DIFERENTES SIGNIFICADOS DAS FRAÇÕES CONHECIMENTO MOBILIZADO POR FUTUROS PROFESSORES DOS PRIMEIROS ANOS

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DIFERENTES SIGNIFICADOS DAS FRAÇÕES –

CONHECIMENTO MOBILIZADO POR FUTUROS

PROFESSORES DOS PRIMEIROS ANOS

Hélia Pinto, C. Miguel Ribeiro

helia.pinto@ipleiria.pt; cmribeiro@ualg.pt

Escola Superior de Educação e Ciências Sociais de Leiria; Universidade do Algarve

Resumo

O entendimento dos diferentes significados das frações corresponde a uma das dificuldades dos alunos no entendimento dos números racionais, podendo estas associar-se, também, ao conhecimento que os professores detêm (ou assumem deter) deste tema. É, assim, fundamental desenvolver o conhecimento do professor sobre nesta temática, de modo a que seja possível, posteriormente, erradicar estas dificuldades dos alunos. Neste texto, parte de um estudo exploratório, discutimos alguns aspetos do conhecimento de futuros professores dos primeiros anos sobre os diferentes significados das frações. Os primeiros resultados indiciam diversas dificuldades que nos levam a equacionar a necessidade de alterações na formação que tem vindo a ser facultada, bem como no seu foco.

Palavras chave: conhecimento do professor, diferentes significados das frações, formação inicial de professores, números racionais.

Abstract

Understanding the different fractional meanings is one of students’ difficulties in rational numbers. Such difficulties can be also grounded in teachers’ knowledge on the topic. It is, thus, essential to develop teachers’ knowledge on the topic, in order to allow, afterwards, eradicate these students’ difficulties. In this paper we discuss some aspects of early years’ teachers’ knowledge on the different meanings of fractions. The preliminary results reveal some difficulties in prospective teachers’ knowledge leading us to equate the need for a change in teachers training both in form as in focus.

Keywords: teachers’ knowledge, different fractional meanings, teachers’ initial training, rational numbers

1.

I

O campo dos números racionais é uma complexa rede de conceitos (Vergnaud, 1988). Os alunos apresentam dificuldades com estes números, suas representações e significados das operações, e muitos professores não parecem conscientes dos obstáculos com que eles se deparam, ao progredirem na concetualização dos números racionais não negativos. Lamon (2007) argumenta que, por vezes, “os professores lutam com as mesmas dificuldades e

 _{Pinto, H. & Ribeiro, C., M. (2013). Diferentes significados das frações – conhecimento mobilizado por}

futuros professores dos primeiros anos. In R. Cadima, H. Pinto, H. Menino, I. S. Simões (Org.) proceedings of the International Conference of Research, Practices and Contexts in Education, (pp. 209-217). Leiria: ESECS. (ISBN: 978-989-97836-4-5)

2 apresentam os mesmos mal-entendidos dos alunos" (p. 633). Este é um ponto crucial, dado que o conhecimento do professor compromete a aprendizagem dos seus alunos – de entre os diferentes aspetos que influem as aprendizagens destes, o conhecimento do professor assume um papel fundamental (e.g., Nye, Konstantopoulos e Hedges, 2004). Deste modo, a formação docente deve ser, efetivamente, fundamentada em investigação que proporcione uma compreensão do conhecimento matemático e didático do professor para abordar (também) este tema, tendo por base, também o conhecimento da forma como os alunos realizam aprendizagens significativas do mesmo. Assim, de modo a alcançar o desenvolvimento de um conhecimento matemático sustentado nos alunos, em particular no que se refere aos racionais, suas representações e significados das operações, é fundamental que os próprios professores possuam (e possam desenvolver na sua formação) um conhecimento matemático deste tema e especificamente relacionado com a sua atuação docente. Este deve permitir-lhes sustentar a preparação e implementação de tarefas matematicamente ricas e desafiadoras que promovam o desenvolvimento do almejado conhecimento nos alunos. Um contexto primordial para o desenvolvimento de um tal conhecimento matemático para ensinar é a formação inicial de professores – sendo esta encarada como a primeira instância do desenvolvimento profissional do professor. Para que seja possível um tal desenvolvimento, e a concetualização de formas que o permitam maximizar, é fundamental identificar um ponto de referência que sirva como ponto de partida, sendo, para o efeito, fundamental aceder às situações/tópicos/temas que possam ser consideradas mais problemáticas para os (futuros) professores, bem como os possíveis motivos matemáticos que sustentam essas dificuldades.

