Limiting fragmentation como um estudo do estado inicial em colisões de íons pesados

KAYMAN JHOSEF CARVALHO GONÇALVES

LIMITING FRAGMENTATION COMO UM ESTUDO DO ESTADO INICIAL EM COLISÕES DE ÍONS PESADOS

CAMPINAS 2019

KAYMAN JHOSEF CARVALHO GONÇALVES

LIMITING FRAGMENTATION COMO UM ESTUDO DO ESTADO INICIAL EM COLISÕES DE ÍONS PESADOS

Dissertação apresentada ao Instituto de Física “Gleb Wataghin"da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Física, na Área de Física.

Orientador: Prof. Dr. Donato Giorgio Torrieri

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO KAYMAN JHOSEF CARVALHO GON-ÇALVES ORIENTADO PELO PROF. DR. DO-NATO GIORGIO TORRIERI.

Assinatura do Orientador

Campinas 2019

Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin Lucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Gonçalves, Kayman Jhosef Carvalho,

G586L GonLimiting fragmentation como um estudo do estado inicial em colisões de íons pesados / Kayman Jhosef Carvalho Gonçalves. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

GonOrientador: Donato Giorgio Torrieri.

GonDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

Gon1. Colisões entre íons pesados. 2. Física de altas energias. 3. Plasma de quarks e glúons. 4. Cromodinâmica quântica. 5. Glauber, Modelo de. 6. Pártons. I. Torrieri, Donato Giorgio, 1975-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Limiting fragmentation as an initial-state probe in heavy ion

collisions

Palavras-chave em inglês:

Heavy ion collisions High energy physics Quark-gluon plasma Quantum chromodynamics Glauber model

Partons

Área de concentração: Física Titulação: Mestre em Física Banca examinadora:

Donato Giorgio Torrieri [Orientador] Pedro Cunha de Holanda

Fernando Silveira Navarra

Data de defesa: 13-12-2019

Programa de Pós-Graduação: Física

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a) - ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-9004-2321 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/7626516758204511

MEMBROS DA COMISSÃO JULGADORA DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DE

KAYMAN JHOSEF CARVALHO GONÇALVES – RA 209781 APRESENTADA E

APROVADA AO INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS, EM 13 / 12 / 2019.

COMISSÃO JULGADORA:

- Prof. Dr. Donato Giorgio Torrieri– Orientador – DRCC/IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Pedro Cunha de Holanda – DRCC/IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Fernando Silveira Navarra – IF/USP

OBS.:

Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no

SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria do Programa da

Unidade

CAMPINAS

2019

Agradeço a todas as pessoas que me ajudaram durante essa caminhada dentre elas: a minha mãe Rosenilde Sousa Carvalho e a minhas irmãs Kayalla e Kayllana pelo apoio sempre presente mesmo com a distância. Também agradeço pela amizade e companheirismo de todos que se fi-zeram presente durante a realização do mestrado: Andres Alsina, Jamille Feitosa, Joel Anderson, Mariano Chaves, Yago Silva, Christyan de Oliveira, Fernanda Rodrigues, Paulo de Moura, Jhaison de Faria, Guillermo Gambini.

Ao Prof. Dr. Donato Giorgio Torrieri pela orientação e o seu sempre bom humor durante a realização desse trabalho.

À Universidade Estadual de Campinas e ao Instituto de Física “Gleb Wataghin"pela assistência cedida aos meus estudos.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001 com o número de processo 88882.328988/2019-0.

RESUMO

Examinamos a limiting fragmentation para colisões de íons pesados dentro da estrutura de modelos populares de dinâmica de estado inicial. Mostramos que modelos populares de produ-ção de partículas inspirados em Glauber para colisões de íons pesados, como o modelo de duas componentes, geralmente quebram limiting fragmentation, devido à dependência com a energia do número de colisões binarias. Essa característica é uma consequência direta do aumento da seção choque núcleon-núcleon com energia. Quantificamos essa violação em termos dos parâ-metros do modelo. Também mostramos que o modelo de wounded pártons, desde que o tama-nho dos núcleos e a densidade dos quarks variem predominantemente com Bjorken x, poderia, em princípio, reproduzir tanto a dependência da multiplicidade com energia quanto a limiting fragmentation. Também discutimos a extensão e as fontes de violação da limiting fragmentation no modelo de "color glass condensate. Argumentamos, portanto, que a limiting fragmentation em colisões de íons pesados é um teste poderoso dos modelos de estado inicial e comentamos a viabilidade dessa medição no LHC. Até agora, não foi feita uma comparação sistemática entre as energias LHC e RHIC, uma vez que a multiplicidade não foram realizadas medições na pseudo-rapidez correspondente à "mid-rapidity"nas energias superiores do LHC.

PALAVRAS-CHAVE: Colisão de íons pesados. Física de altas energias. Plasma de quarks e glúons. Cromodinâmica quântica. Modelo Glauber. Pártons.

We examine the limiting fragmentation for heavy ion collisions within the framework of po-pular models of initial state dynamics. We show that popo-pular Glauber-inspired models of particle production in heavy ion collisions, such as the two-component model, generally fail to account for limiting fragmentation, due to the energy-dependence of number of participants and number of collisions. This feature is an unavoidable consequence of the rise of the nucleon-nucleon cross-section with energy. We quantify this violation in terms of the model parameters. We also show that wounded partons models, provided the nucleon size and quark density vary predominantly with Bjorken x, could in principle reproduce both multiplicity dependence with energy and limi-ting fragmentation. We also discuss the extent, and sources of violation of limilimi-ting fragmentation within the color glass condensate model. We argue, therefore, that limiting fragmentation in he-avy ion collisions is a powerful test of initial state models and comment on the feasibility of this measurement at the LHC Up until now, a systematic comparison between LHC and RHIC energies has not been made, since multiplicity measurements at the pseudo rapidity corresponding to the mid-rapidity at top LHC energies has not been performed.

KEY WORDS: Heavy ion collisions. High energy physics. Quark-gluon plasma. Quantum chro-modynamics. Glauber model. Partons.

Sumário

1 Introdução 9

2 Aspectos gerais da QCD 11

2.1 Cromodinâmica quântica e confinamento . . . 11

2.2 Modelo partônico . . . 13

2.3 Limiting fragmentation e modelo partônico . . . 18

2.4 Plasma de quarks e glúons e hidrodinâmica de Landau e Bjorken . . . 23

2.4.1 Hidrodinâmica de Bjorken . . . 24

2.4.2 Hidrodinâmica de Landau. . . 26

3 Modelo de Glauber 27 3.1 Limite óptico . . . 27

3.2 Implementação de monte carlo. . . 32

3.3 Comparando o modelo de Glauber Óptico e o Glauber Monte Carlo . . . 36

4 Resultados 38 4.1 Modelo de duas componentes . . . 38

4.2 Limiting fragmentation em uma colisão de íons pesados. . . 38

4.3 Dinâmica nuclear partônica e limiting fragmentation . . . 54

4.3.1 Modelo de color glass condensate . . . 54

4.3.2 Modelo de wounded pártons . . . 58

5 Conclusão e perspectivas 62

Referências Bibliográficas 66

Capítulo 1

Introdução

Os estudos sobre a natureza da matéria vem ocorrendo desde da Grécia antiga onde Leucipo, Demócrito e Epicuro propuseram que a matéria seria constituída de unidades indivisíveis chama-das de átomo. Mas, em 1904 Thomson propôs que o átomo seria constituído de cargas negativas incrustada dentro de uma esfera com carga positiva [1]. Entretanto a partir do experimento de Ernest Rutherford realizado em conjunto com Ernest Mardsen (1889-1970) e Hans Geiger(1882-1945) sobre espalhamento em uma folha de ouro com partículas de He++, chamadas de partícu-lasα, foi descoberta a estrutura atômica que era feita de outras partículas com o centro possuindo carga positiva atraindo partículas com cargas negativas [2]. Seria descoberta mais tarde que o nú-cleo é formado de prótons e nêutrons com os elétrons sendo atraídos pelo núnú-cleo. Em 1968 foi realizado o primeiro experimento no SLAC-MIT (Stanford Linear Accelerator Center) sobre o es-palhamento entre um próton e um elétron chamado de eses-palhamento profundo do elétron [3]. Dessa maneira, descobriram que o próton é formado de outras partículas denominadas de pár-tons por Feynman. O modelo partônico descreve a estrutura dos hádrons os quais são feitos de quarks e glúons.

