Tópicos de Análise Matemática

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OPICOS

DE

AN ´

ALISE MATEM ´

ATICA

V´ıtor Neves

Departamento de Matem´

atica

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Pref´

acio

Algures entre Agosto e Dezembro de 1981 – iniciava então quatro anos como es-tudante graduado na University of Iowa, em Iowa City, Iowa EUA – tive a sorte de assistir a uma palestra de Marc Kac sobre Atractores Estranhos, assunto ao tempo muito na moda; terá seguramente sido interessant´ıssima cientificamente, mas as impressões que me ficaram são literalmente de outra natureza. Foram cinquenta minutos de óptima disposi¸cão pois Kac mostrou um humor apurado; vim a perceber ser esta uma forma muito frequente de apresenta¸cão, tão mais perfeita quanto mel-hor cientista é o conferencista; não é regra terem sido todas as palestras significativas assim, mas as excep¸cões não foram muitas. Gravei também a frase seguinte:

Quando pretendemos publicar uma demonstra¸cão, devemos procurar uma revista de Matemática e para uma prova uma revista de F´ısica; se que-remos mostrar um resultado, é mais adequada uma revista de Sociologia. Outra cita¸cão, suponho que do meu orientador de doutoramento, Keith Stroyan:

Como docentes [de Matemática, mas não só] devemos sempre falar ver-dade, mas não necessariamente dizer toda a verdade!

Por essa altura eram também muito bem considerados livros de J. E. Marsden, sobre diversos n´ıveis de Análise Matemática e suas aplica¸cões, nos quais as demonstra¸cões eram quase sempre relegadas para o fim dos cap´ıtulos, ainda considero ser esta um óptima forma de exposi¸cão.

Tentei redigir de acordo com estas três ideias; de facto o ponto de vista de Marsden só muito dificilmente se pode ver aplicado, mas sinto-me constantemente a estabelecer um compromisso entre ele e os hábitos dos nossos alunos (e não poucos colegas), nomeadamente várias proposi¸cões não são demonstradas, ou porque a demonstra¸cão é demasiadamente fina para um texto deste âmbito ou por a acharmos simples ou ainda digna de exerc´ıcio, enunciado ou não. Encontrar-se-á porventura influência de [16].

Este é um conjunto de notas resultante de um texto com o qual se tem recente-mente apoiado a disciplina de Análise Matemática II da Universidade de Aveiro. Dirige-se a disciplina não só a estudantes de Matemática mas também a alunos de Engenharia pelo que não me parece despiciendo referir fun¸cões de várias variáveis, ainda que de forma muito pragmática: tratar trajectórias ortogonais, equa¸cões difer-enciais exactas e eventuais factores integrantes é importante bem como me parece ser também útil a terminologia ”campo escalar”ou ”campo vectorial”; claro que a deriva¸cão de uma composi¸cão de curvas com campos escalares é uma dificuldade séria, mas a Regra da Cadeia parece-me fácil de aceitar pelos alunos e não espe-cialmente dif´ıcil de expor pelo docente; a este propósito estimo particularmente os textos do professor Dias Agudo [8] e [9], muito em particular o segundo, não porque

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os considere especialmente acess´ıveis – o segundo é – antes pelo contrário, mas por serem muito completos e bem escritos; é também interessante notar terem alguns alunos encontrado apoio no livro do professor Guerreiro [12].

O cap´ıtulo sobre Séries de Fourier é uma forma de for¸car a utiliza¸cão da Álgebra Linear e evitar cálculos, digamos ”à la Zygmund”, a meu ver inapropriados para os alunos actuais de uma disciplina do segundo semestre do I ano do I Ciclo (segundo o acordo de Bolonha).

Os primeiros cap´ıtulos devem na verdade ser considerados revisões: constituem uma incursão, de certo modo dirigida e rápida ao que se poderia designar por Fundamen-tos da Análise Real, apenas com o fim de tornar o texto auto-suficiente; exemplos desta economia de meios são a seçcão sobre números naturais e a seçcão sobre números complexos, onde se refere o que temos por verdadeiramente essencial à compreensão das notas. De facto só a partir do Cap´ıtulo 5 inclusive, se apresenta o que poderá ser considerado Análise Matemática mais avan¸cada.

A última seçcão é um exemplo, inesperado para mim, de aplica¸cão do Lema de Gron-wall conjuntamente com o Teorema de Peano para equa¸cões diferenciais ordinárias. Não reputo os exerc´ıcios de particularmente bons, de facto são uma parte ainda a ser constru´ıda.

Conta-se que o leitor se sinta minimamente à vontade com rudimentos de Álgebra Linear bem como que tenha alguma familiaridade com o formalismo da Lógica en-quanto estenografia da linguagem matemática por meio da quantifica¸cão e dos conec-tivos.

OBSERVAC¸ ˜OES e AGRADECIMENTOS

1. Nos fins dos anos 1980 dizia na Covilhã o professor Dias Agudo, então lec-cionando também na Universidade da Beira Interior, que os seus livros eram escritos para ”estudantes com professor”, por oposi¸cão a autodidactas (menos capazes, acrescentamos nós); uma leitura superficial do Índice destas notas é suficiente para se perceber a importância de um, por assim dizer, orientador de leitura, de modo algum por serem de n´ıvel comparável à obra do professor Dias Agudo, mas sim porque não seguem a ordem usual e não são, nem se pretende que sejam, realmente completas.

2.

log(e

x

) = x

(x ∈ R)

3. Ao António Caetano agrade¸co ter verificado algumas demonstra¸cões – não a maioria inteiramente de minha responsabilidade – à minha esposa, Ana Helena Roque, o fornecimento de alguns exerc´ıcios, a ambos as variadas formas de paciência e apoio que me dispensaram.

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4. E muito importante eliminar qualquer erro tipográfico ou qualquer dúvida´ conceptual, suscept´ıveis de ocorrer como consequência de uma elabora¸cão por vezes demasiadamente apressada, pelo que agrade¸co comentários, sugestões e correçcões, enviadas para

[email protected] de modo a poder ir adaptando.

Setembro de 2011 V´ıtor Neves

Pref´

acio (2010/2011)

Mantém-se no essencial o prefácio de 2005/06. Houve algumas modifica¸cões de pagina¸cão e reagrupamento, em particular no cap´ıtulo sobre equa¸cões diferenciais, no entanto não se alterou o aspecto introdutório fortemente elementar, aqui e ali abri pistas para tratamento profundo.

A seçcão sobre séries de Fourier deu lugar a um cap´ıtulo, ainda em constru¸cão, em cuja seçcão final se trata o tema sob um ponto de vista mais Funcional.

21 de Fevereiro de 2011 V´ıtor Neves

Pref´

acio (2005/2006)

Este é um texto de apoio à disciplina Análise Matemática II que irá sendo aper-fei¸coado à medida que a disciplina for decorrendo no semestre — veja-se a propósito a observa¸cão abaixo — pelo que muitos comentários de ´ındole menos formal e exem-plos, bem como algumas demonstra¸cões, serão apresentados nas aulas teóricas ou nas aulas teórico-práticas e não aparecerão sistematicamente no texto podendo, no entanto, vir a ser acrescentados à medida que o semestre decorre. As demonstra¸cões apresentadas basear-se-ão apenas em resultados supostos de conhecimento geral ou outros apresentados no texto.

Perante a necessidade de elaborar estas notas com alguma rapidez (caso contr´ario, teriam necessariamente utilidade reduzida) e de manter um discurso n˜ao demasiada-mente codificado por vezes utilizamos linguagem formal de forma informal.

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OBSERVAÇ ˜AO: É muito importante eliminar qualquer erro tipográfico ou qual-quer dúvida conceptual, suscept´ıveis de ocorrer como consequência de uma elabora¸cão por vezes demasiadamente apressada, pelo que agradecemos comentários, sugestões e correçcões, enviadas para

[email protected]

de modo a que o texto possa ir sendo adaptado e corrigido.

2006 V´ıtor Neves

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´Indice

1 Fundamentos 101 1.0 Números reais . . . 101 1.0.1 Axiomática de corpo . . . 101 1.0.2 Axiomas de ordena¸cão . . . 102 1.0.3 Outras propriedades . . . 103 1.0.4 Exerc´ıcios . . . 104 1.0.5 Números racionais . . . 105 1.0.6 Subconjuntos de R. Parte I . . . 109 1.0.7 Exerc´ıcios . . . 113

1.0.8 Subconjuntos de R. Parte II. Completude . . . 115

1.1 N´umeros complexos . . . 116

1.1.1 Preliminares . . . 116

1.1.2 Algumas particularidades . . . 118

1.1.3 Teorema fundamental da ´Algebra . . . 118

1.2 Continuidade e diferenciabilidade . . . 120 1.2.1 Exerc´ıcios . . . 120 1.2.2 Exerc´ıcios . . . 121 1.2.3 Exerc´ıcios . . . 128 1.3 Integra¸c˜ao . . . 130 1.3.1 Exerc´ıcios . . . 135

2 Teoremas da Fun¸cão Composta e da Fun¸cão Inversa 201 2.1 Teoremas da Fun¸cão Composta . . . 201

2.2 Teoremas da Fun¸c˜ao Inversa . . . 203

2.2.1 Exerc´ıcios . . . 204 3 Teorema de Taylor 301 3.1 F´ormula de Taylor . . . 301 3.1.1 Exerc´ıcios . . . 306 3.2 Fun¸c˜oes Anal´ıticas I . . . 308 3.2.1 Exerc´ıcios . . . 312 7