Com esse intuito efetuámos uma primeira aproximação a esta problemática do conhecimento dos futuros professores no âmbito dos racionais – da qual este texto é uma pequena parte. Aqui discutimos alguns aspetos específicos do conhecimento matemático de futuros professores relacionados (e essenciais no) com o desenvolvimento do sentido de número racional. Com esse intuito serão apresentados alguns resultados preliminares relativos ao conhecimento mobilizado por esses futuros professores relativos aos diferentes significados das frações e discutidas algumas suas implicações.

2.

O

,

Resultados de investigações (e.g., Kieren, 1976, Lamon, 2007; Streefland, 1991) sugerem que os alunos adquirem uma compreensão significativa do conceito de número racional, quando lhes é proporcionada a exploração de tarefas que contemplam a maioria dos significados das frações.

3 Conforme refere Kieren (1976), o facto de se compreender um dos significados de fração, não significa que se tenha conhecimento do conceito de número racional, pelo que há necessidade de se compreender os vários significados e as suas inter-relações. Segundo o autor, existem diferentes estruturas cognitivas ligadas aos vários significados, condicionantes do processo de aprendizagem. Também Lamon (2007) salienta a importância de um entendimento dos diferentes significados de fração para que se compreenda o conjunto de números racionais. Refere que tradicionalmente os alunos são confrontados essencialmente com a definição técnica de fração como parte-todo, que para além de os levar ao uso da palavra fração como sinónimo de parte-todo, os deixa com uma noção empobrecida de número racional, já que as frações podem assumir outros significados, nomeadamente, quociente, razão, operador e medida. Monteiro e Pinto (2005, 2007) clarificam cada um dos diferentes significados que as frações podem assumir ao nível elementar, em contextos escolares. Assim, a fração como parte-todo surge em situações de comparação entre a parte e um todo, considerado este a unidade. O denominador indica o número de partes iguais em que a unidade está dividida e o numerador o número de partes escolhidas, podendo o todo ser contínuo (uma folha de papel) ou discreto (os berlindes do João). A fração como quociente surge em situações de partilha equitativa (foram distribuídas (equitativamente) 3 sandes por 4 crianças). O numerador representa o que é partilhado e o denominador os recetores dessa partilha (pertencem, portanto, a conjuntos distintos). A fração como razão também surge, por exemplo, em situações de relação entre duas partes de um todo (a razão entre o número de meninos e de meninas numa turma é de 2/3 – lê-se “é de 2 para 3”). A fração como operador surge em situações onde a fração é aplicada ao cardinal de um conjunto discreto, já que o denominador indica uma divisão e o numerador uma multiplicação (3/4 de 12 lápis) ou, transforma uma figura, reduzindo-a ou ampliando-a. A fração como medida surge em situações onde se compara uma grandeza com outra tomada como unidade de medida. A unidade de medida terá de ser fracionada em partes iguais que estejam contidas um número de vezes na quantidade a medir- este número de vezes pode não ser inteiro. Direcionando a atenção para os sentidos didáticos em que podemos considerar as frações, Monteiro e Pinto (2005) salientam que a fração como relação entre a parte e o todo aparece também nas situações de medida e nas situações de partilha equitativa, visto que em ambos os casos se compara, depois do refinamento da unidade de medida e da situação de partilhar, uma parte fracionada com um todo. Alertam também, para alguns inconvenientes de uma abordagem didática às frações exclusivamente através da relação parte-todo, nomeadamente pelo facto dos alunos confundirem a relação parte-todo com a relação parte-parte e ser uma abordagem que dificulta a compreensão de frações que representam uma quantidade maior que a unidade. Tal como vários investigadores (e.g., Fosnot e Dolk, 2002; Streefland, 1991), defendem uma

