JOÃO CARLOS MOREIRA ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

(1)

JOÃO CARLOS MOREIRA

ARITMÉTICA DOS NÚMEROS NATURAIS

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

(2)

Símbolo Nome Exemplo Leitura

∈ pertence 2 ∈ A dois pertence ao conjunto A

ℕ conjunto dos números

naturais

a ∈ ℕ a pertence ao conjunto dos números naturais

x∗ _{sucessor de x} _x∗_{∈ ℕ} _{Sucessor de x pertence ao}

conjunto dos números naturais

∃ existe ∃ 𝑥 ∈ A existe x pertencente ao conjunto A

∃! Existe um único

∃! x∗

∈ ℕ

Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais

= igual a = b a é igual a b

≝

igual por

definição a

≝ 𝑏

a é igual a b por definição ≠ diferente a≠ b a é diferente de b

∀ Para todo ∀ a ∈ ℕ para todo a pertencente a ℕ

{ , } chavetas de conjunto

{1, 2, 3 } conjunto que consiste dos elementos 1, 2 e 3 ∑ n j=1 Somatório desde 1 até n ∑ 𝑥𝑖 n j=1 soma 𝑥1+𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛 × produto cartesiano ℕ×ℕ Produto cartesiano do conjunto dos números naturais

(3)

1 Números Naturais

Organização da aprendizagem

1.1 Abordagem história

1.2 Abordagem algébrica

1.2.1 Construção dos números naturais

1.2.2 Aritmética

1.2.2.1 Operação de adição

1.2.2.2 Operação de multiplicação

1.2.3 Propriedades

1.3 Abordagem Geométrica

1.3.1 Representação geométrica

1.4 Abordagem computacional

1.4.1 Representação numérica

1.4.1.1 Representação de ponto fixo

1.4.2 Algoritmos

(4)

1.1 Abordagem histórica

H

á milênios, o ser humano usa números para contar coisas da natureza, daí o uso da nomenclatura "números naturais". Ao longo do tempo vários símbolos foram utilizados para representar esses números, no entanto, os algarismos arábicos ou numerais indianos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ganharam maior destaque no mundo moderno, sendo considerado por muitos uma das maiores descobertas da matemática. O sistema de numeração hindu-arábico democratizou a aritmética elementar e trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da matemática. Existem dois tipos de sistema de numeração, o posicional e o não posicional. No sistema de numeração não posicional, a posição do algarismo não tem significado específico, por exemplo o sistema de numeração romano; já no sistema de numeração posicional, a posição de cada algarismo é importante e tem um significado específico. Com a aceitação do sistema de numeração hindu-arábico, o sistema decimal passou a ser um sistema posicional adotado internacionalmente para expressar medidas do cotidiano, ele utiliza a base dez; isto é, seus algarismos (ou dígitos) são elementos pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, … , 9}. Nesse sistema a posição ocupada por cada algarismo do número é importante, por exemplo, para o número natural 234; 4 informa que este número possui a quantidade de 4 unidades; 3 informa que este número possui a quantidade de 3 dezenas de unidades; 2 informa que este número possui a quantidade de 2 centenas de unidades. Ao longo da história humana, bases diferentes foram utilizadas em diferentes regiões do planeta, mas com o desenvolvimento das línguas modernas a base dez ganha destaque. Os computadores atuais utilizam o sistema de numeração posicional cuja base é composta apenas dos dois algarismos {0, 1}; nesse sistema, qualquer número pode ser expresso por combinações de zeros e uns. Na antiguidade, o ser humano realizava as operações de adição e multiplicação com o auxílio de pedras, bastões entalhados, nós de cordas, regiões do corpo humano, tábuas de calcular, ábacos, dentre outras formas. Atualmente, utilizamos supercomputadores para fazer cálculos complexos. No fim do século XVI, o matemático francês François Viète introduz letras para representar números e Johann Hudde as usa para representar tanto número negativo como positivo. A notação simbólica literal

(5)

trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da matemática. Apenas no final do século XIX uma construção axiomática dos números naturais foi apresentada.