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8 ´INDICE

4 Sucessões e Séries numéricas 401

4.1 Sucess˜oes num´ericas . . . 401

4.1.1 Sucessões monótonas. Sucessões limitadas . . . 401

4.1.2 Exerc´ıcios . . . 404

4.2 Convergˆencia . . . 405

4.2.1 Exerc´ıcios . . . 411

4.2.2 Sucess˜oes n˜ao limitadas . . . 412

4.2.3 Exerc´ıcios . . . 413

4.3 S´eries num´ericas . . . 416

4.3.1 Generalidades sobre convergˆencia . . . 416

4.3.2 Exerc´ıcios . . . 418

4.3.3 S´eries de termos n˜ao negativos . . . 418

4.3.4 Convergˆencia absoluta e convergˆencia simples . . . 422

4.3.5 Convergˆencia absoluta II . . . 423

4.3.6 Exerc´ıcios . . . 425

5 Sucess˜oes de fun¸c˜oes reais 501 5.1 Preliminares . . . 501

5.1.1 Exerc´ıcios . . . 505

5.2 S´eries de potˆencias . . . 506

5.2.1 Aspectos gerais . . . 506

5.2.2 Fun¸c˜oes anal´ıticas II . . . 510

5.2.3 As fun¸c˜oes transcendentes elementares . . . 511

5.2.4 Exerc´ıcios . . . 511 5.3 O raio de convergência . . . 513 5.3.1 Exerc´ıcios . . . 517 6 Séries de Fourier 601 6.1 Preliminares . . . 601 6.2 Séries de Fourier . . . 603

6.3 Convergência I. Média quadrática . . . 605

6.3.1 T´opicos sobre espa¸cos (quase-)euclidianos . . . 607

6.3.2 Desigualdades de Bessel . . . 610

6.3.3 Equa¸c˜ao de Parseval . . . 610

6.4 Convergˆencia II . . . 612

6.5 Fun¸cões não periódicas . . . 616

6.6 Convergˆencia III . . . 617

6.6.1 Exerc´ıcios . . . 617

7 Integrais Impr´oprios 701 7.1 Integrais de primeira esp´ecie . . . 701

(9)

´INDICE 9

7.2 Integrais de segunda esp´ecie . . . 705

7.3 Integrais mistos . . . 707

7.3.1 Exerc´ıcios . . . 707

7.4 Transformada de Laplace . . . 709

7.4.1 Invers˜ao . . . 713

7.4.2 Exerc´ıcios . . . 714

8 Equa¸cões Diferenciais Ordinárias 801 8.1 Introdu¸cão . . . 801

8.2 Equa¸cões de variáveis separáveis . . . 801

8.2.1 Exerc´ıcios . . . 802

8.3 Equa¸c˜oes exactas . . . 804

8.3.1 Factor integrante para equa¸c˜oes n˜ao exactas . . . 805

8.3.2 Exerc´ıcios . . . 806

8.3.3 Brev´ıssima incurs˜ao informal a curvas em R2 _{. . . .} ₈₀₆

8.4 Forma normal . . . 807

8.4.1 Exerc´ıcios (traject´orias ortogonais) . . . 808

8.4.2 Equa¸c˜oes lineares de primeira ordem . . . 809

8.4.3 Exerc´ıcios . . . 809

8.4.4 Equa¸c˜oes lineares de segunda ordem e coeficientes constantes . 810 8.4.5 Exerc´ıcios . . . 810

8.4.6 Exerc´ıcios . . . 812

8.4.7 Equa¸c˜oes lineares de segunda ordem e coeficientes anal´ıticos . 812 8.4.8 Exerc´ıcios . . . 813

8.5 Singularidades . . . 813

8.5.1 Exerc´ıcios . . . 813

8.6 Equa¸c˜oes lineares de ordem n . . . . 814

8.6.1 Teoria geral . . . 814

8.6.2 Exerc´ıcios . . . 816

8.6.3 Equa¸c˜oes lineares de coeficientes constantes . . . 816

9 Sistemas lineares (forma normal) 901 9.1 A primeira ordem ´e suficiente . . . 901

9.2 Sistemas de primeira ordem . . . 902

9.2.1 Generalidades . . . 902

9.2.2 Matriz A constante . . . . 904

9.2.3 Exerc´ıcios . . . 906

9.3 Sistema lineares de ordem superior . . . 907

9.4 Exerc´ıcios . . . 908

(10)

10 ´INDICE

10.1 Continuidade (muito) elementar . . . 1001

10.1.1 Exerc´ıcios . . . 1002

10.2 Existˆencia e unicidade . . . 1002

10.3 O Lema de Gronwall . . . 1006

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Cap´ıtulo 1

Fundamentos

1.0 N´

umeros reais

1.0.1 Axiom´

atica de corpo

C1. A soma ´e associativa:

∀ x, y, z ∈ R (x + y) + z = x + (y + z).

C2. A soma tem elemento neutro, designado por 0, i.e. ∀ x ∈ R x + 0 = 0 + x = x.

C3. Qualquer n´umero real tem sim´etrico i.e.

∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y = y + x = 0. O simétrico do número real x designar-se-á −x.

C4. A soma ´e comutativa:

∀ x, y ∈ R x + y = y + x.

C5. O produto ´e associativo:

∀ x, y, z ∈ R (x · y) · z = x · (y · z).

C6. O produto tem elemento neutro, designado por 1, i.e. ∀ x ∈ R x · 1 = 1 · x = x.

Como é habitual, omitir-se-á · entre letras ou entre letras e números.

C7. O produto ´e comutativo:

∀ x, y ∈ R xy = yx.

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102 CAP´ITULO 1. FUNDAMENTOS

C8. Qualquer n´umero real n˜ao nulo tem inverso i.e.

∀x ∈ R\{0} ∃y ∈ R xy = yx = 1. O inverso do n´umero real x designar-se-´a x−1 _ou 1

x. C9. O produto é distributivo relativamente à adi¸cão, i.e.,

∀ x, y, z ∈ R [x(y + z) = xy + xz ∧ (y + z)x = yx + zx].

1.0.2 Axiomas de ordena¸c˜

ao

01. < ´e uma rela¸c˜ao de ordem total em R i.e. goza das propriedades seguintes.

1. < ´e anti-reflexiva:

∀x ∈ R x 6< x.

2. < ´e transitiva:

∀x, y, z ∈ R [[x < y ∧ y < z] ⇒ x < z] .

3. < é tricotómica i.e. para quaisquer x, y ∈ R, se x 6= y dá-se uma e só uma das condi¸cões seguintes: x < y ou y < x.

O2. Monotonia da soma

∀x, y, z ∈ R [y < z ⇒ x + y < x + z].

O3. Semi-monotonia do produto

∀x, y, z ∈ R [[y < z ∧ 0 < x] ⇒ xy < xz] .

Por verificar os axiomas Ci, R diz-se um corpo; por verificar tamb´em os axiomas Oi, R diz-se que um corpo ordenado.

O {x ∈ R| 0 < x} designar-se-´a por R+ _{e os seus elementos chamam-se n´}_umeros

positivos. Por defini¸cão, os números negativos são os elementos de R\(R+_{∪ {0}).}

Repare-se que a rela¸cão < é necessariamente anti-simétrica i.e. dados quaisquer x, y ∈ R, se x < y então y 6< x, pois se se pudesse ter simultaneamente x < y e y < x, pela transitividade, concluir-se-ia x < x, o que não se verifica, em face da anti-reflexividade.

Nota¸c˜ao: Como é habitual, x > y é uma fórmula equivalente a y < x; x ≥ y ou, equivalentemente y ≤ x, exprime que alguma das condi¸cões x > y ou x = y é satisfeita.

(13)

1.0. N ´UMEROS REAIS 103

1.0.3 Outras propriedades

Quaisquer dos resultados seguintes se podem deduzir dos axiomas descritos acima, por isso os apresentamos como teoremas, se bem que não demonstrados. Não se pressupõe que cada resultado se demonstra utilizando apenas os que o precedem.

Teorema 1.0.1 Um número real não nulo e o seu inverso têm o mesmo sinal i.e. são ambos positivos ou ambos negativos.

Teorema 1.0.2

∀x, y ∈ R [xy = 0 ⇔ [x = 0 ∨ y = 0]].

Teorema 1.0.3 Qualquer quadrado de um número real não nulo é positivo. Em particular

1 = 12 _> _0. _(1.1)

Define-se uma fun¸c˜ao valor absoluto | · | : R → R por |x| =

(

x se x ≥ 0

−x se x < 0. (1.2)

Teorema 1.0.4 A fun¸c˜ao | · | goza das propriedades seguintes

1. ∀x ∈ R |x| = | − x|. 2. ∀x ∈ R |x| = 0 se e apenas se x = 0. 3. ∀x, y ∈ R |xy| = |x||y|. 4. ∀x, y ∈ R |x + y| ≤ |x| + |y|. 5. ∀x, y ∈ R ||x| − |y|| ≤ |x − y|. 6. ∀x, y, z ∈ R |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|. Eis uma importante propriedade da rela¸c˜ao <:

Teorema 1.0.5 Para quaisquer números reais a, b as seguintes condi¸cões são equiv-alentes

1. a ≤ b

2. ∀ε ∈ R+ _{a < b + ε}

(14)

Dem. Verificar que 2 e 3 são equivalentes é um simples exerc´ıcio de aplica¸cão da monotonia da soma (O2.): para qualquer ε > 0,

a < b + ε ⇒ a − ε < b + ε − ε = b e

a − ε < b ⇒ a = a − ε + ε < b + ε. Passamos a provar que 1 e 2 tamb´em s˜ao equivalentes.

Admitamos ent˜ao que vale 1. Dado ε ∈ R+_{, como a ≤ b < b + ε tamb´em a < b + ε}

i.e. vale 2.

Suponha-se agora que não vale 1 i.e. a 6≤ b; como < é tricotómica, necessariamente se tem b < a; mas então, se tomássemos ε = a − b, ε seria positivo e valeria a condi¸cão imposs´ıvel a = b + ε 6< b + ε (porque < é anti-reflexiva); portanto se não se verifica 1 também não se verifica 2.

1 e 2 s˜ao assim condi¸c˜oes equivalentes. 2

1.0.4 Exerc´ıcios

Resolva as seguintes equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes.

1. x(x + 3) = 1 2. 4x2_−3x−1 x2₊₁ = 0 3. 1 x(| x | −3) = 2 4. | 1 − x | = 2 | x | 5. x+3 x−1 − 1x = 0 6. (x3_{− 4x}2_{+ 7x − 4)(2 − x) = 0} 7. x2₋₁ x > −x 8. x3_−x 3x+1 ≤ 0 9. 1 3x+1 ≤ 1 x 10. |x|+1_3−x2 < 0 11. √x2 1−x ≤ 0 12. | x + 1 | + | x + 3 |> 2 13. √2x + 6 ≥ 2x 14. | x2_{− 3x |> x − 2} 15. | 2x − 1 | −x ≥ 2 16. x − 2 ≥ (| x | −1)2 17. _√x+3 x−1 < 0 18. 2x−1 x+1 < 0 19. x 2x−3 ≤ 3 20. 2x2_{− 7x + 3 > 0} 21. x x2_+x+1 ≥ 0 22. | x − 3 |< 4 23. | x + 1 |<| 2x − 1 | 24. | 3 − x−1 _{|< 1} 25. | x x2₋₃ |< 2 26. x 1+|x| ≤ 2

(15)

1.0.5 N´

umeros racionais

Um conjunto C de n´umeros reais diz-se indutivo se satisfaz as condi¸c˜oes seguintes

1. 1 ∈ C.

2. ∀x ∈ C x + 1 ∈ C.

O maior subconjunto indutivo de R é o próprio R, o menor é o conjunto dos números naturais, que designaremos por N; este conjunto verifica o Princ´ıpio de Indu¸cão em qualquer das versões seguintes (teorema 1.0.6).

Nota¸c˜ao: O s´ımbolo ⊆ designa, como é hábito, inclusão entre conjuntos i.e. A ⊆ B quando e só quando todos os elementos de A são elementos de B, podendo acontecer A = B. O s´ımbolo ⊂ designa inclusão estrita i.e. A ⊂ B quando e só quando A ⊆ B e A 6= B.

Teorema 1.0.6 (Princ´ıpio de Indu¸c˜ao)

1. Se X ⊆ N, 1 ∈ X e x + 1 ∈ X sempre que x ∈ X, ent˜ao X = N. Numa express˜ao:

[X ⊆ N ∧ 1 ∈ X ∧ ∀x ∈ N [x ∈ X ⇒ x + 1 ∈ X]] ⇒ X = N

2. Se P (x) é uma propriedade verificada por 1 — i.e., vale P (1) — e k+1 verifica P (x) sempre que o número natural k verifica P (x) — i.e., ∀k ∈ N[P (k) ⇒ P (k + 1)] — então a propriedade P (x) vale para todo o número natural — i.e., ∀k ∈ N P (k). Numa única expressão:

[P (1) ∧ ∀k ∈ N[P (k) ⇒ P (k + 1)]] ⇒ ∀k ∈ N P (k).

3. Se X ⊆ N e para qualquer número natural n , quando {x ∈ N| x < n} ⊆ X também n ∈ X, então X = N. De novo tornando mais preciso:

[X ⊆ N ∧ ∀n ∈ N[{x ∈ N| x < n} ⊆ X ⇒ n ∈ X]] ⇒ X = N A formula¸c˜ao 3 no teorema anterior costuma designar-se por Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Completa ou Transfinita.

Teorema 1.0.7 1 ´e o menor n´umero natural. Dem. Provamos que vale

∀n ∈ N 1 ≤ n (1.3)

(16)

I. Utilizando o teorema 1.0.6.1 Defina-se

X = {n ∈ N| n ≥ 1}

1 ∈ X porque 1 ≤ 1. Por outro lado, se n ∈ X, por defini¸cão de X, n ≥ 1 e n + 1 ≥ 1 + 1 > 1 + 0 = 1, pela monotonia da soma e porque 1 > 0 (teorema 1.0.3); então, por transitividade de <, n + 1 ≥ 1 e, de novo por defini¸cão de X, n + 1 ∈ X, mostrámos que n + 1 ∈ X sempre que n ∈ X; assim, pelo Princ´ıpio de Indu¸cão (teorema 1.0.6), X = N ou seja vale (1.3) como quer´ıamos provar.

II. Utilizando o teorema 1.0.6.2 Defina-se

P (n) := 1 ≤ n Queremos mostrar que P (n) vale para qualquer n ∈ N. Como 1 ≤ 1 (pq ≤ ´e reflexiva), vale P (1).

Suponha-se que vale P (n) isto ´e que 1 ≤ n. Segue-se que 1 + 1 ≤ n + 1 (por monotonia da soma); como j´a sabemos que 0 < 1, podemos concluir

1 = 0 + 1 < 1 + 1 ≤ n + 1

e, portanto, que 1 < n + 1; em particular de 1 ≤ n podemos deduzir 1 ≤ n + 1, ou seja, de P (n) conclui-se P (n + 1).

Pela segunda forma do Princ´ıpio de Indu¸c˜ao, P (n) vale para todo o n ∈ N. E termina a primeira demonstra¸c˜ao.

2 Nota¸c˜ao: A expressão α := β significa que a expressão designada por α é definida pela designada por β.

Continuando a apresentar aplica¸cões do Princ´ıpio de Indu¸cão: uma razão pela qual n + 1 é chamado o sucessor de n (n ∈ N)

Lema 1.0.1 Seja qual for n ∈ N, não há números naturais entre n e n + 1, i.e,

∀m ∈ N ∀n ∈ N m < n + 1 ⇔ m ≤ n. (1.4)

Dem. O sentido ⇐ ´e consequˆencia imediata da transitividade de < e da reflexivi-dade de =.

(⇒) Este pode ser um exemplo de demonstra¸cão por dupla indu¸cão que abreviaremos um pouco em prol da clareza de argumenta¸cão

1. Pelo teorema 1.0.7, ∀n ∈ N 1 ≤ n e a condi¸c˜ao (1.4) verifica-se com m = 1.

2. Suponha-se que se verifica condi¸c˜ao (1.4) com ⇒ em vez de ⇔ se verifica para m ∈ N, i.e.,

(17)

Admita-se ent˜ao que n ∈ N & m + 1 < n + 1; pretendemos concluir m + 1 ≤ n; ora m, p, 1 ∈ R pelo que pela condi¸c˜ao (1.5) vem

m < (n − 1) + 1 & m ≤ n − 1 logo m + 1 ≤ n,

admitindo que tamb´em n − 1 ∈ N (eis um dos aspectos da abrevia¸c˜ao acima

referida). 2

Teorema 1.0.8 Se a fun¸cão f : N → N é estritamente crescente então ∀n ∈ N n ≤ f (n).

Dem. Vamos utilizar o teorema 1.0.6.3. Seja

X := {n ∈ N| n ≤ f (n)}.

Queremos mostrar que X = N, para o que basta mostrar para todos os n ∈ N a validade da implica¸c˜ao

{x ∈ N| x < n} ⊆ X ⇒ n ∈ X. (1.6)

Comecemos por ver o que se passa se n = 1.

Acontece que {x ∈ N| x < 1} = ∅ ⊆ X, portanto deveremos verificar se 1 ∈ X. Ora, todos os f (n) são números naturais, porque f : N → N e, como vimos acima, todos os números naturais são maiores ou iguais a 1; assim 1 ≤ f (1) i. e. 1 ∈ X e a condi¸cão (1.6) vale para 1.

Tome-se agora n arbitrário e suponha-se que {x ∈ N| x < n} ⊆ X; como n − 1 < n, também n − 1 ∈ X, portanto n − 1 ≤ f (n − 1); mas então

n = (n − 1) + 1 ≤ f (n − 1) + 1 < f (n) + 1

porque f tamb´em ´e estritamente crescente; segue-se que n < f (n) + 1; pelo lema 1.0.1

∀x, y ∈ N [x < y + 1 ⇔ x ≤ y] (1.7)

portanto n ≤ f (n) e n ∈ X como pretend´ıamos concluir. A propriedade (1.6) fica demonstrada e pela formula¸c˜ao 3. do Princ´ıpio de Indu¸c˜ao, X = N. 2

Exemplo 1.0.1 A f´ormula

n

X

i=1

(2i − 1) = n2 (1.8)

vale para todos os n´umeros naturais n.

Dem. Vamos utilizar a formula¸c˜ao 1 no Teorema 1.0.6. Seja X := {n ∈ N|

n

X

i=1

(18)

1 ∈ X porque 12 _{= 1 = 2 × 1 − 1 =}P1

i=1(2i − 1); suponha-se que x ∈ X: tem-se x+1 X i=1 (2i − 1) = x X i=1 (2i − 1) + (2(x + 1) − 1) = x2_{+ (2x + 1) = (x + 1)}2_,

portanto tamb´em x + 1 ∈ X. Pela primeira forma do Princ´ıpio de Indu¸c˜ao X = N

e a f´ormula (1.8) vale para qualquer n ∈ N. 2

Defina-se sec¸c˜ao inicial de N, como sendo um conjunto In dado por

In := {k ∈ N| 1 ≤ k ≤ n} (n ∈ N).

Teorema 1.0.9 (Princ´ıpio de Boa Ordena¸c˜ao) Qualquer subconjunto n˜ao vazio de N tem primeiro — ou menor — elemento.

Dem. Suponha-se que

∅ 6= X ⊆ N. (1.9)

Vimos acima 1 é o menor elemento do próprio N, portanto o caso X = N está tratado; em geral, se 1 ∈ X, então 1 = min X e nada mais há a provar, portanto basta tratar o caso

1 6∈ X ⊂ N. (1.10)

Interessa ter presente

C ⊆ N\X ⊂ N, (1.11)

pois para qualquer n ∈ N, n ∈ In e X 6= ∅ por (1.9).

1 ∈ C porque 1 ∈ N\X — (1.10) — e I1 = {1}; se para qualquer n ∈ N, n + 1 ∈ C

quando n ∈ C, pelo Princ´ıpio de Indu¸cão, pode concluir-se C = N, o que não é o caso pois, por (1.11), C ⊂ N. Segue-se que

para algum m ∈ N m ∈ C, mas m + 1 6∈ C.

Tome-se ent˜ao m ∈ C tal que m + 1 6∈ C; podemos retirar duas conclus˜oes, a saber:

• m+1 ∈ X pois, caso contr´ario ter-se-ia m+1 ∈ C, j´a que Im+1 = Im∪{m+1};

• todos os elementos de X são maiores que m, pois se n ≤ m, então n 6∈ X, por defini¸cão de C.

Como não há números naturais entre m e m + 1 (recorde-se a condi¸cão (1.7)), concluimos que os elementos de X são todos maiores ou iguais a m + 1 i.e. m + 1 =

min X e X tem m´ınimo. 2

O conjunto dos números inteiros, designado por Z, é a união de N com o conjunto dos simétricos dos números naturais e com {0} i.e.

Z = N ∪ {0} ∪ {−n| n ∈ N}. (1.12)

O conjunto dos números racionais, designado por Q, é a reunião de {0} com o conjunto dos quocientes de números inteiros, mais precisamente:

Q = nm

n| m ∈ Z ∧ n ∈ N o

(19)

1.0. N ÚMEROS REAIS 109 Teorema 1.0.10 O conjunto Q é um corpo ordenado para as opera¸cões de soma e produto e para a rela¸cão < restringidas de R.

Por outras palavras (de facto muito reduzidas, mas suficientes): a soma e o produto (bem como a diferen¸ca e o quociente) de números racionais é um número racional. A existência de números reais não racionais, ou seja, números irracionais será discutida mais adiante na página 115.

1.0.6 Subconjuntos de R. Parte I

Dados n´umeros reais a e b, os conjuntos definidos de seguida chamam-se intervalos de extremos a e b:

[a, b] := {x ∈ R| a ≤ x ≤ b} (1.14)

]a, b[ := {x ∈ R| a < x < b} (1.15)

[a, b[ := {x ∈ R| a ≤ x < b} (1.16)

]a, b] := {x ∈ R| a < x ≤ b} (1.17)

Em (1.14) o intervalo diz-se fechado, em (1.15) diz-se aberto, em (1.16) diz-se semi-fechado á esquerda ou semi-aberto à direita, em (1.17) diz-se semi-fechado à direita ou semi-aberto à esquerda.

Parece-nos claro que, se b < a, todos os intervalos acima são vazios, i.e. são o conjunto vazio; se b = a, o primeiro (em (1.14))é o conjunto singular {a} e todos os outros são vazios; se a < b nenhum dos intervalos é vazio nem singular, pois a+b

2

e 3a+b

4 est˜ao em todos eles e s˜ao distintos.

Todos os intervalos acima s˜ao limitados; mas definem-se ainda intervalos ilimita-dos, a saber: considerando que a ∈ R p˜oe-se

[a, +∞[ := {x ∈ R| a ≤ x} (1.18)

] − ∞, a] := {x ∈ R| a ≥ x} (1.19)

]a, +∞[ := {x ∈ R| a < x} (1.20)

] − ∞, a[ := {x ∈ R| a > x} (1.21)

Em (1.18) e (1.19) os intervalos dizem-se tamb´em fechados, nos outros dois casos dizem-se abertos.

Para além do intervalo ] − ∞, +∞[, que designa o próprio conjunto R, não há mais intervalos que os já definidos.

(20)

Defini¸cão 1.0.1 Designemos por C um subconjunto não vazio de R e seja m um número real.

1. m ´e um majorante de C se

∀x ∈ C x ≤ m.

C diz-se majorado ou limitado superiormente se tem um majorante.

2. m ´e um minorante de C se

∀x ∈ C x ≥ m.

C diz-se minorado ou limitado inferiormente se tem um minorante.

3. C diz-se limitado se for majorado e minorado, caso contr´ario diz-se ilimi-tado.

Teorema 1.0.11 Seja C um subconjunto n˜ao vazio de R.

1. As condi¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes

(a) C ´e majorado

(b) ∃a ∈ R C ⊆ ] − ∞, a]

(c) ∃a ∈ R C ⊆ ] − ∞, a[

(a) C ´e minorado

(b) ∃a ∈ R C ⊆ [a, +∞[

(c) ∃a ∈ R C ⊆ ]a, +∞[

(a) C ´e limitado

(b) Existem a, b ∈ R tais que C est´a contido em algum intervalo de extremos a e b.

(c) C est´a contido em algum intervalo limitado.

(21)

Formas muito úteis de decidir se um conjunto é ou não limitado descrevem-se no teorema seguinte.

Teorema 1.0.12 Seja C um subconjunto não vazio de R. As condi¸cões seguintes são equivalentes. 1. C é limitado 2. ∃m ∈ R+ _{∀x ∈ C} _{|x| < m} 3. ∃m ∈ R+ _{C ⊆ ] − m, m[} 4. ∃m ∈ R+ _{∀x ∈ C} _{|x| ≤ m} 5. ∃m ∈ R+ _{C ⊆ [−m, m]}

Dem. (1 ⇒ 3 ⇒ 2) Como C ´e limitado por hip´otese, podemos tomar a, b ∈ R tais que

∀x ∈ C a ≤ x ≤ b.

Sejam m1 o m´aximo dos dois valores |a|, |b|, i.e. m1 = m´ax{|a|, |b|}, e m = m1+ 1.

Repare-se que m > 0. Como b ≤ |b| ≤ m1 < m, conclu´ımos

∀x ∈ C a ≤ x < m.

Por outro lado −|a| ≤ a; seja m2 o m´ınimo dos dois valores −|a|, −|b|; ´e f´acil verificar

que m2 = −m1 e que

−m = −(m1+ 1) = −m1− 1 = m2− 1 < m2 ≤ a.

Segue-se que

∀x ∈ C − m < x < m. isto é, vale 3. Mas esta mesma expressão é equivalente a

∀x ∈ C |x| < m,

portanto, em particular (3 ⇒ 2). É claro que se x < y também x ≤ y, pelo que (2 ⇒ 4). Mas |x| ≤ m é equivalente a x ∈ [−m, m], portanto 4 e 5 são equivalentes, em particular (4 ⇒ 5). Acontece que [−m, m] ⊆ ] − (m + 1), m + 1[ e portanto (5 ⇒ 1).

Prov´amos a seguinte cadeia de implica¸c˜oes

1 ⇒ 3 ⇒ 2 ⇒ 4 ⇒ 5 ⇒ 1.

(22)

Teorema 1.0.13 Sejam A e B subconjuntos de R.

1. Se B é limitado e A ⊆ B, também A é limitado.

2. Se A e B s˜ao limitados.

(a) O conjunto definido por A + B := {a + b| a ∈ A ∧ b ∈ B} ´e limitado.

(b) O conjunto definido por A · B := {ab| a ∈ A ∧ b ∈ B} ´e limitado.

(c) O conjunto definido por A − B := {a − b| a ∈ A ∧ b ∈ B} ´e limitado.

(d) Para cada c ∈ R, o conjunto definido por cA := {ca| a ∈ A} ´e limitado. Certos majorantes e minorantes s˜ao especiais:

Defini¸c˜ao 1.0.2 Seja C um subconjunto n˜ao vazio de R.

1. Se C é limitado superiormente, o supremo de C é o menor majorante de C e designa-se sup C. Se o supremo de C é elemento de C, diz-se máximo de C e designa-se por máxC.

2. Se C é limitado inferiormente, o ´ınfimo de C é o maior minorante de C e designa-se inf C. Se o ´ınfimo de C é elemento de C diz-se m´ınimo de C e designa-se por min C.

