Meta-heurísticas híbridas aplicadas ao problema da árvore geradora multiobjetivo

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Programa de Pós-Graduação em Sistemas e Computação Mestrado Acadêmico em Sistemas e Computação

Meta-heurísticas Híbridas Aplicadas ao

Problema da Árvore Geradora Multiobjetivo

Islame Felipe da Costa Fernandes

Natal-RN Julho/2018

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Meta-heurísticas Híbridas Aplicadas ao Problema da

Árvore Geradora Multiobjetivo

Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em Sistemas e Com-putação do Departamento de Informática e Matemática Aplicada da Universidade Fede-ral do Rio Grande do Norte como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Sistemas e Computação. Área de concentra-ção: Algoritmos Experimentais.

Orientadora

Prof

𝑎

. Dr

𝑎

. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Departamento de Informática e Matemática Aplicada – DIMAp Programa de Pós-graduação em Sistemas e Computação – PPgSC

Natal-RN

Julho/2018

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Fernandes, Islame Felipe da Costa.

Meta-heurísticas híbridas aplicadas ao problema da árvore geradora multiobjetivo / Islame Felipe da Costa Fernandes. -2018.

237f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Sistemas e Computação. Natal, 2018.

Orientadora: Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg.

1. Computação - Dissertação. 2. Árvore geradora multiobjetivo - Dissertação. 3. Meta-heurísticas híbridas - Dissertação. 4. Operador OWA Dissertação. 5. Algoritmos experimentais

-Dissertação. I. Goldbarg, Elizabeth Ferreira Gouvêa. II. Título. RN/UF/CCET CDU 004

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Com imensa gratidão, dirijo-me a todos que exerceram papeis fundamentais para o progresso deste mestrado e o desenvolvimento desta pesquisa.

A Deus, Nosso Senhor Jesus Cristo, Alfa e Ômega, princípio e fim, Ele que é, que era e que há de vir (Apocalipse 1:8). À Virgem Maria Santíssima por sua poderosíssima intercessão, junto a seu Filho.

Aos meus pais, José Carlos Fernandes e Marinalva Fernandes, e à minha irmã, Marina Fernandes, pelo afeto, amor, carinho, incentivo e auxílio que me foram despendidos desde a graduação. A eles, cujos corações estiveram tantas vezes aflitos em minhas ausências, meu muito obrigado.

À Prof𝑎. Dr𝑎. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg, pela dedicação, eficiência, disponibilidade, e pela extraordinária orientação durante esta pesquisa.

Ao Prof. Dr. Marco César Goldbarg, à Prof𝑎_{. Dr}𝑎_{. Sílvia Maria Diniz Monteiro}

Maia e à Prof𝑎_{. Dr}𝑎_{. Thatiana Cunha Navarro Diniz por aceitarem participar da banca de}

defesa desta dissertação, enriquecendo-a com suas ideias e sugestões. Manifesto ainda minha gratidão à Prof𝑎_{. Dr}𝑎_{. Sílvia pela disponibilização da implementação de seus algoritmos e}

também de terceiros.

Ao Laboratório de Algoritmos Experimentais (LAE) da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) pelo suporte material durante a fase experimental deste trabalho. Agradeço ao Programa de Pós-Graduação em Sistemas e Computação (PPgSC) do Departamento de Informática e Matemática Aplicada (DIMAp) da UFRN pelo apoio institucional e pela atenção. Ao mesmo tempo, agradeço em especial à UFRN, minha alma mater, pelo importante papel que exerceu no meu processo de formação intelectual, profissional e cidadã.

Aos meus amigos de laboratório, Vinícius Petch, Allan Villar, Zé Filho, Sidemar Fideles, Thiago Soares, Bruno Castro, Jean Gleison, Emerson Bezerra, Ygor Alcântara e Gustavo Sabry pelas inúmeras ajudas junto ao LAE e pelas parcerias e trocas de conhecimento.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio financeiro despendido a este mestrado.

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sofrimentos que talvez não venham nunca e assim fugimos ao que é mais vital, mais profundo, mais vivo. A verdade, meu querido, é que a vida, o mundo, dobra-se sempre às nossas decisões. Não nos esqueçamos das cicatrizes feitas pela morte. Nossa plenitude, eis o que importa. Elaboremos em nós as forças que nos farão plenos e verdadeiros.”

(TELLES, Lygia Fagundes. As Meninas. Companhia das Letras, pág. 75).

“(...) O senhor saiba: eu toda a minha vida pensei por mim, forro, sou nascido diferente. Eu sou é eu mesmo. Divêrjo de todo o mundo... Eu quase que nada não sei. Mas desconfio de muita coisa. O senhor concedendo, eu digo: para pensar longe, sou cão mestre - o senhor solte em minha frente uma ideia ligeira, e eu rastreio essa por fundo de todos os matos, amém! (...)” (ROSA, João Guimarães. Grande Sertão: Veredas. Nova Fronteira, pág. 25)

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Árvore Geradora Multiobjetivo

Autor: Islame Felipe da Costa Fernandes Orientadora : Prof𝑎. Dr𝑎. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg

RESUMO

O Problema da Árvore Geradora Multiobjetivo (AGMO) é uma extensão NP-Difícil da Árvore Geradora Mínima (AGM). Devido à sua habilidade em modelar inúmeros problemas reais onde objetivos conitantes devem ser otimizados simultaneamente, a AGMO tem sido intensamente estudada na literatura e muitos algoritmos exatos e heurísticos lhe foram propostos. Além disso, nos últimos anos, pesquisas têm demonstrado considerável desempenho dos algoritmos que combinam estratégias de várias meta-heurísticas. Estes algoritmos são chamados híbridos e trabalhos anteriores os aplicaram com sucesso a vários problemas de otimização. Neste trabalho, cinco novos algoritmos híbridos são propostos para duas versões da AGMO: três para a versão bi-objetivo (AG-Bi) baseada em dominância de Pareto e dois para a versão com muitos objetivos baseada no operador de média ponderada ordenada (AG-OWA). Esta pesquisa hibridizou diversas abordagens meta-heurísticas com respeito a diferentes categorias de hibridização. Experimentos computacionais avaliaram as novas abordagens com base no tempo computacional e na qualidade das soluções encontradas. Os resultados foram comparados com o estado da arte.

Palavras-chave: Árvore Geradora Multiobjetivo, Meta-heurísticas Híbridas, Operador OWA, Algoritmos Experimentais

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Author: Islame Felipe da Costa Fernandes Advisor: Prof𝑎. Dr𝑎. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg

ABSTRACT

The Multi-objective Spanning Tree Problem (MSTP) is an NP-hard extension of the Minimum Spanning Tree (MST). Once the MTSP models several real-world problems in which conicting objectives need to be optimized simultaneously, it has been extensively studied in the literature and several exact and heuristic algorithms were proposed for it. Besides, over the last years, researchs have showed the considerable performance of algorithms that combine various metaheuristic strategies. They are called hybrid algorithms and previous works successfully applied them to several optimization problems. In this work, five new hybrid algorithms are proposed for two versions of the MSTP: three for the bi-objective version (BiST) based on Pareto dominance and two for the many-objective version based on the ordered weighted average operator (OWA-ST). This research hybridized elements from various metaheuristics. Computational experiments investigated the potential of the new algorithms concerning computational time and solution quality. The results were compared to the state-of-the-art.

Keywords: Multi-objective Spanning Tree Problem, Hybrid Metaheuristics, OWA operator, Experimental Algorithms

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Figura 1 – Fronteira de Pareto, soluções eficientes suportadas e não suportadas . . 29

Figura 2 – Representação do hypervolume (problema de minimização) no espaço bi-objetivo . . . 34

Figura 3 – Taxonomia de Talbi (2002) . . . 39

Figura 4 – Esquematização do plas2 . . . . 57

Figura 5 – Operadores de crossover e mutação adotados por Párraga-Álava, Dorn e Inostroza-Ponta (2017) . . . 59

Figura 6 – Operador de mutação na primeira fase do TAPAS . . . . 67

Figura 7 – Divisão do espaço objetivo feita pelo Algoritmo TAPAS . . . 68

Figura 8 – Esquematização do 𝑝𝑙𝑎𝑠3 . . . . 73

Figura 9 – Gráficos do tempo total dos algoritmos GRPR, TAPAS e T-BT em função do tamanho das instâncias correlated . . . . 81

Figura 10 – Gráficos do tempo total dos algoritmos GRPR, TAPAS e T-BT em função do tamanho das instâncias anticorrelated . . . . 82

Figura 11 – Gráficos do tempo total dos algoritmos GRPR, TAPAS e T-BT em função do tamanho das instâncias concave . . . . 82

Figura 12 – Boxplots para a instância concave 300.1 . . . 85

Figura 13 – Boxplots para a instância concave 600.3 . . . 85

Figura 14 – Boxplots para a instância anticorrelated 400.3 . . . . 85

Figura 15 – Quantitativo de p-valores favoráveis ao TAPAS e ao GRPR . . . 88

Figura 16 – Quantitativo de p-valores favoráveis ao T-BT e ao GRPR . . . 90

Figura 17 – Quantitativo de p-valores favoráveis ao TAPAS e ao T-BT . . . . 93

Figura 18 – Boxplots para a instância anticorrelated 50.3 : TAPAS versus T-BT . . 94