1.2 Abordagem algébrica

N

esta seção daremos uma abordagem algébrica para o conjunto dos números naturais.

1.2.1 Construção dos números naturais

U

ma construção axiomática para o conjunto dos números naturais, denotado por ℕ,

foi apresentada pelo matemático italiano Giuseppe Peano

(1858-1932)

, também conhecida como Axiomas de Peano:

Axioma 1. 1 ∈ ℕ.

Axioma 2. ∀ x ∈ ℕ, ∃! x∗_{∈ ℕ}_{denominado sucessor de x.}

Axioma 3. ∀ x ∈ ℕ, x∗_{≠ 1.}

Axioma 4. Se x, y ∈ ℕ, x∗_{= y}∗_{, então x = y.}

Axioma 5. Se A ⊂ ℕ, 1 ∈ A e x∗_{∈ A sempre que x ∈ A então}

A = ℕ.

Denotando 1∗_{por 2, 2}∗_{por 3, 3}∗_{por 4 e assim por diante, o}

conjunto ℕ pode ser também denotado por {1, 2, 3, … }. Os elementos desse conjunto são chamados de números naturais.

1.2.2 Aritmética

Uma lei de composição no conjunto 𝐴 é uma aplicação 𝜑 ∶ 𝐵×𝐶 → 𝐴, onde 𝐵 e 𝐶 são conjuntos.

(6)

1.2.2.1 Operação de adição

A operação de adição em ℕ é uma lei de composição + ∶ ℕ×ℕ → ℕ, que a cada par ordenado (x , y) de números naturais associa o número natural x + y definido por

{

x + 1 = x

∗

_{, ∀ x ∈ ℕ}

x + y

∗

_{= (x + y)}

∗

_{, ∀ x ∈ ℕ e y ∈ ℕ}

e chamado de soma de x e y, os números x e y são chamados de parcelas da soma. Dados x1, x2 , … , xn números naturais,

n ∈ ℕ,

definimos a sua soma, recursivamente por: ∑ xj n j=1 = x1+ x2 + ⋯ + xn

≝

{ x1, se n = 1 (x₁+ x2 + ⋯ + xn−1) + xn, se n ≠ 1. Calcule 1 + 1.

Solução: Temos que:

1 + 1

≝ 1

∗

= 2

. Portanto,

1 + 1 = 2. Calcule 2 + 2.

2 + 2

≝

2 +

1

∗

=

(2 + 1)∗_{= (}

₂

∗₎∗

_{= 3}

∗

_{= 4}

_.

Portanto,

2 + 2 = 4. Calcule 2 + 2 + 2.

2 + 2 = 4, 2 + 2 + 2

≝

(2 + 2) + 2 = 4 + 2 = 4 +

1

∗

≝

(4 + 1)∗ _{= (}

₄

∗₎∗₌

₆

_. Exemplo 3 Exemplo 1 Definição 2 Exemplo 2

(7)

Portanto,

2 + 2 + 2 = 6. Calcule 2 + 2 + 2 + 2.

2 + 2 + 2 = 6, 2 + 2 + 2 + 2

≝

(2 + 2 + 2) + 2

≝ 6

+ 2 = 6 +

1

∗

=

(6 + 1)∗₌

= (6

∗

)

∗₌

₍₇₎

∗ _{= 8.} Portanto, 2 + 2 + 2 + 2 = 8.

1.2.2.2 Operação de multiplicação

A operação de multiplicação em ℕ é uma lei de composição ∙ ∶ ℕ×ℕ → ℕ , que a cada par ordenado (x , y) de números naturais associa o número natural x ∙ y, definido por

{

x

∙

1 = x, ∀ x ∈ ℕ

x

∙

y

∗

= x

∙

y + x, ∀ x ∈ ℕ e y ∈ ℕ

e chamado de produto de x e y, os números x e y são chamados de fatores do produto. Dados x1, x2 , … , xnnúmeros naturais,

n ∈ ℕ,

definimos o seu produto, recursivamente por: ∏nj=1xi= x1∙ x2∙ ⋯ ∙ xn= {

x1, se n = 1

(x1∙ x2 ∙ ⋯ ∙ xn−1) ∙ xn , se n ≠ 1 .

