Determinação de Parâmetros Geotécnicos Utilizando Técnicas de Otimização

Determinação de Parâmetros Geotécnicos Utilizando Técnicas de Otimização

Adinele Gomes Guimarães, Andréia A. Lopes Burnier e Izabel Azevedo

Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Viçosa, Viçosa, Minas Gerais

RESUMO: A previsão do comportamento de maciços de solos requer a utilização de modelos constitutivos que representem mais adequadamente sua relação tensão-deformação. O modelo hiperbólico, devido à sua simplicidade, tem sido amplamente utilizado para representar essa relação. Apesar de seus parâmetros serem facilmente obtidos de ensaios em laboratório, é possível utilizar uma abordagem mais hábil, com base em técnicas de otimização, para identificar esses parâmetros. Essas técnicas permitem encontrar os parâmetros que tornem mínima a diferença entre os valores medidos no laboratório e aqueles calculados pelo modelo.

Diversos são os métodos para resolver os problemas de otimização, sendo a maioria deles resolvidos por algoritmos iterativos, como por exemplo o método de Newton-Raphson. Este artigo apresenta, de forma suscinta, as principais características do modelo hiperbólico e do algoritmo de otimização utilizado para identificação dos parâmetros desse modelo. Apresentam-se, também, os resultados de ensaios triaxiais no solo estudado além dos parâmetros do modelo determinados através do procedimento convencional e da técnica de otimização utilizada.

PALAVRAS-CHAVE: Otimização, Parâmetros Geotécnicos, Modelo Hiperbólico.

1 INTRODUÇÃO

A previsão de movimentos em maciços de solos induzidos por construções tais como fundações, escavações, terraplenagem, etc., geralmente exige o emprego de métodos numéricos e da utilização de um modelo constitutivo que permita descrever o comportamento não linear característico dos solos.

Os parâmetros de modelos constitutivos são normalmente obtidos por meio de ensaios de laboratório, mas, no entanto, para alguns modelos, o procedimento adotado pode ser complicado. Além disso, ensaios de laboratório são executados com amostras que podem não representar perfeitamente as condições de campo.

Uma abordagem lógica para automatizar a determinação destes parâmetros é fazer uso de métodos numéricos de otimização que permitem identificar, de maneira hábil, a melhor solução dentre as inúmeras disponíveis.

Encontrar a solução de um problema de otimização significa descobrir as variáveis que torna mínima a função que o descreve.

Nos últimos anos, as técnicas de otimização têm sido utilizadas nas mais diversas áreas, principalmente na engenharia. Em muitas aplicações da engenharia o número de variáveis

envolvidas é grande e as funções não são funções explicitas das variáveis, exigindo assim a utilização de métodos numéricos.

O objetivo desse trabalho é determinar os parâmetros de um modelo constitutivo elástico não-linear usando um algoritmo de otimização não linear.

2 MODELO CONSTITUTIVO

O comportamento tensão-deformação dos solos depende de uma grande diversidade de fatores.

Vários autores vêm trabalhando na área de modelos constitutivos visando encontrar uma relação tensão-deformação-resistência que represente, adequadamente, o comportamento dos solos e que leve em conta o maior número possível de fatores condicionantes.

O modelo constitutivo hiperbólico, proposto por Duncan e Chang (1970), tem sido muito utilizado em trabalhos de engenharia geotécnica em razão de sua simplicidade e da facilidade na obtenção de seus parâmetros. Esse modelo pode ser usado para representar o comportamento tensão-deformação de solos coesivos e não coesivos, saturados ou secos, em condições de carregamento drenado ou não drenado.

As relações constitutivas do modelo

consideram características dos solos como não-

linearidade e a influência da tensão de confinamento, σ 3 . Características constitutivas dos solos como dilatância e a influência da tensão principal intermediária não são consideradas nesse modelo. Portanto, as relações constitutivas do modelo apresentam o mesmo comportamento para compressão, extensão ou estado de deformação plana.

