Prof. Angelo Aliano Filho. 07 de Agosto de 2017

Fun¸c˜

oes de v´

arias vari´

aveis

Prof. Angelo Aliano Filho

Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a

Sum´

ario

1 _{Revis˜ao de Geometria Anal´ıtica}

2 Curvas de n´ıvel

Revis˜

ao de Geometria Anal´ıtica

Figure:Planos coordenados

plano do “ch˜ao”: plano xy onde z = 0; plano da “esquerda”: plano xz onde y = 0; plano da “direita”: plano yz onde x = 0. Al´em disso temos: Eixo x: onde y = z = 0; Eixo y: onde x = z = 0; Eixo z: onde x = y = 0.

Cilindros

Exemplo 1

O que representa a equa¸c˜ao z = 3 e y = 5 (em R2 e R3)?

Figure:A esquerda, um plano no n´ıvel z = 3, no centro um plano`

perpendicular ao plano xy passando por (0, 5, 0) (y = 5 em R3_{) e `a}

Cilindros

Defini¸c˜ao

Um cilindro ´e uma superf´ıcie que ´e gerada movendo-se uma curva γ, paralelamente, na dire¸c˜ao de uma reta r. Esta reta ´e chamada de diretriz do cilindro ao passo que γ ´e chamada de curva do cilindro

Cilindros

Exemplo 2

O que representa a equa¸c˜ao x2+ y2= 1 e z = 3? E x2+ y2 = 1?

Figure:A esquerda, uma circunferˆ` encia no n´ıvel z = 3 de raio 1 e `a direita um cilindro de raio 1 com eixo de simetria sendo o eixo z

Cilindros

Cilindros com eixos de simetria sendo x e y

−1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 x y z Figure:cilindro x2_{+ z}2_{= 1} −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 x y z Figure: cilindro y2_{+ z}2_{= 1}

Cilindros

Figure:cilindro z = sin y

−5 0 5 −1 0 1 −1 0 1 x y z

Cilindros

Cilindros parab´olicos

−1 0 1 −1 0 1 0 1 x y z Figure:cilindro z = y2 −1 0 1 −1 0 1 0 1 x y z Figure: cilindro z = x2

Cilindros

Outros tipos de cilindros

−1 0 1 2 −2 −1 0 1 2 0 2 x y z Figure:cilindro z = e−x −1 0 1 −1 −0.5 ₀ 0.5 1 −1 0 1 x y z Figure:cilindro z = y3

Curvas de n´ıvel

Defini¸c˜ao

O conjunto Ck⊂ R2 = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = k} ´e denominado

curvas de n´ıvel de z = f (x, y) em z = k

Noutras palavras, as curvas de n´ıvel Ck representam os vetores

do plano para os quais f (x, y) assume valores constantes iguais a k

Curvas de n´ıvel

Defini¸c˜ao

O conjunto Ck⊂ R2 = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = k} ´e denominado

curvas de n´ıvel de z = f (x, y) em z = k

Noutras palavras, as curvas de n´ıvel Ck representam os vetores

do plano para os quais f (x, y) assume valores constantes iguais a k

Curvas de n´ıvel

Alguns exemplos de superf´ıcies e suas curvas de n´ıvel.

1 0 2 4 6 0 ₂ 4 6 −1 0 1 x y z f (x, y) = sin x sin y −2 −2 −1 0 z f (x, y) = xe−x2_−y2 3 −1 0 1 −2 ₋₁ 0 ₁ 2 0 5 x y z f (x, y) = 4x2_{+ y}2 −1 0 −1 −2 −1 0 1 z f (x, y) = x2_{− y}2

Curvas de n´ıvel

Exemplo

Determine as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y) = x 1 + y2, para k = 1, 2, 3. −2 0 2 −2 0 2 −2 0 2 x y z f (x, y) = x/(1 + y2₎

Curvas de n´ıvel

Exemplo

Determine as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y) = x 1 + y2, para k = 1, 2, 3. −2 0 2 −2 0 2 −2 0 2 x y z f (x, y) = x/(1 + y2₎

Curvas de n´ıvel

Exemplo

Determine as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y) = − ln x 2 9 + y 2  , para k = 1, 2, 3. −2 0 2 −2 0 2 0 5 x y z f (x, y) = − ln  x2 9+ y 2

Curvas de n´ıvel

Exemplo

Determine as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y) = − ln x 2 9 + y 2  , para k = 1, 2, 3. −2 0 2 −2 0 2 −10 0 x y z f (x, y) = − ln  x2 9+ y 2

Curvas de n´ıvel

Exemplo

Determine as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y) = x + y x2_{+ y}2_{+ 1}, para k = 1, 2, 3. −4 −2 0 2 4 −4 ₋₂ 0 ₂ 4 −0.5 0 0.5 x y z f (x, y) = x+y x2+y2+1

Curvas de n´ıvel

Exemplo

Determine as curvas de n´ıvel da fun¸c˜ao f (x, y) = x + y x2_{+ y}2_{+ 1}, para k = 1, 2, 3. −4 −2 0 2 4 −4 ₋₂ 0 ₂ 4 −2 0 x y z f (x, y) =x2+yx+y2+1

Superf´ıcies Quadr´

aticas

Superf´ıcies Quadr´aticas

´

E toda superf´ıcie cuja equa¸c˜ao geral ´e dada por

A1x2+ A2y2+ A3z2+ A4xy + A5xz + A6yz + A7x + A8y + A9z + A10= 0

onde A1, ..., A10 s˜ao constantes. Sem perda de generalidade, se

ela n˜ao ´e transladada nem deslocada, pode ser posta na forma padr˜ao:

A1x2+ A2y2+ A3z2= 0.

Superf´ıcies Quadr´

aticas

Exemplo

Use tra¸cos e curvas de n´ıvel para checar a natureza da seguinte qu´adrica x2+y 2 9 + z2 4 = 1

Superf´ıcies Quadr´

aticas

A figura a seguir tr´as o esbo¸co da qu´adrica deste exemplo

−0.5 ₀ 0.5 −2 0 2 −2 0 2 x y z

Figure:Elips´oide x2₊y2 9 +

z2 4 = 1

Superf´ıcies Quadr´

aticas

Exemplo

Use tra¸cos e curvas de n´ıvel para checar a natureza da seguinte qu´adrica

Superf´ıcies Quadr´

aticas

A Figura a seguir tr´as o esbo¸co da qu´adrica deste exemplo

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 −0.5 ₀ 0.5 0 0.5 1 x y z

Superf´ıcies Quadr´

aticas

Exemplo

Use tra¸cos e curvas de n´ıvel para checar a natureza da seguinte qu´adrica

x2

4 + y

2₋z2

Superf´ıcies Quadr´

aticas

A superf´ıcie formada ´e ent˜ao esbo¸cada a seguir:

−2 0 2 −2 ₀ 2 −4 −2 0 2 4 x y z x2 4+ y 2₋z2 4 = 1

Fun¸c˜

ao de n vari´

aveis independentes

Defini¸c˜ao

Uma fun¸c˜ao f de n vari´aveis ´e uma regra que associa a cada n−upla ordenada real x = (x1, · · · , xn)T de um conjunto D um

´

unico valor real, denotado por w = f (x), i.e.,

f : D ⊂ Rn=⇒ I ⊂ R

x 7→ z = f (x).

O conjunto D ´e o dom´ınio de f e sua imagem ´e o conjunto de valores poss´ıveis de f , ou seja

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

Defini¸c˜ao

Uma fun¸c˜ao f de 2 vari´aveis ´e uma regra que associa a cada dupla ordenada real (x, y) de um conjunto D ∈ R2 um ´unico valor real, denotado por z = f (x, y), i.e.,

f : D ⊂ R2 =⇒ I ⊂ R

(x, y) 7→ z = f (x, y).

O conjunto D ´e o dom´ınio de f e sua imagem ´e o conjunto de valores poss´ıveis de f , ou seja

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

Defini¸c˜ao – Ponto interior e fronteira

Um ponto P em uma regi˜ao R ´e interior se ´e centro de um disco de raio positivo inteiramente contido em R. Um ponto est´a na fronteira de R se todo disco centrado em P cont´em pontos de R e fora dele (a fronteira n˜ao precisa pertencer `a R.

Defini¸c˜ao – conjuntos abertos e fechados

A regi˜ao R ´e aberta se cont´em apenas os seus pontos interiores. A regi˜ao ´e fechada se cont´em todos os pontos de sua fronteira

Defini¸c˜ao – conjuntos limitados e ilimitados

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

Defini¸c˜ao – Ponto interior e fronteira

Um ponto P em uma regi˜ao R ´e interior se ´e centro de um disco de raio positivo inteiramente contido em R. Um ponto est´a na fronteira de R se todo disco centrado em P cont´em pontos de R e fora dele (a fronteira n˜ao precisa pertencer `a R.

Defini¸c˜ao – conjuntos abertos e fechados

A regi˜ao R ´e aberta se cont´em apenas os seus pontos interiores. A regi˜ao ´e fechada se cont´em todos os pontos de sua fronteira

Defini¸c˜ao – conjuntos limitados e ilimitados

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

Defini¸c˜ao – Ponto interior e fronteira

Um ponto P em uma regi˜ao R ´e interior se ´e centro de um disco de raio positivo inteiramente contido em R. Um ponto est´a na fronteira de R se todo disco centrado em P cont´em pontos de R e fora dele (a fronteira n˜ao precisa pertencer `a R.

Defini¸c˜ao – conjuntos abertos e fechados

A regi˜ao R ´e aberta se cont´em apenas os seus pontos interiores. A regi˜ao ´e fechada se cont´em todos os pontos de sua fronteira

Defini¸c˜ao – conjuntos limitados e ilimitados

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

R

P

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

R

P Q

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

R

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

Exemplo

Qual o dom´ınio e imagem da fun¸c˜ao f (x, y) = y x? −5 0 5 −5 0 5 −20 0 20 x y z f (x, y) =y x

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

Exemplo

Qual o dom´ınio e imagem da fun¸c˜ao implicitamente definida por x2+ y2− z2 = 1? ₀ −2 2 −2 0 2 −2 0 2 x y z x2_{+ y}2_{− z}2_{= 1}

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

Exemplo

Qual o dom´ınio e imagem da fun¸c˜ao implicitamente definida por −x2− y2+ z2= 1? ₀ −2 2 −2 0 2 −2 0 2 x y z −x2_{− y}2_{+ z}2_{= 1}

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

Exemplo

Qual o dom´ınio e imagem da fun¸c˜ao definida por

z = 1

xy?

Exemplo

Qual o dom´ınio e imagem da fun¸c˜ao definida por

z =r 1

Fun¸c˜

ao de n = 2 vari´

aveis independentes

Exemplo

Qual o dom´ınio e imagem da fun¸c˜ao definida por

z =py − x2

Exemplo

Qual o dom´ınio e imagem da fun¸c˜ao definida por