Figura 19 – Boxplots para a instância anticorrelated 200.1 : TAPAS versus T-BT . 94 Figura 20 – Experimentos complementares: quantitativo de p-valores favoráveis ao TAPAS e ao T-BT . . . . 96

Figura 21 – Boxplots dos experimentos complementares na instância anticorrelated 500.3 : TAPAS versus T-BT . . . . 97

Figura 22 – Boxplots dos experimentos complementares na instância anticorrelated 600.3 : TAPAS versus T-BT . . . . 98

Figura 23 – Quantitativo de p-valores favoráveis ao T-BT e ao RGG . . . 102

Figura 24 – Quantitativo de p-valores favoráveis ao TAPAS e ao RGG . . . 106

Figura 25 – Quantitativo de p-valores favoráveis ao T-BT e ao T-LP . . . 109

Figura 26 – Quantitativo de p-valores favoráveis ao TAPAS e ao T-LP . . . 113

Figura 27 – Gráficos do tempo total do T-SA e do M-SA em função do tamanho das instâncias com 5 objetivos . . . 130

(11)

Figura 29 – Gráficos do tempo total do T-SA e do M-SA em função do tamanho das instâncias com 8 objetivos . . . 141 Figura 30 – Indicativo de estagnação do T-SA e o M-SA com instâncias k-centrum

correlated n.2 com 8 objetivos . . . 142 Figura 31 – Gráficos do tempo total do T-SA e do M-SA em função do tamanho

das instâncias com 10 objetivos . . . 152 Figura 32 – Indicativo de estagnação do T-SA e o M-SA com instâncias k-trimmed

correlated n.3 com 10 objetivos . . . 153 Figura 33 – Indicativo de estagnação do T-SA e do M-SA em função do tamanho

das instâncias k-trimmed correlated com 5 objetivos . . . 215 Figura 34 – Indicativo de estagnação do T-SA e do M-SA em função do tamanho

das instâncias k-trimmed anticorrelated com 5 objetivos . . . 216 Figura 35 – Indicativo de estagnação do T-SA e do M-SA em função do tamanho

das instâncias k-centrum correlated com 5 objetivos . . . 217 Figura 36 – Indicativo de estagnação do T-SA e do M-SA em função do tamanho

das instâncias k-centrum anticorrelated com 5 objetivos . . . 218 Figura 37 – Indicativo de estagnação do T-SA e do M-SA em função do tamanho

das instâncias Hurwicz correlated com 5 objetivos . . . 219 Figura 38 – Indicativo de estagnação do T-SA e do M-SA em função do tamanho

das instâncias Hurwicz anticorrelated com 5 objetivos . . . 220 Figura 39 – Indicativo de estagnação do T-SA e do M-SA em função do tamanho

das instâncias k-trimmed anticorrelated com 8 objetivos . . . 222 Figura 41 – Indicativo de estagnação do T-SA e do M-SA em função do tamanho

das instâncias Hurwicz anticorrelated com 8 objetivos . . . 226 Figura 45 – Indicativo de estagnação do T-SA e do M-SA em função do tamanho

(12)

das instâncias Hurwicz anticorrelated com 10 objetivos . . . 232 Figura 51 – Exemplo de Busca Dicotômica com pilha e fila . . . 235

(13)

Tabela 1 – Conceitos de dominância de Pareto no contexto de conjuntos aproximativos 31

Tabela 2 – Resumo da interpretação do épsilon binário multiplicativo e aditivo . . 35

Tabela 3 – Parâmetros do GRPR . . . . 76

Tabela 4 – Parâmetros do TAPAS . . . . 76

Tabela 5 – Parâmetros do T-BT . . . . 76

Tabela 6 – Tempo médio total (em segundos) consumido pelo GRPR, TAPAS e T-BT . . . 80

Tabela 7 – P-valores do teste estatístico de Kruskal-Wallis two-tailed: GRPR, TAPAS e T-BT . . . . 83

Tabela 8 – Kruskal-Wallis one-tailed: TAPAS versus GRPR . . . . 86

Tabela 9 – Kruskal-Wallis one-tailed: T-BT versus GRPR . . . . 89

Tabela 10 – Kruskal-Wallis one-tailed: TAPAS versus T-BT . . . . 91

Tabela 11 – Mann-Whitney one-tailed: experimentos complementares do TAPAS e T-BT . . . 95

Tabela 12 – Tempo médio total (em segundos) consumido pelo T-BT e RGG . . . 99

Tabela 13 – Mann-Whitney one-tailed: T-BT versus RGG . . . 100

Tabela 14 – Tempo médio total (em segundos) consumido pelo TAPAS e RGG . . 103

Tabela 15 – Mann-Whitney one-tailed: TAPAS versus RGG . . . 104

Tabela 16 – Tempo médio total (em segundos) consumido pelo T-BT e T-LP . . . 107

Tabela 17 – Mann-Whitney one-tailed: T-BT versus T-LP . . . 108

Tabela 18 – Tempo médio total (em segundos) consumido pelo TAPAS e T-LP . . 110

Tabela 19 – Mann-Whitney one-tailed: TAPAS versus T-LP . . . 111

Tabela 20 – Parâmetros do M-SA . . . 125

Tabela 21 – Parâmetros do T-SA . . . 125

Tabela 22 – Parâmetros do recozimento simulado . . . 125

Tabela 23 – T-SA versus M-SA: p-valores para 5 objetivos . . . 127

Tabela 24 – Resumo parcial das Tabelas 25, 26 e 27 . . . 129

Tabela 25 – Comparação do T-SA e o M-SA com o resultado do solver para as instâncias k-trimmed com 5 objetivos . . . 132

Tabela 26 – Comparação do T-SA e o M-SA com o resultado do solver para as instâncias k-centrum com 5 objetivos . . . 134

Tabela 27 – Comparação do T-SA e o M-SA com o resultado do solver para as instâncias Hurwicz com 5 objetivos . . . 136

(14)

instâncias k-trimmed com 8 objetivos . . . 143

Tabela 34 – Resumo parcial das Tabelas 35, 36, 37 . . . 151

Tabela 35 – Comparação do T-SA e o M-SA com o resultado do solver para as instâncias k-trimmed com 10 objetivos . . . 154

Tabela 38 – Parâmetros para gerar as instâncias bi-objetivo . . . 172

Tabela 39 – Estatísticas adicionais do TAPAS para a classe correlated . . . 173

Tabela 40 – Estatísticas adicionais do TAPAS para a classe anticorrelated . . . 174

Tabela 41 – Estatísticas adicionais do TAPAS para a classe concave . . . 175

Tabela 42 – Estatísticas adicionais do T-BT para a classe correlated . . . 176

Tabela 43 – Estatísticas adicionais do T-BT para a classe anticorrelated . . . 177

Tabela 44 – Estatísticas adicionais do T-BT para a classe concave . . . 178

Tabela 45 – Eficácia dos operadores do M-SA e outras estatísticas para instâncias k-trimmed com 5 objetivos . . . 179

Tabela 46 – Eficácia dos operadores do M-SA e outras estatísticas para instâncias k-centrum com 5 objetivos . . . 181

Tabela 47 – Eficácia dos operadores do M-SA e outras estatísticas para instâncias Hurwicz com 5 objetivos . . . 183

(15)

Tabela 55 – Eficácia dos operadores do T-SA e outras estatísticas para instâncias k-centrum com 5 objetivos . . . 199 Tabela 56 – Eficácia dos operadores do T-SA e outras estatísticas para instâncias

Hurwicz com 5 objetivos . . . 201 Tabela 57 – Eficácia dos operadores do T-SA e outras estatísticas para instâncias

k-trimmed com 8 objetivos . . . 203 Tabela 58 – Eficácia dos operadores do T-SA e outras estatísticas para instâncias

k-centrum com 8 objetivos . . . 205 Tabela 59 – Eficácia dos operadores do T-SA e outras estatísticas para instâncias

Hurwicz com 8 objetivos . . . 207 Tabela 60 – Eficácia dos operadores do T-SA e outras estatísticas para instâncias

k-trimmed com 10 objetivos . . . 209 Tabela 61 – Eficácia dos operadores do T-SA e outras estatísticas para instâncias

k-centrum com 10 objetivos . . . 211 Tabela 62 – Eficácia dos operadores do T-SA e outras estatísticas para instâncias

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AESSEA Archived Elitist Steady State Evolutionary Algorithm

AGMO Árvore Geradora Multiobjetivo

AG-Bi Árvore Geradora Biobjetivo

AG-OWA Árvore Geradora Multiobjetivo baseada no operador OWA

AGML Árvore Geradora Max-Linear

GRASP Greedy Randomized Adaptive Search Procedure

GRPR Algoritmo GRASP de Arroyo, Vieira e Vianna (2008) hibridizado com

Path Relinking

M-SA Algoritmo genético hibridizado com simulated annealing

NSGA-II Non-dominating Sorting Genetic Algorithm

OWA Ordered Weighted Average Operator

PLS Pareto Local Search

SA Simulated annealing

TAPAS Target aiming Pareto search algorithm

T-BT Algoritmo transgenético hibridizado com Busca Tabu

(17)