Podemos utilizar colisões de altas energias para estudar a estrutura partônica dos hádrons, como por exemplo, em colisões entre dois prótons temos que o modelo de partônico implica que a distribuição de partículas carregadas geradas nessa interação na região de fragmentação do alvo possui uma curva limite que não depende da energia, denominada LF (Limiting Fragmentation)

Capítulo 1. Introdução 10

[18]. Definiremos a LF da seguinte forma:

d2N dκ2 ¯ ¯ ¯ ¯ κ=y−y0 = C , p s C dC dps ¿ 1 , y0= 1 2ln p s 1GeV (1.1)

no qual d2N /dκ2 é a derivada de segunda ordem da taxa de partículas carregadas geradas em relação a rapidez,κ = y −yo, a energia da interação é representada por

p

s, mp é a massa do próton e C é uma constante.

Como os íons são formados de vários núcleons (prótons e nêutrons), podemos usar modelos que utilizam condições inicias para descrever a multiplicidade de partículas carregadas para coli-sões entre íons pesados e dessa maneira analisar se LF ainda ocorre. Abordaremos um modelo que leva em consideração apenas os elementos geométricos da colisão com dois modelos que consi-deram a estrutura partônica dos núcleons, os quais são respectivamente: o modelo de Glauber, modelo de color glass condensate e modelo de wounded pártons.

Discutiremos no capítulo 2 aspectos gerais sobre a cromodinâmica quântica como a liberdade assintótica, confinamento e modelo de pártons e como ele implica na LF. Por último, é abordado como utilizamos a hidrodinâmica de Bjorken e de Landau para descrever a multiplicidade de par-tículas geradas.

No capítulo 3 é apresentado os conceitos principais sobre o modelo de Glauber óptico e as implementações de monte carlo, dentre eles, o número de núcleons participantes, número de colisões binarias e parâmetro de impacto. Além de fazer uma comparação entre essas duas abor-dagens.

Por fim, no capítulo 4 discutimos modelos que consideram a estrutura partônica dos núcle-ons como modelo de color glass condensate e wounded pártnúcle-ons e comparamos seus resultados obtidos com o modelo de Glauber, dessa maneira, analisando qual deles apresentam LF.

Capítulo 2

Aspectos gerais da QCD

2.1 Cromodinâmica quântica e confinamento

A partir do modelo padrão temos que as forças que governam as interações na natureza são dadas em quatro tipos: a forte, a fraca, a gravitacional e a eletromagnética. A força forte age so-mente em distâncias muito curtas sendo responsável por manter os quarks unidos para formar os núcleons. A força fraca está associada com o decaimento beta, o qual prótons transmutam-se em nêutrons e vice versa. A força gravitacional é muito mais fraca em relação às demais, mas tem grande importância para corpos muito massivos. A força eletromagnética proporciona a atração entre os elétrons e o núcleo possibilitando a formação dos átomos e moléculas [32] [33].

Sabemos que devido a força forte nunca foram observados quarks e glúons livres, isto está associado com um conceito teórico chamado de cor que pode ser entendido como a carga das interações fortes. Assumi-se que cada quark possui um dos três tipos de cores que são: verde, vermelho e azul. Com os glúons sendo os bósons mediadores desta interação e carregam uma cor e uma anti-cor. Os quarks possuem ainda mais um grau de liberdade chamado de sabor, podendo ser: up, down, strange, charmed, bottom e top [32].

A teoria que descreve a dinâmica da interação forte é chamada de Cromodinâmica Quântica (QCD), a qual descreve que os prótons e os nêutrons podem sofrer transições de fase acima de temperaturas da ordem de 1012K formando assim um plasma quente de quarks e glúons (QGP).

Capítulo 2. Aspectos gerais da QCD 12

Este é um estado da matéria no qual os quarks e os glúons movem-se livremente em grandes dis-tâncias comparadas ao tamanho típico do hádron [34]. Isto ocorre devido a liberdade assintótica, pois a constante de acoplamentoαs diminui com o aumento da escala da energia transferida Q, assim a interação entre os quarks e glúons também decresci [16], como exemplificado no gráfico (2.1). QCD α (Μ ) = 0.1184 ± 0.0007_{s Z} 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

α

s

(Q)

1 10 100

Q [GeV]

Heavy Quarkonia e+e– Annihilation

Deep Inelastic Scattering

July 2009

Figura 2.1: Relação entre a constante de acoplamentoαse a energia transferida Q [17].

No universo primordial existia um conjunto extremamente quente e denso de muitas partícu-las fundamentais, especialmente quarks e glúons, com isso formando um estado de (QGP). Po-demos estuda-lá experimentalmente a partir de colisões ultrarelativísticas de núcleos pesados, como Pb-Pb e Au-Au, pois também formam esse estado [37]. Portanto, experimentos como os realizados no Large Hadron Collision (LHC) e no Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC) são uma oportunidade de estudar as propriedades da (QGP) em uma região do diagrama de fase que cruza a fase de deconfinamento e a matéria hadrônica.

2.2 Modelo partônico

Para começarmos a entender a estrutura partônica dos hádrons, tomemos como objeto de es-tudo a colisão inelástica de um elétron e um próton, ou seja, o espalhamento profundo do elétron. Esse tipo de interação ocorre quando a massa total, W , gerada nesse processo é maior que a massa do próton, M . A figura (2.2) descreve o diagrama dessa colisão:

Figura 2.2: Diagrama de uma colisão inelástica de e−e p [5]

As quantidades cinemáticas k e k0 são respectivamente o quadrimomento inicial e final do elétron, q é o quadrimomento transferido, o qual foi realizado por um fóton virtual, e P refere-se ao quadrimomento inicial do próton. Na colisão descrita na figura (2.2) temos que a massa total gerada após essa interação é dada pela equação abaixo [6]:

W2c2= (P + q)2= M2c2+ 2P.q + q2= M2c2+ 2Mν −Q2 (2.1)

temos que Q2= −q2> 0, M é a massa do próton e ν é energia transferida pelo fóton no referencial do laboratório definida comoν =P q_M . Podemos definir respectivamente a fração de momento total do hádron que os pártons possuem e a fração de energia transferida do elétron para o hádron da seguinte forma: x = Q 2 2Mν , y = ν Ek (2.2) no qual Ek representa a energia inicial do elétron. A equação que descreve a seção de choque diferencial desse espalhamento é dada por [7]:

dσ dQ2_dν= πα2 4k2_k0_sin4³θ 2 ´ · W2¡Q2,ν¢cos2 µθ 2 ¶ + 2W1¡Q2,ν¢sin2 µθ 2 ¶¸ , (2.3)

Capítulo 2. Aspectos gerais da QCD 14

temos que W1¡Q2,ν¢ está relacionado com a distribuição de cargas do próton e W2¡Q2,ν¢ a

dis-tribuição do momento magnético. Podemos fazer a seguinte mudança de variável, na qual defi-niremos a função de estrutura dos pártons que está relacionada com a distribuição dos quarks no espaço de momento.

F1¡x,Q2¢ = MW1¡Q2,ν¢ , F2¡x,Q2¢ = νW2¡Q2,ν¢, (2.4)

Fazendo a seguinte mudança de variável d k0d cosθ = 1

2kk0dQ 2_{dν =} M k y k0 d xd y. Dessa maneira podemos escrever: dσ d xd y = 8πα2M k Q2 ·µ 1 − y −M x y 2k ¶ F2¡x,Q2¢ + x yF1¡x,Q2 ¢ ¸ (2.5)

Utilizando o espalhamento profundo do elétron Bjorken propôs que no limite de q → ∞ e

ν → ∞, a função de estrutura dos pártons, Fi¡x,Q2¢ com i = 1,2, dependerá somente de uma quantidade adimensional x = _2MQ2_ν, essa característica é chamada de Bjorken "scaling". O fato que a função de estrutura dos pártons não depende da energia, Q, implica no fato que a colisão do elé-tron está sendo feito com partículas pontuais, dessa maneira, mostrando que o próton possui uma subestrutura [6][13]. No gráfico (2.3) podemos observar uma fraca dependência com a energia da função de estrutura mostrando assim que o Bjorken "scaling"é uma boa aproximação.