Se os fatores forem iguais; xj= x para j = 1, … , n,

denotamos esse produto por xn_{. Na potência x}n_{, os números x e n são}

chamados de base e expoente, respectivamente. Se na soma x1+ x2 + ⋯ + xn os fatores forem iguais; xj= x, j = 1, … , n, esta

soma se transforma no produto n ∙ x. Exemplo 4

Nota Definição 3

(8)

Calcule 2 ∙ 2. Solução: Temos que:

2 ∙ 2

≝

2 ∙

1

∗

≝

2 ∙ 1 + 2

≝ 2 + 2 = 4

. Portanto,

2 ∙ 2 = 4. Calcule 2 ∙ 3.

Solução: Temos que:

2 ∙ 3

≝

2 ∙

2

∗= 2 ∙ 2 + 2

≝ 4 + 2 = 4 + 1

∗

=

(

4 + 1

)∗

₌

₍

₄

∗₎∗

_{= 6.}

Portanto,

2 ∙ 3 = 6. Calcule 2 ∙ 4.

2 ∙

3

∗≝ 2 ∙ 3 + 2 ≝ 6 + 2 ≝ 6 +

1

∗= (

6 + 1

)∗= (

6

∗)∗=

7

∗= 8. Portanto,

2 ∙ 4 = 8. Calcule 23_.

23

≝

2 ∙ 2 ∙ 2

≝

(2 ∙ 2) ∙ 2 = 4 ∙ 2

≝

4 ∙

1

∗= 4 ∙ 1 + 4 = 4 + 4 = 8. Portanto,

23= 8.

1.2.3 Propriedades

O

conjunto dos números naturais munido da operação de adição; denota-se por (ℕ, +), satisfaz as seguintes propriedades: 𝐢) (x + y) + z = x + (y + z), ∀ x, y, z ∈ ℕ. (Associativa) 𝐢𝐢) x + y = y + x, ∀ x, y ∈ ℕ. (Comutativa) Exemplo 7 Exemplo 5 Exemplo 8 Exemplo 6

(9)

Neste caso, (ℕ, +) é chamado de subgrupo comutativo ou subgrupo abeliano; se ii) não for considerada, (ℕ, +) é chamado apenas de subgrupo.

O conjunto dos números naturais munido da operação de multiplicação; denota-se por (ℕ,∙), satisfaz as seguintes propriedades:

𝐢𝐢𝐢) (x ∙ y) ∙ z = x ∙ (y ∙ z), ∀ x, y, z ∈ ℕ. (Associativa) 𝐢𝐯) ∃ 1 ∈ ℕ tal que x ∙ 1 = x = 1 ∙ x, ∀ x ∈ ℕ. (Elemento neutro) 𝐯) x ∙ y = y ∙ x, ∀ x, y ∈ ℕ. (Comutativa) Neste caso, (ℕ,∙) é chamado de monoide comutativo ou monoide abeliano; se v) não for considerada (ℕ,∙) é chamado apenas de monoide (usados comumente em ciência da computação); se iv) não for considerado (ℕ,∙) é chamado apenas de subgrupo comutativo ou subgrupo abeliano.

O conjunto dos números naturais munido das operações de adição e multiplicação; denota-se por (ℕ, +,∙), também satisfaz as seguintes propriedades:

𝐯𝐢) (Distributiva) (x + y) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z, ∀ x, y, z ∈ ℕ.

Essas propriedades são denominadas as leis básicas da aritmética.

vii) (𝐋𝐞𝐢 𝐝𝐚 𝐓𝐫𝐢𝐜𝐨𝐭𝐨𝐦𝐢𝐚) ∀ x, y ∈ ℕ, então uma das alternativas abaixo é verdadeira:

1) x = y (lemos x igual a y).

2) ∃ z ∈ ℕ tal que y = x + z (denotamos y > x e lemos y maior que x).

3) ∃ z ∈ ℕ tal que x = y + z (denotamos x > y e lemos x maior que y).

viii) ∀ x, y, z, w ∈ ℕ, x = z e y = w, então , x + y = z + w e x ∙ y = z ∙ w.

