Quest˜ ao 1 (1,5 por item). Dar a solu¸c˜ ao completa, expl´ıcita e simplificada de cada item, exceto a do Item 1.a, que pode ser impl´ıcita.

universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2015.2 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turmas Q2 e Q6

EXAME FINAL – 13/01/2016

Orienta¸ c˜ ao: O exame ´e estritamente individual, sem consulta ou calculadora.

Responder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. Circular as respostas! Apenas so- lu¸c˜ oes leg´ıveis e justificadas receber˜ ao pontos: escrever todos os passos. Ao usar a tabela de transformadas de Laplace, indicar os parˆametros e o n´ umero de cada regra no passo em que ´e utilizada. Respostas memorizadas mas sem justificativas n˜ ao receber˜ ao pontos! O valor de cada item est´ a entre parˆenteses.

Quest˜ ao 1 (1,5 por item). Dar a solu¸c˜ ao completa, expl´ıcita e simplificada de cada item, exceto a do Item 1.a, que pode ser impl´ıcita.

1.a. 8 x ² + 3 x + 2 y ²

dx + 2 xy dy = 0 1.b. dy

dx = y x

1 + 3 ln y x

, onde x > 0;

1.c. d ² y dt ² + 2 dy

dt + y = 2 e ^{− t} + e ^{− 2t} 1.d. d ² y

dt ² + 4 y = 12 δ(t − 4π) − 8 u 3π (t); y(0) = 0, y ^′ (0) = 2

Quest˜ ao 2 (1,5). Calcular a s´erie de Fourier em senos associada `a extens˜ao ´ımpar f _I ao intervalo real [−3, 3] da fun¸c˜ ao f definida em [0, 3] por f (x) = cos (x) − 1.

Dica: cos (a) sen (b) = sen (b + a) + sen (b − a) 2

Quest˜ ao 3 (2,5). Considere-se o problema abaixo:







u _t (x, t) = 2 u _xx (x, t) para 0 < x < 5 e t > 0, u x (0, t) = 0 = u x (5, t) para t > 0,

u(x, 0) = 3 − 4 cos(π x) para 0 ≤ x ≤ 5.

Aplicar o m´etodo de separa¸c˜ ao em produtos de Fourier para obter a solu¸c˜ao u(x, t) da EDP acima submetida apenas `as condi¸c˜oes homogˆeneas dadas como uma uma s´erie formal (ver as dicas abaixo). Ent˜ ao, calcular u(x, t) submetida a todas as condi¸c˜ oes dadas na quest˜ ao.

Dicas sobre problemas de contorno para EDPs. Seguem-se bases para as

autofun¸c˜ oes de Z ^′′ (z) = −λ Z (z) com 0 ≤ z ≤ L (logo, o autovalor ´e −λ) subme-

tidas ` as respectivas condi¸c˜ oes de contorno (abaixo, n ´e inteiro).

Caso Z ^′ (0) = 0 = Z ^′ (L): Z _n (z) = cos n π z L

, λ _n = n π L

2

para n > 0; e Z ₀ (z) = 1, λ ₀ = 0 (para n = 0);

Caso Z (0) = 0 = Z (L): Z n (z) = sen n π z L

, λ n = n π L

2

para n > 0.

Regra f (t) = L ^{− 1} {F (s)}(t) Const. s ∈ F (s) = L{f (t)}(s)

01 e ^at a ∈ R (a, +∞) 1/(s − a)

02 cos (ωt) ω ∈ R (0, +∞) s/(s ² + ω ² )

03 sen(ωt) ω ∈ R (0, +∞) ω/(s ² + ω ² )

04 cosh (ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) s/(s ² − ω ² )

05 senh(ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) ω/(s ² − ω ² )

06 t ⁿ n ∈ N (0, +∞) n! / s ⁿ⁺¹

07 t ^r r ∈ (−1, +∞) (0, +∞) Γ(r + 1) / s ^r+1

08 δ(t − c) c ∈ [0, +∞) R e ^{− cs}

Regra f (t) = L ^{− 1} {F (s)}(t) Const. F (s) = L{f (t)}(s) 09 a f (t) + b g(t) a, b ∈ R a F (s) + b G(s)

10 f (a t) a ∈ (0, +∞) F (s/a) / a

11 e ^at f (t) a ∈ R F (s − a)

12 t ⁿ f (t) n ∈ N (−1) ⁿ F ⁽ⁿ⁾ (s)

13 f (t)

t se h´ a lim

t → 0

f (t) t

Z ₊ ∞ s

F (v) dv

14 f ^(k) (t) k ∈ N s ^k F (s) −

k − 1

X

=0

f ^() (0) s ^{k − 1 − } 15

Z t 0

f (u) du F(s)

s

16 u _c (t) f (t) c ∈ (0, +∞) e ^{− cs} L{f(t + c)}(s) 17 u c (t) f (t − c) c ∈ [0, +∞) e ^{− cs} F (s)

19 (f ∗ g)(t) F (s) G(s)