Figura 2.3: Gráfico que relaciona a função de estrutura do próton medido pelo experimento HERA para vários valores de energia e Bjorken em “x"[11].

Em um espalhamento elástico e−p temos o próton como uma partícula pontual, ou seja temos x = 1 e Q2= 2Mν. A seção de choque diferencial que descreve essa interação é dada por:

dσ dQ2_dν= α2 4k2_sin4³θ 2 ´ π kk0 µ cos2 µθ 2 ¶ + Q 2 2M2sin 2 µθ 2 ¶¶ δ µ ν − Q 2 2M ¶ (2.6)

Comparando as equações (2.3) e (2.6), teremos as seguintes equações:

W1¡Q2,ν¢ = Q2 4M2δ µ ν − Q2 2M ¶ = Q 2 4M2_νδ µ 1 − Q 2 2Mν ¶ (2.7) W2¡Q2,ν¢ = δ µ ν − Q2 2M ¶ =1 νδ µ 1 − Q 2 2Mν ¶ (2.8)

Capítulo 2. Aspectos gerais da QCD 16

Considerando que o próton possuí uma subestrutura formada de estados ligados de quarks, dessa maneira, iremos assumir que um quark individual qi possui uma carga ei com um quadrimo-mento de xiP e com uma massa de xiM . Assim, iremos reescrever as equações acima da seguinte maneira: W1¡Q2,ν¢ = e2_iQ2 4xiM2νδ µ xi− Q2 2Mν ¶ (2.9) W2¡Q2,ν¢ = e2_iQ2 ν δ µ xi− Q2 2Mν ¶ (2.10) Desse modo, podemos definir a contribuição de cada quark para a função de estrutura da seguinte forma: F₁i¡Q2_{,ν¢ = MW}i 1¡Q2,ν¢ = e2_i 2 δ µ xi− Q2 2Mν ¶ (2.11) F₂i¡Q2 ,ν¢ = νW₁i¡Q2,ν¢ =e 2 iQ2 ν δ µ xi− Q2 2Mν ¶ (2.12) Com isso, obtemos a relação de Callan-Gross para a função de estrutura dos quarks:

F2¡x,Q2¢ = 2xF1¡x,Q2

¢

(2.13)

A equação acima é a assinatura do spin semi-inteiro dos constituintes dos hádrons. A taxa

2xF1¡x,Q2¢ /F2¡x,Q2

¢

Figura 2.4: Gráfico que relaciona a taxa 2xF1¡x,Q2¢ /F2¡x,Q2¢ como função de x dados obtidos a

partir dos experimentos do SLAC (Stanford Linear Accelerator Center) [12].

A função de distribuição dos pártons possui uma dinâmica que depende da resolução do espa-lhamento, ou seja, da energia da interação. Os dados medidos no experimento HERA para Q2= 10

Capítulo 2. Aspectos gerais da QCD 18

Figura 2.5: Representação da distribuição dos quarks e glúons obtidos usando o espalhamento profundo do elétron [20].

Notamos que no gráfico (2.5)temos que a probabilidade de encontrarmos um quark de valên-cia no núcleon diminui para pequenos valores de x como podemos observa com a funções xuv e

xdv. Em relação aos glúons, xg , temos que quanto menor o valor de x maior é a probabilidade de encontrarmos um glúon o mesmo ocorre em uma taxa menor com o quark strange xS.

2.3 Limiting fragmentation e modelo partônico

A multiplicidade de partículas carregadas geradas em uma colisão de altas energias pode ser descrita como possuindo uma região de pionização relacionada com colisões mais centrais e duas associadas com a fragmentação dos hádron alvo e projétil [43]. O gráfico (2.6) exemplifica as

re-giões da distribuição de partículas carregadas geradas em relação a rapidez (para a definição de rapidez veja apêndice A).

0 y(η) -y(η) dN /dy (η ) Region of Pionization Fragmentation Region

Figura 2.6: Multiplicidade de partículas carregadas geradas em relação a rapidez [43].

A colisão de altas energias entre dois hádrons é mais complicada do que a colisão entre um elétron e um próton descrita na seção anterior. Mas, ainda assim, podemos utilizar o conceito do Bjorken "scaling"na função de fragmentação dos hádrons, assim ela dependerá apenas de x. Du-rante a hadronização a rapidez dos pártons, definida como:y = ln(1/x), muda muito pouco. Deste modo, a multiplicidade de partículas carregadas geradas durante essa interação não possui uma dependência com a energia na região de fragmentação do alvo, assim apresentando LF. Portanto podemos notar que LF é uma consequência básica do Bjorken "scaling"e do modelo de pártons. O gráfico (2.7) mostra que o gradiente da multiplicidade, d nch/dη, a respeito da pseudo-rapidez,

Capítulo 2. Aspectos gerais da QCD 20

Figura 2.7: Gráfico da multiplicidade de partículas carregadas geradas para uma colisão próton-próton e próton-próton-antipróton-próton [48].

Então, podemos escrever que a multiplicidade de partículas carregadas geradas em relação à rapidez, nesse limite, é dada por[18]:

lim p s→∞Ep d Nhh d3_p = limp s→∞ d Nhh d yd2_p T = f (x), (2.14)

no qual Nhhé o número de partículas carregadas geradas, p é o momento dos hádrons e pT é o momento transversal.

A hipótese principal para a ocorrência de LF na região de fragmentação do alvo está relacio-nada a multiplicidade de partículas carregadas geradas em relação ao espaço de rapidez, a qual dependerá apenas do Bjorken em x e da energia da interação Q, como dado pela equação abaixo:

d N d y ∼ Z d xAd xBdQ2f ¡xA,Q2¢ f ¡xB,Q2 ¢ σ¡Q2¢

δ¡sinhln(1/xA) + sinhln(1/xB) − sinh y ¢

(2.15) No limite de Q2→ ∞ temos que a função de estrutura é dada por:

Dessa maneira, a multiplicidade de partículas carregadas é dada por:

d N d y ∼

Z

d xAd xBf (xA) f (xB)δ¡sinhln(1/xA) + sinhln(1/xB) − sinh y¢ . (2.17)

Com isso, obtemos que a multiplicidade de partículas carregadas na região de fragmentação do alvo dependerá apenas da rapidez, y, ou seja:

d N

d y ∼ G¡ y¢. (2.18)

Esse resultado explica a curva limite na região de fragmentação do alvo, ou seja, a LF representada pela linha reta em verde na figura (2.7). Os dados apresentados neste gráfico estão relacionados com colisões entre núcleons que por sua vez são formados de quarks. Podemos também estudar a LF para colisões de íons que são formados de núcleons. Desse modo, entender se esse fenômeno ocorre para esse caso. A figura (2.8) exemplifica essa situação:

Figura 2.8: Gráfico representa uma interação entre dois núcleons e também uma colisão entre dois núcleos que são formados de núcleons.

Em colisões de íons pesados podemos obter a taxa de partículas carregadas em relação a pseudo-rapidez, 2/ 〈Np ar t〉 d N /dη, na região de fragmentação do alvo, η− yoe também em relação a ener-gia de interaçãops. Usando os dados do PHOBOS [23] temos esses dois cenários exemplificados através do gráfico (2.9).

Capítulo 2. Aspectos gerais da QCD 22

Figura 2.9: Os gráficos relacionam a quantidade 2/ 〈Np ar t〉 d N /dη com respectivamente y −ηoe a energia de interação,ps.

No lado esquerdo do gráfico (2.9) percebemos que a LF existe para colisões de íons pesados para diversos valores de energias para colisões entre Au+Au e Cu+Cu, pois a região de fragmen-tação do alvo independe da energia da interação, ou seja, possuí uma mesma curva para todos os valores de ps estudados, a qual é representada pela curva em roxo. O lado direito do gráfico

(2.9) relaciona a taxa 2/ 〈Np ar t〉 d N /dη com a energia de interação, como mostrado no apêndice A podemos assumir como boa aproximaçãoη ' y, então, percebemos através da curva em roxo que essa taxa é dada por [23]:

d N

d y ∼ 〈Np ar t〉 ln

p

s (2.19)

Os dados do ALICE para a taxa 2/ 〈Np ar t〉 d N /dη em relação a energia,ps, usando colisões de íons pesados mostra uma quebra na dependência do ln¡ps¢ para energias maiores que 200 GeV, como mostrado no gráfico (2.10), assim, podendo interferir na existência de LF .