A última propriedade diz que as operações de adição e multiplicação são bem definidas.

Nota

(10)

Diremos que x < y (lemos x menor que y), se y > x . Assim, a Lei da Tricotomia diz que ∀ x, y ∈ ℕ, x = y ou x < y ou y > x.

Diremos que x ≤ y (lemos x menor ou igual a y) se x = y ou x < y . Neste caso, diremos também que y ≥ x (lemos y maior ou igual a x). Definimos: a ≤ x ≤ b se a ≤ x e x ≤ b; a < x ≤ b se a < x e x ≤ b; a ≤ x < b se a ≤ x e x < b; a < x < b se a < x e x < b.

1.3 Abordagem geométrica

N

esta seção, daremos uma abordagem geométrica para o conjunto dos números naturais.

1.3.1 Representação geométrica

U

m número natural pode ser representado geometricamente por um ponto à direita da origem O de uma reta orientada.

O x

Os elementos do conjunto dos números naturais podem ser representados geometricamente por pontos igualmente espaçados à direita da origem O de uma reta orientada. Adotada uma unidade de medida, a medida do espaçamento, determina a escala (razão entre a

Definição 4

Definição 5

(11)

medida do espaçamento adotado e a unidade de medida) do sistema de representação geométrico.

O 1 2 3 ⋯

Se a unidade de medida for Km e a medida do espaçamento adotado for de 1cm, então a escala será de 1𝑐𝑚

1𝐾𝑚= 10−5𝐾𝑚 1𝐾𝑚 = 1 105= 1 100000.

1.4 Abordagem computacional

N

esta seção, daremos uma abordagem computacional para o conjunto dos números naturais.

1.4.1 Representação numérica

Dado um número natural a, existe uma única representação deste número, na base x ∈ ℕ, x > 1, dada por:

a = (anan−1⋯ a0)x

.

Os elementos an, an−1, … , a0 pertencem ao conjunto {0, 1, 2, … , x − 1} e

representam os dígitos deste número, n ∈ ℕ ou n = 0 e an≠ 0.

Quando a base x for 10, denotamos simplesmente por anan−1⋯ a0.

101001 é um número natural de seis dígitos na base 10.

(10101)2 é um número natural de cinco dígitos

na base 2. Exemplo 9

Exemplo 10

Exemplo 11 Teorema 1

(12)

(122)3 é um número natural de três dígitos na

base 3.

(1234)5 é um número natural de quatro dígitos

na base 5.

1.4.1.1 Representação de ponto fixo

U

m número natural qualquer (anan−1⋯ a0)x , pode ser

representado por:

∑nj=0aj ∙ xj

≝

a0∙ x0+ a1∙ x1+ ⋯ + an∙ xn=a0+ a1∙ x + ⋯ + an∙ xn.

Essa representação, chamada de ponto fixo ou polinomial, transforma o número natural (anan−1⋯ a0)x, na base x, em um

número natural (bmbm−1⋯ b0)10, na base 10, de modo que:

(a_nan−1⋯ a0)x= (bmbm−1⋯ b0)10.

(

101

)

₁₀= 1 + 0 ∙ 10 + 1 ∙ 102 = 1 + 0 + 100 = = 101 = (101)₁₀

.

(

101

)

₂ = 1 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 22= 1 + 0 + 4

= (

5

)

₁₀

.

(

122

)

₃ = 2 + 2 ∙ 3 + 1 ∙ 32 = 2 + 6 + 9 =

(

17

)

₁₀

.

(

123

)

₅ = 3 + 2 ∙ 5 + 1 ∙ 52= 3 + 10 + 25 = = 38 = (38)10

.

Exemplo 12 Exemplo 13 Exemplo 14 Exemplo 15 Exemplo 16 Exemplo 17

(13)

1.4.2 Algoritmos

A

presentamos a seguir, um algoritmo, um esquema prático e um pseudocódigo para calcular a soma de dois números naturais.