𝐺(𝑉, 𝐸) Grafo com conjunto de vértices 𝑉 e conjunto de arestas 𝐸

𝑛 Quantidade de vértices de um grafo 𝐺

𝑚 Quantidade de arestas de um grafo 𝐺

𝑄 Conjunto 𝑄 = {1, 2, ..., 𝑞} representando |𝑄| = 𝑞 índices dos critérios de otimização

𝑃𝑄 Problema multiobjetivo com |𝑄| objetivos

𝜏 Comumente representa uma árvore

E(𝜏 ) Representa o conjunto de arestas de 𝜏

𝑋 Espaço de soluções de 𝑃𝑄

𝑋* Conjunto Pareto ótimo de 𝑃𝑄

𝑍 Espaço objetivo de 𝑃𝑄

𝑍* Fronteira de Pareto de 𝑃𝑄

𝑓𝑖 Função 𝑓𝑖 : 𝑋 → 𝑍 do i-ésimo objetivo de 𝑃𝑄

𝑓 Vetor objetivo 𝑓 : 𝑋 → 𝑍

𝑐𝑖

𝑒 Representa o i-ésimo custo de uma aresta 𝑒 ∈ 𝐸. Alternativamente,

pode ser representado como 𝑐𝑖

𝑣,𝑣′ com 𝑒 = (𝑣, 𝑣′) e 𝑣, 𝑣′ ∈ 𝑉

⪯ Símbolo de dominância fraca

≺ Símbolo de dominância

≺≺ Símbolo de dominância estrita

‖ Símbolo de incomparabilidade

Ψ Conjunto de todos os Conjuntos aproximativos do Pareto ótimo

Ω Conjunto de todos os Conjuntos aproximativos da fronteira de Pareto

𝑍*′ Denota um conjunto aproximativo da fronteira de Pareto

(18)

𝐼1 _{Indicador de qualidade unário 𝐼}1 _{: Ω → ℜ}

𝐼_𝜖1₊ Indicador de qualidade 𝜖-unário aditivo 𝐼1

𝐻 Indicador de qualidade hypervolume unário

𝐼1

𝑅2 Indicador de qualidade 𝑅2 unário.

𝜔 Vetor de pesos OWA

ℵ Operador de vizinhança

Δ Operador de distância do Path Relinking

𝜆 Vetor de escalarização

Λ Conjunto de vetores de escalarização

𝑢 Função de utilidade 𝑢 : 𝑍 → ℜ

𝑢𝜆 Função de utilidade parametrizada por um vetor de escalarização 𝜆

𝑈 Conjunto de funções de utilidade 𝑢

𝐴𝐷 Subconjunto do espaço objetivo de pontos dominados por pelo menos

um ponto do conjunto obtido na primeira fase do TAPAS

𝐴𝑁 𝐷 Subconjunto do espaço objetivo incomparável com o conjunto obtido

na primeira fase do TAPAS

𝐴𝑆 Subconjunto do espaço objetivo de pontos que dominam um, e somente

um, ponto do conjunto obtido na primeira fase do TAPAS

𝐴𝑍 Subconjunto do espaço objetivo de pontos que dominam pelo menos

(19)

1 Procedimento r-mc-Kruskal . . . . 49

2 Procedimento de Busca Tabu de Rocha, Goldbarg e Goldbarg (2006) . . . . 50

3 Algoritmo memético de Rocha, Goldbarg e Goldbarg (2006) . . . 52

4 Algoritmo GRASP de Arroyo, Vieira e Vianna (2008) . . . 53

5 Algoritmo T-LP de Monteiro, Goldbarg e Goldbarg (2010) . . . . 56

6 Busca local da parte GRASP do GRPR . . . . 62

7 Algoritmo Path Relinking para o GRPR . . . . 63

8 GRPR: algoritmo GRASP hibridizado com Path Relinking . . . . 64

9 Primeira fase do TAPAS . . . . 66

10 Algoritmo Path Relinking para o TAPAS . . . 69

11 Segunda fase do TAPAS . . . . 70

12 Procedimento de reciclagem do algoritmo T-BT . . . . 71

13 Algoritmo T-BT . . . . 72

14 M-SA - Algoritmo genético hibridizado com SA . . . 115

15 Simulated Annealing . . . 117

16 T-SA - Algoritmo transgenético hibridizado com SA . . . 119

17 Busca dicotômica de Hamacher e Ruhe (1994) . . . 234

(20)

1 INTRODUÇÃO . . . . 22 1.1 Contextualização e motivação . . . 22 1.2 Objetivos . . . 23 1.3 Justificativa . . . 24 1.4 Procedimentos metodológicos . . . 24 1.5 Organização do Trabalho . . . 25

2 OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA MULTIOBJETIVO . . . . 27

2.1 Definição de Otimização Combinatória Multiobjetivo . . . 27

2.2 Dominância de Pareto . . . 28

2.3 Soluções suportadas e não suportadas . . . 29

2.4 Conjuntos aproximativos . . . 30

2.5 Indicadores de qualidade . . . 31

2.5.1 R2 . . . 32

2.5.2 Hypervolume . . . 33

2.5.3 Épsilon unário aditivo . . . 34

3 ESTADO DA ARTE DE HIBRIDIZAÇÃO DE META-HEU-RÍSTICAS . . . . 36

3.1 Taxonomia de Talbi (2002) . . . 39

4 O PROBLEMA DA ÁRVORE GERADORA MULTIOBJE-TIVO . . . . 42

4.1 A Árvore Geradora Mínima . . . 42

4.2 A Árvore Geradora Bi-objetivo . . . 44

4.3 Árvore Geradora Multiobjetivo baseada no operador OWA . . 45

4.4 Revisão da literatura da AGMO . . . 47

4.4.1 Algoritmos exatos . . . 47

4.4.2 Algoritmos heurísticos . . . 48

4.4.2.1 Algoritmo de Rocha, Goldbarg e Goldbarg (2006) . . . 49

4.4.2.2 Algoritmo de Arroyo, Vieira e Vianna (2008). . . 53

4.4.2.3 Algoritmo de Monteiro, Goldbarg e Goldbarg (2010) . . . 54

4.4.2.4 Algoritmo de Párraga-Álava, Dorn e Inostroza-Ponta (2017) . . . 58

4.5 Revisão da literatura da AG-OWA . . . 60

(21)

5.2.1 Primeira fase . . . 65

5.2.2 Segunda fase . . . 67

5.3 T-BT : Hibridização da transgenética com Busca Tabu . . . 70

6 EXPERIMENTOS DOS ALGORITMOS PARA A AG-BI . . 75

6.1 Instâncias utilizadas . . . 75

6.2 Metodologia da análise experimental . . . 75

6.2.1 Ajustes de parâmetros . . . 76

6.2.2 Critérios de comparação . . . 76

6.2.3 Metodologia da comparação dos algoritmos entre si . . . 77

6.2.4 Metodologia dos experimentos complementares . . . 78

6.2.5 Metodologia da comparação com a literatura . . . 79

6.3 Comparação dos algoritmos propostos entre si . . . 79

6.3.1 Comparação do TAPAS e GRPR . . . . 86

6.3.2 Comparação do T-BT e GRPR . . . . 89

6.3.3 Comparação do TAPAS e T-BT . . . . 91

6.4 Experimentos computacionais complementares . . . 94

6.5 Comparação com os algoritmos da literatura . . . 98

6.5.1 Comparação do T-BT com o RGG . . . . 99

6.5.2 Comparação do TAPAS com o RGG . . . 103

6.5.3 Comparação do T-BT com o T-LP . . . 106

6.5.4 Comparação do TAPAS com o T-LP . . . 109

7 ALGORITMOS HÍBRIDOS PARA A AG-OWA . . . . 114

7.1 M-SA: Hibridização do genético com simulated annealing . . . 114

7.1.1 População inicial . . . 115

7.1.2 Operadores genéticos . . . 116

7.1.3 Simulated Annealing . . . 116

7.1.4 Estratégia de renovação . . . 117

7.2 T-SA: Hibridização da transgenética com simulated annealing 118 7.2.1 Material genético do hospedeiro . . . 119

7.2.2 Vetores transgenéticos . . . 120

8 EXPERIMENTOS DOS ALGORITMOS PARA A AG-OWA 122 8.1 Instâncias utilizadas . . . 122

8.2 Metodologia de comparação . . . 123

8.3 Ajustes de parâmetros . . . 125

(22)

8.6 Resultados para as instâncias com 8 objetivos . . . 138 8.7 Resultados para as instâncias com 10 objetivos . . . 149 9 CONSIDERAÇÕES FINAIS E TRABALHOS FUTUROS . . 160 9.1 Trabalhos Futuros . . . 162

REFERÊNCIAS . . . . 163

APÊNDICES

171

APÊNDICE A – PARÂMETROS DAS INSTÂNCIAS BI-OB-JETIVO . . . . 172 APÊNDICE B – TAPAS: OUTRAS ESTATÍSTICAS . . . . . 173 APÊNDICE C – T-BT : OUTRAS ESTATÍSTICAS . . . . 176 APÊNDICE D – M-SA: OUTRAS ESTATÍSTICAS . . . . 179 D.1 Instâncias com 5 objetivos . . . 179 D.2 Instâncias com 8 objetivos . . . 185 D.3 Instâncias com 10 objetivos . . . 191

APÊNDICE E – T-SA: OUTRAS ESTATÍSTICAS . . . . 197 E.1 Instâncias com 5 objetivos . . . 197 E.2 Instâncias com 8 objetivos . . . 203 E.3 Instâncias com 10 objetivos . . . 209

APÊNDICE F – GRÁFICOS DO T-SA E M-SA: TEMPO PARA ENCONTRAR A MELHOR SOLU-ÇÃO . . . . 215

ANEXOS

233

ANEXO A – BUSCA DICOTÔMICA DE Hamacher e Ruhe (1994) . . . . 234 ANEXO B – ALGORITMO RANDOM WALK DE RAIDL E

JULSTROM (2003) . . . . 236 ANEXO C – DIREÇÕES DE REFERÊNCIA DO SPEA/R . 237

(23)

1 Introdução

Esta pesquisa investiga potenciais metodologias de hibridização de meta-heurísticas aplicadas à Árvore Geradora Multiobjetivo (AGMO).