(GeV)

NN

s

10 102 103 104

〉η

/d

ch

N

d

〈

_〉

part

N

〈

2

0 2 4 6 8 10 12 14 ), INEL p pp(p AA, central ALICE ALICE CMS CMS UA5 ATLAS PHOBOS PHOBOS ISR PHENIX BRAHMS pA(dA), NSD STAR ALICE NA50 PHOBOS | < 0.5 η | 0.103(2) s ∝ 0.155(4) s ∝

Figura 2.10: O gráfico relaciona a quantidade 2/ 〈Npar t〉 d N /dη com a energia de interação, ps [27].

Através do estudo da LF em colisões de íons pesados podemos estudar se a hipótese que uma colisão entre núcleos pode ser entendida como sendo uma superposição de colisões entre os nú-cleons. Se ela for válida seria esperado que em uma colisão de íons pesados em altas energias tivéssemos também sua ocorrência.

2.4 Plasma de quarks e glúons e hidrodinâmica de Landau e

Bjor-ken

Em uma colisão de íons pesados, em altas energias, atingimos a temperatura crítica, TC, para o desconfinamento dos pártons que constituem o hádron, com isso, é formado na região de in-teração um plasma constituído de quarks e glúons [21]. Esse estado é caracterizado como sendo o qual os pártons estão livres em comparação ao tamanho do hádron, descrito na figura (2.11)

Capítulo 2. Aspectos gerais da QCD 24

como sendo a região vermelha. Depois desse estágio devido ao confinamento ocorre a formação de um gás de hádrons, nessa região ainda existe espalhamento entre seus componentes até que essa interação cessa e a região diminui de temperatura ficando abaixo da temperatura crítica, TC. Após essa fase temos a superfície de "Freeze-Out"que está relacionada com a última região que ocorre interação, na qual depois dela os hádrons estão livres e com isso podemos detectá-los [45]. A figura (2.11) descreve essas etapas da colisão :

Figura 2.11: Evolução da matéria gerada em uma colisão de íons pesados em altas energias [21].

A multiplicidade de partículas carregadas geradas em uma colisão de altas energias é um dos principais observáveis, dessa forma, auxiliando no estudo da matéria extremante quente e densa gerada nesse tipo de colisão.

2.4.1 Hidrodinâmica de Bjorken

Nesse modelo, assumimos que o plasma de quarks e glúons formado durante a colisão de dois íons pesados em altas energias sofre uma rápida termalização e possuí uma expansão em apenas uma dimensão, no nosso caso consideramos que ocorre no eixo z. Uma das principais caracte-rísticas desse plasma é sua simetria sobre boots de Lorentz, ou seja, é independente da rapidez y [4].

Considerando o plasma produzido nessa colisão como sendo um fluído perfeito, então, pode-mos descreve-lo pelo seguinte tensor de momento energia:

Tµν= (² + P ) uµuν− gµνP. (2.20)

No qual, temos que P é a pressão do fluído,² é a densidade de energia, uµ é a quadrivelocidade do fluído e gµνé a métrica de Minkowski. A partir da conservação do tensor de momento energia ,∂_νTµν= 0, podemos escrever:

u_µ∂_νTµν= uµ∂ν£(² + P)uµuν¤ − gµνuµ∂νP = 0 (2.21)

Desse modo, podemos simplificar a equação acima por:

u_µ∂_µ² + (² + P)∂_µuµ= 0 (2.22)

No referencial que o fluído está em repouso, temos que a quadrivelocidade é dada por: u_µ = (1, 0, 0, 0) e como o fluído se expande apenas em uma direção, teremos as seguintes relações:

u_µ∂_µ=_∂τ∂ e∂_µu_µ=1_τ, no qualτ é o tempo próprio. Dessa forma, a equação (2.22) torna-se

d² dτ= −

(² + P)

τ . (2.23)

Através da conservação da entropia, no qual σ, é a densidade de entropia, temos ∂_µ(σuµ) = 0, então

dσ dτ+

σ

τ = 0. (2.24)

Para exemplificar como podemos determinar ² e σ usaremos uma simples equação de estado,

P = λ², com λ sendo uma constante. Portanto, utilizando essa equação de estado na equação

(2.23) e resolvendo a (2.24) temos as seguintes relações:

σ(τ) = σ(τo)τo τ (2.25) ²(τ) = ²(τo) ³τ_o τ ´1+λ (2.26) temos queτoé o tempo próprio inicial. Podemos associar a densidade entropia,σ, com a densi-dade de partículas carregadas geradas, n com a seguinte relaçãoσ = ξn, no qual, para ξ = 3.6 para

Capítulo 2. Aspectos gerais da QCD 26

bósons eξ = 4.2 para férmions. Com isso podemos escrever [26]:

S = ξ

πR2_τ

d N

d y (2.27)

no qual, o termo πR2τd y é o elemento de volume da região interação dos dois núcleos e S é a entropia.

2.4.2 Hidrodinâmica de Landau

Em uma colisão de altas energias de íons pesados o sistema continua interagindo ainda após a colisão, dessa forma, Landau propôs que temos dois estágios principais: No primeiro temos que na região de interação a energia é depositada em um volume no qual existe uma grande produção de partículas e possui um pequeno livre caminho médio em relação ao tamanho do núcleo [37]. Essa produção ocorre através de uma rápida termalização na colisão [26]. No segundo o volume da região de interação se expande, dessa maneira, o livre caminho médio aumenta e as interações diminuem, com isso, gerando partículas individuais [37].

A partir dessas suposições, podemos obter uma equação que descreva a multiplicidade de par-tículas carregadas usando a conservação do tensor de momento energia,∂_νTµν= 0, e a equação de estado de corpo negro P = ²₃usando essa relação obtemos a densidade de entropia,σ ∝ ²3/4, portanto a entropia é dada por: S = σV ∝ s3/4/ps = s1/4. Como a entropia é proporcional ao mul-tiplicidade de partículas carregadas, podemos associar através desse modelo uma distribuição no espaço de rapidez, y de acordo com uma gaussiana [8] [9]:

d N d y = K s1/4 p 2πLexp µ −y 2 2L ¶ (2.28) com L = 4ln¡ps/mp¢, no qual mp é a massa do próton.

Capítulo 3

Modelo de Glauber

Em colisões de altas energias, as quantidades geométricas dessa interação, como por exemplo: número de núcleons participantes, Npar t e número de colisões binarias, Ncol l são definidos res-pectivamente como o número de núcleons que fizeram ao menos uma colisão e o número de co-lisões binarias entre os núcleons. Essas quantidades não são acessíveis experimentalmente, dessa maneira, podemos usar modelos teóricos para estimá-las [30] [28]. Discutiremos alguns aspectos do modelo de Glauber usado para determinar essas grandezas.

3.1 Limite óptico

Os principais inputs do modelo de Glauber são a função densidade de probabilidade dos nú-cleons de um determinado núcleo,ρ (r ) e a seção de choque núcleon-núcleon, σi nel_{N N}(s). A posição de cada núcleon nos núcleos é determinada de acordo com a função densidade de probabilidade radial, a qual é modelada a partir de densidades nucleares de carga extraídas em baixas energias em experimentos de espalhamento de elétrons. A densidade de carga nuclear é usualmente para-metrizada pela distribuição de Fermi com dois parâmetros [6]

ρ(r ) = ρo

1 + exp¡r −R_a ¢ , (3.1)

Capítulo 3. Modelo de Glauber 28

A seção de choque depende da energia envolvida na interação, como exemplificado no gráfico (3.1).

Figura 3.1: O gráfico acima relaciona a seção de choque inelástica de uma colisão pp como uma função da energia do centro de massaps. Os dados experimentais foram obtidos de vários

coli-sores e energias de raios cósmicos [22].

A equação que parametriza o gráfico acima é dada por [22]:

σi nel

N N(s) = A + B lnn(s/so), (3.2)

A tabela a seguir relaciona alguns valores das constantes A, B e n para a equação acima.