O máximo ou o m´ınimo de um conjunto podem não existir mesmo quando existem respectivamente o supremo ou o ´ınfimo; no entanto se existirem, são respectivamente o maior ou o menor elemento dele.

Lema 1.0.2 Todo o conjunto finito e não vazio de números reais tem máximo e m´ınimo, sendo em particular limitado.

Dem. Deixa-se como exerc´ıcio de aplica¸cão do Princ´ıpio de Indu¸cão ao número de

elementos do conjunto. 2

O supremo e o ´ınfimo gozam das propriedades da maior importˆancia que se refor-mulam de seguida.

Teorema 1.0.14 Sejam C um subconjunto n˜ao vazio de R e m um n´umero real.

1. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes

(a) m = sup C

(b) m ´e majorante de C e

∀ε ∈ R+ ∃c ∈ C m − ε < c ≤ m. (1.22)

2. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes

(a) m = inf C

(b) m ´e minorante de C e

(23)

Dem. Demonstramos apenas a segunda parte. Uma demonstra¸c˜ao da primeira pode fazer-se a partir desta trocando respectivamente inf por sup, minorante por majorante, maior por menor, < por >, ≥ por ≤ e + por −.

Suponhamos então que vale 2.(a) i.e. m = inf C. Queremos concluir que vale a condi¸cão 2.(b). Por defini¸cão m é já minorante de C, de facto o maior minorante; portanto se ε > 0, como m < m + ε, m + ε n˜ao ´e minorante de C; da´ı existe algum elemento c de C tal que c < m+ε e, como m minora C, também m ≤ c e conclu´ımos m ≤ c < m + ε.

Finalmente suponhamos que vale 2.(b). Como, por hipótese, m já é minorante de C, resta-nos provar que é o maior. Suponhamos que m0 _{é um minorante de C e}

utilizemos o teorema 1.0.5 para mostrar que m0 _{≤ m: para qualquer ε > 0, por}

hip´otese, existe c ∈ C tal que c < m + ε; como m0 _{´e minorante de C tem-se}

m0 _{≤ c < m + ε; por transitividade de <}

∀ε ∈ R+ _m0 _{< m + ε,}

portanto, pelo teorema 1.0.5, m0 _{≤ m.} ₂

1.0.7 Exerc´ıcios

Observa¸c˜ao: Nos exerc´ıcios que se seguem as propriedades enunciadas do ´ınfimo ou do supremo pressup˜oem a existˆencia de cada um deles.

1. Mostre que, para quaisquer n´umeros reais a, b,

(a) (a+b)−|a−b|₂ = min{a, b}

(b) (a+b)+|a−b|₂ = m´ax{a, b}

2. Seja A um conjunto n˜ao vazio de n´umeros reais e −A := {−x : x ∈ A}. Verifique que:

(a) b ´e majorante de A ⇔ −b ´e minorante de −A

(b) b ´e supremo de A ⇔ −b ´e ´ınfimo de −A

(c) b é máximo de A ⇔ −b é m´ınimo de −A

3. Determine, caso seja poss´ıvel, o ´ınfimo, m´ınimo, supremo e m´aximo de cada um dos seguintes subconjuntos de R:

(a) {x ∈ R :| x |< 2} (b) {x ∈ R : 1 <| 1 − x |≤ 2} (c) {x ∈ R : x2 _{< 2}} (d) {x ∈ R : x2 _{≤ x}} (e) {x ∈ R : x <| x |} (f) {x ∈ R : ∃n ∈ N x = 1−n n } (g) Q ∩ ] − 1, 2] (h) {k 2n, k ∈ Z, n ∈ N} ∩ [1, 3[

4. Indique se s˜ao majorados, minorados ou limitados os seguintes subconjuntos de R: A = {x ∈ R : | x − 3 |= 2 | x |} B = ½ x ∈ R : x x−1 < x−1 x ¾

(24)

Indique ainda, se existirem, o supremo, o ´ınfimo, o m´aximo e o m´ınimo de cada um desses conjuntos.

5. Sejam A = {−3, −2} ∪ (Q ∩ [0, 1] ) e B =] − 4, 2] ∪ ([0, 1] ∩ (R \ Q)). Indique, caso existam, os supremos e os ´ınfimos dos conjuntos A, B, A ∪ B e A ∩ B.

6. Sejam A e B conjuntos n˜ao vazios e limitados de n´umeros reais tais que A ⊆ B. Prove que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.

7. Suponha que A e B s˜ao subconjuntos de R n˜ao vazios e limitados. Prove que:

(a) A + B ´e limitado

(b) sup(A + B) = sup A + sup B

(c) inf(A + B) = inf A + inf B

8. Suponha que ∅ 6= A ⊆ R. Dado c ∈ R, seja cA := {c a : a ∈ A}.

(a) Prove que, quando c 6= 0, cA ´e limitado se e apenas se A ´e limitado.

(b) Sendo c > 0, prove que:

i. sup(cA) = c sup A ii. inf(cA) = c inf A

(c) Enuncie e demonstre resultados an´alogos aos da al´ınea anterior para o caso c < 0.

(d) Mostre que a afirma¸cão em (a) não é verdadeira se c = 0.

9. A e B designam duas partes não vazias e majoradas de R. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposi¸cões:

(a) E condi¸c˜ao necess´aria para A ⊆ B que sup A ≤ sup B´

(b) E condi¸c˜ao suficiente para A ⊆ B que sup A ≤ sup B´

(c) sup(A ∪ B) = sup A + sup B

(d) sup(A ∪ B) = m´ax {sup A, sup B}

(e) sup(A ∩ B) = min {sup A, sup B}

10. Sejam A e B conjuntos não vazios e limitados de números reais tais que B ⊆ A. Suponha que, para cada x ∈ A, existe y ∈ B tal que x ≤ y. Prove que nestas condi¸cões se tem sup B = sup A.

11. Sejam A e B conjuntos não vazios e limitados de números reais tais que para todo o x ∈ A e todo o y ∈ B se tem x ≤ y. Prove que sup A ≤ inf B. Prove ainda que sup A = inf B se e só se para todo o ε > 0 existem x ∈ A e y ∈ B tais que y − x < ε.

12. Sejam c um número real positivo e A um subconjunto não vazio de R, satis-fazendo a seguinte condi¸cão:

x, y ∈ A ⇒| x − y |< c

(a) Mostre que sup A − inf A ≤ c.

(25)

1.0.8 Subconjuntos de R. Parte II. Completude

Axioma de Completude

AC Todo o subconjunto n˜ao vazio e majorado de R tem supremo.

Por verificar este axioma , diz-se que R ´e um corpo ordenado completo. O termo ”completo”pode tamb´em ter outro significado explicitado no teorema 4.2.7.

Teorema 1.0.15 O conjunto dos números naturais não é limitado superiormente. Dem. Já vimos que N é limitado inferiormente (teorema 1.0.7). Não sendo vazio — pois 1 ∈ N — se fosse limitado teria supremo, de acordo com o Axioma de Completude. Suponhamos então que N é limitado e digamos que sup N = s ∈ R; s não é concerteza máximo, porque, s < s+1 e s+1 ∈ N se s ∈ N; pelo teorema 1.0.14, existe m ∈ N tal que s − 1

2 < m < s; mas ent˜ao tamb´em s − 12 < m < m + 1 < s e

pode concluir-se 1 = (m + 1) − m < s − (s −1 2) =

1

2 ou 1 < 1

2, o que n˜ao ´e verdade.

Assim N não é limitado superiormente, logo também não é limitado. 2 Uma forma equivalente deste teorema (1.0.15) é

Teorema 1.0.16 (Propriedade Arquimediana) O corpo R ´e arquimediano i.e.

∀a, b ∈ R+ ∃n ∈ N b < na (1.24)

Dem. Suponhamos que a, b ∈ R e que 0 < a < b; existe n ∈ N verificando 1

n < ab,

pelo teorema anterior (4.2.4); mas ent˜ao b < na, porque a, b > 0 e o produto ´e

semi-mon´otono. 2

Pode garantir-se a existência de números irracionais utilizando o Axioma de Com-pletude. Um exemplo clássico é

s := sup{x ∈ R| x2 _{< 2}.}

Este supremo existe porque o conjunto em questão, chamemos-lhe R, não é vazio — 1 ∈ R — e é concerteza majorado, por exemplo por 4 (ou mesmo apenas por 2, ou por 1, 5). Sendo fácil provar que s2 _{= 2 e que 0 < s isto é que s =}√_{2, e provando-se}

de seguida que 2 não tem raiz quadrada em Q, conclui-se que √2 6∈ Q e obtém-se uma demonstra¸cão de que existem números irracionais.

Na verdade, há infinitos números irracionais e poder´ıamos já provar, utilizando o facto de √2 ser irracional, mas não só, o seguinte:

Teorema 1.0.17 (de Densidade) Estritamente entre quaisquer dois números reais distintos existem um número racional e um número irracional.

Dem. Suponha-se que a, b ∈ R e que a < b; tome-se n ∈ N tal que 1

n < b−a√2; o que

(26)

116 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 1. Se a ∈ Q, então (a) a < a + 1 n < a + (b − a) < b e a + 1 n ∈ Q (b) a < a + 1 n √ 2 < a + (b − a) < b e a + 1 n √ 2 6∈ Q. 2. Se a 6∈ Q, então (a) a < a + 1 n < a + (b − a) < b e a + n1 6∈ Q. (b) Suponha-se que 0 < a e seja

k := min{m ∈ N| na ≤ m · 1 = m};

tal k existe pela propriedade arquimediana e por N ser bem ordenado. Tem-se k − 1 n < a ≤ k n < a + 1 n < b & k n ∈ Q.

(c) Se a ≤ 0, aplique-se o que acab´amos de ver tomando −b em vez de a e −a em vez de b; −k

n ´e o n´umero racional pretendido. 2

1.1 N´

umeros complexos

1.1.1 Preliminares

Esta é de certo modo uma revisão de Álgebra Linear pelo que seremos parcos em demonstra¸cões.

Defini¸cão 1.1.1 O conjunto C dos números complexos é o menor corpo que prolonga propriamente R.

De modo a evitar trivialidades de nota¸c˜ao, em face da defini¸c˜ao anterior, continuemos a designar a soma e o produto respectivamente por + e · (omitido este s´ımbolo quando conveniente)

(27)

1.1. N ÚMEROS COMPLEXOS 117 Teorema 1.1.1 C é o conjunto dos números z da forma

z = a + bi (a, b ∈ R) (1.25)

i2 _{= −1} _(1.26)

e verifica-se o seguinte

1. A soma e o produto são opera¸cões binárias comutativas, associativas, com ele-mentos neutros – 0 para a soma e 1 para o produto – e o produto é distributivo relativamente à soma.

2. Sejam quais forem a, b, c, d ∈ R,

(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i (1.27)

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i (1.28)

−(a + bi) = −a − bi (1.29)

a + bi = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0 (1.30) a + bi = c + di ⇔ a = c ∧ b = d (1.31) (a + bi)−1 = a a2_{+ b}2 − b a2_{+ b}2i (a 6= 0 ∨ b 6= 0) (1.32) i2n _{= (−1)}n _{(n ∈ N} 0) (1.33) i2n+1 = (−1n)i (n ∈ N0) (1.34)

Defini¸c˜ao 1.1.2 Seja z = a + bi ∈ C (a, b ∈ R)

1. A parte real e a parte imagin´aria de z s˜ao respectivamente <(z) = a e =(z) = b.

2. O conjugado de z designa-se z e define-se por z = a − bi

3. O valor absoluto ou m´odulo de z, designa-se por |z| e define-se por |z| = √a2_{+ b}2 Teorema 1.1.2 1. Tome z ∈ C. <(z) = z + z 2 (1.35) =(z) = z − z 2i (1.36) z = z ⇔ z ∈ R (1.37) |z|2 _{= zz} _(1.38) z−1 ₌ z |z|2 (z 6= 0) (1.39)

2. Qualquer das opera¸cões acima definida, para C prolonga a correspondente opera¸cão em R em particular o valor absoluto de um número real é o seu valor absoluto como número complexo; além disso

(28)

1.1.2 Algumas particularidades

As fun¸cões exponencial, seno e co-seno, respectivamente exp, sen, cos : C → C prolongam as correspondentes fun¸cões reais de variável real quando definidas do seguinte modo

exp(z) = ez _{= e}a¡_{cos b + isen b}¢ ¡_{(a, b ∈ R)}¢ _(1.41)

cos(z) = eiz+ e−iz 2 (z ∈ C) (1.42) sen(z) = eiz− e−iz 2i (z ∈ C) (1.43) Teorema 1.1.3 ez+w _{= e}z_{· e}w _{(z, w ∈ C)} _(1.44) sen2z + cos2z = 1 (z ∈ C) (1.45) eit = cos t + isen t (t ∈ R) (1.46) |eit_{| = 1} _{(t ∈ R)} _(1.47) (eit₎−1 _{= e}−it _{= e}it _{(t ∈ R)} _(1.48) Teorema 1.1.4 (de Euler)

eiπ + 1 = 0.

1.1.3 Teorema fundamental da ´

Algebra

Teorema 1.1.5 Qualquer polin´omio

p(z) = a0 +

n

X

k=1

anzn (ai, z ∈ C; 0 ≤ i ≤ n) (1.49)

de grau n ≥ 1 (an6= 0) tem pelo menos uma raiz em C, isto ´e, existe w ∈ C tal que

p(w) = 0; em particular existem zi, (1 ≤ i ≤ n) tais que

p(z) = an n

Y

i=1

(29)

1.1. N ´UMEROS COMPLEXOS 119

Mais espec´ıficamente ainda

Teorema 1.1.6 Quando todos os coeficientes ai em (1.49) s˜ao reais

1. ∀u ∈ C [p(u) = 0 ⇒ p(u) = 0]

2. Se p em (1.49) s´o tem ra´ızes imagin´arias distintas

αj± βji (αj, βj ∈ R, βj 6= 0; 1 ≤ j ≤ k ∈ N)

com multiplicidades respectivas mj (

P_k j=1mj = n), ent˜ao p(z) = an k Y j=1 ¡ (z − αj)2+ βj2 ¢_m_j

3. Se p em (1.49) s´o tem ra´ızes reais distintas αj (1 ≤ j ≤ k) de multiplicidades

respectivas mj ( P_k j=1mj = n), ent˜ao p(z) = an k Y j=1 (z − αj)mj.

4. Se p em (1.49) tem k ra´ızes reais distintas rj e m ra´ızes imagin´arias distintas

nunca conjugadas α`+ β`i com multiplicidades respectivas mj e n`, sendo k X j=1 mj + 2 m X `=1 n` = n, ent˜ao p(z) = an k Y j=1 (z − rj)mj k Y `=1 ¡ (z − α`)2+ β`2 ¢_m_`

(30)

1.2 Continuidade e diferenciabilidade

Sejam a e b números reais tais que a < b e f :]a, b[→ R uma fun¸cão (real de variável real); suponha-se ainda que β ∈ R.

Defini¸c˜ao 1.2.1 Para c ∈ [a, b],

β := limite de f (x) quando x tende para c := lim x→cf (x) significa ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈]a, b[ [0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − β| < ε]. Se c ∈]a, b[, f diz − se cont´ınua em c quando lim x→cf (x) = f (c) ou seja ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈]a, b[ [|x − c| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε] f diz-se cont´ınua se for cont´ınua em todos os elementos do seu dom´ınio. Para harmonizarmos conceitos,

Defini¸cão 1.2.1 uma fun¸cão f :[α, β] ⊆ R→R dir-se-á cont´ınua quando existem um intervalo ]a, b[ e uma fun¸cão cont´ınua ˜f :]a, b[→ R tais que [α, β] ⊂]a, b[ e a restri¸cão ˜f : [α, β] → R é precisamente f .

1.2.1 Exerc´ıcios

Suponha que f : [a, b] ⊆ R → R, que a < c < b, que

limx→cf (x) = ` ∈ R; prove que

1. Se ` < k ∈ R, ent˜ao existe ε > 0. tal que

]c − ε, c + ε[ ⊆ [a, b] (1.51)

∀x ∈]c − ε, c + ε[ f (x) < k. (1.52)

2. Se ` > k ∈ R, ent˜ao existe ε > 0. tal que

]c − ε, c + ε[ ⊆ [a, b] (1.53)

∀x ∈]c − ε, c + ε[ f (x) > k. (1.54)

3. Interprete a frase ”desigualdade em ponto de continuidade estende-se a uma vizinhan¸ca do ponto”.

(31)

1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 121 4. Demonstre o teorema 1.2.1.

Teorema 1.2.1 Suponha-se que f, g : [a, b] ⊆ R → R, que α ∈ R, que c ∈]a, b[ e que lim x→cf (x) = ` x→climg(x) = β. 1. limx→c(αf + g)(x) = α` + β 2. limx→c(f · g)(x) = ` · β 3. Se β 6= 0, ent˜ao limx→c ³ f g ´ (x) = ` β

em particular combina¸cões lineares (de coeficientes reais) de fun¸cões cont´ınuas são cont´ınuas, e quocientes de fun¸cões cont´ınuas são cont´ınuos em todos os pontos onde o denominador se não anula.

Teorema 1.2.2 Suponha que as fun¸cões f : [a, b] ⊆ R → R e g : [c, d] ⊆ R → [a, b] são cont´ınuas, então f ◦ g : [c, d] → R também é cont´ınua.

Dem. (muito esquem´atica)

lim

x→y(f ◦ g)(x) = g(x)→g(y)lim f (g(x))

= f (g(y))

2

Teorema 1.2.3 (de Bolzano) Se a fun¸cão f : [a, b] ⊆ R → R é continua e f (a) < 0 < f (b), então existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = 0.

Dem. c = sup{x ∈]a, b[¯¯ ∀t ∈ [a, x] f(t) < 0}. 2

1.2.2 Exerc´ıcios

Suponha que f : [a, b] ⊆ R → R ´e continua e prove

1. Se f (a) < k < f (b), existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = k.

2. Se f (a) > k > f (b), existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = k.

3. Se f (a) < a e f (b) > b, existe c ∈]a, b[ tal que f (c) = c.

(32)

Teorema 1.2.4 Suponha que f : [a, b] ⊆ R → R é continua. Então f é uniforme-mente cont´ınua, isto é

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ [a, b] £|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε¤. (1.55) Dem. Suponha-se que f n˜ao ´e uniformemente cont´ınua, ou seja, para certo ε > 0

∀δ > 0 ∃x, y ∈ [a, b] £0 < x − y < δ ∧ |f (x) − f (y)| > ε¤. (1.56) Escolham-se para cada n ∈ N, xn, yn ∈ [a, b] tais que

xn, yn ∈ [a, b] ∧ 0 < xn− yn<

1

n ∧ |f (xn) − f (yn)| > ε (n ∈ N) (1.57) e seja

c = sup{xn| n ∈ N}.

Ora c ∈ [a, b] onde f ´e cont´ınua, pelo que existe δ > 0 tal que ∀x ∈ [a, b] |c − x| < δ ⇒ |f (x) − f (c)| < ε

2 Al´em disto,

para cada τ > 0, o {m ∈ N| 0 ≤ c − xm < τ } ´e infinito (exerc´ıcio 7),

pelo que podemos escolher m, n ∈ N e xm tais que

o que claramente contradiz a condi¸cão (1.57), assim a hipótese de não continuidade uniforme (condi¸cão (1.56)) é contraditória, logo inaceitável. 2

(33)

1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 123 Defini¸c˜ao 1.2.2 Uma fun¸c˜ao f : [a, b] ⊆ R → R diz-se

1. Limitada superiormente quando existe M ∈ R tal que ∀x ∈ [a, b] f (x) ≤ M

2. Limitada inferiormente quando existe m ∈ R tal que ∀x ∈ [a, b] m ≤ f (x)

3. Limitada quando for limitada superior e inferiormente. Exerc´ıcio

Mostre que qualquer combina¸cão linear (de coeficientes reais) de fun¸cões igualmente limitadas é uma fun¸cão limitada do mesmo modo.

Teorema 1.2.5 Uma fun¸c˜ao f : [a, b] ⊆ R → R ´e limitada se e apenas se existe K > O tal que

∀x ∈ [a, b] |f (x)| ≤ K Dem. Basta observar que, seja qual for C ⊆ R,

C ⊆ [m, M] ⇒ ∀c ∈ C |c| ≤ m´ax{|m|, |M|} ∀K > 0 [∀c ∈ C |c| ≤ K] ⇔ C ⊆ [−K, K]

2

Teorema 1.2.6 (de Weierstrass) Uma fun¸c˜ao cont´ınua f : [a, b] ⊆ R → R ´e

1. Limitada

2. Tem máximo e tem m´ınimo, isto é existem máx{f (x)| a ≤ x ≤ b}

min{f (x)| a ≤ x ≤ b}

Dem. Quanto a 1. basta demonstrar que vale a condi¸cão de limita¸cão superior e aplicá-la de seguida a a −f . Suponha-se então que f : [a, b] → R é cont´ınua mas os seus valores não têm majorante, por outras palavras f não é majorada; em particular f não é majorada em algum dos intervalos [a,a+b

2 ] ou [

a+b

2 , b]; seja qual

for o caso, existem ent˜ao

Um intervalo I1 := [a1, b1] ⊆ I0 := [a, b] de amplitude b1 − a1 ≤ b−a₂ ,

um ponto x1 ∈ I1 tal que, por exemplo, f (x1) > 1.

f n˜ao ´e majorada em algum dos intervalos [a1,a1+b₂ 1] ou [a1+b₂ 1, b1];

(34)

existe um intervalo I2 := [a2, b2] ⊆ I1 de amplitude b2− a2 ≤ b−a₂2

e existe um ponto x2 ∈ I2 tal que f (x2) > 1 + f (x1) > 2.

Por este processo poderia obter-se um {xn| n ∈ N} ⊆ [a, b]} tal que, para qualquer

n ∈ N,

0 < |xn+1− xn| ≤

b − a 2n

|f (xn+1) − f (xn)| > 1.

Tal contradiz a continuidade uniforme de f , pois b−a

2n pode tornar-se arbitrariamente

pequeno (teoremas 1.0.15 e 1.0.8), portanto f tem de ser majorada. Para demonstrar 2. tenha-se em conta que

i. R ´e completo para <

ii. sup{f (x)| a ≤ x ≤ b} = m´ax{f (x)| a ≤ x ≤ b}, por f ser cont´ınua. 2

Defini¸c˜ao 1.2.2 Para c ∈]a, b[,

f diz − se diferenci´avel em c com derivada f0_(c)

se f0_(c) _:= _lim

x→c

f (x) − f (c) x − c

f diz-se diferenci´avel se for diferenci´avel em todos os elementos do seu dom´ınio.

Teorema 1.2.7 A fun¸cão f :]a, b[⊆ R → R é diferenciável em c ∈]a, b[ se e apenas se existirem um número real f0_{(c) e fun¸cões ε :]a, b[→ R e ² :]a − c, b − c[→ R}

tais que

∀x ∈]a, b[ f (x) = f (c) + f0_{(c)(x − c) + ε(x)(x − c) &} _lim

x→cε(x) = 0 (1.61)

ou

∀h ∈]a − c, b − c[ f (c + h) = f (c) + f0_{(c)h + ²(h)h &} _lim

h→0²(h) = 0 (1.62) i.e. lim x→c f (x) − f (c) − f0_{(c)(x − c)} x − c = 0. (1.63) ou ainda lim h→0 f (c + h) − f (c) − f0_(c)h h = 0. (1.64)

(35)

1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 125

Dem. A equivalˆencia entre as condi¸c˜oes (1.61) e (1.63) resulta de se poder tomar ε(x) := f (x) − f (c) − f0(c)(x − c)

x − c =

f (x) − f (c)

x − c − f

0_(c);

observe-se então que lim x→cε(x) = 0 ⇔ x→clim · f (x) − f (c) x − c − f 0_(c) ¸ = 0 ⇔ f0_{(c) = lim} x→c f (x) − f (c) x − c e aqui estão três formas de definir f0_{(c). Analogamente, a equivalência entre as}

condi¸c˜oes (1.62) e (1.64) resulta de se poder tomar ²(h) := f (c + h) − f (c) − f0(c)h

h =

f (c + h) − f (c)

h − f

0_(c),

observando-se de seguida que lim h→0²(h) = 0 ⇔ limh→0 · f (c + h) − f (c) h − f 0_(c) ¸ = 0 ⇔ f0_{(c) = lim} h→0 f (c + h) − f (c) h

que s˜ao mais trˆes formas de definir f0_. ₂

Observa¸cão 1.2.1 Quando c = a ou c = b, f diz-se diferenciável em c se tem um prolongamento ef : [α, β] → R com [a, b] ⊂ [α, β] ⊆ R diferenciável em c.

´

E f´acil demonstrar que

Teorema 1.2.8 Se uma fun¸cão é diferenciável (resp. em algum ponto do seu dom´ı-nio) é cont´ınua (resp. nesse mesmo ponto).

Teorema 1.2.9 Suponha que f, g :]a, b[→ R são diferenciáveis em c ∈]a, b[ e α ∈ R, então (αf + g)0_{(c) = αf}0_{(c) + g}0_(c) (f g)0(c) = f0(c)g(c) + f (c)g0(c) µ f g ¶₀ (c) = f 0_{(c)g(c) − f (c)g}0_(c) g2_(c) ¡ g(c) 6= 0¢

(36)

Defini¸c˜ao 1.2.3

Um extremante relativo da fun¸c˜ao f : [a, b] ⊆ R → R ´e um ponto x0 ∈ [a, b] para

o qual existe ε > 0 tal que pelo menos uma das duas condi¸c˜oes seguintes se verifica

1. Para qualquer x ∈]x0− ε, x0 + ε[⊆ [a, b], f (x) ≤ f (x0), caso em que x0 se diz

maximizante e f (x0) se diz m´aximo (ambos locais)

2. Para qualquer x ∈]x0 − ε, x0 + ε[⊆ [a, b], f (x) ≥ f (x0),caso em que x0 se diz

minimizante e f (x0) se diz m´ınimo (ambos locais)

3. Para qualquer x ∈ [a, b], f (x) ≤ f (x0), caso em que x0 se diz maximizante

e f (x0) se diz m´aximo (ambos absolutos)

4. Para qualquer x ∈ [a, b], f (x) ≥ f (x0),caso em que x0 se diz minimizante e

f (x0) se diz m´ınimo (ambos absolutos)

5. Quando as condi¸c˜oes se d˜ao com desigualdades estritas em pontos diferentes de x0, o extremante diz-se estrito.

Teorema 1.2.10 (de Fermat)

Se f (x0) é extremante local de f : [a, b] ⊆ R → R e f é diferenciável em x0 então

f0_(x

0) = 0.

Dem. Para simplificar ideias, suponhamos que

]x0− ε, x0+ ε[⊂ [a, b] & ∀x ∈]x0− ε, x0+ ε[ f (x) ≤ f (x0).

Tem-se, para qualquer x ∈]x0− ε, x0+ ε[,

x < x0 ⇒ f (x) − f (x0) x − x0 ≥ 0 (1.65) x > x0 ⇒ f (x) − f (x0) x − x0 ≤ 0 (1.66) f0_(x 0) = lim x→x0 f (x) − f (x0) x − x0 ≥ 0 ≥ lim x→x0 f (x) − f (x0) x − x0 = f0_(x 0) (1.67) f0_(x 0) = 0 (1.68) 2

Teorema 1.2.11 (de Rolle)

Se a fun¸cão f : [a, b] ⊆ R → R é cont´ınua, é diferenciável em ]a, b[ e f (a) = f (b), existe c ∈]a, b[ tal que f0_{(c) = 0}

(37)

1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 127

Dem. Sendo cont´ınua, f tem extremos absolutos (teorema 1.2.6) Se f (a) ´e um desses extremos, ent˜ao

1. Ou é simultaneamente máximo e m´ınimo absolutos, f é constante e f0 _{≡ 0}

em ]a, b[

2. Ou ´e apenas de qualquer dos outros tipos, o outro extremo ocorre em algum c ∈]a, b[ e f0_{(c) = 0, pelo teorema 1.2.10}

Se f (a) n˜ao ´e extremo qualquer dos extremos ocorre em ]a, b[ e aplica-se de novo

a´ı o teorema de Fermat 1.2.10, como em 2. 2

O teorema seguinte costuma designar-se por teorema de Lagrange, dos Acréscimos Finitos, da Média ou do Valor Médio.

Teorema 1.2.12 Se a fun¸cão f : [a, b] ⊆ R → R é cont´ınua e é diferenciável em ]a, b[, então existe c ∈]a, b[ tal que

f0_{(c) =} f (b) − f (a)

b − a . (1.69)

Dem. Considere-se a fun¸c˜ao auxiliar h : [a, b] → R dada por h(x) = [f (x) − f (a)](b − a) − [f (b) − f (a)](x − a.)

h é cont´ınua e é diferenciável em ]a, b[ e ainda h(a) = h(b) = 0; pelo teorema de Rolle, existe c ∈]a, b[ tal que h0_{(c) = 0; como assim}

0 = h0(c) = f0(c)(b − a) − [f (b) − f (a)],

o teorema fica demonstrado resolvendo a equa¸c˜ao em ordem a f0_(c). ₂

Um corol´ario importante

Teorema 1.2.13 Se a fun¸cão a fun¸cão f :]a, b[→ R é diferenciável e f0_{(x) > 0 (a < x < b) (resp. f}0_{(x) < 0 (a < x < b)) então é estritamente}

crescente (resp. decrescente).

Dem. Na primeira hip´otese f (y) − f (x) tem o mesmo sinal que y − x; na segunda

(38)

Teorema 1.2.14 (de Cauchy-l’Hˆopital) Sejam f, g fun¸cões reais de variável real diferenciáveis em algum intervalo ]a, b[ e c um elemento de ∈]a, b[ tal que

lim x→cf (x) = limx→cg(x) = 0 ou tal que lim x→cf (x) = limx→cg(x) = ∞. Tem-se lim x→c f0_(x) g0_(x) = L ∈ R ∪ {−∞, +∞} ⇒ lim_x→c f (x) g(x) = L

Dem. Vejamos o caso em que L ∈ R, f (c) = g(c) = 0, f e g s˜ao de classe C1 _e

g0_{(c) 6= 0, pelo que} L = lim x→c f0_(x) g0_(x) = f0_(c) g0_(c). lim x→c f (x) g(x) = limx→c f (x) − f (c) g(x) − g(c) = lim x→c f (x)−f (c) x−c g(x)−g(c) x−c = f 0_(c) g0_(c) = L.

Um estudo completo deste teorema pode encontrar-se em [2, Sec. 7.12 ff]. 2

1.2.3 Exerc´ıcios

1. Mostre que, se limx→cf (x) = α ∈ R e limx→c[f (x) + g(x)] = β ∈ R, ent˜ao

limx→cg(x) = β − α.

2. Calcule os seguintes limites:

(a) limx→0 senx_x . (b) limx→0 e

x₋₁

x . (c) limx→0 log x+1_x .

(d) limx→0 x−arctanx_x3 .

(e) limx→0 cosx−e

− x₂2

x4 .

3. Suponha que f (x) := ex2_−e2

− x2 _{(x ∈ R)}

(a) Mostre que 0, e e −e s˜ao extremantes locais de f , calcule os extremos locais de f e classifique-os.

(b) Mostre que a equa¸cão f (x) = 0 tem quatro solu¸cões simétricas duas a duas e designe-as por α, −α, β, −β, sendo 0 < α < β.

(39)

1.2. CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE 129 (c) Qual o dom´ınio da fun¸c˜ao x 7→ log[f (x)]?g

(d) Decida se o gráfico de g tem ou não ass´ımptotas (OBS: Repare que g é par).

4. Suponha que f (x) := ex2−1 para qualquer x ∈ R.

(a) Mostre que a recta r de equa¸c˜ao y = x

2 ´e tangente ao gr´afico de f no

ponto (2, 1).

(b) Determine a área da região plana limitada pelo gráfico de f , pela recta r da al´ınea anterior e pelo eixo dos yy.

5. (a) Suponha que f e g são fun¸cões diferenciáveis no intervalo I e que f (x) > 0 para todo o x ∈ I. Prove que se

h(x) = f (x)g(x) _{:= e}g(x)log(f (x))_, ent˜ao h0_{(x) = g(x) · f (x)}g(x)−1_{· f}0_{(x) + f (x)}g(x)_{· log(f (x)) · g}0_(x). (b) Calcule f0_{(x), sendo f (x) = (x}2_{+ 1)}2x−1_. 6. Calcule (a) lim x→0 4x_{− 3}x x (b) lim x→+∞(e 3−x_{log x)} (c) lim x→+∞ ex_{− 1} x3_{+ 4x} (d) lim x→0+(2x 2_{+ x)}x (e) lim x→+∞(3x + 9) 1 x (f) lim x→1 1 − x log (2 − x) (g) lim x→+∞ log x xp com p ∈ R +

7. Prove que, na demonstra¸c˜ao do teorema 1.2.4,

para cada τ > 0, o {m ∈ N| 0 ≤ c − xm < τ } ´e infinito. 8. Demonstre o teorema 1.2.9.

9. Prove que qualquer combina¸cão linear, com coeficientes reais, de fun¸cões uni-formemente cont´ınuas é uniuni-formemente cont´ınua.

(40)

1.3 Integra¸c˜

ao

Nesta seçcão f : [a, b] ⊆ R → R designa uma fun¸cão limitada e

∀x ∈ [a, b] m ≤ f (x) ≤ M (1.70)

Defini¸c˜ao 1.3.1 Sejam n ∈ N e P = {a = x0 < x1 < · · · < xn= b} uma parti¸c˜ao

de [a, b].

1. A soma superior de f para a parti¸c˜ao P ´e dada por S(f, P) = n−1 X i=0 sup x∈[xi,xi+1] f (x)(xi+1− xi)

2. A soma inferior de f para a parti¸c˜ao P ´e dada por I(f, P) = n−1 X i=0 inf x∈[xi,xi+1] f (x)(xi+1− xi)

3. f diz-se integr´avel (em [a, b]) quando

sup©I(f, P)| P é parti¸cão de [a, b]} = inf©S(f, P)| P é parti¸cão de [a, b]ª Este supremo (ou ´ınfimo) diz-se o integral de f (em [a, b]) e nota-seR_abf (x)dx

Observa¸cão 1.3.1 Com esta defini¸cão de integral é aparente que

Quando f é integrável e f (x) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b), R_abf (x)dx pode entender-se como medida da área da região de R2 _{delimitada pelo gráfico}

de f e o eixo dos xx entre as rectas de equa¸c˜oes x = a & x = b.

Teorema 1.3.1

1. Quando f é integrável, sejam quais forem as parti¸cões P, Q de [a, b] m(b − a) ≤ I(f, P) ≤

Z _b

a

f (x)dx ≤ S(f, Q) ≤ M(b − a) (1.71)

2. f é integrável sse para qualquer ε > 0, existe uma parti¸cão P tal que S(f, P) − I(f, P) < ε.

3. Se f ´e cont´ınua, ent˜ao

(a) f ´e integr´avel.

(41)

1.3. INTEGRAC¸ ˜AO 131

Dem. A única parte eventualmente dif´ıcil é a número 2 (exerc´ıcio 7). Quanto às outras partes:

1. As duas desigualdades centrais resultam da própria de defini¸cão de integral; a primeira desigualdade obtém-se de

m ≤ inf

x∈[xi,xi+1]

f (x) (1 ≤ i < n); a ´ultima desigualdade obt´em-se de

sup

x∈[xi,xi+1]

f (x) ≤ M (1 ≤ i < n).

3(a) Resulta de 2. e do facto de f ser uniformemente cont´ınua (teorema 1.2.4). 3(b) Pode deduzir-se de 1 e dos teorema de Bolzano e de Weierstrass pois

min{f (x)| x ∈ [a, b]} ≤ 1 b − a Z _b a f (x)dx ≤ m´ax{f (x)| x ∈ [a, b]} 2

Teorema 1.3.2 Suponha-se que as fun¸cões f, g : [a, b] → R são integráveis e que α ∈ R. Então

1. αf + g : [a, b] → R ´e integr´avel e Z _b a αf (x) + g(x)dx = α Z _b a f (x)dx + Z _b a g(x)dx (1.72)

2. Se para qualquer x ∈ [a, b] f (x) ≤ g(x), ent˜ao Z _b a f (x)dx ≤ Z _b a g(x)dx

3. |f | : [a, b] → R ´e integr´avel e ¯ ¯ ¯ ¯ Z _b a f (x)dx ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z _b a |f (x)|dx (1.73)

4. máx{f, g} : [a, b] → R é integrável.

5. min{f, g} : [a, b] → R ´e integr´avel.

6. f2 _{: [a, b → R ´e integr´avel.}

7. f · g : [a, b] → R ´e integr´avel. Dem. Exerc´ıcio 2.