A seção 1.1 contextualiza e motiva a realização deste estudo, a seção 1.2 esclarece os objetivos desta pesquisa, a seção 1.3 a justifica, a seção 1.4 detalha sua metodologia e a seção 1.5 apresenta a organização do trabalho.

1.1 Contextualização e motivação

Diversos problemas da vida real, em áreas como engenharia, indústria e medicina, podem ser, muitas vezes, modelados total ou parcialmente através de problemas de Otimização Combinatória. Tais modelos, segundo Goldbarg e Luna (2005), devem ser “representações simplificadas da realidade que preservem, para determinadas situações e enfoques, uma equivalência adequada”. Tal modelagem possibilita que métodos e algoritmos da Pesquisa Operacional e Otimização Combinatória possam ser utilizados no tratamento do problema que é representado (GOLDBARG; LUNA, 2005).

A prosperidade dos estudos em Otimização Combinatória se deve, principalmente, à sua elevada aplicabilidade nos problemas do mundo real, como no contexto de problemas em trajeto e rota de veículos, de telecomunicações, planejamento e programação de atividades de produção, problemas de localização e etc (JASZKIEWICZ, 2002).

Esta pesquisa se concentra sobre um problema de Otimização Combinatória chamado Árvore Geradora Multiobjetivo (AGMO), o qual é uma extensão natural de sua versão mono-objetivo, a Árvore Geradora Mínima (AGM ). Árvores geradoras e suas variações são modelos em Teoria dos Grafos que possuem inúmeras aplicações práticas, como em instalações de telefone, hidráulicas, elétricas, TV a cabo, petróleo e gás; otimização de distribuição de sinal em redes; redes ópticas; otimização de sistemas submersos em campos de petróleo Off-Shore; otimização de sistemas com grau de incertezas; projeto de redes de computadores e de comunicação; análise de agrupamento; circuitos de placas de computador; análise genética; redução de armazenamento de dados na sequência de aminoácidos em uma proteína; dentre tantos outros (GOLDBARG; GOLDBARG, 2012). De modo particular, diversas pesquisas observaram que versões multiobjetivo (não somente da árvore geradora, mas também de outros problemas de otimização) modelam de maneira mais adequada e satisfatória as situações do mundo real porque consideram a coexistência de muitos objetivos por vezes conflitantes. Ehrgott e Gandibleux (2000) observaram que desde 1990 várias teses de doutorado foram escritas sobre Otimização Combinatória Multiobjetivo e diversas metodologias foram desenvolvidas, crescendo consideravelmente a quantidade de trabalhos que abordam o tema.

(24)

A AGMO se faz objeto de estudo desta pesquisa sob a ótica de duas versões do problema: a versão bi-objetivo baseada em dominância de Pareto (chamada AG-Bi) e a versão baseada em preferência. Nesta última, o critério de preferência adotado é o operador Ordered Weighted Average Operator (OWA), e por isso, aqui, a AGMO recebe o nome de AG-OWA. Ambas as versões são NP-difíceis (AGGARWAL; ANEJA; NAIR, 1982; GALAND; SPANJAARD, 2012).

Meta-heurísticas são abordagens muito utilizadas para lidar com problemas NP-difíceis. Estas técnicas tem por objetivo encontrar soluções heurísticas de boa qualidade com baixos recursos computacionais em comparação aos recursos necessários para métodos exatos. Mais recentemente, porém, pesquisadores têm desenvolvido algoritmos que não seguem puramente os princípios específicos de uma meta-heurística, mas que combinam suas características ou sub-rotinas mais promissoras (RAIDL, 2006). Esta técnica é chamada hibridização de meta-heurísticas. A motivação por trás desta abordagem é obter procedimentos capazes de gerar soluções de melhor qualidade quando comparadas à soluções geradas por abordagens “puras”.

A literatura da AG-Bi inclui vários algoritmos exatos e meta-heurísticos. Poucos trabalhos apresentaram algoritmos híbridos para AG-Bi (ROCHA; GOLDBARG; GOLD-BARG, 2006; DAVIS-MORADKHAN; BROWNE, 2008; PÁRRAGA-ÁLAVA; DORN; INOSTROZA-PONTA, 2017) e nenhum deles providenciou uma investigação abrangente de variadas técnicas de hibridização de meta-heurísticas para o referido problema. Ademais, até a data de escrita deste trabalho, a literatura da AG-OWA não incluía algoritmos meta-heurísticos, tampouco híbridos.

Portanto, a presente pesquisa é motivada pela importância dos problemas em estudo, pelo caráter promissor da hibridização de algoritmos e pelas lacunas ainda existentes no estado da arte.

1.2 Objetivos

O objetivo geral desta pesquisa é propor novas meta-heurísticas híbridas para a AG-Bi e as primeiras para a AG-OWA e analisá-las experimentalmente. Constituem objetivos específicos:

1. Revisar os algoritmos que compõem o estado da arte da AG-Bi e a AG-OWA.

2. Estudar técnicas de hibridização envolvendo meta-heurísticas, suas teorias, caracte-rísticas e taxonomias.

3. Investigar o desempenho das novas abordagens híbridas aplicadas aos problemas em estudo e compará-las com técnicas que compõem o estado da arte.

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4. Contribuir com novos algoritmos híbridos, que, especialmente para a AG-OWA, tornar-se-ão o estado da arte.

1.3 Justificativa

Ambos os problemas estudados por esta pesquisa, a AG-Bi e a AG-OWA, possuem considerável aplicabilidade em situações do mundo real. De modo geral, a AGMO também apresenta significativa importância teórica no contexto da otimização combinatória. Por esta razão, a AG-Bi tem sido intensamente estudada na literatura. Por outro lado, a AG-OWA é um problema mais recente e sua literatura carece de mais estudos algorítmicos.

Hibridização de meta-heurísticas representa uma promissora tendência no desen-volvimento de algoritmos para problemas de otimização combinatória. De fato, algoritmos híbridos combinam as características de melhor desempenho de duas ou mais meta-heurís-ticas e, por isso, tendem a encontrar melhores soluções quando comparados às abordagens puras.

Esta pesquisa se justifica por propor abordagens híbridas à AG-Bi que ainda não foram exploradas na literatura do referido problema. Ademais, a literatura da AG-OWA, particularmente, até a data de escrita desta obra, não incluía algoritmos heurísticos, tampouco meta-heurísticas híbridas. Assim, os algoritmos propostos por esta pesquisa deverão se tornar o estado da arte da AG-OWA.

1.4 Procedimentos metodológicos

O primeiro passo da metodologia consistiu em estudar a otimização multiobjetivo de modo geral. Este estudo inicial foi importante porque esclareceu aspectos gerais e fundamentais dos problemas multiobjetivo, suas propriedades teóricas e metodologias de análise de resultados.

Foi indispensável um estudo profundo acerca das metodologias de hibridização de meta-heurísticas. Foi necessário revisar a literatura destas abordagens, a fim de estudar potenciais técnicas de hibridização já relatadas em outros trabalhos. Deste modo, as taxonomias de Talbi (2002) e Talbi (2015) guiaram e fundamentaram todo o processo de concepção e desenvolvimento dos novos algoritmos. Além disso, também se fez necessário um estudo do estado da arte da AG-Bi e da AG-OWA. No primeiro, foram estudados algoritmos heurísticos da literatura, que são conhecidos por gerar excelentes resultados, com a finalidade de conhecer suas características mais promissoras e utilisá-las no processo de hibridização. No segundo, foram estudados modelos matemáticos a fim de compará-los com os algoritmos desenvolvidos.

Foram concebidos algoritmos que representam diversas abordagens híbridas, ado-tando as mais variadas filosofias meta-heurísticas. Deste modo, três algoritmos foram

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desenvolvidos e aplicados à AG-Bi: uma abordagem GRASP com Path Relinking, uma abordagem memética com Path Relinking e uma abordagem transgenética com busca tabu. Estes métodos foram escolhidos a partir de seus desempenhos individuais relatados na literatura. De fato, abordagens GRASP (ARROYO; VIEIRA; VIANNA, 2008), memética (ROCHA; GOLDBARG; GOLDBARG, 2006) e transgenética (MONTEIRO; GOLDBARG; GOLDBARG, 2010) são conhecidas na literatura da AG-Bi por gerar excelentes resultados. Por sua vez, para a AG-OWA, dois algoritmos foram desenvolvidos: uma abordagem memética e outra transgenética, ambas hibridizadas com simulated annealing. Estas abor-dagens evolucionárias foram adotadas porque são conhecidas por gerar bons resultados em diversos outros problemas de otimização. O simulated annealing foi escolhido por ser uma meta-heurística que concilia um certo grau de intensificação e diversificação.

Finalmente, foi realizada uma extensa e frutuosa análise experimental dos algo-ritmos propostos com base, principalmente, no tempo computacional despendido e na qualidade das soluções encontradas. Testes estatísticos foram conduzidos a fim de avaliar a qualidade das soluções obtidas. Os algoritmos foram comparados entre si, de acordo com o problema específico a que são aplicados. No caso da AG-Bi, experimentos foram efetuados considerando instâncias de até 1000 vértices das classes correlated, anticorrelated e concave (KNOWLES, 2002) e os algoritmos desenvolvidos foram comparados com o estado da arte. Os algoritmos da AG-Bi foram experimentados considerando quantidade de iterações e quantidade de avaliações da função objetivo. No caso da AG-OWA, por sua vez, foram consideradas instâncias com até 1000 vértices, com 5, 8 e 10 objetivos, das classes correlated e anticorrelated (KNOWLES, 2002) e dos critérios OWA k-trimmed (GALAND; SPANJAARD, 2012), k-centrum (TAMIR, 2001) e Hurwicz (HURWICZ, 1951). Devido à ausência de algoritmos heurísticos na literatura da AG-OWA, os novos algoritmos foram comparados com resultados obtidos pelo modelo matemático de Fernández et al. (2017).

1.5 Organização do Trabalho

Este documento se organiza em 9 capítulos, 6 apêndices e 3 anexos. No Capítulo 2 são revisados os conceitos fundamentais da Otimização Combinatória Multiobjetivo, dominância de Pareto e conceitos de qualidade de conjuntos aproximativos. O Capítulo 3 revisa as metodologias que compõem a literatura de hibridização de meta-heurísticas. O Capítulo 4 apresenta as definições matemáticas da AGMO e AG-OWA, bem como a revisão de suas respectivas literaturas. O Capítulo 5 apresenta os algoritmos desenvolvidos para a AG-Bi. O Capítulo 6 apresenta os resultados e discussões dos experimentos dos algoritmos desenvolvidos para a AG-Bi e a comparação com o estado da arte. O Capítulo 7 apresenta os algoritmos desenvolvidos para a AG-OWA. O Capítulo 8 disserta acerca dos experimentos dos algoritmos desenvolvidos para a AG-OWA, bem como os compara com resultados do modelo de Fernández et al. (2017). O Capítulo 9 apresenta as considerações finais e

(27)

trabalhos futuros. O Apêndice A expõe os parâmetros utilizados na geração das instâncias adotadas nos experimentos do Capítulo 6. Os Apêndices B e C apresentam estatísticas adicionais dos algoritmos aplicados à AG-Bi. Os Apêndices D, E e F apresentam estatísticas adicionais dos algoritmos aplicados à AG-OWA. Finalmente, o Anexo A apresenta a Busca Dicotômica de Hamacher e Ruhe (1994), o Anexo B apresenta o algoritmo Random Walk de Raidl e Julstrom (2003) e o Anexo C explica brevemente sobre um recente método de geração de vetores de escalarização proposto no trabalho de Jiang e Yang (2017) (este método é utilizado pelos algoritmos híbridos desenvolvidos para AG-OWA).

(28)

2 Otimização Combinatória

Multiobje-tivo

Este capítulo apresenta as definições fundamentais da Otimização Combinatória Multiobjetivo e contextualiza esta pesquisa no domínio do referido tópico. A seção 2.1 fornece a definição formal e geral de otimização multiobjetivo, a seção 2.2 define dominância de Pareto, a seção 2.3 distingue as soluções suportadas e não suportadas, a seção 2.4 disserta sobre conjuntos aproximativos e, finalmente, a seção 2.5 apresenta os operadores de qualidade adotados por esta pesquisa.

2.1 Definição de Otimização Combinatória Multiobjetivo

Seja 𝑄 = {1, 2, ..., 𝑞} um conjunto de índices de 𝑞 > 1 objetivos que devem ser otimizados. À luz da definição de Knowles, Thiele e Zitzler (2005), um problema de otimização combinatória multiobjetivo 𝑃𝑄, com 𝑞 objetivos, é uma quádrupla (X, Z, f,

rel), onde X é o espaço de soluções viáveis (ou espaço de decisão), 𝑍 ⊆ ℜ𝑞 _{é o espaço}

objetivo, 𝑓 : 𝑋 → 𝑍 é a função que mapeia cada solução 𝑠 ∈ 𝑋 a um vetor objetivo 𝑧 = 𝑓 (𝑠) ∈ 𝑍, e rel é uma relação binária sobre Z. Tal relação tem o papel de classificar os pontos no espaço objetivo e, assim, caracterizar as soluções preferíveis (FERNANDES, 2016). O agregado (𝑍, 𝑟𝑒𝑙) é parcialmente ordenado, pois a relação binária rel sobre 𝑍 deve ser reflexiva, anti-simétrica e transitiva. É possível que haja 𝑠′, 𝑠′′ ∈ 𝑋, 𝑠′ _{̸= 𝑠}′′_{, tal} que 𝑓 (𝑠′) = 𝑓 (𝑠′′). Por este motivo, rel induz no espaço decisão uma pré-ordem.

Sem perda de generalidade, considere 𝑃𝑄 como um problema de minimização. O

objetivo de 𝑃𝑄 é representado pela expressão (2.1), onde cada 𝑓𝑖(𝑠), com 𝑖 ∈ 𝑄, é um

componente do vetor objetivo 𝑧 = 𝑓 (𝑠) ∈ 𝑍 de dimensão 𝑞. Matematicamente, 𝑃𝑄 visa

encontrar um conjunto 𝑋* ⊆ 𝑋 de soluções ditas eficientes (ou otimizadas) as quais são mapeadas num conjunto minimal 𝑍* ⊆ 𝑍. A definição do problema de maximização é análoga.

min

𝑠∈𝑋 𝑓 (𝑠) = (𝑓1(𝑠), ..., 𝑓𝑞(𝑠)) (2.1)

Knowles, Thiele e Zitzler (2005) observaram que na otimização mono-objetivo, geralmente define-se rel como as relações de ordem total ≤ ou ≥ (“menor ou igual que” e “maior ou igual que”, respectivamente). Neste caso, o conjunto 𝑍* é unitário, pois haverá uma e somente uma solução minimal (ou maximal). Todavia, no contexto multiobjetivo, esta ordenação total não é possível. Vê-se, assim, a necessidade de novas definições da relação binária rel.

(29)

2.2 Dominância de Pareto

Define-se, nesta seção, uma extensão natural da relações ≤ e <, chamada domi-nância de Pareto. Sejam 𝑠′, 𝑠′′ ∈ 𝑋 duas soluções viáveis quaisquer. Seja 𝑓 : 𝑋 → 𝑍 ⊆ ℜ𝑞_,

com 𝑞 > 1, a função que mapeia o espaço de soluções no espaço de vetores objetivo. Sejam ainda ⪯, ≺ e ≺≺ relações binárias sobre Z.

Definição 1 (Dominância Fraca). É dito que o vetor objetivo 𝑓 (𝑠′) domina fracamente 𝑓 (𝑠′′), denotado por 𝑓 (𝑠′) ⪯ 𝑓 (𝑠′′), se, e somente se, ∀𝑖 ∈ 𝑄, 𝑓𝑖(𝑠′) ≤ 𝑓𝑖(𝑠′′). Naturalmente,

é dito que a solução 𝑠′ domina fracamente 𝑠′′. Ou seja, isso ocorre quando a primeira não é pior que a segunda em todos os objetivos.

Definição 2 (Dominância). É dito que o vetor objetivo 𝑓 (𝑠′) domina 𝑓 (𝑠′′), denotado por 𝑓 (𝑠′) ≺ 𝑓 (𝑠′′), se, e somente se, ∀𝑖 ∈ 𝑄, 𝑓𝑖(𝑠′) ≤ 𝑓𝑖(𝑠′′) e ∃𝑖 ∈ 𝑄, tal que, 𝑓𝑖(𝑠′) < 𝑓𝑖(𝑠′′).

Naturalmente, é dito que a solução 𝑠′ domina 𝑠′′. Ou seja, isso acontece quando a primeira não é pior que a segunda em todos os objetivos e é melhor em pelo menos um.

Definição 3 (Dominância Estrita). É dito que o vetor objetivo 𝑓 (𝑠′) domina estritamente 𝑓 (𝑠′′), denotado por 𝑓 (𝑠′) ≺≺ 𝑓 (𝑠′′), se, e somente se, ∀𝑖 ∈ 𝑄, 𝑓𝑖(𝑠′) < 𝑓𝑖(𝑠′′). Naturalmente,

é dito que a solução 𝑠′domina estritamente 𝑠′′. Ou seja, uma solução 𝑠′domina estritamente uma solução 𝑠′′ quando a primeira é melhor que a segunda em todos os objetivos.

Definição 4 (Incomparabilidade). É dito que os vetores objetivo 𝑓 (𝑠′) e 𝑓 (𝑠′′) são in-comparáveis, denotado por 𝑓 (𝑠′) ‖ 𝑓 (𝑠′′), se, e somente se, 𝑓 (𝑠′) ̸⪯ 𝑓 (𝑠′′) e 𝑓 (𝑠′′) ̸⪯ 𝑓 (𝑠′). Diz-se, pois, que 𝑠′ e 𝑠′′ são incomparáveis.

Definição 5 (Indiferença). É dito que duas soluções 𝑠′ e 𝑠′′ são indiferentes, denotado por 𝑠′ ∼ 𝑠′′_{, se, e somente se, ∀𝑖 ∈ 𝑄, 𝑓}

𝑖(𝑠′) = 𝑓𝑖(𝑠′′). No espaço objetivo, a indiferença

entre vetores significa simplesmente igualdade.

Definição 6 (Conjunto Pareto Ótimo e Fronteira de Pareto). Sejam 𝑋* = {𝑠′ ∈ 𝑋 | ∀𝑠′′ _{∈ 𝑋, 𝑠}′′ _{̸≺ 𝑠}′_{} e 𝑓 (𝑋}*_{) = 𝑍}* _{= {𝑓 (𝑠) ∈ 𝑍 | 𝑠 ∈ 𝑋}*_{}. 𝑋}* _{é chamado conjunto Pareto} Ótimo e 𝑍* é chamado Fronteira de Pareto.

Note que, pelas definições ora introduzidas, tem-se que 𝑠′ 𝑟𝑒𝑙 𝑠′′ ⇔ 𝑓 (𝑠′_{) 𝑟𝑒𝑙 𝑓 (𝑠}′′_). Ou seja, a relação se verifica no espaço decisão se, e somente se, verificar-se no espaço de objetivo. Portanto, dado o conjunto 𝑄 de critérios e dada a quádrupla (𝑋, 𝑍, 𝑓, ⪯), então 𝑃𝑄 visa encontrar o conjunto 𝑋* ⊆ 𝑋 de soluções eficientes dito Pareto ótimo, tal que

𝑍* = 𝑓 (𝑋*) ⊆ 𝑍 seja o conjunto de vetores objetivo não dominados, dito Fronteira de Pareto.

(30)

2.3 Soluções suportadas e não suportadas

Segundo Ehrgott e Gandibleux (2000), as soluções eficientes podem ser classi-ficadas como suportadas e não suportadas. As primeiras podem ser encontradas pela soma ponderada dos objetivos, utilizando um vetor de escalarização. Formalmente, seja 𝜆 = (𝜆1, ..., 𝜆𝑞) um vetor de escalarização tal que ∑︀𝑖∈𝑄𝜆𝑖 = 1 e 𝜆𝑖 ∈ ℜ+. Então, as soluções suportadas podem ser encontradas pela expressão (2.2). As soluções eficientes não suportadas, por sua vez, não podem ser encontradas pela soma ponderada dos objetivos.

min

𝑠∈𝑋

∑︁

𝑖∈𝑄

𝜆𝑖𝑓𝑖(𝑠) (2.2)

Em uma fronteira de Pareto convexa, as soluções eficientes suportadas podem ser associadas aos pontos extremos do contorno convexo ou a pontos na linha que liga dois pontos extremos. Dois pontos extremos lexicograficamente consecutivos formam um triângulo retângulo, dentro do qual se encontram os pontos associados às soluções eficientes não suportadas. A Figura 1 ilustra um espaço bi-objetivo (𝑞 = 2). Os pontos {𝑧1, ..., 𝑧8} constituem a fronteira de Pareto. Os pontos vermelhos são dominados. Os pontos {𝑧1, ..., 𝑧5} são pontos extremos (associados às soluções suportadas) e podem ser encontrados com auxílio de vetores de escalarização. Finalmente, os pontos {𝑧6, 𝑧7, 𝑧8} são eficientes, porém não extremos (associados às soluções não suportadas). É importante observar que dentro dos triângulos retângulos também pode haver pontos não eficientes.

Figura 1 – Fronteira de Pareto, soluções eficientes suportadas e não suportadas

(31)

2.4 Conjuntos aproximativos

Em otimização combinatória multiobjetivo, para instâncias suficientemente gran-des, é inviável a tarefa de encontrar todo o conjunto ótimo de Pareto ou toda a fronteira de Pareto. De fato, o 𝑋* de uma instância suficientemente grande pode conter uma quanti-dade exponencial de soluções (HAMACHER; RUHE, 1994), o que eleva significativamente o consumo de recursos computacionais, como memória e tempo de processamento. No caso específico da árvore geradora bi-objetivo, Fernandes (2016) mostrou que o tempo de processamento de algoritmos exatos cresce substancialmente com o tamanho da instância. Por esta razão, pesquisadores têm investigado abordagens meta-heurísticas a fim de não mais necessariamente obter os conjuntos exatos 𝑋* ou 𝑍*, mas uma boa aproximação destes.

Na definição de Knowles, Thiele e Zitzler (2005), um conjunto 𝑋*′⊆ 𝑋 de soluções mutuamente incomparáveis produzido por um procedimento heurístico é chamado conjunto aproximativo do Pareto ótimo. O conjunto 𝑍*′ ⊆ 𝑍, chamado conjunto aproximativo da fronteira de Pareto, compreende os vetores do espaço objetivo associados às soluções de 𝑋*′. Sejam ainda Ψ e Ω, respectivamente, conjuntos de conjuntos do tipo 𝑋*′ e 𝑍*′. Segundo Knowles, Thiele e Zitzler (2005), 𝑃𝑄, definido pela quádrupla (𝑋, 𝑍, 𝑓 , 𝑟𝑒𝑙),

pode ser estendido para 𝑃_𝑄′, definido pela nova quádrupla (Ψ, Ω, 𝑓′, 𝑟𝑒𝑙′), onde 𝑓′ e 𝑟𝑒𝑙′ são definidos respectivamente pelas expressões (2.3) e (2.4). O problema 𝑃_𝑄′ visa, portanto, encontrar algum 𝑋*′∈ Ψ ou 𝑍*′_{∈ Ω.}

𝑓′(𝑋*′) = {𝑓 (𝑠) ∈ 𝑍 | 𝑠 ∈ 𝑋*′} (2.3)

∀𝑍*′, 𝑍*′′ ∈ Ω, 𝑍*′ 𝑟𝑒𝑙′ 𝑍*′′⇔ ∀𝑧′′ ∈ 𝑍*′′ ∃𝑧′ ∈ 𝑍*′, 𝑧′ 𝑟𝑒𝑙 𝑧′′ (2.4) Se 𝑟𝑒𝑙 é ⪯, então 𝑟𝑒𝑙′ representa uma extensão da dominância fraca de Pareto para conjuntos aproximativos da fronteira de Pareto (KNOWLES; THIELE; ZITZLER, 2005). Ou seja, é possível estender a definição de dominância de Pareto vista na seção 2.2 para conjuntos aproximativos, de modo a traçar uma avaliação de qualidade entre dois conjuntos aproximativos quaisquer. A Tabela 1 aborda as novas definições para dois conjuntos aproximativos arbitrários 𝑍*′, 𝑍*′′ ∈ Ω. Note que foi introduzida a definição de “melhor”, denotada por C, a qual indica se um conjunto aproximativo é preferível a outro.

Pelas definições da Tabela 1, tem-se que 𝑋*′ 𝑟𝑒𝑙′ 𝑋*′′ ⇔ 𝑓′_(𝑋*′_{) 𝑟𝑒𝑙}′ _𝑓′_(𝑋*′′_). Ou seja, as relações dos conjuntos aproximativos em Ψ são definidas considerando suas respectivas imagens (fronteiras aproximativas) em Ω. Perceba ainda que dois conjuntos aproximativos indiferentes da fronteira de Pareto são idênticos. Porém, o mesmo não se verifica com os conjuntos aproximativos em Ψ, pois, de fato, pode haver 𝑋*′, 𝑋*′′ ∈ Ψ, 𝑋*′ ̸= 𝑋*′′_{, tais que 𝑓}′_(𝑋*′_{) = 𝑓}′_(𝑋*′′_{). Assim, o agregado (Ω, ⪯) é parcialmente ordenado,} cujo único elemento minimal é a fronteira de Pareto 𝑍*; o agregado (Ψ, ⪯) é uma pré-ordem (KNOWLES; THIELE; ZITZLER, 2005).

(32)

Tabela 1 – Conceitos de dominância de Pareto no contexto de conjuntos aproximativos

Relação Notação Interpretação no espaço objetivo

Dominância fraca 𝑍*′ ⪯ 𝑍*′′ todo 𝑧′′ ∈ 𝑍*′′ é fracamente dominado por pelo menos um 𝑧′ ∈ 𝑍*′

Dominância 𝑍*′ ≺ 𝑍*′′ todo 𝑧′′ ∈ 𝑍*′′ é dominado por pelo menos

um 𝑧′ ∈ 𝑍*′

Dominância estrita 𝑍*′ ≺≺ 𝑍*′′ todo 𝑧′′ ∈ 𝑍*′′ é dominado estritamente por pelo menos um 𝑧′ ∈ 𝑍*′

Incomparabilidade 𝑍*′ ‖ 𝑍*′′ _𝑍*′_{̸⪯ 𝑍}*′′ _{e 𝑍}*′′ _{̸⪯ 𝑍}*′ Indiferença 𝑍*′ ∼ 𝑍*′′ _𝑍*′_{⪯ 𝑍}*′′ _{e 𝑍}*′′ _{⪯ 𝑍}*′

Melhor 𝑍*′_{C 𝑍}*′′ todo 𝑧

′′ _{∈ 𝑍}*′′ _{é fracamente dominado por} pelo menos um 𝑧′ ∈ 𝑍*′ _{e 𝑍}*′ _{̸∼ 𝑍}*′′ Adaptado de Knowles, Thiele e Zitzler (2005)

2.5 Indicadores de qualidade

Apesar de constituir a base para a comparação entre dois conjuntos aproximativos, a estrutura de dominância definida na seção 2.4, segundo Knowles, Thiele e Zitzler (2005), é incapaz de responder alguns questionamentos importantes na análise empírica da qualidade das soluções retornadas por duas heurísticas. Por exemplo, de acordo com os autores, dados dois conjuntos quaisquer 𝑍*′, 𝑍*′′ ∈ Ω, se 𝑍*′

C 𝑍*′′, pode-se indagar sobre o quanto 𝑍*′é melhor que 𝑍*′′; se 𝑍*′‖ 𝑍*′′_{, pode-se ainda perguntar sobre a existência de possíveis} aspectos em que um conjunto poderia ser preferível a outro. As relações definidas na Tabela 1 não são capazes de responder satisfatoriamente a estes questionamentos. Faz-se necessária alguma métrica adicional capaz de avaliar quantitativamente a qualidade de dois conjuntos aproximativos. Surgem, pois, os chamados indicadores de qualidade.

Knowles, Thiele e Zitzler (2005) definiram um indicador unário 𝐼1 _{: Ω → ℜ} como uma função que mapeia cada conjunto aproximativo a um número real. A diferença entre 𝐼1_(𝑍*′_{) e 𝐼}1_(𝑍*′′_{) indica a diferença de qualidade entre os dois conjuntos. Sem} perda de generalidade, considerando 𝐼1 como sendo de minimização, se 𝐼1(𝑍*′) < 𝐼1(𝑍*′′), então diz-se que 𝐼1 é favorável a 𝑍*′. Deste modo, a partir de 𝐼1 e ≤ (ou ≥), é possível estabelecer uma ordem total em Ω. Knowles, Thiele e Zitzler (2005) classificaram os indicadores de qualidade unários em duas categorias: os Pareto concordantes e os Pareto não concordantes. Um indicador 𝐼1 _{se enquadra na primeira categoria se, e somente} se, ∀𝑍*′, 𝑍*′′ ∈ Ω, 𝑍*′ _{⪯ 𝑍}*′′ _{⇒ 𝐼}1_(𝑍*′_{) ≤ 𝐼}1_(𝑍*′′_{) (considerando que o indicador é de} minimização). Ou seja, um indicador é Pareto concordante quando não contradiz a relação de dominância fraca de Pareto sobre Ω. Isso significa que, dados quaisquer 𝑍*′, 𝑍*′′ ∈ Ω, se 𝑍*′ domina fracamente 𝑍*′′ (segundo a Tabela 1), então o indicador unário avalia 𝑍*′ como sendo não pior que 𝑍*′′. Neste sentido, se 𝐼1(𝑍*′) < 𝐼1(𝑍*′′), então 𝑍*′′ não pode dominar fracamente 𝑍*′, donde duas possibilidades podem ser derivadas: ou 𝑍*′⪯ 𝑍*′′ _(e, portanto, 𝑍*′

(33)

sua vez, um indicador é Pareto não concordante quando, dados 𝑍 , 𝑍 ∈ Ω, 𝐼 aponta a preferência de 𝑍*′′ sobre 𝑍*′, porém 𝑍*′ ⪯ 𝑍*′′_{∧ 𝑍}*′′ _{̸⪯ 𝑍}*′ _{(KNOWLES; THIELE;} ZITZLER, 2005).

Knowles, Thiele e Zitzler (2005) catalogaram uma lista de indicadores de ambas as categorias. A fim de avaliar a qualidade dos conjuntos aproximativos retornados pelos algoritmos estudados, esta pesquisa adotou três indicadores Pareto concordantes: o 𝑅2 unário (𝐼1

𝑅2), descrito na seção 2.5.1; o hypervolume unário (𝐼𝐻1), descrito na seção 2.5.2;

e o épsilon unário aditivo (𝐼1

𝜖+), descrito na seção 2.5.3. Utilizou-se as implementações

destes indicadores disponibilizadas pela plataforma PISA (BLEULER et al., 2003).

2.5.1 R2

Hansen e Jaszkiewicz (1998) propuseram um conjunto de indicadores de qualidade baseados em funções de utilidade e probabilidades. Estes indicadores constituem a chamada família 𝑅, composta por três tipos de indicadores, 𝑅1, 𝑅2 e 𝑅3, os quais possuem suas versões unária e binária. A presente pesquisa adotou o 𝑅2 unário, denotado por 𝐼1

𝑅2, cuja

definição é apresentada a seguir. O leitor interessado nas demais versões é convidado a consultar o trabalho de Hansen e Jaszkiewicz (1998). Todos os indicadores da família 𝑅 visam, a partir de funções de utilidade, emular a preferência do tomador de decisão.

Uma função de utilidade 𝑢 : 𝑍 → ℜ é um modelo de preferência que mapeia um ponto do espaço de objetivos em um valor real. Tal valor expressa o grau de preferência do vetor. Assim, o tomador de decisão visa maximizar a utilidade. Hansen e Jaszkiewicz (1998) afirmaram que uma função de utilidade 𝑢 é compatível com a relação de dominância de Pareto se, e somente se, ∀𝑧′, 𝑧′′ ∈ 𝑍, 𝑧′ _{≺ 𝑧}′′ _{⇒ 𝑢(𝑧}′_{) ≥ 𝑢(𝑧}′′_{). Dado um conjunto de} aproximação 𝑍*′_{∈ Ω, define-se 𝑢}*_(𝑍*′_{) pela expressão (2.5).}

𝑢*(𝑍*′) = max

𝑧∈𝑍*′{𝑢(𝑧)} (2.5)

A função de utilidade 𝑢 pode ser parametrizada por um vetor de escalarização 𝜆 = (𝜆1, ..., 𝜆𝑞) ∈ ℜ𝑞+, tal que

∑︀

𝑖∈𝑄𝜆𝑖 = 1. Conforme sugerido por Hansen e Jaszkiewicz

(1998), esta pesquisa adotou a função de utilidade aumentada de Tchebycheff, denotada por 𝑢𝜆(𝑧), 𝑧 ∈ 𝑍, e definida pela expressão (2.6), onde 𝑧0 ∈ 𝑍 é o ponto ideal e 𝛽 é um

número real positivo suficientemente pequeno.

𝑢𝜆(𝑧) = − ⎛ ⎝max 𝑖∈𝑄{𝜆𝑖|𝑧 0 𝑖 − 𝑧𝑖|} + 𝛽 ∑︁ 𝑖∈𝑄 |𝑧0 𝑖 − 𝑧𝑖| ⎞ ⎠ (2.6)

Seja 𝑈 o conjunto das funções de utilidade. Dados dois conjuntos de aproximação 𝑍*′, 𝑍*′′ ∈ Ω, 𝑈 (𝑍*′ _{> 𝑍}*′′_{) = {𝑢 ∈ 𝑈 | 𝑢}*_(𝑍*′_{) > 𝑢}*_(𝑍*′′_{)} denota o subconjunto de} funções de utilidade para as quais o conjunto 𝑍*′ é melhor que 𝑍*′′. Se 𝑈 (𝑍*′ > 𝑍*′′) ̸= ∅ e 𝑈 (𝑍*′′ > 𝑍*′) = ∅, então diz-se que o conjunto 𝑍*′ supera 𝑍*′′ sobre as funções de utilidade 𝑈 . Porém, há casos em que 𝑈 (𝑍*′> 𝑍*′′) ̸= ∅ e 𝑈 (𝑍*′′> 𝑍*′) ̸= ∅. Nestes casos,

(34)

os autores propõem um família de indicadores baseados na probabilidade 𝜌(𝑢) de uma função de utilidade 𝑢 ∈ 𝑈 representar a preferência do tomador de decisão. A expressão (2.7) define o valor esperado (ou esperança) de 𝑢*(𝑍*′) sobre o conjunto 𝑈 , denotado por

ℰ (𝑢*_(𝑍*′_{)). Particularmente, o 𝐼}2

𝑅2 binário é definido pela expressão (2.8) com base na

diferença dos valores esperados de 𝑢*(𝑍*′) e 𝑢*(𝑍*′′).