4 primeira abordagem às frações em contextos de partilha equitativa, partindo de situações inspiradas na realidade dos alunos, num processo construtivo de matematização. Dessa forma poder-se-á proporcionar um contexto rico e concreto para a compreensão da representação fracionária e particularmente, da equivalência de frações, envolvendo os alunos no desenvolvimento de representações distintas como suporte para a resolução de problemas. De modo a que todos estes significados e interpretações das frações possam ser explorados com os alunos, é fundamental que os professores sejam, também eles, conhecedores dos diferentes aspetos do conteúdo que pretendem abordar, das suas possíveis diferentes formas de representação e de formas de os explorar e abordar em contexto – conhecimento matemático especificamente relacionado com a atuação docente, no sentido de Ball, Thames e Phelps, 2008). Desse modo será possível preparar e selecionar tarefas que permitam partir de problemas e situações do contexto dos alunos (ou pelo menos que estes se identifiquem com ele) explorando-os de forma matematicamente desafiadora e desenvolvendo, por essa via, uma significativa compreensão da representação fracionária em todos os seus significados.

A formação inicial de professores deverá ser considerada, de forma explícita, como um ponto de acesso, discussão e incremento do conhecimento do professor, não se limitando essa discussão a aspetos mais relacionados com a componente didática da atuação docente. Um foco nesse domínio, deixando à margem a discussão do domínio do conteúdo associado, possibilitará, quanto muito, que os futuros professores possam vir a preparar (e implementar) tarefas que até podem parecer, à primeira vista didaticamente emocionantes, mas que se configuram, efetivamente, como matematicamente pouco exigentes (e.g., Ribeiro e Carrillo, 2011). Assim, é fundamental que as abordagens e explorações dos diferentes tópicos, em particular dos racionais, sejam efetuadas de modo a promover, de forma imbrincada, o desenvolvimento do conhecimento do professor considerando as especificidades deste, nomeadamente aspetos do conhecimento do conteúdo. Estes, devem permitir-lhes, entre outros, entender os porquês associados a determinado raciocínio, justificação ou argumento e, por outro lado, antecipar as possíveis dificuldades dos alunos, entendendo os motivos em que estas se podem sustentar, e encontrando-se em condições para fornecer um feedback construtivo que permita aos alunos atribuírem sentido ao que fazem e porque o fazem a cada momento.

Assim ao professor cumprirá saber, por exemplo que para identificar a fração correspondente à parte pintada de uma figura tem de considerar a figura dividida em partes iguais; que 3/5 de uma quantidade corresponderá necessariamente a uma quantidade menor que a inicial ou que 3/5 de uma quantidade maior que um é distinto de retirar 3/5 a um. Este conhecimento é considerado do nível do dos alunos, dai que aos professores cumpre, necessariamente, um conhecimento do

5 conteúdo mais amplo, profundo e relacional que lhe permita, também, entre outros, navegar entre diferentes representações de um mesmo tópico ou relacionar (imediatamente) tópicos distintos, aparentemente desconexos. Apenas sendo detentor de um tal conhecimento mais amplo (que o dos alunos que poderá vir a ensinar) será possível almejarem preparar e implementar tarefas que permitam o desenvolvimento de um sólido e amplo conhecimento matemático nos alunos.

3.

C

Considerando a especificidade do conhecimento do professor para o exercício da atuação docente, e tendo por intuito desenvolver tarefas que contribuam para o desenvolvimento desse conhecimento, é fundamental obter informações que permitam identificar o ponto de partida em que nos encontramos, e as dificuldades mais prementes dos (futuros) professores, de modo a que a formação se possa centrar onde é, efetivamente mais necessária. Com esse intuito desenvolvemos um estudo exploratório do qual este texto é uma pequena parte.

Aqui pretendemos discutir e refletir sobre um conjunto de aspetos críticos identificados no conhecimento dos futuros professores em torno dos racionais, particularmente no que se refere aos diferentes significados das frações, que nos permitam, posteriormente, discutir formas e processos que conduzam a um efetivo incremento do conhecimento matemático para ensinar esse tópico. Este estudo exploratório combina uma metodologia qualitativa com um estudo de caso instrumental (Stake, 2005), tendo sido aplicado um conjunto de tarefas a futuros professores dos Primeiros Anos nas nossas duas instituições de formação de professores. A componente qualitativa centra-se, essencialmente, na quantificação das questões mais problemáticas para os futuros professores, fornecendo uma ideia global sobre os temas mais problemáticos e nas quais nos debruçamos mais pormenorizadamente na componente qualitativa. Estas situações críticas em termos de conhecimentos revelados pelos futuros professores são encaradas como uma oportunidade para aprendermos.

As tarefas propostas neste estudo têm por base questões que supostamente alunos do 4.º ano de escolaridade deveriam estar em condições de resolver – de acordo com o que é referido no Programa de Matemática do Ensino Básico (Ponte, et al., 2007). Responderam às tarefas 27 futuros professores (12 da ESECS do Instituto Politécnico de Leiria – que frequentam o 1.º ano do Mestrado em Ensino do 1.º Ciclo e do 2.º Ciclo do Ensino Básico – e 14 da ESEC da Universidade do Algarve que frequentam o 3.º ano da Licenciatura em Educação Básica). Consideramos esta diversidade de contextos (e.g., Instituições distintas, estudantes de Licenciatura, estudantes de Mestrado) como uma oportunidade de obter uma mais ampla

6 Figura 1 – Resposta correta: Fração como quociente

compreensão dos aspetos em análise, sendo essa diversidade encarada como mais um elemento de riqueza para um maior entendimento sobre os possíveis motivos que sustentam as dificuldades identificadas. Porém, aqui focar-nos-emos apenas nas respostas de um desses grupos de estudantes. Assim, as tarefas foram respondidas individualmente e posteriormente discutidas em grande grupo (no âmbito das Unidades Curriculares, respetivamente Didática do 1.º Ciclo do Ensino Básico II – Matemática; e Conhecimento matemático para ensinar nos primeiros anos), de modo a explorar as diferentes estratégias, maiores dificuldades e a permitir, a partir dessa exploração, incrementar o conhecimento dos futuros professores, tanto no que se refere ao conhecimento do conteúdo como ao conhecimento didático do conteúdo – tendo em consideração os contextos específicos em que essa exploração ocorreu. Estes momentos de discussão em grande grupo na UALG foram gravados em áudio e vídeo.

Na análise centramo-nos essencialmente nas respostas incorretas, não por pretendermos salientar, per si, o que os estudantes não conhecem, mas porque será a partir destas situações que poderemos obter uma mais ampla compreensão e entendimento sobre os fatores que poderão estar na base dessas dificuldades. Os resultados são apresentados recorrendo a exemplos ilustrativos das respostas dos alunos nas diversas categorias consideradas e que se associam aos diferentes significados das frações (quociente; razão; parte-todo; operador e medida).

4. Alguns resultados preliminares e discussão

Nesta secção apresentamos e discutidos alguns aspetos relativos às respostas apresentadas pelos futuros professores às questões que envolvem os diferentes significados das frações.

Relativamente à questão “A Joana adora as tartes da pastelaria boca-doce. Um dia resolveu

convidar 4 amigas para irem provar as tartes que ela tanto gosta. Pediram 3 tartes e dividiram-nas igualmente entre elas. Que parte de tarte comeu cada amiga?”, que envolve a fração como

quociente, apenas 36% dos estudantes respondeu corretamente (Figura 1).

Assim, 64% dos estudantes apresentou uma resposta incorreta, sendo o erro mais comum a troca do dividendo pelo divisor (Figura 2), correspondendo à resposta de 56% destes estudantes.

7 Figura 4 – Resposta errada: Fração como razão

Figura 3 – Resposta errada: Fração como quociente Figura 2 – Resposta errada: Fração como quociente

Estas respostas revelam que os futuros professores nem sequer se equacionam sobre a impossibilidade de cada amiga comer mais do que uma tarte (não consideram a (im)possibilidade dos resultados obtidos tendo em consideração o contexto concreto em que se encontram), ou simplesmente desconhecem o facto de que quando o numerador é um número (quantidade) maior que o denominador, a fração representa uma quantidade maior que a unidade. (Esta falta de conhecimento sobre o papel da unidade revelou-se explicitamente aquando da exploração em grande grupo das tarefas propostas.) Dos outros 44% de estudantes que apresentaram respostas incorretas, alguns devido a uma má interpretação do enunciado, por consideraram apenas as 4 amigas da Joana (Figura 3), outros por se terem limitado a referir que “cada amiga come 1/5 da tarte” e houve ainda, quem adicionasse os numeradores e os denominadores das frações (Figura 3).

Na questão que envolve a fração como razão “[…]Escreva uma fração que represente a relação

entre o número de vogais e o número total de letras [da palavra RACIONAL], 36% dos

estudantes apresentou uma resposta errada, voltando a surgir o erro relativo à troca do dividendo pelo divisor (Figura 4), entre outros, com frequência amodal.

Relativamente às questões que envolvem a fração como parte-todo (Figura 5), apesar de corresponder ao significado que os estudantes referem estar mais à-vontade – por ser o mais

8 Figura 5 – Resposta errada: Fração como parte-todo

explorado durante a sua escolaridade e, também, reconhecidamente por estes, durante a sua formação inicial de professores, nem sempre é referido, nem considerado o facto de a unidade ter de estar dividida em partes iguais. Porém, mesmo os estudantes que evidenciam este conhecimento, apresentam dificuldades. Por exemplo, quando solicitados a identificarem as figuras que têm 2/3 pintados, 36% dos estudantes identifica a figura E, que está dividida em 3 partes, mas não em partes iguais – apesar de serem todas triângulos (e, portanto, embora irrelevante para a questão em si, iguais em forma), não são iguais nem em área (equivalentes), nem em perímetro isoperimétricas), tendo duas das três partes pintadas.

A questão que envolve a fração como operador é a que apresenta um maior número de respostas erradas, com 64% dos estudantes a não conseguir calcular 3/5 de 30. Assim, perante a questão “No dia do seu aniversário o Manuel levou para a escola um saco com 30 gomas. Deu aos seus

colegas de turma3/5dessas gomas. Com quantas gomas ficou o Manuel?”, surgem resoluções

que evidenciam, por um lado, um completo desconhecimento de que a fração pode ser encarada como algo que não parte-todo e, por outro, que não equacionam a impossibilidade das respostas que obtêm, ao considerarem a álgebra pela álgebra, completamente dissociada, inclusivamente, das possíveis representações pictóricas que efetuam. Nesta situação consideram perfeitamente normal obter como resposta 147, ao recorrerem a procedimentos algébricos para retirarem 3/5 a 30 gomas (Figura 6), ou uma resposta de 50/10, quando dividem as 30 gomas por 3/5 (Figura 7). Neste último procedimento revelam ainda, um desconhecimento de como efetuar uma divisão envolvendo frações, já que nem sequer aplicam corretamente “a regra” de multiplicar pelo inverso, o que revela, também, um seu provável desconhecimento.

9 Figura 6 – Resposta errada: Fração como operador

Figura 7 – Resposta errada: Fração como operador

Figura 8 - Resposta errada: Fração como medida

Estas dificuldades dos futuros professores podem estar associadas ao facto de nunca terem sido confrontados, pelo menos de forma explícita (ou se o foram, pelo menos não atribuíram qualquer significado) com situações onde a fração é aplicada ao cardinal de um conjunto discreto.

Com o intuito de aceder ao conhecimento dos futuros professores envolvendo frações com o significado de medida, uma das tarefas envolvia as relações entre os elementos constituintes dos blocos padrão. As questões desta tarefa também apresentam uma elevada percentagem de respostas erradas, fundamentalmente quando a unidade de medida é “maior” em área que o que se pretende medir. Ainda assim, ao serem confrontados com questões envolvendo a comparação das medidas dos elementos constituintes dos blocos padrão, 36% dos estudantes erram a resposta cujas questões envolvem a unidade de medida inferior ao objeto a medir, sendo que esse valor aumenta para 71% quando a unidade de medida é superior ao objeto a medir (Figura 8).

Estas dificuldades dos futuros professores expressam também as dificuldades reveladas noutras questões, ao não problematizarem o facto de a fração que obtém ser superior à unidade – mesmo em situações onde é expressamente referido que se tem de dividir a unidade em partes iguais (sem que, propositadamente, se mencione qual a unidade considerada).

5.

B

As respostas destes futuros professores revelam diversas carências no seu conhecimento matemático relativo, em particular (mas não exclusivamente) aos significados das frações. Revelam um conhecimento matemático de um nível inferior ao que se supõe de alunos do ensino básico (segundo o que se encontra explícito no atual Programa de Matemática – (Ponte,

10 et al., 2007)). Estas dificuldades, para além de problemáticas, são ainda mais preocupantes pois são reveladas por estudantes que se encontram já numa fase adiantada da sua formação inicial, revelando, também que durante essa formação não foi tida em conta a necessidade de desenvolver nos futuros professores o conhecimento e capacidades que lhes permitam, sequer, responder corretamente ao tipo de questões elementares que se supõe possam vir a colocar aos seus futuros alunos. A fração como parte-todo corresponde ao significado que é comummente aceite como o mais explorado, porém, apesar de a questão que envolve este significado recolher a menor percentagem de respostas incorretas (36%), esta é ainda, e sempre preocupante, correspondendo à mesma percentagem das respostas incorretas associadas à questão que explora a fração como razão. A questão envolvendo a fração como medida configura-se como a mais problemática para estes estudantes, sendo que 71% revela não deter um conhecimento que lhe permitisse responder corretamente. Tal como refere Lamon (2007), o facto de os alunos serem tradicionalmente confrontados essencialmente com a definição técnica de fração como parte-todo, que para além de os levar ao uso da palavra fração como sinónimo de parte-todo, deixa-os com uma noção empobrecida de número racional. A exploração deste aspeto já referido explicitamente por Lamon em 2007, e do conhecimento do professor especificamente associado à atuação docente (que é bastante mais amplo que o conhecimento didático do conteúdo) deveria, quanto a nós, ser um dos focos da formação de professores de modo a permitir, num futuro próximo, erradicar estas dificuldades nos alunos.

Esse foco de atenção poderá passar por perseguir efetivamente objetivos associados ao desenvolvimento do conhecimento matemático para ensinar dos futuros professores (em todas as suas dimensões – e.g., Ball, et al., 2008), partindo de situações semelhantes (pelo menos em natureza e tipo) às que se espera estes possam vir a possibilitar aos seus alunos (e.g., Magiera, van den Kieboom e Moyer, 2011). Dessa forma estaremos a promover o desenvolvimento de um conhecimento matemático especificamente direcionado para a atuação docente e que permita, entre outros, entender os porquês associados e a navegar frutiferamente entre diferentes representações e um mesmo conceito/tópico.

6.

R

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