Algoritmo da soma

Dados a = anan−1⋯ a0 e b = bnbn−1⋯ b0 números naturais, definimos a soma c de a e b por:

a + b = anan−1⋯ a0+ bnbn−1⋯ b0= cn+1cncn−1⋯ c0= c, onde cj , j = 0, … , n + 1, é obtido utilizando o seguinte procedimento:

a0+ b0= d0c0 .

(aj+ bj) + dj−1= djcj, j = 1, … , n, cn+1= dn.

O resultado que procuramos será o número natural c = cn+1cncn−1⋯ c0. Dados a = anan−1⋯ a0 e b = bmbm−1⋯ b0, se n > 𝑚, então definimos a

soma c de a e b, a + b = cn+1cncn−1⋯ c0 , tomando b =

0 ⋯ 0bmbm−1⋯ b0 de forma que b fique com n + 1 dígitos e aplicamos o mesmo procedimento que n = m; se n < 𝑚, então definimos a soma c de a e b, a + b = cn+1cncn−1⋯ c0, tomando a = 0 ⋯ 0anan−1⋯ b0 de forma que a fique com m + 1 dígitos e aplicamos o mesmo procedimento que n = m. Neste algoritmo, supomos conhecido o cálculo da soma de dois números naturais quaisquer com um dígito.

Esquema Prático dndn−1dn−2⋯ d0 anan−1⋯ a1a0 + bnbn−1⋯ b1b0 cn+1cncn−1⋯ c1c0

(14)

Pseudocódigo da Soma

Início

Defina a soma de dois números a e b com um dígito e a unidade dessa soma u[a+b]; Entre com o valor de n (n >0);

Entre com o valor de m (m > 0); Para i = 0, … , n, entre com o valor a[i]; Para i = 0, … , m, entre com o valor b[i]; Se n = m,

então

Se a[0] + b[0] < 10,

então faça d[0] = 0 e c[0] = u[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = u[a[0] + b[0]];

Para j = 1, … , n,

Se a[j] + b[j] < 9,

então faça d[j] = 0 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1],

caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = u[(a[j] + b[j])] + d[j − 1]; Faça c[n + 1] = d[n];

Imprima a solução é c = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Fim; caso contrário,

Se n > m, então

Para i = 1, … , n − m faça b[m + i] = 0; Se a[0] + b[0] < 10,

Para j = 1, … , n,

Se a[j] + b[j] < 9,

Imprima a solução é c = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Fim; caso contrário,

Se n < m, então

Para i = 1, … , m − n faça a[n + i] = 0; Faça n = m;

Se a[0] + b[0] < 10,

Para j = 1, … , n,

Se a[j] + b[j] < 9,

Imprima a solução é c = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Fim.

(15)

Apresentamos a seguir, um algoritmo, um esquema prático e um pseudocódigo para calcular o produto de dois números naturais.

dnidn−1i dn−2i ⋯ doi anan−1 ⋯ a1a0 × bmbm−1⋯ b1b0 cn+10 cn0cn−10 ⋯ c10c00 + cn+11 cn1cn−11 cn−21 ⋯ c0101 ⋰ +cn+1m cnmcn−1m ⋯ c0m0102⋯ 0m cn+m+1cn+mcn+m−1⋯ c1c0 Algoritmo do produto Esquema Prático

Dados a = anan−1⋯ a0∈ ℕ e b = bmbm−1⋯ b0∈ ℕ, definimos o produto c de a e b por:

a ∙ b = (anan−1⋯ a0) ∙ (bmbm−1⋯ b0) = cn+m+1cn+mcn+m−1⋯ c0= c, onde cj , j = 0, … , n + m + 1 é obtido pelo seguinte procedimento: Para i = 0, … , m, considere: bi∙ a0= d0ic0i (bi∙ aj) + dj−1i = djicji , j = 1, … , n, cn+1i = dni. c = cn+10 cn0cn−10 ⋯ c00+ cn+11 cn1cn−11 ⋯ c0101+ ⋯ + cn+1m cnmcn−1m ⋯ c0m0102⋯ 0m, 0i= 0, ∀ i = 1, ⋯ , m. O resultado que procuramos será o número natural

c = cn+m+1cn+mcn+m−1⋯ c0.