Type

A

B

n

_Nχ2

d o f

ln s

_{−3.33 ± 1.58}

_{4.195 ± 0.103}

1 (fixed)

1.52

ln

2

s

_{25.0 ± 0.9}

_{0.146 ± 0.004}

2 (fixed)

0.97

ln

n

s

_{29.8 ± 4.7}

_{0.038 ± 0.60}

_{2.43 ± 0.50}

0.98

Escolhemos para análise proposta nesse trabalho os parâmetros que possuem o menor valor deχ2, os quais são dados por: n = 2, A = 25.0 ± 0.9 e B = 0.146 ± 0.004 .

No modelo de Glauber são feitas as seguintes suposições: Os núcleos altamente energéticos não são defletidos, dessa maneira, possuem uma trajetória linear. O movimento dos núcleons são independentes dos núcleos. A seção de choque total é dada em termos da seção de cho-que núcleon. A força exercida pelo núcleo é maior do cho-que em comparação ao núcleon-núcleon. O parâmetro de impacto, b, também é essencial em colisões sendo definido como um vetor bidimensional que conecta os centros das trajetorias de colisões com as trajetórias transver-sais nucleares, como descrito na figura (3.2).

Figura 3.2: Condições inicias de uma colisão de dois núcleos pesados [50].

A colisão de altas energias pode ser caracterizada por um núcleo chamado de projétil e outro chamado de alvo, o qual estão se movimentando com velocidade relativística um em direção ao o outro. Temos também que no modelo de Glauber as posições dos núcleons são selecionados aleatoriamente dentro dos núcleos e o parâmetro de impacto ˆb é escolhido de forma aleatória. Como exemplo, iremos chamar o projétil de núcleo B e o alvo de núcleo A na figura (3.3) temos o esquema dessa colisão.

Capítulo 3. Modelo de Glauber 30

Figura 3.3: Representação esquemática de uma colisão entre o núcleo A e o B [41].

Temos que s é um vetor da distância do núcleon relativa ao centro do núcleo A, como pode ser observado na figura (3.3). Com isso, a probabilidade por unidade de área transversal do fluxo de núcleon no tubo é dada por [26]:

TA(s) = Z

ρA(s, zA)d zA, (3.3)

comρ_A(s, zA) sendo a probabilidade de localização de um núcleon por unidade de volume. Pode-mos definir a função espessura nuclear usando o produto entre TAe TB da seguinte forma:

TAB( ˆb) = Z

TA(s)TB(s − ˆb)d2s. (3.4)

A quantidade TA(s)σN N_{i nel} é a probabilidade média de interação de núcleon-núcleon durante a coli-são, o qualσN N_{i nel}é a seção de choque núcleon-núcleon. Com isso, podemos a partir da distribuição binomial determinar a probabilidade de ocorrer n interações da seguinte forma, [26]

P (n, ˆb) =   AB n  £TAB( ˆb)σN N_{i nel} ¤n £1 − TAB( ˆb)σN N_{i nel} ¤AB −n . (3.5)

Podemos determinar os valores médios de 〈Ncol l〉, ­Np ar t® e calcular a seção de choque to-talσAB_{i nel}, através de TA,B(s), P (n, ˆb) eσ_{i nel}N N. Assim, definimos o valor médio de colisões binárias núcleon-núcleon usando o método de Glauber a partir da equação abaixo:

­N_{col l}¡_ˆ b¢® = AB X n=1 nP (n, ˆb). (3.6)

Dessa forma, obtemos

­N_{col l}¡_ˆ

b¢® = ABTAB( ˆb)σN N_{i nel}, (3.7) temos que o número médio total de participantes em uma colisão é dada por:

〈Np ar t〉 = 〈Np ar tA〉 + 〈Np ar tB〉 (3.8) 〈Np ar t〉 = A Z d s2TA(s) ( 1 − µ 1 − TB µ s − ^ b ¶ σN N i nel ¶B) + (3.9) +B Z d s2TB(s − b) n 1 −¡1 − TA(s)σN N_{i nel} ¢Ao .

Por fim, vamos calcular a seção de choque total de uma colisão entre os núcleos A e B. Sabemos que a probabilidade total é dada por:

d2σAB_{i nel} d b2 = AB X n=1 P (n, b) (3.10) = AB X n=1 Ã AB n ! · TAB µ_^ b ¶ σN N i nel ¸n· 1 − TAB µ_^ b ¶ σN N i nel ¸AB −n (3.11) e temos que n X k=0 Ã n k ! xkan−k= (a + x)n (3.12)

Podemos reescrever essa expressão da seguinte forma:

n X k=1 Ã n k ! xkan−k= (a + x)n− Ã n 0 ! an (3.13)

Deste modo, escrevemos a equação (3.11) da seguinte maneira

d2σ_{i nel}AB d b2 =¡1 − TAB(b)σ N N i nel+ TAB(b)σ N N i nel ¢AB − AB ! (AB − 0)!£1 − TAB(b)σ N N i nel ¤AB (3.14) Então, d2σ_{i nel}AB d b2 = 1 −¡1 − TAB(b)σ N N i nel ¢AB (3.15) Integrando sobre o parâmetro de impacto, b, temos

σAB i nel= Z d b2 h 1 −¡1 − TAB(b)σN N_{i nel} ¢ABi (3.16) Podemos escreve-la também do seguinte modo:

σAB i nel= 2π Z d bh_{1 −}¡1 − TAB(b)σN N_{i nel} ¢ABi (3.17)

Capítulo 3. Modelo de Glauber 32

3.2 Implementação de monte carlo

As quantidades geométricas de uma colisão de altas energias, como por exemplo: Np ar t, Ncol l e b podem ser obtidas através de modelos de condições iniciais, como por exemplo modelo de Glauber. Assim, podemos associar os observáveis produzidos em uma colisão de altas energias, como a multiplicidade de partículas carregadas geradas, Nchcom esses valores. O histograma (3.4) descreve essa relação.

Figura 3.4: Histograma que relaciona o número de partículas carregadas geradas e o número de eventos para uma colisão Pb-Pb compsN N= 2.76 TeV [46].

Usando uma combinação linear do número médio de núcleons participantes 〈Np ar t〉, e o nú-mero médio de colisões binarias 〈Ncol l〉 e fazendo uma convolução com uma distribuição binaria negativa (NBD) podemos reproduzir a distribuição de partículas carregadas geradas, Nch, repre-sentada pelo eixo x, o qual relaciona um detector no experimento ALICE chamado de VZERO [10], em relação ao número de eventos como demonstrado no histograma (3.4), com isso percebemos uma relação entre essas quantidades. Dessa maneira, podemos associar classes de centralidade com Nch, pois as quantidades iniciais 〈Npar t〉 e 〈Ncol l〉 dependem do parâmetro de impacto da colisão, b, e por sua vez a centralidade depende de b, por exemplo: em uma colisão com parâme-tro de impacto menor que o raio do núcleo teremos um evento com uma centralidade pequena e

no caso de um evento com parâmetro de impacto maior que o raio do núcleo teremos um grande valor de centralidade.

O objetivo das implementações de monte carlo no modelo de Glauber é compor dois núcleos a partir de núcleons e simular seu processo de colisão evento por evento. As quantidades geo-métricas são determinadas através de muitas colisões núcleon-núcleon. Os valores médios des-sas quantidades são calculadas para definir as classes de centralidade classificando os eventos de acordo com seu parâmetro de impacto.

A primeira etapa do modelo de Glauber monte carlo é preparar dois núcleos definindo aleato-riamente a posição dos núcleons em cada núcleo. A posição de cada núcleon é determinada pela função densidade de probabilidade (3.1). A segunda etapa é simular a colisão nuclear, a qual o pa-râmetro de impacto ˆb é selecionado aleatoriamente a partir da distribuição geométrica d_{d b}σ= 2πb [56]. O valor máximo do parâmetro de impacto bmaxé escolhido como sendo grande o suficiente

para simular colisões até a probabilidade de interação ser nula. Para ficar mais claro como é uti-lizado a implementação de monte carlo para representar uma colisão, podemos utilizar a figura (3.5), a qual descreve uma colisão entre Au+Au compsN N= 200 GeV e parâmetro de impacto b = 6 fm. Os círculos mais escuros representam os núcleons participantes na interação e os mais cla-ros são os que não interagiram. A figura do lado esquerdo está relacionado com a visão lateral da colisão e o lado direito com a visão ao longo do eixo do feixe.

Capítulo 3. Modelo de Glauber 34

Figura 3.5: Representação de uma colisão Au+Au compsN N = 200 GeV usando a implementação de monte carlo no modelo de Glauber [56].

Dois núcleons de diferentes núcleos interagem quando a distância transversal é menor do que

D =

q

σi nel

N N/π, como ilustrado na figura (3.6).

Figura 3.6: Demostração de como ocorre uma interação entre dois núcleons de núcleos diferentes de acordo com o modelo de Glauber monte carlo.

Na figura (3.6) o lado esquerdo demostra uma interação entre dois núcleons, desta forma, te-remos uma colisão binaria e o lado direito quando não ocorre uma interação. Percebemos, então que o número de colisões binarias núcleon-núcleon, Ncol l, está diretamente relacionada com a energia da interação,psN N, pois como mostrado antes no gráfico (3.1) temos uma relação entre a seção de choque núcleon-núcleon com a energia. Desse modo, inferimos que com o aumento da

energia teremos um acréscimo por conseguinte do número de colisões binarias núcleon-núcleon. A partir do modelo de Glauber monte carlo podemos obter a excentricidade do plano do parti-cipante em uma colisão de altas energias,², que é definir como sendo a região de interação medida no plano x−y . A área que ocorre essa interação é chamada de “fire ball", na qual é gerada o plasma de quarks e glúons. A figura (3.7) descreve essas definições.

x

y

Ψ

_R

z

b

φ

y

'

_x

_'

Figura 3.7: Representação da excentricidade do plano do participante e a "fire ball"em uma colisão de íons pesados[35] [36].

Na figura (3.7) o lado esquerdo retrata a região de interação entre dois núcleos no plano x − y representada pela região acinzentada, o qual ΨR é o ângulo em relação ao plano horizontal e z representa a direção do feixe. O lado direito demonstra a região que é formada o plasma de quarks e glúons denominada de "fire ball".

Podemos constatar, a partir da figura (3.7) que quanto mais periférico é a colisão, ou seja, maior o parâmetro de impacto, b, mais anisotrópico é a distribuição de momento do fluxo de partículas geradas, denominado como “flow". Usando a expansão de Fourier relativa ao ângulo do plano de reação para diferentes ordens de “flow"anisotrópicos.

Ed 3_N d p3 = 1 2π d2N pTd pTd y(1 + ∞ X n=1 2vncos[n(φ − ΨR)]) (3.18)

Capítulo 3. Modelo de Glauber 36

é o momento transversal, vnrepresenta o fluxo das partículas geradas eφ é o ângulo azimutal. A figura (3.8) descreve como podemos relacionar a região de interação com os coeficientes do fluxo,

vn.

Figura 3.8: O lado esquerdo representa o coeficiente v2e do lado direito o v3[44].

A figura (3.8) representa uma colisão de dois núcleos com as posições dos núcleons no plano

x − y e o seu lado esquerdo representa o v2que está relacionado com fluxo elíptico de partículas

geradas e lado direito com v3que está relacionado com o fluxo triangular mostrando, assim, como

esses coeficientes delimitam a região de interação retratada pelos círculos em vermelho.

3.3 Comparando o modelo de Glauber Óptico e o Glauber Monte

Carlo

O modelo de Glauber Óptico não considera as coordenadas espaciais dos núcleons, com isso, distorções entre os cálculos de Np ar t e Ncol l ocorrem e também em grandes valores de seção de choqueσ_{i nel}AB . Os núcleons são vistos como tendo uma densidade suave no modelo de Glauber óptico e na implementação de monte carlo os núcleons são escolhidos aleatoriamente a partir da função de Woods-Saxon, dessa maneira, possuindo uma posição fixa em cada evento. Com isso para estudarmos colisões que as flutuações nas posições são importantes, como por exemplo: p-Au, d-Au e p-Pb a implementação de monte carlo mostra uma melhor capacidade para descrever

esse tipo de colisão. Os dois gráficos (3.9) descrevem as diferenças entre o modelo de Glauber óptico e as implementações de monte carlo.

Figura 3.9: Comparação entre o modelo de Glauber óptico e modelo de Glauber monte carlo usando a relação entreσ_{N N}AB comσN N_{i nel}e Npar t e Ncol l com b [56].

No lado esquerdo do gráfico (3.9) é realizada uma comparação entre a seção de choque total inelástica,σ_{i nel}AB , em função da seção de choque núcleon-núcleon,σN N_{i nel} podemos notar que para grandes valores deσN N_{i nel} temos uma diferença substancial entre o modelo de Glauber óptico e as implementações de monte carlo. No lado direito temos um gráfico que correlaciona Np ar t e Ncol l com o parâmetro de impacto, b, para uma colisão Au+Au comps = 200 GeV usando os modelos de

Glauber óptico e Glauber monte carlo, desse modo, observamos uma boa concordância utilizando essas duas abordagens para colisões entre íons pesados como: Au-Au e Pb-Pb.

38

Capítulo 4

Resultados

4.1 Modelo de duas componentes

Como já mencionado, uma colisão de altas energias entre dois núcleos é caracterizada como sendo a superposição de colisões núcleon-núcleon. A partir das quantidades geométricas da co-lisão, 〈Npar t〉 e 〈Ncol l〉, podemos respectivamente determinar as contribuições de “soft", baixo momento transferido, e “hard", alto momento transferido [31]. Portanto, fazendo uma combina-ção linear dessas duas quantidades temos que o número de ancestrais médio é dado por:

〈Nanc〉 = f 〈Npar t〉 + (1 − f )〈Ncol l〉 , (4.1) na expressão acima o parâmetro f controla a contribuição desses dois processos de produção de partículas [29].

4.2 Limiting fragmentation em uma colisão de íons pesados

Em uma colisão de altas energias de íons pesados, a distribuição de partículas carregadas ge-radas em relação ao espaço de rapidez pode ser dependente do logaritmo da energia ou de potên-cias da energia. Podemos interpolar essas duas possibilidades definindo paraα = 0 o logaritmo da energia e paraα 6= 0 potências da energia. A equação abaixo conecta essas duas possibilidades:

d N

d y = No〈Nanc〉

Z ps

1 ξ

temos que N representa o número de partículas carregadas geradas, y a rapidez, 〈Nanc〉 o número médio de ancestrais de uma colisão,ξ está relacionado com a energia da colisão, α é um parâmetro que controla a produção de partículas produzidas e Nooutro parâmetro que está associado com normalização da equação. Utilizando a solução da equação (4.2) e dividindo seu resultado por 〈Npar t〉, obtemos: 2 〈Np ar t〉 d N d y = No〈Nanc〉 α〈Npar t〉 (psα− 1). (4.3)

temos que o número de ancestrais médio é dado por:

〈Nanc〉 = f 〈Npar t〉 + (1 − f )〈Ncol l〉 , (4.4) com isso, podemos escrever :

〈Nanc〉 〈Npar t〉

= f + (1 − f )〈Ncol l〉 〈Npar t〉

(4.5) A partir do modelo de Glauber monte carlo obtemos a taxa 〈Ncol l〉 / 〈Np ar t〉 em relação a energia do centro de massa,ps e do parâmetro de impacto b. O gráfico (4.1) representa essa relação para uma colisão Au-Au para diversos valores deps e para vários intervalos de b.

Capítulo 4. Resultados 40 2

10

10

3

s

2

3

4

5

6

7

〉

part

N

〈/〉

coll

N

〈

2 fm ≤ b ≤ For 0 fm 4 fm ≤ b ≤ For 2 fm 6 fm ≤ b ≤ For 4 fm 8 fm ≤ b ≤ For 6 fm 10 fm ≤ b ≤ For 8 fm

Figura 4.1: Gráfico que relaciona 〈Ncol l〉 / 〈Npar t〉 com intervalos de parâmetro de impacto b e energia de interaçãops para uma colisão Au-Au.