A equação hiperbólica:

( )

1 3 1

1 a + b ε

= ε σ

−

σ (1)

apresentada por Konder (1963) para representar a relação entre a diferença de tensão, σ 1 -σ 3 , e a deformação axial, ε 1 , descreve esse modelo, em que a e b são constantes associadas, respectivamente, ao módulo de deformabilidade inicial, Е i , e à diferença de tensão na condição

‘última’, (σ 1 -σ 3 ) ult , como indicado na Figura 1.

σ1−σ3) ult=1/b

ε1

σ1−σ3

Figura 1. Curva tensão versus deformação hiperbólica (Nogueira 1998).

O módulo de deformabilidade inicial é definido como uma função exponencial da tensão de confinamento, tal que (Jambu 1963):

n i 3

. pa pa . K

E ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ σ (2)

em que K e n são constante obtidas empiricamente a partir de ensaios de laboratório, e pa é a pressão atmosférica.

A diferença de tensão na condição ‘última’ é definida como o valor assintótico à curva tensão versus deformação e pode ser relacionada com

a resistência ao cisalhamento, (σ 1 -σ 3 ) f , da seguinte forma:

( ) ( )

Rf

3 f 1 3 ult

1

σ

−

= σ σ

−

σ (3)

em que Rf é um parâmetro do modelo conhecido como razão de ruptura.

Assim sendo, pode-se escrever:

( ₁ ^Rf ₃ ) _f

b = σ − σ (4)

A resistência ao cisalhamento dada pelo critério de Mohr-Coulomb é definida em função da tensão de confinamento como:

( )

) sen 1 (

sen 2 cos c

2 ₃

3 f

1 − φ

φ σ +

= φ σ

−

σ (5)

em que c e φ são os parâmetros de resistência efetivos do material, também obtidos experimentalmente.

O módulo de elasticidade tangente é determinado diferenciando a equação 1 em relação a ε ₁ e, após algumas manipulações matemáticas obtém-se:

( )( )

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

φ σ + φ

σ

− σ φ

− −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ σ

sen 2 cos c 2

sen 1 1 Rf . pa

pa . K E

3 3 1 n

3 (6)

A equação 6 representa a relação fundamental do modelo constitutivo hiperbólico.

Para representar a deformação axial- volumétrica, Duncan (1980) propôs uma aproximação de modo que a relação não-linear entre ε ₁ e ε _v fosse representada através de um valor constante do módulo de expansão volumétrica, B, que, por sua vez, é função da pressão de confinamento, σ ₃ , expresso por:

m 3

. pa pa . Kb

B ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ σ (7)

em que Kb e m são parâmetros do solo.

Desse modo, fica-se com uma relação entre

ε 1 e ε _v expressa por:

1

v 3 B

E ε

=

ε (8)

Com base na lei de Hooke, as deformações principais incrementais podem ser expressas como:

⎪ ⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ σ σ σ

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

ν

− ν

−

ν

− ν

−

ν

− ν

−

⎪ =

⎭

⎪ ⎬

⎫

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ ε ε ε

3 2 1

3 2 1

d d d

1 1 1 E 1 d

d d

(9)

em que os parâmetros B e E são definidos pelas equações 6 e 7, respectivamente e

B 6

E B 3 −

=

ν .

3 ALGORITMO DE OTIMIZAÇÃO 3.1 Introdução

O objetivo da otimização é encontrar a melhor solução, dentre todas em potencial, de um determinado problema. Se esse problema puder ser representado matematicamente, é possível, às vezes, solucioná-lo utilizando métodos analíticos. Entretanto, nos problemas de engenharia, normalmente não-lineares, é necessário o emprego de métodos numéricos iterativos, que geram soluções a cada passo.

A idéia básica dos algoritmos numéricos iterativos é a procura por soluções ótimas. Os algoritmos são inicializados com uma estimativa para a solução ótima, que é avaliada iterativamente até que as condições de otimalidade sejam satisfeitas. Um problema de otimização consiste, portanto, em determinar a solução que minimiza uma função, denominada a função objetivo.

A utilização de métodos numéricos iterativos usualmente requer a utilização do computador.

Isto acarreta algumas dificuldades, tais como a de obter uma solução inicial para o processo iterativo. Outra dificuldade que advém do uso do computador é o cuidado exigido no escalonamento de variáveis, de modo a reduzir os erros numéricos. Como a maioria dos problemas de otimização é resolvida computacionalmente e os problemas gerados

são cada vez maiores, devem-se procurar algoritmos cada vez mais eficientes para sua solução.

3.2 Algoritmo Geral de Minimização

Os métodos numéricos de otimização são descritos pela seguinte equação iterativa:

k k 1

k = p p

p ⁺ + ∆ (10)

em que o superscrito k representa a iteração e p é função objetivo.

Existem diversos métodos para o cálculo de

∆p ^k que, geralmente, é decomposto em duas parcelas: a direção de busca , d ^k , e o tamanho do passo, α ^k , conforme equação abaixo:

k k

k d

p = α

∆ (11) A escolha de direções é o que realmente diferencia os algoritmos de minimização, ou seja, a definição de uma regra fixa para determinar uma direção de busca d ^k . Escolhida a direção, todos os algoritmos executam um processo de minimização na direção determinada. O processo de busca de um ponto desejável na direção d ^k é denominado busca unidirecional e é como se determina o tamanho do passo α ^k .

Nesse trabalho foram utilizados o método de Newton Modificado para determinação da direção de busca, e um procedimento de redução sucessiva de intervalos, denominado método da Seção Áurea, para busca unidirecional.

3.3 Método de Newton Modificado

A idéia básica deste método é utilizar a expansão em série de Taylor até a segunda ordem da função objetivo em torno do ponto corrente. Isto fornece uma expressão quadrática para ∆p ^k . Com as condições necessárias para a minimização desta função, obtém-se, explicitamente, a direção de busca.

[ ] ^{k 1 k}

k H g

d = − ⁻ (12)

em que H ^k é a matriz hessiana (segunda derivada da função objetivo) e g ^k é o vetor gradiente (primeira derivada da função objetivo)

4 IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS O problema de identificação de parâmetros pode ser formulado como um problema de otimização, em que se deseja encontrar o vetor de parâmetros p que torne mínima a diferença entre os valores medidos nos ensaios e os calculados pelo modelo matemático.

Portanto, pode-se definir o processo em duas etapas principais. Na primeira, utiliza-se um critério de identificação para definir a função objetivo, função dos valores medidos e calculados. Na segunda etapa, utilizando-se um algoritmo de minimização, a função objetivo é minimizada obtendo-se os parâmetros.

Os critérios de identificação se distinguem, fundamentalmente, pelo grau de informação prévia disponível sobre o problema. Na falta de qualquer informação adicional além dos dados observados nos ensaios, o método mais simples e recomendado (Beck e Arnold 1977) é o método dos mínimos quadrados, em que a função objetivo pode ser expressa de forma geral como:

[ ] [ ] _∑

=

=

−

−

= ^m

1 i

i 2 T *

* y ( p ) y y ( p ) r ( p ) y

) p (

F (13)

em que y ^* é o vetor dos valores medidos, y(p) é o vetor dos valores calculados em função dos parâmetros a determinar e r i é o resíduo, ou seja, a diferença entre os valores medidos e calculados.

A função objetivo utilizada neste trabalho é dada em termos das deformações axial e volumétrica. O método de estimativa escolhido foi o dos mínimos quadrados, já que não há informações adicionais, além dos dados dos ensaios e, ainda, porque todas as medidas têm a mesma dimensão:

{ }

∑∑ = =

σ ε

− ε +

σ ε

− ε

=

φ

=

ne 1 j

np 1

i LAB 2

i vi LAB vi

LAB 2 i i LAB 1

i 1

) , p (

) , p ( )

p ( F

m , Kb , , c , Rf , n , K p

(14)

em que p é o vetor de parâmetros, ne é o número de ensaios e np é o número de pontos de cada ensaio. Os valores das deformações axiais e volumétricas, calculadas pelo modelo hiperbólico, são dados, respectivamente, por

) , p ( ^LAB _i

i

1 σ

ε e ε _vi ( p , σ ^LAB _i ) ; ε ₁ ^LAB _i e ε ^LAB _vi são as deformações experimentais.

5 RESULTADOS

Para validação do algoritmo de otimização na obtenção dos parâmetros do modelo hiperbólico estudado neste trabalho foram realizados três ensaios triaxiais convencionais de tensão deformação em amostras de um solo residual, com tensões de confinamento de 50, 150 e 200 kPa.

O vetor de parâmetros fornecido para inicialização do algoritmo iterativo foi encontrado pelo procedimento de calibração convencional, cuja metodologia será omitida aqui por não ser relevante a esse trabalho.

Tabela 1. Parâmetros do Modelo Hiperbólico.

Parâmetros e

Função Método

Convencional Método Newton- Modificado

K 246,38078 222,309544

n 0,781508 1,009925

Rf 0,91506 1,070449

c (kPa) 16,84 47,68566

φ (°) 27,07 26,103123

Kb 47,307216 70,636998

m 0,5365044 -0,007481

F(p) 2,7715x10

9,7227x10

Na Tabela 1 apresentam-se os valores dos

parâmetros obtidos pelo método de calibração

convencional e os calculados pelo Método de

Newton-Modificado. Com base nesses valores,

procedeu-se a reprodução dos ensaios

laboratoriais. Na Figura 2 apresenta-se uma

comparação entre os resultados observados e os

calculados pelo modelo hiperbólico cujos

parâmetros foram otimizados.

Figura 2. Comparação entre resultados observados e ajustados pelo modelo hiperbólico com os parâmetros otimizados e da calibração convencional.

6 CONCLUSÕES

As curvas do modelo hiperbólico construídas com os parâmetros otimizados pelo método de Newton-Modificado ajustaram-se melhor aos dados observados em laboratório do que a curva dos parâmetros dados pela calibração convencional, comprovando a eficácia da metodologia para determinação dos parâmetros.

No entanto, não foi observada uma redução substancial da função objetivo com a otimização dos parâmetros. Isso se deve ao fato de o modelo não ser o mais indicado para representar o comportamento desse tipo de material, bem como da necessidade em se analisar a sensibilidade de cada um dos parâmetros.

A análise de sensibilidade permitirá avaliar os resultados obtidos, analisar a eficiência do modelo e a influência dos parâmetros nos valores calculados. Essa análise é de suma importância no processo de identificação de parâmetros e será apresentada em trabalho futuro.

REFERÊNCIAS

Arora, J.S. (2004) Introduction to Optimum Design, 2nd ed., Elsevier Academic Press, San Diego, California, USA, 728 p.

Beck, J.V. and Arnold, K.J. (1977) Parameter Estimation in Engineering and Science, John Wiley & Sons, Inc., USA, 501 p.

Bicalho, K.V. (1992) Modelagem das características e Resistências da Areia de Itaipú-Niterói/RJ, Dissertação de Mestrado, Programa de Pós- Graduação em Ciências da Engenharia Civil:Geotenica, Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Dennis, J.E. e Schnabel, R.B. (1983) Numerical Methodos for Unconsytrained Optimization and Nonlinear Equatios, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jerseey, 364 p.

Duncan, M.J. (1980) Hyperbolic stress-strain relationships, Proceedings of the Workshop on Limit Equilibrium Plasticity and Generalized Stress-Strain in Geotechnical Engineering, New York, p. 443-460.

Duncan, M.J. e Chang, C.Y. (1970) Nonlinear analysis of stress and strain in soils, Journal of Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, SM5, p. 1629-1653.

Jambu, N. (1963) Soil Compressibility as determined by oedometer and triaxial tests, European Conference on Soil Mechanics and Fundation Engeneering, Wissbaden, Germany, Vol.1, p. 19-25.

Kondner, R.L. (1983) Hiperbolic Stress-Strain response:

coesive soils, Journal of Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, 89, SM1, p. 115-143.

Nogueira, C.L. (1998) Análise não linear de Escavações e Aterros, Dissertação de Doutorado, Programa de Pós-Graduação em Ciências da Engenharia Civil:Geotecnia, Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 250 p.

σ

= 50 kPa