ℰ (𝑢* (𝑍*′)) = ∫︁ 𝑢∈𝑈 𝑢*(𝑍*′)𝜌(𝑢)𝑑𝑢 (2.7) 𝐼_𝑅22 (𝑍*′, 𝑍*′′) =ℰ (𝑢*(𝑍*′)) −ℰ (𝑢*(𝑍*′′)) = ∫︁ 𝑢∈𝑈 𝑢*(𝑍*′)𝜌(𝑢)𝑑𝑢 − ∫︁ 𝑢∈𝑈 𝑢*(𝑍*′′)𝜌(𝑢)𝑑𝑢 = ∫︁ 𝑢∈𝑈 (𝑢*(𝑍*′) − 𝑢*(𝑍*′′))𝜌(𝑢)𝑑𝑢 (2.8)

Pela definição (2.8), 𝑍*′ é melhor que 𝑍*′′ se 𝐼2

𝑅2(𝑍

*′_{, 𝑍}*′′_{) > 0 e 𝑍}*′ _{não é pior} que 𝑍*′′ se 𝐼2

𝑅2(𝑍

*′_{, 𝑍}*′′_{) ≥ 0 (HANSEN; JASZKIEWICZ, 1998). O 𝐼}2

𝑅2 pode ainda ser

apresentado em sua versão unária como 𝐼1

𝑅2(𝑍

*′_{) = 𝐼}2

𝑅2( ^𝑅, 𝑍

*′_{), onde ^}_{𝑅 é um conjunto} de referência. O 𝐼1

𝑅2 deve ser minimizado. Este indicador unário, utilizando a função de

utilidade aumentada de Tchebycheff, é Pareto concordante.

2.5.2 Hypervolume

O indicador de qualidade hypervolume foi proposto inicialmente por Zitzler e Thiele (1998) e posteriormente revisado por Zitzler et al. (2003). Dado um conjunto aproximativo 𝑍*′ ∈ Ω, o hypervolume 𝐻, denotado por 𝐻(𝑍*′_{), consiste no volume da} região fracamente dominada por 𝑍*′. Considerando um problema de minimização, esta região, simbolizada pela área em cor cinza na Figura 2, deve se encontrar entre 𝑍*′ e um ponto de referência fracamente dominado por todos os pontos de 𝑍*′. Dados dois conjuntos aproximativos 𝑍*′, 𝑍*′′ ∈ Ω e o mesmo ponto de referência, sempre que 𝑍*′

C 𝑍*′′, então 𝐻(𝑍*′) > 𝐻(𝑍*′′).

Esta dissertação adotou uma versão do indicador hypervolume unário, denotado por 𝐼_𝐻1, que utiliza um conjunto de referência ^𝑅 e é definido pela expressão (2.9). Assim, o indicador 𝐼1

𝐻 deve ser minimizado. Ou seja, diz-se que 𝑍*′ é preferível ou incomparável a

𝑍*′′ se 𝐼1

𝐻(𝑍

*′_{) ≤ 𝐼}1

𝐻(𝑍

*′′_{) considerando o mesmo ponto de referência.}

𝐼_𝐻1(𝑍*′) = 𝐻( ^𝑅) − 𝐻(𝑍*′) (2.9)

Segundo While (2005) e While et al. (2005), o cálculo do hypervolume é polinomial na quantidade de pontos do conjunto aproximativo, porém é exponencial na quantidade de objetivos.

(35)

objetivo

Adaptado de Knowles, Thiele e Zitzler (2005)

2.5.3 Épsilon unário aditivo

Os indicadores da família épsilon foram propostos por Zitzler et al. (2003) e se baseiam na relação de 𝜖-dominância. Considerando um problema de minimização e assumindo que todos os pontos de 𝑍 possuem coordenadas positivas, a expressão (2.10) define uma versão multiplicativa (denotada por ⪯𝜖) da relação de 𝜖-dominância e a

expressão (2.11) define uma versão aditiva (denotada por ⪯𝜖+).

∀𝑧′, 𝑧′′∈ 𝑍 (𝑧′ ⪯𝜖 𝑧′′ ⇔ ∀𝑖 ∈ 𝑄, 𝑧′𝑖 ≤ 𝜖 · 𝑧 ′′ 𝑖) (2.10) ∀𝑧′, 𝑧′′∈ 𝑍 (𝑧′ ⪯𝜖+ 𝑧 ′′ _{⇔ ∀𝑖 ∈ 𝑄, 𝑧}′ 𝑖 ≤ 𝜖 + 𝑧 ′′ 𝑖) (2.11)

Dados 𝑍*′, 𝑍*′′∈ Ω, o indicador épsilon binário multiplicativo 𝐼2

𝜖(𝑍

*′_{, 𝑍}*′′_{) fornece} o menor valor de 𝜖 pelo qual cada ponto de 𝑍*′′ deve ser multiplicado tal que o conjunto aproximativo obtido seja fracamente dominado por 𝑍*′. Analogamente, o indicador épsilon binário aditivo 𝐼_𝜖2₊(𝑍*′, 𝑍*′′) fornece o menor valor de 𝜖 pelo qual cada ponto de 𝑍*′′ deve ser somado tal que o conjunto aproximativo resultante seja fracamente dominado por 𝑍*′. As expressões (2.12) e (2.13) definem formalmente, nesta ordem, as versões multiplicativa e aditiva do épsilon binário.

𝐼_𝜖2(𝑍*′, 𝑍*′′) = inf 𝜖∈ℜ{∀𝑧 ′′ _{∈ 𝑍}*′′ , ∃𝑧′ ∈ 𝑍*′|𝑧′ ⪯𝜖𝑧′′} (2.12) 𝐼_𝜖2₊(𝑍*′, 𝑍*′′) = inf 𝜖∈ℜ{∀𝑧 ′′ _{∈ 𝑍}*′′ , ∃𝑧′ ∈ 𝑍*′|𝑧′ ⪯𝜖+ 𝑧 ′′_} (2.13) A Tabela 2, adaptada de Souza (2006), resume a interpretação do épsilon binário aditivo e multiplicativo com base na dominância dominância de Pareto em conjuntos aproximativos.

(36)

Ambas as abordagens multiplicativa e aditiva do indicador épsilon podem ser formuladas em versões unárias, denotadas respectivamente por 𝐼1

𝜖 e 𝐼𝜖1+. Seja ^𝑅 um conjunto

de referência e seja 𝑍*′∈ Ω. Zitzler et al. (2003) definiram o épsilon unário multiplicativo e aditivo segundo as expressões (2.14) e (2.15), na devida ordem. Ambas as versões unárias devem ser minimizadas. Desta forma, tem-se que se 𝑍*′_{C 𝑍}*′′, então 𝐼_𝜖1(𝑍*′) ≤ 𝐼_𝜖1(𝑍*′′) (respectivamente, 𝐼1

𝜖+(𝑍

*′_{) ≤ 𝐼}1

𝜖+(𝑍

*′′_{)). Esta pesquisa adotou o 𝐼}1

𝜖+.

𝐼_𝜖1(𝑍*′) = 𝐼_𝜖2(𝑍*′, ^𝑅) (2.14)

𝐼_𝜖1₊(𝑍*′) = 𝐼_𝜖2₊(𝑍*′, ^𝑅) (2.15)

Vale ainda salientar que o épsilon e o hypervolume avaliam critérios distintos, sendo, portanto, possível haver divergência entre eles. Nestes casos, diz-se que os conjuntos aproximativos em questão são incomparáveis (ZITZLER et al., 2003).

Tabela 2 – Resumo da interpretação do épsilon binário multiplicativo e aditivo

≺≺ ≺ _C ⪯ ∼ ‖ 𝐼_𝜖2 𝐼_𝜖2(𝑍*′, 𝑍*′′) < 1 – 𝐼 2 𝜖(𝑍*′, 𝑍*′′) ≤ 1 𝐼_𝜖2(𝑍*′′, 𝑍*′) > 1 𝐼 2 𝜖(𝑍*′, 𝑍*′′) ≤ 1 𝐼_𝜖2(𝑍*′, 𝑍*′′) = 1 𝐼_𝜖2(𝑍*′′, 𝑍*′) = 1 𝐼_𝜖2(𝑍*′, 𝑍*′′) > 1 𝐼_𝜖2(𝑍*′′, 𝑍*′) > 1 𝐼_𝜖2₊ 𝐼_𝜖2₊(𝑍*′, 𝑍*′′) < 0 – 𝐼 2 𝜖+(𝑍 *′_{, 𝑍}*′′_{) ≤ 0} 𝐼_𝜖2₊(𝑍*′′, 𝑍*′) > 0 𝐼 2 𝜖+(𝑍 *′_{, 𝑍}*′′_{) ≤ 0} 𝐼𝜖2+(𝑍 *′_{, 𝑍}*′′_{) = 0} 𝐼_𝜖2₊(𝑍*′′, 𝑍*′) = 0 𝐼_𝜖2₊(𝑍*′, 𝑍*′′) > 0 𝐼_𝜖2₊(𝑍*′′, 𝑍*′) > 0 Adaptado de Souza (2006)