Percebemos que a taxa 〈Ncol l〉 / 〈Npar t〉 depende da energia da interação e do parâmetro de impacto, ou seja, da centralidade da colisão, dessa maneira, escolhendo os eventos mais centrais que possuem intervalo entre 0 ≤ b ≤ 2 fm, podemos escrever 〈Ncol l〉 / 〈Np ar t〉 = Nc p¡ps¢. Assim, para essa condição a equação que melhor ajusta os dados para esse intervalo de parâmetro de impacto é dada por:

Nc p¡ps¢ = T log2( p

s) +G log(ps) + J, (4.6)

temos que T = 0.0426464, G = −0.0456488 e J = 2.10149. Dessa forma, a equação (4.3) torna-se:

2 〈Np ar t〉 d N d y = No α ( p sα− 1)( f + (1 − f )Nc p( p s)). (4.7)

Para compreendermos de forma mais clara a dependência da energia de 〈Np ar t〉 e 〈Ncol l〉 temos o gráfico (4.2) que representa um histograma de número de núcleons participantes em uma colisão Au-Au.

50

100

150

200

250

300

350

400

part

N

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

)

part

P(N

s

=20 GeV with

σ

_NN

=30 mb

=67 mb

NN

σ

=5000 GeV with

s

Figura 4.2: Histogramas de 〈Np ar t〉 para uma colisões de Au-Au com energias de 20 GeV e 5000 GeV.

Notamos a partir do histograma (4.2) que o 〈Np ar t〉 possui uma baixa dependência com a ener-gia, uma vez que, a energia de interação dos histogramas de 20 GeV e 5000 GeV são muito próxi-mos. Esse resultado já era esperado, visto que, quando aumentamos aps temos um incremento

no número de núcleons participantes, mas esse aumento não pode exceder o número total dos núcleons que os núcleos que estão interagindo possuem.

Usando os dados experimentais de colisões centrais de altas energias de íons pesados [27], que possuem pseudo-rapidez entre 0 ≤ η ≤ 5 e também 0 ≤ η ≤ 6, podemos determinar uma relação entre os parâmetrosα e f da equação de multiplicidade de partículas carregadas. O gráfico (4.3) representa essa relação.

Capítulo 4. Resultados 42

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

α

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f

2

10

2

χ

Figura 4.3: Gráfico que relaciona os parâmetrosα e f usando os dados [27].

A partir do gráfico (4.3) observamos uma grande correlação entre os parâmetrosα e f para os valores de menorχ2delimitado pela região azul escuro. Deste modo, verificamos uma direta relação entre o parâmetro f que determina a contribuição da produção de partículas carregadas tanto para processos com baixo momento transferido quanto alto momento transferido com o parâmetroα que controla a produção de partículas carregadas. O simbolo em formato de estrela no gráfico (4.3) representa o ponto com menor valor deχ2que é dado por: f = 0.605 e α = 0.064. A equação que relaciona esses dois parâmetros descrita pela função em vermelho é dada por :

f = Aα4+ Bα3+C α2+ Dα + E , (4.8)

no qual A = −250.062, B = 175.826, C = −53.6166, D = 9.90094 e E = 0.140755.

Para que ocorra LF de forma exata, a multiplicidade de partículas carregadas geradas deve de-pender tanto do número médio de núcleons participantes, 〈Np ar t〉, pois possui baixa dependên-cia comps como mostrado no histograma (4.2), além de ser proporcional ao logaritmo da energia como mostrado no gráfico (2.9). Com isso, os parâmetros f eα devem assumir respectivamente 1

e 0 para satisfazer essas condições na equação (4.2). Dessa forma, fazendo com que a multiplici-dade de partículas carregadas não dependa da energia e com isso no referencial de fragmentação do núcleo alvo possua LF. No gráfico (4.3), observamos que esses dois valores dos parâmetrosα e f para reproduzir LF de forma exata estão totalmente excluídos da região com menor valor de

χ2_{, delimitada na região azul escuro. Assim, iremos quantificar essa quebra usando o modelo de}

Glauber.

A constante de normalização, No, da multiplicidade de partículas carregadas (4.2) possui um valor para cada conjunto de parâmetro f e α. Portanto, como encontramos uma relação entre esses dois parâmetros podemos determinar Nocomo função deα. O histograma (4.4) demonstra essa dependência:

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

α

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

o

N

0

50

100

150

200

250

300

2

χ

Figura 4.4: Gráfico que relaciona os parâmetros Noeα.

Desse modo, temos a seguinte equação que correlaciona os dois parâmetros, ou seja, No =

No(α) da seguinte maneira:

No(α) = −3.34669α2+ 1.32073α + 0.270198. (4.9)

Capítulo 4. Resultados 44 2 〈Nanc〉 d N d y = No(α) α £ps α − 1¤ £(1 − Nc p( p s)) ·¡ Aα4 + Bα3+C α2+ Dα + E¢ + Nc p( p s)¤ . (4.10) No gráfico abaixo, relacionamos os dados experimentais com a curva que melhor ajusta es-ses dados usando a equação (4.10) paraα = 0.13 e f = 0.84 e também α = 0.01 e f = 0.23 esses conjuntos de parâmetros foram obtidos através da equação (4.8).

10

10

2

10

3

s

0

2

4

6

8

10

〉

η

/d

ch

dN

〈

〉

part

N

〈

2/

Experimental data = 0.13 α f = 0.84 and = 0.01 α f = 0.23 and

Figura 4.5: Gráfico que relaciona os dados experimentais [27] com as curvas obtidas usando a equação (4.7).

Utilizando uma distribuição de partículas carregadas em relação a rapidez normalizada por 〈Npar t〉 inspirada no modelo hidrodinâmico de Landau, teremos um formato gaussiano que será dado pela seguinte equação:

2 〈Np ar t〉 d N d y = No(α) α ( p sα− 1)( f + (1 − f )Nc p( p s)) · expµ −y 2 2L2 ¶ , (4.11)

no qual L = 4ln¡ps¢/ln(200). Como exemplo, temos o gráfico (4.6) que utiliza os parâmetros

7

−

−

6

−

5

−

4

−

3

−

2

−

1

0

1

o

y-y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

〉

/dy

ch

dN

〈

〉

part

N

〈

2/

=30 mb NN σ =20 GeV with s =35 mb NN σ =60 GeV with s =40 mb NN σ =200 GeV with s =61 mb NN σ =2760 GeV with s =67 mb NN σ =5000 GeV with s

Figura 4.6: Gráfico que relaciona o 2/ 〈Npar t〉 /d2N /d y2com a rapidez y − yopara os parâmetros

f = 0.23 e α = 0.01.

No gráfico (4.6), observamos que as curvas para cada valor de energia de interação,ps, na

região de fragmentação possuem valores diferentes, assim percebemos que existe uma quebra de LF, a qual está mais acentuada para energias maiores que 200 GeV. Podemos fazer essa mesma análise para f = 0.84 e α = 0.13, desse modo, teremos o seguinte gráfico:

Capítulo 4. Resultados 46

7

−

−

6

−

5

−

4

−

3

−

2

−

1

0

1

o

y-y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

〉

/dy

ch

dN

〈

〉

part

N

〈

2/

=30 mb NN σ =20 GeV with s =35 mb NN σ =60 GeV with s =40 mb NN σ =200 GeV with s =61 mb NN σ =2760 GeV with s =67 mb NN σ =5000 GeV with s

Figura 4.7: Gráfico que relaciona o 2/ 〈Npar t〉 /d2N /d y2com a rapidez y − yopara f = 0.84 e α = 0.13.

O gráfico (4.7) possui as mesmas características apresentadas no gráfico (4.6), dessa forma, explicitando a quebra de LF. Ela é explicada devido a dependência do número de colisões bina-rias, 〈Ncol l〉, na multiplicidade de partículas carregadas, pois essa quantidade está diretamente vinculada com a energia.

Agora usando três tipos de formatos para a multiplicidade de partículas carregadas que são: um formato gaussiano inspirado no modelo hidrodinâmico de Landau, trapezoidal inspirado na hidrodinâmica de Bjorken, o qual possui essa forma pois a produção de partículas carregadas é invariante perante boosts e por fim o formato triangular. Para compreendermos se ocorre LF na região de fragmentação do núcleo alvo para esses formatos estudaremos a segunda derivada da multiplicidade d2N /d y2normalizada pelo número médio de núcleons participantes em relação ao parâmetroα, temos dois resultados possíveis: se as derivadas para todas as energias estudas forem todas iguais reproduziremos LF se forem diferentes teremos uma quebra de LF.

carregadas em relação ao espaço de rapidez com o comprimento da base sendo dado por : b = − ln (ps) e a altura por : a = d N /d y. Dessa maneira, a derivada de segunda ordem em relação a y

é dada por: 2 〈Nanc〉 d2N d y2 = − 2No(α)£ p sα− 1¤ αln(ps) £(1 − F ( p s)) · (Aα4+ Bα3+ + C α2+ Dα + E) + F (ps)¤ . (4.12)

Desse modo, obtemos o gráfico (4.8) para 2/ 〈Np ar t〉 d2N /d y2eα:

0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

α

2.5

−

2

−

1.5

−

1

−

0.5

−

0

0.5

〉

2

/dy

ch

N

2

d

〈

〉

part

N

〈

2/

=30 mb NN σ =20 GeV with s =35 mb NN σ =60 GeV with s =40 mb NN σ =200 GeV with s =61 mb NN σ =2760 GeV with s =67 mb NN σ =5000 GeV with s

Figura 4.8: Gráfico relaciona 2/ 〈Np ar t〉 d2N /d y2eα usando um triângulo.

Assim podemos concluir a partir do gráfico (4.8) que usando um formato triangular teremos quebra de LF, pois temos que a segunda derivada da multiplicidade, 2/ 〈Np ar t〉 d2N /d y2possui va-lores diferentes para todos as energias estudadas com qualquer valor do parâmetroα. De maneria análoga, podemos relacionar 2/ 〈Np ar t〉 d2N /d y2eα usando um formato de um trapézio com o comprimento da base maior e da base menor respectivamente: ln¡ps/1GeV¢ e 0.5ln¡ps/1GeV¢.

Capítulo 4. Resultados 48

0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

α

5

−

4

−

3

−

2

−

1

−

0

1

〉

2

/dy

ch

N

2

d

〈

〉

part

N

〈

2/

=30 mb NN σ =20 GeV with s =35 mb NN σ =60 GeV with s =40 mb NN σ =200 GeV with s =61 mb NN σ =2760 GeV with s =67 mb NN σ =5000 GeV with s

Figura 4.9: Gráfico relaciona 2/ 〈Np ar t〉 d2N /d y2eα usando um trapézio.

O gráfico (4.9) apresenta também quebra de LF pela mesma razão que o gráfico (4.8) obtido a partir de uma distribuição com formato de trapézio. Por fim, usando uma distribuição gaussiana inspirada na hidrodinâmica de Landau para a produção de partículas carregadas com y − yo= 3, obtemos o gráfico que relaciona 2/ 〈Np ar t〉 d2N /d y2eα, o qual é descrito pelo gráfico (4.10).

0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

α

2.5

−

2

−

1.5

−

1

−

0.5

−

0

0.5

1

1.5

2

〉

2

/dy

ch

N

2

d

〈

〉

part

N

〈

2/

=30 mb NN σ =20 GeV with s =35 mb NN σ =60 GeV with s =40 mb NN σ =200 GeV with s =61 mb NN σ =2760 GeV with s =67 mb NN σ =5000 GeV with s

Figura 4.10: Gráfico relaciona 2/ 〈Npar t〉 d2N /d y2eα usando gaussianas.

Percebemos a partir dos gráficos (4.8), (4.9) e (4.10) que existe quebra de LF para os três forma-tos de distribuições de multiplicidade, pois os valores da segunda derivada da multiplicidade de partículas carregadas geradas em relação a rapidez e normalizada pelo número de núcleons par-ticipantes, 2/ 〈Np ar t〉 d2N /d y2, são diferentes para os quatro valores de energia estudados e para todos os valores deα considerados.

Na discussão acima, utilizamos vários formatos para a distribuição de partículas carregadas geradas em relação a rapidez e mostramos que a quebra de LF persiste. Dessa maneira, usando um trapézio para caracterizar uma forma geral da quebra da LF, iremos impor uma variação ar-bitraria com a energia,ps, da base menor desta multiplicidade,∆¡ps¢. A figura (4.11) demostra esta variação:

Capítulo 4. Resultados 50

y

dN/dy

_{∆( )}

_s

1/2

ln(s /1 Gev)

1/2

Figura 4.11: Gráfico acima expressa a variação com a energia,ps, na base menor da distribuição

de multiplicidade usando um trapézio.

Deste modo, podemos determinar a derivada de segunda ordem da multiplicidade de partícu-las carregadas em relação a rapidez da seguinte forma:

d2N dκ2 ¯ ¯ ¯ ¯ y−y0 =−4N0Npar t¡ f + (1 − f )Nc p ¡p s¢¢ ¡psα− 1¢ α¡1 − ∆¡ps¢¢ ln³_1GeVps ´ . (4.13)

Podemos reescrever a equação acima da seguinte maneira:

F1¡ f ,α,Nc p¡ps¢¢ = CF2

¡

∆¡ps¢¢ , (4.14)

no qual C é uma constante definida pela equação d2N /dκ2¯¯

y−y0= C , dessa forma, obtemos:

F1¡ f ,α, p s¢ = N0Npar t α ¡ f + ¡1 − f ¢ Nc p¡ps¢¢ ( p sα− 1) (4.15) e F2 ¡ ∆¡ps¢¢ = −1 4¡1 − ∆¡ p s¢¢ ln µ p s 1GeV ¶ (4.16) Para que tenhamos LF nessa abordagem a igualdade (4.14) deve ser satisfeita. Como o lado es-querdo da igualdade depende dos parâmetros f eα e também da energia da interaçãops e o lado

direito apenas da energia essa igualdade não pode ser valida, portanto a quebra de LF continua. Fazendo uma suposição que∆ depende também de Npar t, Ncol l, f eα de acordo com a equação abaixo: ∆ =N0Np ar t ¡p sα− 1¢ α µ f ∆1+ (1 − f ) ∆2 Nc p( p s) ¶ . (4.17)

Com isso, podemos escrever: C =−4N0Npar t ¡p sα− 1¢ αln³ ps 1GeV ´ f +¡1 − f ¢ Nc p¡ps ¢ 1 −N0Npar t ¡p sα− 1¢ α W ¡ ∆1,∆2, f , p s¢ (4.18) no qual W¡ ∆1,∆2, f , p s,¢ = f ∆1 +¡1 − f ¢ ∆2 Nc p¡ps¢ (4.19)

Utilizando a equação (4.18) para uma colisão Au+Au comps = 200 GeV possuindo um número

de núcleons participantes médio, Np ar t, de 101.169 podemos relacionar tanto os valores de∆1,∆2

e C . Com isso, se pudermos mostrar que para algum valor de∆1e∆2teremos a taxa p

s C

dC dps ¿ 1 será uma indicação que C independe da energia e, portanto, possui LF. O gráfico (4.12) relaciona essas três variáveis:

Capítulo 4. Resultados 52 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 For f=0.23 and =0.01 - 0.195 - 0.190 - 0.185 - 0.180 - 0.175 - 0.170 - 0.165 - 0.160 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 For f=0.605 and =0.064 - 0.22 - 0.21 - 0.20 - 0.19 - 0.18 - 0.17 - 0.16 - 0.15 - 0.14 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 For f=0.84 and =0.13 - 0.23 - 0.22 - 0.21 - 0.20 - 0.19 - 0.18 - 0.17 - 0.16

Figura 4.12: Relacionamos as variáveis∆1,∆2e C para estudarmos sua possível correspondência

com LF.

Como podemos notar no gráfico acima existe quebra de LF, pois para nenhum valor de∆1e∆2

teremos o valor da taxa

p

s C

dC

dps¿ 1, exibindo assim, a dependência de C com a energia.

Faremos uma analise semelhante a feita acima para os dados do PHOBOS para uma colisão Au-Au [24], com energias de 20 GeV, 130 GeV e 200 GeV, e do ALICE para uma colisão Pb-Pb para energia de 5.02 TeV [25]. O gráfico (4.13) relaciona d2N /dη2 com a pseudo-rapidez, η para os dados citados acima: