Conceitos Básicos. INF2604 Geometria Computacional. Waldemar Celes. Departamento de Informática, PUC-Rio

(1)

Apresenta¸c˜ao da disciplina Geometria Afim Geometria Euclidiana Topologia

Conceitos B´

asicos

INF2604 – Geometria Computacional

Waldemar Celes

celes@inf.puc-rio.br

Departamento de Inform´atica, PUC-Rio

(2)

Agenda

(3)

Apresenta¸

c˜

ao da disciplina

(4)

INF2604 – Geometria Computacional

T´opicos

I Conceitos b´asicos

I Pol´ıgonos

I Fecho convexo (2D e 3D)

I Estruturas topol´ogicas I Triangula¸c˜ao e Delaunay

I Diagrama de Voronoi

I Superf´ıcies I Iso-superf´ıcies

(5)

INF2604 – Geometria Computacional

Crit´erio de avalia¸c˜ao

I Avalia¸c˜oes conceituais: 50

I Prova

I Exerc´ıcios conceituais como bônus I Avalia¸cões práticas: 50

I Trabalhos

I Exerc´ıcios pr´aticos como bˆonus

(6)

INF2604 – Geometria Computacional

Bibliografia

I Discrete and Computational Geometry;

S. L. Devadoss, J. O’Rourke, 2011

I Computational Geometry, 3rd edition;

M. de Berg, O. Cheong, M. Kreveld, M. Overmars, 2008

I Computational Geometry in C, 2nd edition;

J. O’Rourke, 1998

I Delaunay Mesh Generation;

S Cheng, T. K. Dey, J. R. Shewchuk, 2013

I Polygon Mesh Processing;

(7)

Geometria Afim

(8)

Grandezas

I Escalares (α), pontos (p) e vetores (~v)

I Vetores com dire¸c˜ao e magnitude

Opera¸c˜oes v´alidas

α ~v −→ ~v

~v ~v _{−→ ~v}

p_{− p −→ ~v}

p +~v _{−→ p}

I Note que não são válidas:

α p p + p

(9)

Grandezas

I Escalares (α), pontos (p) e vetores (~v)

I Vetores com dire¸c˜ao e magnitude

Opera¸c˜oes v´alidas

α ~v −→ ~v

~v ~v _{−→ ~v}

p_{− p −→ ~v}

p +~v _{−→ p}

I Note que não são válidas:

α p p + p

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Combina¸c˜

ao

I Combina¸c˜ao afim I Ilegal: p =α0p0+α1p1, α0+α1= 1 I Legal: p = p0+α1(p1− p0)

I Estendendo para 3 pontos:

(11)

Combina¸c˜

ao

p = p0+α1(p1− p0) +α2(p2− p0)

(12)

Combina¸c˜

ao

(13)

Coordenadas homogˆ

eneas

I Ponto/Vetor na dimens˜ao d ´e representado por uma

(d + 1)-tupla d = 1 : x _−→ (x, w ) ou (w , x) d = 2 : (x, y ) −→ (x, y , w ) ou (w , x, y ) d = 3 : (x, y , z) _{−→ (x, y, z, w) ou (w, x, y, z)} I Para pontos: w = 1 I Para vetores: w = 0

I Logo: p − q naturalmente resulta em um vetor

(14)

Coordenadas homogˆ

eneas

(15)

Coordenadas homogˆ

eneas

I Logo: p − q naturalmente resulta em um vetor

(16)

Orienta¸c˜

ao

I Operadores relacionais para pontos (<, =, >)

I Orienta¸c˜ao de (d + 1) pontos na dimens˜ao d

I Positiva

I Zero

I Negativa

I Espa¸co bidimensional (d = 2)

I Positiva: anti-hor´aria

I Zero: colineares

I Negativa: hor´aria _orient _{< p, q, r >=}

1 px py 1 px py 1 px py Colinear CCW + CW -p p p q q q q r r r

(17)

Orienta¸c˜

ao

I Operadores relacionais para pontos (<, =, >)

I Orienta¸c˜ao de (d + 1) pontos na dimens˜ao d

I Positiva

I Zero

I Negativa

I Espa¸co bidimensional (d = 2)

I Positiva: anti-hor´aria

I Zero: colineares

I Negativa: hor´aria _orient _{< p, q, r >=}

1 px py 1 px py 1 px py Colinear CCW + CW -p p p q q q q r r r

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Orienta¸c˜

ao

I Espa¸co tridimensional (d = 3)

I Positiva: parafuso com regra da m˜ao direita

I Zero: coplanares

I Negativa: parafuso com regra da m˜ao esquerda

orient < p, q, r, s >= 1 px py pz 1 qx qy qz 1 rx ry rz 1 sx sy sz I Espa¸co unidimensional (d = 1) I Positiva: p precede q

I Zero: p coincide com q

I Negativa: q precede p orient< p, q >= 1 px 1 qx = qx− px

(19)

Orienta¸c˜

ao

I Espa¸co tridimensional (d = 3)

I Positiva: parafuso com regra da m˜ao direita

I Zero: coplanares

I Negativa: parafuso com regra da m˜ao esquerda

orient < p, q, r, s >= 1 px py pz 1 qx qy qz 1 rx ry rz 1 sx sy sz I Espa¸co unidimensional (d = 1) I _{Positiva: p precede q} I Zero: p coincide com q

I Negativa: q precede p orient< p, q >= 1 px 1 qx = qx− px

(20)

(21)

ˆ

Angulos, ´

areas e distˆ

ancias

I Produto interno ~ u_{· ~v =} d X i uivi I Magnitude de vetor k~vk =√~v_{· ~v} I Normaliza¸c˜ao ˆ v = ~v k~vk I Distˆancia entre dois pontos

kp − qk

(22)

Ortogonalidade

I Vetores ortogonais (perpendiculares)

~ u· ~v = 0 I Proje¸c˜ao ortogonal I Dados~u e ˆv , tem-se: ~ u =u~1+u~2 onde: u~1k ˆv e ~u2⊥ ˆv

I C´alculo das componentes: ~

u1=~u· ˆv ~

(23)

Ortogonalidade

I Vetores ortogonais (perpendiculares)

~ u· ~v = 0 I Proje¸c˜ao ortogonal I Dados~u e ˆv , tem-se: ~ u =u~1+u~2 onde: u~1k ˆv e ~u2⊥ ˆv

I C´alculo das componentes: ~

u1=~u· ˆv ~

u2=~u− ~u1

(24)

ˆ

Angulo entre vetores

I Angulo realˆ θ = cos−1 u~· ~v k~ukk~vk = cos −1_{( ˆ}_u .ˆv ), θ∈ [0, π] I Pseudo ˆangulo

(25)

ˆ

Angulo entre vetores

I Angulo realˆ θ = cos−1 u~· ~v k~ukk~vk = cos −1_{( ˆ}_u .ˆv ), θ∈ [0, π] I Pseudo ˆangulo

f (~u, ~v) = 1− cos θ = 1 − cos−1( ˆu.ˆv ), f (~u, ~v)∈ [0, 2]

(26)

ˆ

Angulo entre vetores

Pseudo ˆangulo como per´ımetro de quadrado

I Imagem no intervalor (_{−4, 4]}

I Em especial, para ordena¸c˜ao polar

I Baixo custo computacional

Exerc´ıcio:

I Implemente uma fun¸cão para calcular o pseudo-ângulo de um vetor usando apenas 3 compara¸cões, 1 soma e 1 divisão.

I Implemente outra fun¸c˜ao que receba dois vetores e retorne o pseudo-ˆangulo dentre eles.

(27)

ˆ

Angulo entre vetores

Pseudo ˆangulo como per´ımetro de quadrado

I Imagem no intervalor (_{−4, 4]}

I Em especial, para ordena¸c˜ao polar

I Baixo custo computacional

Exerc´ıcio:

I Implemente uma fun¸cão para calcular o pseudo-ângulo de um vetor usando apenas 3 compara¸cões, 1 soma e 1 divisão.

I Implemente outra fun¸c˜ao que receba dois vetores e retorne o

(28)

´

Areas e ˆ

angulos

I Area de um triˆ´ angulo (pqr)

Apqr = orient < p, q, r > 2 I Em d -dimens˜ao: A =orient < ... > d ! I _{Angulo ∠}ˆ _pqr sinθ = orient < p, q, r > kp − qk kr − qk

(29)

´

Areas e ˆ

angulos

Produto vetorial ~ u_{× ~v = k~uk k~vk sin θ ˆ}n ~u ~v ~u⇥ ~v

I C´alculo via determinante

~ u_{× ~v =} u1 v1 i u2 v2 j u3 v3 k = (u2v3− u3v2) i + (u3v1− u1v2) j + (u1v2− u2v1) k

I Angulo entre vetoresˆ

θ = sin−1_kˆu_{× ˆvk}

(30)

Base ortonormal

I Dado vetor ~n, achar base ortonormal ˆu ˆv ˆw , com ~n_{k ˆ}w

~n ˆ w ˆ u ˆ v ˆ w = ˆn ˆ

u = ˆw_{× ˆi, onde ˆi= [0 0 0]}T

se: û_{· ˆ}u < _⇒ uˆ_{k ˆ}w então: û = ˆw_{× ˆj} ˆ

(31)

Base ortonormal

I Dado vetor ~n, achar base ortonormal ˆu ˆv ˆw , com ~n_{k ˆ}w

~n ˆ w ˆ u ˆ v ˆ w = ˆn ˆ

u = ˆw_{× ˆi, onde ˆi= [0 0 0]}T

se: û_{· ˆ}u < _⇒ uˆ_{k ˆ}w então: û = ˆw_{× ˆj} ˆ

v = ˆw_{× ˆ}u

(32)

Coordenadas baricˆ

entrica

I Sendo p1, p2 e p3 pontos n˜ao colineares,

um ponto p pode ser expresso na forma: p =λ1p1+λ2p2+λ3p3

I λ₁,λ2eλ3 são as coordenadas baricêntricas do ponto p em rela¸cão a p1, p2 e p3. λi = Ai AT

p

3 p A1 A2

(33)

Exerc´ıcio

Considere um campo vetorial 2D representado de forma discreta nos v´ertices de triˆangulos

I Interpola¸c˜ao linear no interior do triˆangulo

p1 p2 p3 ~v1 ~v2 ~v3

I Determine o ponto de singularidade, isto ´e, o ponto onde~v = ~0

(34)

(35)

Interior e Fronteira

Considere um conjunto de pontos X

X = {p ∈ Rd_}

I Interior deX: int(X)

int(X) = {p ∈ X : Np⊆ X}

ondeNp´e uma vizinhan¸ca local de p

I Fronteira deX: ∂X

∂X = cl(X) − int(X)

=_{{p ∈ cl(X) : N}p* X}

onde cl (X) ´e o fecho de X

X

int(X)

cl(X)

@X

(36)

Interior e Fronteira

X = {p ∈ Rd_}

int(X) = {p ∈ X : Np⊆ X}

=_{{p ∈ cl(X) : N}p* X}

X

int(X)

cl(X)

(37)

Interior e Fronteira

X = {p ∈ Rd_}

int(X) = {p ∈ X : Np⊆ X}

=_{{p ∈ cl(X) : N}p* X}

X

int(X)

cl(X)

@X

(38)

Interior e Fronteira

Exemplos deX, int(X) e ∂X

I C´ırculo em 2D

I int(X) ´e o disco aberto

I ∂X ´e a circunferˆencia

I C´ırculo em 3D

I int(X) = ∅

(39)

Interior e Fronteira

I C´ırculo em 2D

I C´ırculo em 3D

I int(X) = ∅

I ∂X = X

(40)

Interior e Fronteira

I C´ırculo em 2D

I C´ırculo em 3D

I int(X) = ∅

(41)

Interior e Fronteira

I C´ırculo em 2D

I C´ırculo em 3D

I int(X) = ∅

I ∂X = X

(42)

Homeomorfismo

I Correspondˆencia um a um cont´ınua nos dois sentidos entre

dois espa¸cos topol´ogicos ou entre duas figuras geom´etricas

I SejamX e Y subconjuntos de Rd_,

existe a fun¸c˜aoµ :_{X → Y homeomorfa, um a um cont´ınua,} e existeµ−1_{, tamb´}_{em um a um cont´ınua}

(43)

Homeomorfismo

I Uma curva simples ´e homeomorfa ao intervalo unit´ario [0, 1]

I Uma curva simples fechada ´e homeomorfa

a um disco unit´ario: _{{(x, y) : x}2+ y2= 1_}

I Um cubo ´e homeomorfo a uma esfera

I Um cubo vazado ´e homeomorfo a um toro

(44)

Homeomorfismo

(45)

Homeomorfismo

I Um cubo vazado ´e homeomorfo a um toro

(46)

Homeomorfismo

(47)

Manifold

I Manifold de dimens˜ao k (k-manifold) ´e um conjunto de

pontos cuja topologia local ´e a mesma que Rk

I Exemplos:

I Uma curva simples fechada ´e 1-manifold

I A superf´ıcie de uma esfera ´e 2-manifold

I Manifold de dimens˜ao k com fronteira ´e um conjunto de

pontos cuja topologica local ´e a mesma que Rk ou

que um semi-espa¸co deRk.

I Exemplos

I Uma superf´ıcie 3D limitada ´e um 2-manifold com fronteira

I Uma esfera ´e um 3-manifold com fronteira