Neste algoritmo, foi suposto que a soma de dois números naturais com um dígito é conhecida e o produto de dois números com um dígito é conhecido (tabuada de números naturais com um dígito).

(16)

Pseudocódigo do produto

Início

Defina a soma a+b e o produto a∙b de dois números a e b com um dígito, a unidade da soma us[a+b], a unidade do produto up[a∙b], a dezena da soma ds[a+b] e a dezena do produto dp[a∙b];

Entre com o valor de n (n >0); Entre com o valor de m (m > 0); Para i = 0, … , n, entre com o valor a[i]; Para i = 0, … , m, entre com o valor b[i]; Para i = 0, ⋯ , m

Faça d[0, i] = d[b[i] ∙ a[0]] e c[0, i] = u[b[i] ∙ a[0]] e

Para j = 1, ⋯ , n

Faça d[j, i] = dp[b[i] ∙ a[j]] + ds [up[b[i] ∙ a[j]] + d[j − 1, i]] e c[j, i] = us[up[b[i]a[j]] + d[j − 1, i]];

e

Faça c[n + 1, i]= d[n, i]; Para j = 0, ⋯ , m − 1 Para i = 0, ⋯ , n + 1 Faça a[i]=c[i,j],

Para k= 0, ⋯ , j faça b[k]=0 e b[i+j+1]=c[i,j+1]; Faça n = n+j+1 e m = n+j+2;

Para i = 1, … , m − n faça a[n + i] = 0; Faça n = m;

Se a[0] + b[0] < 10,

então faça d[0] = 0 e c[0] = us[a[0] + b[0]]; caso contrário, faça d[0] = 1 e c[0] = us[a[0] + b[0]];

Para j = 1, … , n,

Se a[j] + b[j] < 9,

então faça d[j] = 0 e c[j] = us[(a[j] + b[j])] + d[j − 1],

caso contrário, faça d[j] = 1 e c[j] = us[(a[j] + b[j])] + d[j − 1]; Faça c[n + 1] = d[n];

s[j] = c[n + 1]c[n]c[n − 1] ⋯ c[0]. Imprima o produto é s[m − 1].

(17)

Calcule 17 + 29. Calcule 372 + 49. Temos que: a0= 7 e b0= 9 a0+ b0= 7 + 9 =16. Daí, d0= 1 e c0=6. Temos que: a1= 1 e b1= 2 (a₁+ b1) + d0= (1 + 2) + 1 = 3 + 1 = 4 = 04. Daí, d1= 0 e c1=4 c2= d1=0.

Assim, concluímos que:

17 + 29 =c2c1c0=046=46.

1

17 +29 46

Neste caso, observamos que 372 + 49 = 372 + 049. Daí, 𝑎0= 2 e 𝑏0= 9 𝑎0+ 𝑏0= 2 + 9 = 11= 𝑑0𝑐0 𝑎1= 7 e 𝑏1= 4 (𝑎1+ 𝑏1) + 𝑑0= (7 + 4) + 1 = 12= 𝑑1𝑐1 𝑎2= 7 e 𝑏2= 0 (𝑎2+ 𝑏2) + 𝑑1= (3 + 0) + 1 =4= 04= 𝑑2𝑐2 𝑐3= 0.

Assim, concluímos que:

372 + 49 =𝑐3𝑐2𝑐1𝑐0=0421=421.

Exemplo 18

(18)

Calcule 12 ∙ 15.

1.4 Exercícios

A

seguir apresentamos três listas de exercícios, com níveis diferentes de dificuldades. 1 1 372 +49 421 1 12 × 15 60 + 120 180

Para i = 0, temos que:

b0∙ a0= 5 ∙ 2 = 10 = d00c00

(b₀∙ a1) + d00= 5 ∙ 1 + 1 = 6 = 06 = d10c10,

c20= d10= 0.

Assim, concluímos que c20c10c00= 060 = 60. Para i = 1, temos que:

b1∙ a0= 1 ∙ 2 = 2 = d01c01

(b1∙ a1) + d10= (1 ∙ 1) + 0 = 1 = d11c11

c21= 0.

Assim, concluímos que c21c11c01= 012 = 12. Portanto,

cn+1cncn−1⋯ c0= c20c10c00+ c21c11c010 = 060 + 120 = 180. Exemplo 20

(19)

Nível 1: Álgebra

Usando a definição de soma de x e y e as propriedades da operação de adição, preencha a tabela:

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 7 14 8 16 9 18 Calcule: a) 1 + 2 + 3 b) 1 + 2 + 3 + 4 c) 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Usando a definição de produto de x e y e as propriedades da operação de multiplicação, preencha a tabela:

∙ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3

(20)

Calcule: a) 1 ∙ 2 ∙ 3 b) 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 c) 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 Calcule: a) 11 b) 22 c) 33 d) 44 e) 55

Complete as lacunas abaixo, usando a propriedade indicada:

a) ____ + 2 = ____ + 1 =___ (Comutativa) b) 1 + (____ + 3) = (____ + 2) + 3 = ____ + ____ = ____ (Associativa) Complete as lacunas abaixo, usando a propriedade indicada:

a) ____ ∙ 2 = ____ ∙ 1 = ____ (Comutativa) b) 1 ∙ (____ ∙ 3) = (____ ∙ 2) ∙ ____ = ____ ∙ ____ = ____ (Associativa) Determine a quantidade de dígitos de cada número abaixo: a) 1 b) 12 c) 123 d) 1234 e) an−1⋯ a0 Exercício 4 Exercício 5 Exercício 6 Exercício 7 Exercício 8

(21)

Usando o algoritmo da soma e do produto, calcule: a) 12 + 34 e 12 ∙ 34

b) 123 + 12 e 123 ∙ 12 c) 123 + 456 e 123 ∙ 456 d) 1324 + 5678 e 1234 ∙ 5678

Transforme o número natural dado abaixo na base x, para um número número natural na base 10.

1. (12)3

2. (123)4

3. (1234)5

4. (12345)6

Nível 2: Álgebra

Diremos que um subconjunto H de um monoide G, contendo o elemento neutro com relação a uma lei de composição ∙, é um submonoide se x, y ∈ H ⇒ x ∙ y ∈ H. Mostre que se x ∈ ℕ, o conjunto {xn_{, n ∈ ℕ} é um submonoide de (ℕ,∙).}

(Transitiva) Mostre que ∀ x, y, z ∈ ℕ, x < y e y < z então x < z.

(Cancelamento) Mostre que: a) ∀ x, y, c ∈ ℕ, x < y ⇔ x + c < y + c. b) ∀ x, y, c ∈ ℕ, x = y ⇔ x + c = y + c. c) ∀ x, y ∈ ℕ e ∀ c ∈ ℕ∗_{, x < y ⇔ x ∙ c < y ∙ c.} d) ∀ x, y ∈ ℕ e ∀ c ∈ ℕ∗_{, x = y ⇔ x ∙ c = y ∙ c.} Exercício 9 Exercício 10 Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3

(22)

(Relação de ordem) Mostre que: a) ∀ x ∈ ℕ, x ≤ x ,

b) ∀ x, y ∈ ℕ, x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y, c) ∀ x, y, z ∈ ℕ, x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z.

Nível 1: Geometria

Sabendo que a unidade adotada é metro m e a escala ₁₀₀1 , represente geometricamente 100m, 200m, 300m, 400m e 500m.

Represente geometricamente os números naturais x tais que x < 6.

Represente geometricamente os números naturais x tais x > 2.

Represente geometricamente os números naturais x tais que 2 < x < 9.

Represente geometricamente os números naturais x tais que x ≤ 9. Exercício 4 Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4 Exercício 5

(23)

Represente geometricamente os números naturais x tais que x ≥ 2.

Represente geometricamente os números naturais x tais que 2 < x ≤ 9.

Represente geometricamente os números naturais x tais que 2 ≤ x < 9.

Nível 1: Programação

Elabore um programa, em qualquer linguagem de programação, para calcular a soma e o produto de dois números naturais.