . 0 10 . 0 1005 . 0 98983 . 0 γ θ d dV d − − = 50 . 0 00513 . 0 0510 . 0 γ θ d dV d − = − − + − = 50 . 0 98977 . 0 692 . 8 5 . 0 00513 . 0 924 . 2 0 9949 . 0 768 . 5 2 2 γ θ V 15 . 0 ) 5 . 0 1 ( 1 . 0 ) 1 ( ) 0 ( 2
2 = L +γ = + =
L P
P
36
Rodar um FP:
partindo de:
E com carga de:
Após 3 iterações obtém-se:
Definição do novo parâmetro de continuação:
729
.
8
9884
.
0
2
=
∠
−
V
( ) 100% 100%
5 . 0
0 5 . 0 % 100 %
var_ = − = − =
A B A
γ γ γ
γ
( ) 100% -0.660%
9984 .
0
9949 .
0 9884 .
0 % 100 %
var_ = − = − =
A B A
V V V
V
) (var_ )
(var_ abs V
abs γ >
37
Etapa de Previsão
Considerando agora um acréscimo de carregamento
de:
J acobiana no ponto:
0 ; 1 . 0 = − = γ γ Q P J J 5 . 0 = γ 0 _ 15 . 0 _ 2 2 = − = calc Q calc P u p V2 = 0.9884∠-8.729 .
38 = − − − 5 . 0 0 0 1 0 0 0 9884 . 0 15 . 0 10 . 0 1518 . 0 9770 . 0 γ θ d dV d = 50 . 0 0.0080 -0.0524 -γ θ d dV d = + = 0 . 1 0.9804 11.7313 -5 . 0 0.0080 -3.0023 -50 . 0 9884 . 0 8.729 -2 2 γ θ V
Etapa de Previsão
20 . 0 ) 0 . 1 1 ( 1 . 0 ) 1 ( ) 0 ( 2
2 = L +
γ
= + =L P
39
Rodar um FP:
partindo de:
E com carga de:
Após 3 iterações obtém-se:
Definição do parâmetro de continuação:
Etapa de Correção
) (var_ )
40
Etapa de Previsão
Considerando agora:
J acobiana no ponto:
0 1 . 0
= − =
γ γ
Q P
J J
0 . 1
=
γ
p.u 11.7891
-0.9789
2 = ∠
V
0 _
20 . 0 _
2 2
= − =
calc Q
calc P
0.9789 20 . 0
0.2043
-0.9583
22 2 2 2
22
22 2 2 2
22
2
22 2 2 2
22
22 2 2 2
22
= −
=
− = −
=
= +
=
= −
− =
V
B V Q
L
G V P
M
V G V P
N
B V Q
41 = − − 5 . 0 0 0 1 0 0 0 0.9789 20 . 0 10 . 0 0.2043 -0.9583 γ θ d dV d = 50 . 0 0.0111 -0.0546 - γ θ d dV d = + = 5 . 1 0.9678 14.9148 -5 . 0 0.0111 -3.1257 -0 . 1 0.9789 11.7891 -2 2 γ θ V 25 . 0 ) 5 . 1 1 ( 1 . 0 ) 1 ( ) 0 ( 2
2 = L + γ = + =
L P
P
42
Rodar um FP:
partindo de:
E com carga de:
Após 3 iterações obtém-se:
Definição do parâmetro de continuação:
43
Etapa de Previsão
Considerando agora um carregamento próximo do
colapso:
J acobiana no ponto:
0 1 . 0
= − =
γ γ
Q P
J J
5
.
3
=
γ
0 _
45 . 0 _
2 2
= − =
calc Q
calc P
p.u 32.0790
-0.8473
2 = ∠
V
0.5311
-0.7179
2
22 2 2 2
22
22 2 2 2
22
= +
=
= −
− =
V G V P
N
B V Q
H
0.8473 450 . 0
2
22 2 2 2
22
22 2 2 2
22
= −
=
− = −
=
V B V Q
L
44 = − 5 . 0 0 0 1 0 0 0 0.8473 0.4500 -10 . 0 0.5311 -0.7179 γ θ d dV d = 50 . 0 0.0609 -0.1147 - γ θ d dV d = + = 0 . 4 0.7864 38.6513 -5 . 0 0.0609 -6.5723 -5 . 3 0.8473 32.0790 -2 2 γ θ V 50 . 0 ) 0 . 4 1 ( 1 . 0 ) 1 ( ) 0 ( 2
2 = L +
γ
= + =L P
P
45
Rodar um FP:
partindo de:
E com carga de:
Após 3 iterações obtém-se:
Definição do parâmetro de continuação:
46
Supondo pV= dV2 = -0 .10 (passo de tensão)
e considerando
J acobiana do flow no ponto V2 = 0.7071∠ - 44.9984 p.u 0
. 4
=
γ
0 _
50 . 0 _
2 2
= − =
calc Q
calc P
0.7071
-0.5000
-0.70701
0.50013
2
22 2 2 2
22 22
2 2 2
22
2
22 2 2 2
22 22
2 2 2
22
= −
= =
− =
= +
= =
− −
=
V B V Q
L G
V P
M
V G V P
N B
V Q
H
47 − = − 10 . 0 0 0 0 1 0 0 0.7071 0.500 -10 . 0 0.70701 -0.50013 γ θ d dV d
Etapa de Previsão
= 0003 . 0 0.10 -0.14144 - γ θ d dV d = + = 0003 . 4 0.6071 53.098 -0003 . 0 0.10 -8.1034 -0 . 4 0.7071 44.994 -2 2 γ θ V 50003 . 0 ) 0003 . 4 1 ( 1 . 0 ) 1 ( ) 0 ( 2
2 = L +
γ
= + =48 0.3646 22 = H -0.7997 22 = N -0.4856 22 = M 0.6113 22 = L -0.01444 2 = ∆P -0.004104 2 = ∆Q − − = 0 004104 . 0 01444 . 0 0 1 0 0 0.6113 0.4856 -10 . 0 0.7997 -0.3646 γ θ d dV d − = 1752 . 0 0.0 0.00845 γ θ d dV d = − + = 8248 . 3 0.6071 52.614 -1752 . 0 0.0 0.4842 0 . 4 0.6071 53.098 -2 2 γ θ V
⇒
Etapa de Correção
Rodar um FP:
partindo de:
Observação
Note que o carregamento
de potência diminui de 4,0 para 3,8248
Portanto, estamos na
parte inferior da curva.
49
V
Carregamento máximo A
B B' vetor tangente
correção
margem de carregamento
Ponto corrigido Ponto estimado
γ
∆
γ
V
∆
V
∆
γ
∆
V
∆
γ
∆
=
− +
=
8248 .
3
0.6071 52.614
-1752 .
0 0.0 0.4842
0 . 4
0.6071 53.098
-2 2
50
Assim, após a atualização das variáveis de estado:
Definição do parâmetro de continuação:
48248 .
0 )
8248 .
3 1
( 1 . 0 )
1 (
) 0 ( 2
2 = L + γ = + =
L P
P
p.u 52.6139
-0.6071
2 = ∠
V
( ) 100% - 4.5806%
8248 .
3
0 . 4 8248 .
3 % 100 %
var_ = − = − =
A B A
γ γ γ
γ
( ) 100% -16.4718%
6071 .
0
7071 .
0 6071 .
0 % 100 %
var_ = − = − =
A B A
V V V
V
) (var_ )
(var_ abs V
abs γ <
51
Tensão x Carregamento
Figura resultante após todo o processo de estimação
Informações Úteis
Horário da Aula:
Sextas das 8:0 0 até as 12:0 0
Presença obrigatória Início: 12-fev-20 10
Término: 28-mai-20 10
Dúvidas:
e-mail:
endereço: Galpão do PPEE, 2º Andar.
Material Didático e Avisos:
