Universidade de S˜
ao Paulo
Instituto de F´
ısica
SOLITONS EM COLIS ˜
OES
N ´
UCLEON-N ´
UCLEO
David Augaitis Foga¸ca
Orientador: Prof. Dr. Fernando Silveira Navarra
Disserta¸c˜ao submetida ao Instituto de F´ısica da Universidade de S˜ao Paulo, para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de mestre em ciˆencias
Comiss˜ao Examinadora:
Prof. Dr. Fernando Silveira Navarra (IFUSP) Prof. Dr. Mauro S´ergio Dorsa Cattani (IFUSP)
Prof. Dr. Manuel M´aximo Bastos Malheiro de Oliveira (ITA/CTA)
Agradecimentos
Ao meu pai e minha m˜ae pelo apoio e compreens˜ao. Ao Fernando S. Navarra pela orienta¸c˜ao e amizade.
Aos professores do IF: Marina Nielsen, Manoel Robilotta, Celso Lima, Adilson Jos´e da Silva e Humberto Fran¸ca, que desempenharam um papel de destaque em minha forma¸c˜ao, al´em de serem bons amigos.
Aos professores Sibaji Raha, Dion´ısio Bazeia, M. Malheiro, S´ergio Duarte e Airton Deppman que contribu´ıram com ´otimas recomenda¸c˜oes para a e-xecu¸c˜ao deste trabalho.
Aos amigos do “corredor” do GRHAFITE: Regina, Simone, Gabriel, Babi, Dunga, L´ecio, Ricardo, Celso Barros, Arthur, Rˆomulo, Thiago, Markus, F´abio e Renato.
Aos amigos Guilherme Rabello, Marcos, Andr´ea Taschetto, Karin, Parra, Diogo, Mauro, Guilherme H. , Cristiano, Robson, Fernando, Ivan L´ucio, Jo˜ao, Alberto, Fab´ıola, Giuliano e Edelver.
Aos professores Frenkel, Barata, Maz´e, Hussein, Iberˆe e Yogiro que con-tribu´ıram para minha forma¸c˜ao acadˆemica direta ou indiretamente.
Ao meu irm˜ao Victor. `
Abstract
Resumo
Sum´
ario
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 Transparˆencia nuclear . . . 1
1.2 Hidrodinˆamica e solitons de KdV em colis˜oes nucleares . . . . 3
1.3 Nosso trabalho . . . 8
2 Solitons de Korteweg-de Vries na Mat´eria Nuclear 11 2.1 A equa¸c˜ao de Korteweg e de Vries (KdV) . . . 11
2.2 Hidrodinˆamica n˜ao-relativ´ıstica . . . 12
2.3 V´ınculos sobre a densidade de energia . . . 14
2.4 Obten¸c˜ao de KdV3 . . . 19
3 QHD Modificada (MQHD) 25 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 25
3.2 Equa¸c˜oes de Movimento . . . 26
3.3 Aproxima¸c˜ao Estacion´aria . . . 28
3.4 Densidade de energia . . . 30
4 Solitons de Korteweg-de Vries na QHD Modificada 35 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 35
4.2 Dedu¸c˜ao de KdV3 para a QHD Modificada . . . 36
4.3 Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de KdV3 . . . 40
4.4 A Equa¸c˜ao de KdV5 . . . 44
5 An´alise Num´erica e Conclus˜oes 48
B Rela¸c˜oes ´uteis na hidrodinˆamica 58
B.1 Hidrodinˆamica n˜ao-relativ´ıstica para pequenas perturba¸c˜oes . 59 B.2 Obten¸c˜ao da equa¸c˜ao de onda . . . 60 B.3 Velocidade do som na mat´eria nuclear . . . 61 B.4 Incompressibilidade da mat´eria nuclear . . . 62
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜
ao
1.1
Transparˆ
encia nuclear
´
E poss´ıvel que um pr´oton colida com um n´ucleo, consiga atravess´a-lo e saia do outro lado praticamente intacto? Se a resposta for afirmativa ´e necess´ario esclarecer qual ´e o mecanismo respons´avel por este fenˆomeno. Esta pergunta pode, em princ´ıpio ser respondida experimentalmente. No momento a res-posta seria: depende da energia da colis˜ao. A baixas energias, pouco acima da barreira coulombiana, a resposta ´e n˜ao. O pr´oton ´e absorvido pelo n´ucleo, que se excita e decai isotropicamente. A altas energias, na regi˜ao acima de alguns GeV, o pr´oton atravessa o n´ucleo e emerge do outro lado. Neste caso ocorre uma forte desacelera¸c˜ao, o pr´oton perde muita energia, que ´e conver-tida em novas part´ıculas. Portanto a resposta ´e sim. Na regi˜ao de energias intermedi´arias ainda n˜ao h´a resultados experimentais muito conclusivos e a resposta n˜ao ´e muito clara.
Ao fenˆomeno no qual um n´ucleon atravessa o meio nuclear sem sofrer altera¸c˜oes significativas nem em sua constitui¸c˜ao interna e nem em suas caracter´ısticas cinem´aticas damos o nome de transparˆencia nuclear (TN). Este conceito pode ser quantificado definindo a probabilidade de que um n´ucleon escape do n´ucleo sem sofrer “intera¸c˜oes de estado final” (final state interactions ou FSI). Ele se aplica a nucleons de energias intermedi´arias: 50 < En < 800 MeV. En ´e a energia cin´etica do n´ucleon no sistema de
referˆencia do n´ucleo.
no meio nuclear. Em particular, podemos estudar a “transparˆencia de cor”, fenˆomeno proposto por Brodsky e M¨uller [1], no qual uma componente de Fock da fun¸c˜ao de onda do n´ucleon que esteja numa configura¸c˜ao espacial menor do que o n´ucleon usual se comporta como um objeto neutro de cor e se propaga com intera¸c˜ao bem menos intensa do que a usual e com um comprimento de atenua¸c˜ao bem maior do que o usual.
Durante a ´ultima d´ecada numerosos estudos experimentais de TN foram conduzidos com o uso da rea¸c˜ao A(e, e′p) [2, 3, 4, 5, 6, 7]. Nesta rea¸c˜ao o el´etron transmite energia a um n´ucleon pertencente ao n´ucleo e este ´e ejetado para fora do meio nuclear tendo todas as suas vari´aveis cinem´aticas bem medidas. Estes resultados motivaram numerosos estudos te´oricos [8, 9, 10].
A propaga¸c˜ao de um n´ucleon no meio nuclear tamb´em pode ser estudada em rea¸c˜oes pr´oton-n´ucleo. Embora neste caso tamb´em seja poss´ıvel falar de transparˆencia nuclear, o conceito mais utilizado ´e o de “nuclear stopping” ou freiamento nuclear, que quantifica a perda de energia de um pr´oton ao atravessar um n´ucleo e ser observado do outro lado numa regi˜ao cinem´atica pr´oxima do feixe. H´a v´arios estudos experimentais sobre isto e os mais re-centes tˆem sido feitos no GSI, em Darmstadt [11, 12].
De um modo geral, o que se pode concluir dos resultados experimentais ´e que at´e agora a transparˆencia de cor tal como prevista em [1] n˜ao foi observada. J´a a transparˆencia nuclear foi observada (com incertezas) e varia com a energia do n´ucleon que nela se propaga, tendo um m´aximo na regi˜ao entre 100 e 800 MeV.
O estudo te´orico de todos estes dados experimentais ´e feito em termos de modelos da mat´eria nuclear e de sua equa¸c˜ao de estado baseados na “Hadrodinˆamica Quˆantica”(QHD), tamb´em conhecida como o modelo de Walecka [13, 14], e suas varia¸c˜oes e tamb´em em outras abordagens [15, 16].
Neste trabalho n´os vamos retomar o problema da transparˆencia nuclear interpretando-a como evidˆencia da forma¸c˜ao e propaga¸c˜ao de solitons de Korteweg-de Vries (KdV) na mat´eria nuclear.
densidade com movimento supersˆonico. Isto implica o conhecimento da ve-locidade do som na mat´eria nuclear, o que, por sua vez implica o conheci-mento da equa¸c˜ao de estado da mat´eria nuclear (EOS). Em [17, 18, 19, 20] a equa¸c˜ao de estado da mat´eria nuclear vinha de um trabalho muito antigo [21]. O simples uso de uma EOS mais moderna j´a seria uma justificativa para refazer os trabalhos do grupo de Marburg. De fato, isto foi feito em [22] com a introdu¸c˜ao de uma EOS baseada na for¸ca de Skyrme. N´os acredita-mos que o cont´ınuo sucesso da QHD ao longo dos ´ultimos vinte anos justifica sua aplica¸c˜ao ao estudo da forma¸c˜ao de solitons e da transparˆencia nuclear. Como ser´a visto adiante, em sua vers˜ao mais simples a QHD n˜ao comporta solitons de KdV, sendo necess´aria a inclus˜ao de termos com derivadas nos campos dos fermions. Estes termos aparecem em teorias da mat´eria nuclear construidas a partir da teoria de perturba¸c˜ao quiral, como foi recentemente demonstrado em [23, 24, 25, 26]. Neste trabalho vamos considerar apenas variantes da QHD, mas no futuro pretendemos tamb´em usar estas teorias mais modernas da mat´eria nuclear.
1.2
Hidrodinˆ
amica e solitons de KdV em
co-lis˜
oes nucleares
O uso de hidrodinˆamica em f´ısica nuclear sempre teve muito sucesso, tanto no estudo de propriedades de n´ucleos est´aticos [27] como no estudo de co-lis˜oes envolvendo n´ucleos a energias baixas [27], intermedi´arias [28, 29, 30] e altas [31]. No nosso caso, estamos interessados em colis˜oes pr´oton-n´ucleo a energias intermedi´arias e portanto o movimento resultante pode ser descrito pela hidrodinˆamica n˜ao-relativ´ıstica. Um aspecto importante ´e que a energia ´e alta o suficiente para produzir movimento supersˆonico.
de gerar uma onda de choque, mas um ´ıon pesado leve seria capaz de fazˆe-lo. Em [17] esta id´eia foi levada adiante. A substitui¸c˜ao de um proj´etil pun-tiforme e leve (tipicamente um n´ucleon) por um ´ıon pesado leve implicava uma perturba¸c˜ao maior do meio e isto exigia a inclus˜ao de um termo a mais na expans˜ao em gradientes de densidade feita inicialmente em [21]. A in-clus˜ao deste novo termo mudou substancialmente a solu¸c˜ao encontrada para as equa¸c˜oes de movimento, que deixou de ser uma onda e passou a ser um pulso localizado, um s´oliton de KdV. Mais precisamente, a equa¸c˜ao de Euler para este movimento ´e dada por:
∂~v
∂t + (~v· ∇)~v=−∇φ (1.1)
onde φ ´e o potencial introduzido em [21]:
φ=c1 ρ′
ρ0
+c2∇2 ρ′
ρ0
(1.2)
Na express˜ao acima ρ′
= ρ −ρ0 ´e a varia¸c˜ao da densidade causada pelo
´ıon-proj´etil, ρ0 ´e a densidade nuclear de equil´ıbrio e c1 e c2 s˜ao constantes
provenientes da teoria utilizada para descrever a mat´eria nuclear e sua EOS. Em [21] apenas o termo proporcional ac1 foi considerado. Em [17] o segundo
termo foi incluido.
Como ser´a visto adiante em detalhe, a combina¸c˜ao da equa¸c˜ao de Euler acima com a equa¸c˜ao da continuidade da hidrodinˆamica n˜ao-relativ´ıstica gera a equa¸c˜ao de KdV para ρ′
com solu¸c˜ao solitˆonica. Esta solu¸c˜ao possui [17] velocidade de propaga¸c˜ao u e largura λ dada por:
λ=
v u u t
2c2
(u−√c1)√c1
Vemos que os parˆametros que garantem a existˆencia de solitons s˜ao as constantes c1 e c2. Novamente, de acordo com [21], √c1 ´e a velocidade
do som e √c2 ´e um comprimento pequeno comparado com as dimens˜oes
nucleares. Vemos tamb´em que a solu¸c˜ao existe apenas quando a velocidade de propaga¸c˜ao ´e maior do que a velocidade do som e que quando elas coincidem a largura do s´oliton tende a infinito.
`a medida em queuaumenta, o gradiente de velocidade entre o pulso e o meio (em repouso) aumenta e os efeitos da viscosidade tornam-se importantes. Quando eles s˜ao incluidos, atrav´es da subtitui¸c˜ao das equa¸c˜oes de Euler pelas equa¸c˜oes de Navier-Stokes, a energia do pulso ´e dissipada e transferida para o meio. Esta perda de energia leva `a desacelera¸c˜ao do pulso e `a redu¸c˜ao de sua amplitude.
Dada a estabilidade do s´oliton, se o proj´etil se propaga com um pulso de densidade solitˆonico em uma colis˜ao central com um alvo pesado, este proj´etil viaja atrav´es do alvo sem nenhuma interferˆencia apreci´avel e emerge na mesma dire¸c˜ao do feixe incidente. Este ´e um mecanismo que gera “transpa-rˆencia” do alvo em rela¸c˜ao ao proj´etil. A assinatura desse evento seria a de-tec¸c˜ao do proj´etil ao longo da dire¸c˜ao do feixe incidente atr´as do n´ucleo alvo com momento angular relativo nulo e tamb´em seria registrado um pequeno n´umero de part´ıculas leves. A propriedade de n˜ao existˆencia de momento an-gular transferido seria suficiente para distinguir um evento solitˆonico de uma colis˜ao extremamente perif´erica. Mais ainda, os eventos seriam caracteriza-dos por um limite superior na velocidade do proj´etil da ordem de duas vezes a velocidade do som, acima do qual o fenˆomeno de solitons desapareceria.
Existem processos dissipativos na mat´eria nuclear e seus efeitos sobre o pulso solitˆonico num n´ucleo finito s˜ao dif´ıceis de prever quantitativamente. Ao final de sua trajet´oria no n´ucleo alvo, o pulso solitˆonico gera fragmenta¸c˜ao e eje¸c˜ao de part´ıculas. Finalmente, o pulso solitˆonico tamb´em poderia ser re-fletido de volta ao alvo levando `a excita¸c˜ao de todo o sistema e ao surgimento de um n´ucleo composto.
Num trabalho posterior [18] a forma¸c˜ao de solitons foi usada para ex-plicar e existˆencia de um limite no momento linear transferido de um feixe de 12C para um alvo mais pesado. Este limite, de ∆p
veloci-dade constante. Quando a energia inicial aumenta isto implica um aumento de dissipa¸c˜ao inicial, com a consequente eje¸c˜ao de fragmentos, mas depois o carbono atinge a “velocidade de s´oliton”, continua com ela e termina trans-ferindo sempre o mesmo momento linear para o alvo (o que sobrou dele), que equivale ao momento linear de doze nucleons se propagando com uma velocidade pr´oxima `a velocidade do som na mat´eria nuclear. Numericamente:
∆p|| = 12×M u≃12×0.94×0.17≃2 GeV
Apesar de interessante, este argumento tem muita imagina¸c˜ao e pouca base quantitativa, al´em de usar um valor para a velocidade do som, sobre o qual h´a, no m´ınimo, muita incerteza. Por outro lado, a observa¸c˜ao do limite em ∆p||n˜ao foi confirmada e nem desmentida por outras experiˆencias e assim a quest˜ao ficou em aberto.
Do ponto de vista te´orico, foi conclu´ıdo que seria fundamental estudar os detalhes da dinˆamica do s´oliton na presen¸ca de mecanismos dissipativos e tamb´em incluir o movimento tridimensional. Isto foi feito no trabalho seguinte do grupo de Marburg [19], um estudo da equa¸c˜ao de Navier-Stokes em trˆes dimens˜oes no limite de n˜ao-linearidade fraca, ou seja, fazendo ex-pans˜oes das quantidades relevantes em torno de seus valores de equil´ıbrio e estudando os termos de mesma ordem no parˆametro de expans˜ao.
Como resultado, este estudo trouxe a conclus˜ao surpreendente de que a viscosidade n˜ao altera o movimento. Se o movimento come¸ca com uma flutua¸c˜ao localizada de densidade, no limite de n˜ao-linearidade fraca, a dis-sipa¸c˜ao viscosa n˜ao altera a natureza do movimento, independentemente dos valores dos coeficientes de viscosidade.
dire¸c˜ao dianteira. Isto implica numa perda crescente de momento pelo pulso (o que resta dele) e na perda de localiza¸c˜ao.
Em resumo, a solu¸c˜ao do problema tridimensional conduz a um movi-mento solitˆonico predominantemente unidimensional (no nosso caso, ao longo da dire¸c˜ao do feixe) mas que ´e amortecido e que “vasa” para a dire¸c˜ao transversal. Este ´e um fenˆomeno semelhante ao “amortecimento de Lan-dau”, observado em f´ısica de plasmas [34].
Continuando a s´erie de trabalhos sobre este tema, o grupo de Marburg estudou a seguir em [20] o efeito do tamanho finito do alvo e, em particu-lar, o efeito da superf´ıcie nuclear sobre a forma¸c˜ao e propaga¸c˜ao de solitons. O n´ucleo foi dividido em duas componentes: a parte central, com densidade constante, e a superf´ıcie (ou “pele”), na qual a densidade diminui linearmente com o raio. Repetindo mais uma vez todos os procedimentos introduzidos em [17], os autores chegaram a duas equa¸c˜oes diferenciais: a eq. de KdV j´a en-contrada anteriormente, que continua v´alida para a parte central do n´ucleo e uma equa¸c˜ao de KdV “for¸cada”, v´alida na superf´ıcie nuclear. A solu¸c˜ao desta ´
ultima equa¸c˜ao tamb´em ´e um s´oliton com a interessante propriedade de que, com o passar do tempo sua amplitude aumenta e sua largura diminui! Para valores num´ericos aceit´aveis das vari´aveis nucleares, a amplitude do s´oliton cresce em at´e 40 % e a sua largura diminui em at´e 30 % durante sua passagem pela superf´ıcie nuclear. Este estudo mostrou que na busca experimental pelo s´oliton nuclear o efeito de superf´ıcie n˜ao pode ser desprezado.
A f´ısica do “s´oliton nuclear” foi abandonada por quase uma d´ecada at´e a publica¸c˜ao de [22]. Neste trabalho os autores reconsideraram a expans˜ao (1.2) e tentaram calcular o parˆametroc2a partir de uma teoria microsc´opica da
in-tera¸c˜ao n´ucleon-n´ucleon, ingrediente fundamental de uma teoria da mat´eria nuclear. Eles usaram a teoria da mat´eria nuclear desenvolvida por Vautherin e Brink [35], que tinha como base a intera¸c˜ao n´ucleon-n´ucleon efetiva de Skyrme. Os parˆametros desta intera¸c˜ao foram ajustados de modo que as propriedades do estado fundamental do n´ucleo fossem reproduzidas. Como ´e sabido, a for¸ca de Skyrme cont´em termos dependentes da velocidade. Estes termos geram na densidade de energia e na fun¸c˜ao potencial φ correspon-dentes um termo contendo o Laplaciano da densidade cujo coeficiente ´e dado por:
c2 = −γ
ρ0
m
ne-gativo. Nos trabalhos anteriores [17, 18, 19, 20] ele tinha sido considerado positivo por hip´otese, sem nunhuma justificativa. Em [22] foi mostrado que, ao repetirmos o procedimento de obten¸c˜ao do s´oliton, esta mudan¸ca de sinal leva tamb´em a um s´oliton, um pulso de densidade, mas de sinal negativo, que deve ser interpretado como um pulso de rarefa¸c˜ao ao inv´es do pulso de compress˜ao encontrado antes.
1.3
Nosso trabalho
Passados mais dez anos depois do ´ultimo artigo sobre o assunto, n´os volta-mos ao tema. Temos agora uma renovada motiva¸c˜ao experimental, em vista de existˆencia de muitas medidas recentes e do interesse na quest˜ao da transparˆencia nuclear, para a qual a forma¸c˜ao de solitons pode dar uma explica¸c˜ao. Al´em disto consideramos que o trabalho te´orico publicado em [22] n˜ao foi definitivo, j´a que ele est´a baseado numa teoria microsc´opica da intera¸c˜ao n´ucleon-n´ucleon (e da mat´eria nuclear) que ´e muito antiga. Assim, ´e no m´ınimo interessante reanalisar o formalismo do s´oliton tendo como ponto de partida uma teoria relativ´ıstica da mat´eria nuclear, baseada na QHD.
Nas teorias da mat´eria nuclear usadas tanto em [17] quanto em [22] e em outras teorias ainda mais antigas [36] a densidade de energia dependia naturalmente (entre outras coisas) do Laplaciano da densidade bariˆonica e podia ser escrita como uma expans˜ao do tipo:
ε∝...+...∇2ρB+...∇4ρB
Nas Lagrangianas utilizadas nas v´arias formula¸c˜oes da QHD n˜ao aparecem termos que descrevem intera¸c˜oes (entre os nucleons) dependentes da veloci-dade, ou seja, envolvendo acoplamentos derivativos e que geram densidades de energia dependentes do Laplaciano da densidade bariˆonica. Al´em disso, mesmo que eles existissem, a QHD funciona com a aproxima¸c˜ao de campo m´edio, na qual todos os gradientes s˜ao desprezados. Na aproxima¸c˜ao de campo m´edio, nunca ter´ıamos termos como os que aparecem na express˜ao para ε acima. Para descrever efeitos da superf´ıcie nuclear muitos autores foram al´em da aproxima¸c˜ao de campo m´edio e levaram em conta gradientes para tratar de sistemas espacialmente n˜ao homogˆeneos, mas apenas na su-perf´ıcie nuclear.
i) Introduzimos uma equa¸c˜ao de estado derivada de uma teoria relativ´ıstica da mat´eria nuclear.
ii) Esta teoria ´e proposta por n´os e ´e a QHD original acrescida do seguinte termo com acoplamento derivativo:
gV
mV2
ψγµ(∂ν∂νVµ)ψ
iii) Propomos tamb´em uma aproxima¸c˜ao para trabalhar com esta teoria, que deve ser usada no lugar da aproxima¸c˜ao de campo m´edio. Vamos cham´a-la provisoriamente de “aproxima¸c˜ao estacion´aria”, pois ela consiste em des-prezar todas as derivadas temporais mas n˜ao as derivadas espaciais.
Na express˜ao acima, o campos ψ e Vµ s˜ao os campos usuais da QHD
representando respectivamente o f´ermion e o b´oson vetorial. Este termo pode ser visto como uma corre¸c˜ao ao termo usual ψγµVµψ. Ele ´e pequeno
porque ´e proporcional a:
∂
mV
2 →
p
mV
2
e o momento t´ıpico na mat´eria nuclear ´e da ordem do momento de Fermi,kF,
que ´e muito menor do que a massa do m´eson vetorial. Assim as propriedades da teoria modificada, tais como a massa do n´ucleon no meio, a curva de satura¸c˜ao e a incompressibilidade, ser˜ao aproximadamente as mesmas da QHD original e estar˜ao em bom acordo com as informa¸c˜oes emp´ıricas que n´os temos da mat´eria nuclear. A QHD ´e o nosso ponto de partida por ser a teoria mais simples. Neste trabalho ser´a temb´em estudada uma variante da QHD que cont´em auto-intera¸c˜oes do m´eson escalar [37] e que gera resultados fenomenol´ogicos melhores do que a QHD.
para a densidade de energia obtida diretamente da QHD modificada. Na sequˆencia resolvemos a KdV obtida mostrando que a solu¸c˜ao solitˆonica de-pende das propriedades da teoria microsc´opica usada. No cap´ıtulo 5 apresen-tamos as an´alises num´ericas do s´oliton. Ao final, apresenapresen-tamos as conclus˜oes, apˆendices e bibliografia.
Cap´ıtulo 2
Solitons de Korteweg-de Vries
na Mat´
eria Nuclear
2.1
A equa¸c˜
ao de Korteweg e de Vries (KdV)
Em 1895, Korteweg e de Vries obtiveram a famosa equa¸c˜ao que leva seus nomes, uma equa¸c˜ao para a propaga¸c˜ao de ondas em uma dire¸c˜ao na su-perf´ıcie de um canal, contendo uma eleva¸c˜ao pequena nesta susu-perf´ıcie. Sua forma mais comum ´e:
∂φ ∂t +φ
∂φ ∂x +
∂3φ
∂x3 = 0
Al´em de descrever ondas solit´arias em superf´ıcies de canais rasos (des-coberta e inspira¸c˜ao hist´orica do fenˆomeno solitˆonico), esta equa¸c˜ao ´e uti-lizada para descrever uma s´erie de fenˆomenos [40], como por exemplo, ondas ac´usticas em redes anarmˆonicas, ondas iˆonicas em plasmas, ondas magneto-hidrodinˆamicas em plasmas, fˆonons excitados termicamente (a baixas tem-peraturas) em cristais n˜ao-lineares, etc.
Esta equa¸c˜ao de KdV pode tamb´em ser chamada de KdV3, pois o termo de maior ordem na derivada espacial ´e 3. Outra forma de encontrar a equa¸c˜ao acima ainda de maneira simples ´e:
∂φ ∂t +αφ
∂φ ∂x +β
∂3φ
∂x3 = 0
2.2
Hidrodinˆ
amica n˜
ao-relativ´ıstica
As equa¸c˜oes b´asicas da hidrodinˆamica n˜ao-relativ´ıstica s˜ao as equa¸c˜oes de Euler e da continuidade, dadas respectivamente por [41]:
∂~v
∂t + (~v· ∇)~v =−
1
ρ
∇p (2.1)
e
∂ρ
∂t +∇ ·(ρ~v) = 0 (2.2)
Nestas equa¸c˜oes,ρ´e a densidade volum´etrica de massa. No meio nuclear, de acordo com a QHD de Serot-Walecka [14], ela pode ser escrita como
ρ=MρB (2.3)
onde M ´e a massa do n´ucleon e ρB ´e a densidade bariˆonica, que ´e o n´umero
de nucleons por volume. Substituindo ent˜ao (2.3) nas equa¸c˜oes (2.1) e (2.2), obt´em-se:
∂~v
∂t + (~v· ∇)~v =−
1
MρB
∇p (2.4)
e
∂ρB
∂t +∇ ·(ρB~v) = 0 (2.5)
A entalpia por n´ucleon ´e dada por [41]:
dh=T ds+V dp
onde V = 1/ρB ´e o volume espec´ıfico. Ent˜ao:
dh=T ds+ 1
ρB
dp (2.6)
Considerando o sistema isentr´opico (ds = 0), a equa¸c˜ao (2.6) torna-se:
dp=ρBdh (2.7)
e portanto:
dp=ρBdh =⇒ ∇p=ρB∇h (2.8)
Substituindo (2.8) em (2.4) obt´em-se a equa¸c˜ao de Euler em fun¸c˜ao da entalpia:
∂~v
∂t + (~v· ∇)~v=−
1
M
A entalpia por n´ucleon pode ser calculada por interm´edio de [22]:
h=E+ρB
∂E ∂ρB
(2.10)
onde E ´e a energia por n´ucleon dada por:
E = ε
ρB
que, inserida em (2.10) leva a:
h= ∂ε
∂ρB
(2.11)
e portanto:
∇h=∇ ∂ε
∂ρB
(2.12)
Vemos ent˜ao que a equa¸c˜ao de Euler depende da fun¸c˜ao ε(ρB), ou seja,
depende da equa¸c˜ao de estado da mat´eria nuclear. Esta, por sua vez, depende da dinˆamica das intera¸c˜oes entre os nucleons.
Como ser´a visto mais tarde ´e poss´ıvel combinar as equa¸c˜oes (2.9) e (2.5) de tal forma a obter uma equa¸c˜ao diferencial n˜ao-linear para a densidade bariˆonica, cuja solu¸c˜ao ´e um s´oliton, ou seja, um pulso localizado de densi-dade, que se propaga sem dissipa¸c˜ao na mat´eria nuclear. A existˆencia ou n˜ao de solitons depende da fun¸c˜ao ε(ρB). Na pr´oxima se¸c˜ao vamos definir quais
condi¸c˜oes devem ser satisfeitas porε(ρB) para que existam solitons de KdV,
2.3
V´ınculos sobre a densidade de energia
Antes de apresentarmos um modelo espec´ıfico, vamos determinar quais s˜ao as condi¸c˜oes necess´arias e suficientes a serem satisfeitas pela densidade de energia ε(ρB) para que a mat´eria nuclear seja compat´ıvel com a forma¸c˜ao e
propaga¸c˜ao de solitons de KdV.
Para que a combina¸c˜ao de (2.9) e (2.5) leve a uma equa¸c˜ao de KdV ´e necess´ario que h contenha o Laplaciano da densidade bariˆonica, ou seja:
h∝ ∇2ρB
e portanto de acordo com (2.11):
ε∝ ∇2ρB (2.13)
Esta exigˆencia exclui todas os modelos relativ´ısticos de campo m´edio (como o modelo de Walecka original) pois nesta aproxima¸c˜ao todos os gradi-entes (e portanto Laplacianos) s˜ao desprezados.
Apesar de grande simplifica¸c˜ao nos c´alculos e de sucesso fenomenol´ogico a aproxima¸c˜ao de campo m´edio n˜ao ´e muito realista, pois ´e ´obvio que existem varia¸c˜oes da densidade bariˆonica no espa¸co. Neste trabalho vamos incluir varia¸c˜oes espaciais nas quantidades de interesse.
Vamos, inicialmente, considerar uma forma gen´erica paraεcom dependˆencia em ρB e em ∇2ρB consideradas como duas vari´aveis independentes:
ε =f(ρB) +g(ρB)∇2ρB (2.14)
onde f(ρB) e g(ρB) s˜ao fun¸c˜oes quaisquer da densidade bariˆonica. A energia
por n´ucleon ´e:
E = ε
ρB
= f(ρB)
ρB
+g(ρB)
ρB ∇
2ρ
B (2.15)
que, para o c´alculo da entalpia por n´ucleon (h), ´e expandida em s´erie de Taylor at´e o termo de segunda derivada em torno da densidade bariˆonica de equil´ıbrio ρ0:
E ∼=E(ρB =ρ0) +
∂E
∂ρB
ρB=ρ0
(ρB−ρ0) +
∂2E
∂ρB2
ρB=ρ0
(ρ
B−ρ0)2
2
=⇒E ∼=E(ρB=ρ0) +
∂2E
∂ρB2
ρB=ρ0
(ρ
B−ρ0)2
Na ´ultima express˜ao usamos o fato de que bons modelos nucleares apre-sentam a curva de satura¸c˜ao correta, com um m´ınimo na densidade normal da mat´eria nuclear e portanto:
∂E
∂ρB
ρB=ρ0
= 0
A curva de satura¸c˜ao que ´e apresentada em muitos trabalhos sobre a mat´eria nuclear ´e obtida a partir da fun¸c˜ao ε
ρB −M, que deve possuir um
m´ınimo em ρ0: ∂
∂ρB
ε
ρB −
M
ρB=ρ0
= ∂ ∂ρB ε ρB
ρB=ρ0
=
∂E
∂ρB
ρB=ρ0
= 0
(com M = massa do n´ucleon livre). Conseq¨uentemente temos:
∂2E
∂ρB2
ρB=ρ0
>0
Vemos assim que a incompressibilidade, definida por:
K = 9ρ02 ∂2E
∂ρB2
ρB=ρ0
´e uma grandeza positiva. Da express˜ao (2.15) vemos que o primeiro termo de (2.16) ´e:
E(ρB =ρ0) =
f(ρ0)
ρ0
+ g(ρ0)
ρ0 ∇ 2ρ
B (2.17)
e a segunda derivada calculada na densidade de equil´ıbrio ´e:
∂2E
∂ρB2
ρB=ρ0
= f ′′(ρ
0)
ρ0 −
2f ′(ρ
0)
ρ02
+ 2f(ρ0)
ρ03
+
+
g′′(ρ 0)
ρ0 −
2g ′(ρ
0)
ρ02
+ 2g(ρ0)
ρ03
∇2ρ
B (2.18)
Substituindo (2.17) e (2.18) em (2.16) encontramos:
E = f(ρ0)
ρ0
+g(ρ0)
ρ0 ∇ 2ρ
B+
f′′(ρ 0)
ρ0 −
2f ′(ρ
0)
ρ02
+ 2f(ρ0)
ρ03
+
+
g′′(ρ 0)
ρ0 −
2g ′(ρ
0)
ρ02
+ 2g(ρ0)
ρ03
∇2ρB
(ρ
B−ρ0)2
que conforme j´a mencionado, ´e a forma utilizada para calcular h. Vale ressaltar que f′ ´e a nota¸c˜ao para a derivada def em rela¸c˜ao aρ
B. A mesma
nota¸c˜ao ´e usada parag′ e de forma an´aloga para as segundas derivadasf′′ e
g′′.
Observamos em (2.18) que, pelo fato de ρB e ∇2ρB serem consideradas
vari´aveis independentes, temos
∂ ∂ρB
(∇2ρB) = 0.
Reescrevendo (2.19) como uma s´erie de potˆencias deρB:
E =
f(ρ 0)
ρ0
+Aρ0
2
2
−Aρ0ρB+A
ρB2
2 +
+
g(ρ 0)
ρ0
+Bρ0
2
2
∇2ρB−Bρ0ρB∇2ρB+B
ρB2
2 ∇
2ρ
B (2.20)
onde:
A= f ′′(ρ
0)
ρ0 −
2f ′(ρ
0)
ρ02
+ 2f(ρ0)
ρ03
(2.21)
e
B = g ′′(ρ
0)
ρ0 −
2g ′(ρ
0)
ρ02
+ 2g(ρ0)
ρ03
(2.22)
Calculando (2.10) com (2.20) encontramos:
h=
f(ρ 0)
ρ0
+Aρ0
2
2
−2Aρ0ρB+
3 2AρB
2+
+
g(ρ 0)
ρ0
+Bρ0
2
2
∇2ρB−2Bρ0ρB∇2ρB+
3 2BρB
2
∇2ρB (2.23)
O gradiente da entalpia ´e dado por:
∇h=−2Aρ0∇ρB+3AρB∇ρB+
g(ρ 0)
ρ0
+Bρ0
2
2
∇(∇2ρB)−2Bρ0∇ρB∇2ρB+
−2Bρ0ρB∇(∇2ρB) + 3BρB∇ρB∇2ρB+
3 2BρB
2
A equa¸c˜ao (2.24) quando substitu´ıda em (2.9) fornece a equa¸c˜ao de Euler com dependˆencia em ρB, ∇ρB , ∇2ρB e ∇(∇2ρB). Por´em, a equa¸c˜ao de
KdV3 n˜ao possui termos com segundas derivadas espaciais e portanto (2.24) n˜ao deve ter termos com dependˆencia em∇2ρ
B. Para que esta condi¸c˜ao seja
satisfeita, basta que B = 0 em (2.24):
∇h=−2Aρ0∇ρB+ 3AρB∇ρB+
g(ρ 0)
ρ0
∇(∇2ρB) (2.25)
Usando a defini¸c˜ao (2.22), a condi¸c˜ao B = 0 implica em:
B = g ′′(ρ
0)
ρ0 −
2g ′(ρ
0)
ρ02
+ 2g(ρ0)
ρ03
= 0
=⇒ g(ρ0) =ρ0g′(ρ0)−
ρ02
2 g ′′(ρ
0) (2.26)
Para que (2.26) seja satisfeita e que de (2.25) a condi¸c˜ao
g(ρ 0)
ρ0
6
= 0 (2.27)
se verifique da maneira mais simples, basta termos:
g(ρB) =aρB (2.28)
com a sendo uma constante (n˜ao nula) qualquer. O termo com terceira derivada espacial em KdV3 ´e isolado de qualquer outra forma de dependˆencia com ρB, da´ı o fato de (2.28) tamb´em satisfazer (2.27).
De (2.25) nota-se tamb´em que A 6= 0 para que KdV3 exista, e portanto de (2.21):
A= f ′′(ρ
0)
ρ0 −
2f ′(ρ
0)
ρ02
+ 2f(ρ0)
ρ03 6
= 0 (2.29)
Vemos assim que f(ρB) pode ser uma fun¸c˜ao qualquer n˜ao nula desde
que (2.18) seja positiva por causa da condi¸c˜ao de satura¸c˜ao.
ε=f(ρB) +aρB∇2ρB (2.30)
A express˜ao acima ´e independente de modelo e nela;
•f(ρB) pode ser uma fun¸c˜ao qualquer que satisfa¸ca (2.29) e tamb´em que
garanta que (2.18) seja positiva. ´E interessante observar que f(ρB) = 0 n˜ao
satisfaz a condi¸c˜ao mencionada;
•g(ρB) deve satisfazer (2.28) com a sendo uma constante n˜ao nula
2.4
Obten¸c˜
ao de KdV3
Nesta se¸c˜ao vamos mostrar em detalhe como a densidade de energiaε(ρB)
a-presentada na se¸c˜ao anterior, quando combinada com as equa¸c˜oes da hidrodi-nˆamica gera a equa¸c˜ao de KdV3. Substituindo (2.30) em (2.15)) temos:
E = ε
ρB
= f(ρB)
ρB
+a∇2ρ
B (2.31)
que, expandida em s´erie de Taylor conforme (2.16), leva a:
E = f(ρ0)
ρ0
+a∇2ρB+
f′′(ρ 0)
ρ0 −
2f ′(ρ
0)
ρ02
+ 2f(ρ0)
ρ03 (ρ
B−ρ0)2
2 (2.32)
Substituindo (2.32) em (2.10) temos a entalpia por n´ucleon:
h = f(ρ0)
ρ0
+a∇2ρB+
3 2AρB
2+Aρ02
2 −2Aρ0ρB (2.33) onde a constante A ´e dada por (2.21). Tomando o gradiente da express˜ao acima e substituindo em (2.9) temos:
∂~v
∂t + (~v· ∇)~v =−
1
M
[a∇(∇2ρ
B) + 3AρB∇ρB−2Aρ0∇ρB] (2.34)
Vamos agora fazer uma mudan¸ca para vari´aveis adimensionais na densi-dade bariˆonica e na velocidensi-dade:
ˆ
ρ= ρB
ρ0
(2.35)
e
ˆ
v = v
cs
(2.36)
onde ρ0 ´e a densidade bariˆonica de equil´ıbrio e cs a velocidade do som na
mat´eria nuclear. Substituindo (2.35) e (2.36) na equa¸c˜ao da continuidade (2.5) encontramos:
∂ρˆ
∂t +cs∇ ·(ˆρ~vˆ) = 0 (2.37)
cs
∂~vˆ ∂t +cs
2(ˆ~v
· ∇)ˆ~v =− 1
M[3Aρ0
2ρˆ(
∇ρˆ)−2Aρ02(∇ρˆ) +aρ0∇(∇2ρˆ)] (2.38)
Considerando que o proj´etil esteja na dire¸c˜ao x, ´e interessante estudar a colis˜ao deste com o n´ucleo nesta dire¸c˜ao e assim ˆ~v= (ˆv,0,0) fornecendo:
∇ ·(ˆρˆ~v) =
3 X
i=1
∂ ∂xi
(ˆρvˆi) =
∂
∂x(ˆρvˆ) (2.39)
(ˆ~v· ∇)ˆ~v=
3 X
i=1
vi
∂ ∂xi
ˆ
~v = ˆv∂vˆ
∂x (2.40)
e
∇(∇2ρˆ) =∇ 3 X
i=1
∂2ρˆ
∂xi2
= ∂
3ρˆ
∂x3 (2.41)
Utilizando agora (2.39) em (2.37) e tamb´em (2.40) e (2.41) em (2.38) chegamos a:
∂ρˆ
∂t +cs ∂
∂x(ˆρˆv) = 0 (2.42)
e
cs
∂vˆ
∂t +cs
2vˆ∂ˆv
∂x =−
3Aρ 02
M
ˆ
ρ∂ρˆ ∂x +
2Aρ 02
M
∂ρˆ
∂x −
aρ 0
M
∂3ρˆ
∂x3 (2.43)
Vamos definir novas coordenadas no espa¸co ξ−τ conforme utilizado em [22]:
ξ =σ1/2(x−cst)
R (2.44)
e
τ =σ3/2cst
R (2.45)
onde R ´e o raio do n´ucleo alvo e, conforme [42],
σ ≡δM ach = |
u−cs|
cs
0< σ <1
Os novos operadores diferenciais fornecidos por (2.44) e (2.45) s˜ao: ∂ ∂x = ∂ξ ∂x ∂ ∂ξ + ∂τ ∂x ∂ ∂τ =
σ1/2
R ∂ ∂ξ (2.46) ∂ ∂t = ∂ξ ∂t ∂ ∂ξ + ∂τ ∂t ∂ ∂τ =−
σ1/2c
s
R ∂ ∂ξ +
σ3/2c
s R ∂ ∂τ (2.47) e ∂3
∂x3 = σ3/2
R3
∂3
∂ξ3 (2.48)
A equa¸c˜ao da continuidade neste novo espa¸coξ−τ ´e obtida substituindo (2.46) e (2.47) em (2.42):
− σ
1/2c
s
R ∂ ∂ξ +
σ3/2c
s R ∂ ∂τ ˆ
ρ+cs
σ1/2
R ∂
∂ξ(ˆρvˆ) = 0 (2.49)
Analogamente, substituindo (2.46), (2.47) e (2.48) em (2.43), podemos reescrever a equa¸c˜ao de Euler:
−σ 1/2c
s2
R ∂ˆv ∂ξ +
σ3/2c
s2
R ∂vˆ
∂τ + σ1/2c
s2
R vˆ ∂vˆ
∂ξ =
=−
3Aρ 02
M
σ1/2
R ρˆ ∂ρˆ
∂ξ +
2Aρ 02
M
σ1/2
R ∂ρˆ
∂ξ −
aρ 0
M
σ3/2
R3
∂3ρˆ
∂ξ3 (2.50)
As equa¸c˜oes (2.49) e (2.50) s˜ao as equa¸c˜oes da continuidade e de Euler reescritas em termos de vari´aveis adimensionais ˆρ e ˆv e em termos das coor-denadas adimensionais ξ e τ que est˜ao relacionadas com o Raio nuclear, a velocidade do som na mat´eria nuclear e o n´umero σ.
O proj´etil penetra no n´ucleo alvo causando uma pequena perturba¸c˜ao na densidade bariˆonica, o que n˜ao altera o estado de equil´ıbrio do n´ucleo alvo. Podemos assim expandir ˆρ e ˆv em torno de seus valores de equil´ıbrio:
ˆ
ρ= 1 +σρ1+σ2ρ2+. . . (2.51)
e
ˆ
v =σv1 +σ2v2 +. . . (2.52)
onde o fator σ passa agora a desempenhar o papel de um parˆametro pequeno de expans˜ao (0 < σ < 1) permitindo que os termos σn sejam
Substituindo ent˜ao (2.51) e (2.52) em (2.49) encontramos:
−σ
1/2c
s
R ∂ ∂ξ +
σ3/2c
s
R ∂ ∂τ
(1 +σρ1+σ2ρ2+. . .)+
+cs
σ1/2
R ∂
∂ξ[(1 +σρ1+σ
2ρ
2+. . .)(σv1+σ2v2+. . .)] = 0 (2.53)
A express˜ao acima pode ser reescrita como:
(· · ·)σ3/2+ (· · ·)σ5/2+ (· · ·)σ7/2 = 0
Vemos que cada parˆenteses deve se anular independentemente e, ap´os dividir a express˜ao acima por csσ
1/2
R , encontramos os termos:
σ
− ∂ρ∂ξ1 + ∂v1
∂ξ
= 0 (2.54)
e
σ2
− ∂ρ∂ξ2 +∂ρ1
∂τ + ∂v2
∂ξ +ρ1 ∂v1
∂ξ +v1 ∂ρ1
∂ξ
= 0 (2.55)
Da mesma forma, Substituindo (2.51) e (2.52) em (2.50) temos:
−σ 1/2c
s2
R ∂
∂ξ(σv1 +σ
2v
2+. . .) +
σ3/2c
s2
R ∂
∂τ(σv1+σ
2v
2+. . .)+
+σ
1/2c
s2
R (σv1+σ
2v
2 +. . .)
∂
∂ξ(σv1+σ
2v
2+. . .) =
=−
3Aρ 02
M
σ1/2
R (1 +σρ1+σ
2ρ
2+. . .)
∂
∂ξ(1 +σρ1+σ
2ρ
2+. . .)+
+
2Aρ 02
M
σ1/2
R ∂
∂ξ(1 +σρ1+σ
2ρ
2+. . .)− aρ
0
M
σ3/2
R3
∂3
∂ξ3(1 +σρ1+σ
2ρ
2+. . .)
Repetindo o procedimento usado em (2.53) encontramos:
σ
− ∂v∂ξ1 +
Aρ 02
Mcs2
∂ρ 1
∂ξ
e;
σ2
− ∂v∂ξ2 +∂v1
∂τ +v1 ∂v1
∂ξ +
Aρ 02
Mcs2
∂ρ 2
∂ξ +
3Aρ 02
Mcs2
ρ1 ∂ρ1 ∂ξ + aρ 0
Mcs2R2
∂3ρ 1
∂ξ3
= 0 (2.57)
Para que (2.54) e (2.56) sejam compat´ıveis ´e necess´ario que:
Aρ02
Mcs2
= 1 =⇒ A= Mcs
2
ρ02
(2.58)
pois assim (2.54) e (2.56) indicam que:
∂v1
∂ξ = ∂ρ1
∂ξ (2.59)
A igualdade acima mostra que, a menos de uma constante, temos:
ρ1 =v1 (2.60)
Substituindo agora (2.60) em (2.55) chegamos a:
σ2
− ∂ρ∂ξ2 +∂ρ1
∂τ + ∂v2
∂ξ + 2ρ1 ∂ρ1 ∂ξ = 0 e portanto: ∂ρ1
∂τ + 2ρ1 ∂ρ1 ∂ξ = ∂ρ2 ∂ξ − ∂v2 ∂ξ (2.61)
De maneira an´aloga, substituindo (2.58) e (2.60) em (2.57) temos:
σ2
− ∂v∂ξ2 +∂ρ1
∂τ + 4ρ1 ∂ρ1 ∂ξ + ∂ρ2 ∂ξ + aρ 0
Mcs2R2
∂3ρ 1 ∂ξ3 = 0 e portanto: ∂ρ2 ∂ξ − ∂v2
∂ξ =− ∂ρ1
∂τ −4ρ1 ∂ρ1
∂ξ −
aρ 0
Mcs2R2
∂3ρ 1
∂ξ3 (2.62)
Finalmente, substituindo (2.62) em (2.61) obtemos:
∂ρ1
∂τ + 2ρ1 ∂ρ1
∂ξ =− ∂ρ1
∂τ −4ρ1 ∂ρ1
∂ξ −
aρ 0
Mcs2R2
∂3ρ 1
que pode ser reescrita como:
∂ρ1
∂τ + 3ρ1 ∂ρ1
∂ξ +
aρ 0
2Mcs2R2
∂3ρ 1
∂ξ3 = 0 (2.63)
A equa¸c˜ao (2.63) acima ´e conhecida como a equa¸c˜ao de KdV3 [43] que possui solu¸c˜ao solitˆonica.
Comparando a equa¸c˜ao (2.63) com a equa¸c˜ao (12) de [22]:
∂ρ1
∂τ + 3ρ1 ∂ρ1
∂ξ −
γρ 0
2Mcs2R2
∂3ρ 1
∂ξ3 = 0
Cap´ıtulo 3
QHD Modificada (MQHD)
3.1
Introdu¸c˜
ao
Como foi mencionado na introdu¸c˜ao a teoria relativ´ıstica mais simples da mat´eria nuclear, a QHD, n˜ao ´e adequada ao estudo da forma¸c˜ao e propaga¸c˜ao de solitons. No cap´ıtulo anterior vimos que uma densidade de energia com a forma dada por (2.30) ´e compat´ıvel com a existˆencia de solitons. Neste cap´ıtulo vamos fazer a “modifica¸c˜ao m´ınima” na Lagrangeana da QHD de modo que a teoria resultante tenha uma densidade de energia do tipo (2.30). Nossa proposta ´e a seguinte:
L=LQHD+
gV
mV2
¯
ψ(∂ν∂νVµ)γµψ (3.1)
onde
LQHD = ¯ψ[γµ(i∂µ−gVVµ)−(M−gSφ)]ψ+
1 2
∂µφ∂µφ−mS2φ2
+
−14FµνFµν +
1 2mV
2V
µVµ
e onde gS e gV s˜ao respectivamente as constantes de acoplamento para os
mesons escalar e vetorial; mSemV s˜ao respectivamente as massas dos mesons
escalar e vetorial.
Com o novo termo adicionado `a LQHD vamos encontrar uma express˜ao
para a densidade de energia do tipo
e que ir´a gerar a equa¸c˜ao de KdV. ´E interessante observar que o novo termo desaparece na aproxima¸c˜ao de campo m´edio. Quando ela n˜ao ´e feita ele apenas fornece corre¸c˜oes ao termo usual de acoplamento entre o campo fermiˆonico e o campo vetorial:
gVψV¯ µγµψ
Desta maneira ´e poss´ıvel fazer pequenas modifica¸c˜oes na QHD sem des-truir suas virtudes e gerando uma mat´eria nuclear que comporta solitons.
Para a obten¸c˜ao da densidade de energia ´e necess´ario calcular antes as equa¸c˜oes de movimento e o tensor momento-energia, utilizando L dada por (3.1). Nas pr´oximas se¸c˜oes vamos apresentar manipula¸c˜oes que s˜ao muito semelhante `as usuais na QHD original, que j´a fazem at´e parte dos livros texto. Em v´arias disserta¸c˜oes sobre mat´eria nuclear estas passagens s˜ao omitidas ou transferidas para apˆendices. No nosso caso, como a teoria tem novas intera¸c˜oes e estamos fazendo um novo tipo de aproxima¸c˜ao, vamos incluir todos os detalhes da deriva¸c˜ao da densidade de energia.
3.2
Equa¸c˜
oes de Movimento
As equa¸c˜oes de movimento s˜ao obtidas por interm´edio da equa¸c˜ao de Euler-Lagrange:
∂µ
∂L
∂(∂µqi)
− ∂∂qL
i
= 0 (3.2)
para os campos: ¯ψ,Vν e φ. Para o campo ¯ψ, (3.2) toma a seguinte forma:
∂µ
∂L
∂(∂µψ¯)
− ∂L
∂ψ¯ = 0
Utilizando (3.1) na equa¸c˜ao acima temos:
∂ ∂ψ¯
¯
ψ[γµ(i∂µ−gVVµ)−(M−gSφ)]ψ+
gV
mV2
¯
ψ(∂ν∂νVµ)γµψ
= 0
=⇒
γµ(i∂µ−gVVµ)−(M−gSφ) +
gV
mV2
(∂ν∂νVµ)γµ
ψ = 0 (3.3) Para o campo Vν ´e interessante usar a defini¸c˜ao de Fµν para reescrever o
pen´ultimo termo de LQHD:
−14FµνFµν =
1 2∂µVν∂
νVµ
e assim (3.1) pode ser reescrita como:
L= ¯ψ[γµ(i∂µ−gVVµ)−(M −gSφ)]ψ+
1 2
∂µφ∂µφ−mS2φ2
+
+1 2∂µVν∂
νVµ
− 12∂µVν∂µVν +
1 2mV
2V
µVµ+
gV
mV2
¯
ψ(∂ν∂νVµ)γµψ
A a¸c˜ao S desta teoria ´e dada por:
S=
Z
d4xL =Z d4xL
QHD+
Z
d4x gV
mV2
¯
ψ(∂ν∂νVµ)γµψ
(3.4)
A integral contendo o termo de acoplamento derivativo pode ser feita medi-ante integra¸c˜ao por partes, fornecendo:
Z
d4x
g
V
mV2
¯
ψ(∂ν∂νVµ)γµψ
=−
Z
d4x
g
V
mV2
∂ν( ¯ψγµψ)∂νVµ
ou
Z
d4x
g
V
mV2
¯
ψ(∂ν∂νVµ)γµψ
=− gV
mV2
Z
d4x
∂ν( ¯ψγµψ)∂νVµ
(3.5)
onde o termo de superf´ıcie ´e nulo, ou seja:
( ¯ψγµψ)∂νVµ
+∞ −∞ = 0
Substituindo (3.5) em (3.4):
Z
d4xL =
Z
d4xLQHD−
gV
mV2
Z
d4x
∂ν( ¯ψγµψ)∂νVµ
fornecendo uma forma alternativa de L para o c´alculo da equa¸c˜ao de movi-mento do campo Vν:
L=LQHD−
gV
mV2
∂ν( ¯ψγµψ)∂νVµ
ou melhor:
L= ¯ψ[γµ(i∂µ−gVVµ)−(M −gSφ)]ψ+
1 2
∂µφ∂µφ−mS2φ2
+
+1 2∂µVν∂
νVµ
− 12∂µVν∂µVν +
1 2mV
2V
µVµ−
gV
mV2
∂ν( ¯ψγµψ)∂νVµ (3.6)
Ent˜ao, utilizando (3.6) acima para
∂µ
∂L
∂(∂µVν)
− ∂V∂L
ν
temos:
∂µ
∂
∂(∂µVν)
+1 2∂µVν∂
νVµ
− 12∂µVν∂µVν −
gV
mV2
∂ν( ¯ψγµψ)∂νVµ
+
−∂V∂
ν
−gVψγ¯ µVµψ+
1 2mV
2V
µVµ
= 0
=⇒ ∂µFµν +mV2Vν =gVψγ¯ νψ−
gV
mV2
∂µ∂µ( ¯ψγνψ) (3.7)
A equa¸c˜ao de movimento para o campo φ ´e dada por:
∂µ
∂L
∂(∂µφ)
− ∂∂φL = 0
que, com o uso de (3.1), fornece:
∂µ
∂
∂(∂µφ)
1
2∂µφ∂
µφ
− ∂ ∂φ
gSψφψ¯ −
mS2
2 φ
2= 0
=⇒ (∂µ∂µ+mS2)φ=gSψψ¯ (3.8)
3.3
Aproxima¸c˜
ao Estacion´
aria
Fazendo as aproxima¸c˜oes:
Vµ→< Vµ>≡δµ0V0 (3.9)
e
φ→< φ >≡φ0 (3.10)
em (3.1), temos
L′ =LVµ →< Vµ >≡δµ0V0 φ→< φ >≡φ0
ou seja:
L′ = ¯ψ[γµ(i∂µ−gVδµ0V0)−(M −gSφ0)]ψ+
+1 2
∂µφ0∂µφ0−mS2φ02
− 14(∂µδν0V0−∂νδµ0V0)(∂µδν0V0−∂νδµ0V0)+
+1 2mV
2δ
µ0V0δµ0V0+
gV
mV2
¯
=⇒ L′ = ¯ψ[(iγµ∂µ−gVγ0V0)−(M−gSφ0)]ψ+
1 2
∂µφ0∂µφ0−mS2φ02
+
−14(∂µδν0V0∂µδν0V0−∂µδν0V0∂νδµ0V0−∂νδµ0V0∂µδν0V0+∂νδµ0V0∂νδµ0V0)+
+1 2mV
2V 02+
gV
mV2
¯
ψ(∂ν∂νV0)γ0ψ
=⇒ L′ = ¯ψ[(iγµ∂µ−gVγ0V0)−(M−gSφ0)]ψ+
1 2
∂µφ0∂µφ0−mS2φ02
+
+1 2(∇V0)
2+ 1
2mV
2V 02+
gV
mV2
¯
ψ(∂ν∂νV0)γ0ψ (3.11)
Fazendo tamb´em a substitui¸c˜ao de (3.9) e (3.10) na equa¸c˜ao de movimento (3.3) encontramos:
γµ(i∂µ−gVδµ0V0)−(M−gSφ0) +
gV
mV2
(∂ν∂νδµ0V0)γµ
ψ = 0
=⇒ iγµ∂µψ−gVγ0V0ψ−(M−gSφ0)ψ+
gV
mV2
(∂ν∂νV0)γ0ψ = 0 (3.12)
Da mesma forma para (3.7):
∂µ(∂µδν0V0−∂νδµ0V0) +mV2δν0V0 =gVψγ¯ νψ−
gV
mV2
∂µ∂µ( ¯ψγνψ)
que multiplicada por δν0 fornece:
δν0∂µ∂µδν0V0−δν0∂µ∂νδµ0V0+mV2δν0δν0V0 =gVδν0ψγ¯ νψ−
gV
mV2
δν0∂µ∂µ( ¯ψγνψ)
=⇒ ∂µ∂µV0−∂0∂0V0+mV2V0 =gVψγ¯ 0ψ−
gV
mV2
∂µ∂µ( ¯ψγ0ψ)
=⇒ −∇2V0+mV2V0 =gVψγ¯ 0ψ−
gV
mV2
∂µ∂µ( ¯ψγ0ψ) (3.13)
e finalmente para (3.8):
Desprezando agora apenas as derivadas temporais para os campos V0 e
φ0 nas equa¸c˜oes citadas, por´em n˜ao desprezando os gradientes e laplacianos
espaciais dos mesmos campos temos:
L∗ = ¯ψ[(iγµ∂µ−gVγ0V0)−(M −gSφ0)]ψ−
1 2(∇φ0)
2
− 12mS2φ02+
+1 2(∇V0)
2+1
2mV
2V 02 −
gV
mV2
¯
ψ(∇2V0)γ0ψ (3.15)
[iγµ∂µ−gVγ0V0−(M −gSφ0)]ψ−
gV
mV2
(∇2V0)γ0ψ = 0 (3.16)
−∇2V0+mV2V0 =gVψγ¯ 0ψ−
gV
mV2
∂µ∂µ( ¯ψγ0ψ) (3.17)
e
(−∇2+mS2)φ0 =gSψψ¯ (3.18)
Nossa aproxima¸c˜ao difere da aproxima¸c˜ao usual de campo m´edio pela considera¸c˜ao de gradientes e laplacianos dos campos V0 eφ0.
3.4
Densidade de energia
A densidade de energia ´e dada por:
ε =< T00 >=−g00L∗+∂0ψ
∂L∗
∂(∂0ψ) (3.19)
que, com o aux´ılio de (3.15) resulta em:
ε =−g00
¯
ψ[(iγµ∂µ−gVγ0V0)−(M −gSφ0)]ψ−
1 2(∇φ0)
2 − 1
2mS
2φ 02+
+1 2(∇V0)
2+1
2mV
2V 02−
gV
mV2
¯
ψ(∇2V0)γ0ψ
+∂0ψ
∂
∂(∂0ψ)[iψγ¯ 0∂ 0ψ]
=⇒ ε =−g00ψ¯
[(iγµ∂µ−gVγ0V0)−(M −gSφ0)]−
gV
mV2
(∇2V0)γ0
ψ+
+1 2(∇φ0)
2+1
2mS
2φ 02−
1 2(∇V0)
2
A express˜ao anterior pode ainda ser reescrita utilizando (3.16):
ε= 1 2(∇φ0)
2+1
2mS
2φ 02−
1 2(∇V0)
2
−12mV2V02+iψγ¯ 0∂0ψ (3.21)
Multiplicando (3.16) por ¯ψ `a esquerda e isolando iψγ¯ 0∂0ψ encontramos:
iψγ¯ 0∂0ψ =−iψγ¯ 0~α· ∇ψ+gV( ¯ψγ0ψ)V0+ ¯ψ(M −gSφ0)ψ+
+ gV
mV2
(∇2V0) ¯ψγ0ψ (3.22)
Substituindo (3.22) em (3.21):
ε= 1 2(∇φ0)
2+1
2mS
2φ 02−
1 2(∇V0)
2
− 12mV2V02−iψγ¯ 0~α· ∇ψ+
+gV( ¯ψγ0ψ)V0+ ¯ψ(M −gSφ0)ψ+
gV
mV2
(∇2V0) ¯ψγ0ψ (3.23)
Vamos usar as defini¸c˜oes: ¯
ψ =ψ†γ0 (3.24)
¯
ψγ0ψ =ψ†γ0γ0ψ =ψ†ψ ≡ρB (3.25)
e
M −gSφ0 ≡M∗ (3.26)
onde ρB ´e a densidade bariˆonica eM∗ ´e a massa efetiva do n´ucleon.
Podemos agora reescrever (3.23) utilizando (3.24), (3.25) e (3.26):
ε= 1
2[(∇φ0)
2+m
S2φ02−(∇V0)2−mV2V02] +gVρBV0+
+ gV
mV2
ρB(∇2V0) +ψ†(−i~α· ∇+βM∗)ψ (3.27)
onde foi utilizada a nota¸c˜ao: β :=γ0 .
Para calcular os camposφ0 eV0, primeiramente utilizamos (3.26):
φ0 =
(M −M∗)
gS
(3.28)
−∇2V0+mV2V0 =gVρB−
gV
mV2
∂0∂0(ρB) +
gV
mV2∇
2ρ
B
sendo que podemos desprezar a segunda derivada temporal paraρBda mesma
maneira que foi feito para φ0 e V0:
−∇2V0+mV2V0 =gVρB+
gV
mV2∇
2ρ
B
e considerar na express˜ao acima
−∇2V0 << mV2V0 (3.29)
obtendo uma express˜ao aproximada para V0 :
V0 =
gV
mV2
ρB+
gV
mV4∇
2ρ
B (3.30)
Integrando a express˜ao (3.27) por partes em −12(∇V0)2, com os termos
de superf´ıcie indo a zero, temos:
−12(∇V0)2 −→
1 2V0(∇
2V 0)
resultando em:
ε = 1
2[(∇φ0)
2+m
S2φ02+V0(∇2V0)−mV2V02] +gVρBV0+
+ gV
mV2
ρB(∇2V0) +ψ†(−i~α· ∇+βM∗)ψ (3.31)
Substituindo (3.30) e (3.28) em (3.31) temos:
ε= 1 2
∇
(M−M∗)
gS
2
+ mS
2
2
(M−M∗)
gS 2 + +1 2 g V
mV2
ρB+
gV
mV4∇
2ρ B ∇2 g V
mV2
ρB+
gV
mV4∇
2ρ
B
+
−mV 2
2
g
V
mV2
ρB+
gV
mV4∇
2ρ
B
2
+gVρB
g
V
mV2
ρB+
gV
mV4∇
2ρ
B
+
+ gV
mV2
ρB
∇2
g
V
mV2
ρB +
gV
mV4∇
2ρ
B
Desprezando na express˜ao anterior o termo proporcional a
[∇(M −M∗)]2 e proporcional a
∇2ρB∇4ρB
chegamos a:
ε= gV
2
2mV2
ρB2+
3gV2
2mV4
ρB∇2ρB+
3gV2
2mV6
ρB∇4ρB+
+mS
2
2
(M−M∗)
gS
2
+ψ†(−i~α· ∇+βM∗)ψ (3.32)
Desprezamos o termo∝ [∇(M−M∗)]2 porque ele n˜ao altera
significativa-mente a equa¸c˜ao para M∗ j´a conhecida na QHD. Na vizinhan¸ca do equil´ıbrio a equa¸c˜ao auto-consistente para M∗ (“equa¸c˜ao de gap”) ´e dada pela (3.35). Nesta regi˜ao, M∗ >> k
F como pode ser vista na figuraC.1. Ent˜ao podemos
fazer a aproxima¸c˜ao:
M −M∗ ∼= γM ∗2g
s2
4π2m
S2 kF resultando em: 1 2 ∇
(M −M∗)
gS
2 ∼
= γ
2M∗4g
s2
32π4m
S4
6π2
γ
2/3
∇ρB1/3
2
que via integra¸c˜ao por partes com os termos de superf´ıcie indo a zero:
1 2
∇
(M −M∗)
gS
2
∼=−γ2M∗4gs2
32π4m
S4
6π2
γ
2/3
ρB1/3
∇2ρB1/3
ou seja, uma varia¸c˜ao muito pequena proporcional aρB1/3
∇2ρ
B1/3
podendo ser desprezada quando comparada com os outros termos proporcionais a
ρB∇2ρB e ρB∇4ρB .
Conforme o apˆendice A, podemos utilizar (A.10):
ψ†(−i~α· ∇+βM∗)ψ −→ γ
(2π)3 Z kF
0 d
3k(~k2+M∗2
que substitu´ıda em (3.32) nos fornece a forma definitiva para a densidade de energia:
ε = gV
2
2mV2
ρB2+
3gV2
2mV4
ρB∇2ρB+
3gV2
2mV6
ρB∇4ρB+
mS2
2
(M −M∗)
gS
2
+
+ γ
(2π)3 Z kF
0 d
3k(~k2+M∗2
)1/2 (3.33)
com (conforme (A.12) do apˆendice A):
ρB=
γ
6π2kF 3
A massa efetiva do n´ucleon (M∗) ´e obtida pela minimiza¸c˜ao de ε com respeito a M∗:
∂ε ∂M∗ = 0 ou melhor:
∂ε ∂M∗ =−
mS2
gS2
(M −M∗) + γ (2π)3
Z kF 0 d
3k M∗
(~k2+M∗2)1/2 = 0
=⇒ M∗ =M − gS
2
mS2
γ
(2π)3 Z kF
0 d
3k M∗
(~k2+M∗2)1/2 (3.34)
A integra¸c˜ao nos momentos pode ser feita resultando em:
M∗ =M − gS
2
mS2
γM∗ 4π2
kF(kF2+M∗2)1/2−M∗ln
k
F + (kF2+M∗2)1/2
M∗
(3.35)
Cap´ıtulo 4
Solitons de Korteweg-de Vries
na QHD Modificada
4.1
Introdu¸c˜
ao
Neste cap´ıtulo vamos fazer a conex˜ao entre o formalismo hidrodinˆamico do s´oliton (discutido no cap´ıtulo 2) e as teorias Lagrangeanas da mat´eria nuclear. Esta conex˜ao nos permitir´a relacionar as propriedades do s´oliton com os as-pectos microsc´opicos da intera¸c˜ao n´ucleon-n´ucleon. Vamos agora deduzir e resolver a equa¸c˜ao de KdV3. A dedu¸c˜ao de KdV3 ser´a atrav´es do procedi-mento descrito no cap´ıtulo 2, utilizando a densidade de energia proveniente da QHD modificada (3.33).
Vamos partir de:
ε= gV
2
2mV2
ρB2+
3gV2
2mV4
ρB∇2ρB+
mS2
2
(M −M∗)
gS
2
+
+ γ
(2π)3 Z kF
0 d
3k(~k2+M∗2)1/2
que coincide com (3.33) a menos de termos proporcionais a ∇4ρ
B que por
enquanto ser˜ao desprezados. Esta express˜ao pode ainda ser reescrita na forma:
ε=
g
V2
2mV2
ρB2+
3g
V2
2mV4
com η(ρB) sendo uma fun¸c˜ao com dependˆencia em ρB dada por:
η(ρB) =
1 2
m
S
gS
2
(M −M∗)2+ γ (2π)3
Z kF 0 d
3kh
~k2+M∗2i1/2
onde
ψ†ψ ≡ρB =
γkF3
6π2
conforme (A.12) com γ = 4 sendo o fator de degenerescˆencia de spin-isospin para mat´eria nuclear sim´etrica.
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de KdV3 ser´a apresentada na se¸c˜ao 4.3 deste cap´ıtulo.
4.2
Dedu¸c˜
ao de KdV3 para a QHD
Modifi-cada
Podemos ver que (4.1) satisfaz (2.30), onde:
f(ρB) =
g
V2
2mV2
ρB2+η(ρB)
e
g(ρB) =
3g
V2
2mV4
ρB
Com (2.15) pode-se calcular a energia por n´ucleon:
E =ε/ρB
=⇒ E =
g
V2
2mV2
ρB+
3g
V2
2mV4
(∇2ρB) +
η(ρB)
ρB
Fazendo a expans˜ao em s´erie de Taylor conforme descrito no cap´ıtulo 2 at´e o termo de segunda derivada para os termos dependentes de ρB em torno do
valor de equil´ıbrio ρ0, e impondo a condi¸c˜ao de satura¸c˜ao
∂ ∂ρB
ε
ρB −
M
ρB=ρ0
=
∂E
∂ρB
ρB=ρ0
= 0
encontramos:
E(ρB) =E(ρ0) +
Mcs2
2ρ02
No segundo termo da express˜ao anterior temos:
Mcs2 =ρ02 ∂2E
∂ρB2
ρB=ρ0
(4.3)
onde M ´e a massa do n´ucleon ecs ´e a velocidade do som na mat´eria nuclear,
como est´a mostrado no apˆendice B. Todo o procedimento descrito para a equa¸c˜ao da continuidade (2.37) permanece o mesmo nesta se¸c˜ao.
Da equa¸c˜ao (4.2) vemos que:
E(ρ0) = g
V2
2mV2
ρ0+
η(ρ0)
ρ0
+
3g
V2
2mV4
(∇2ρB) (4.4)
pois conforme j´a mencionado, ρB e ∇2ρB s˜ao consideradas duas vari´aveis
independentes. A entalpia por n´ucleon dada por (2.10) ´e calculada por in-term´edio de (4.2):
h=E(ρ0) +
Mcs2
2ρ02
(3ρB2+ρ02−4ρBρ0) (4.5)
e o gradiente de h ´e obtido atrav´es da equa¸c˜ao acima:
∇h= Mcs
2
2ρ02
[6ρB(∇ρB)−4ρ0(∇ρB)] +
3g
V2
2mV4
∇(∇2ρB) (4.6)
Substituindo (4.6) em (2.9):
∂~v
∂t + (~v· ∇)~v =−
c
s2
2ρ02
[6ρB(∇ρB)−4ρ0(∇ρB)]
− 3g
V2
2MmV4
∇(∇2ρB) (4.7)
Usando agora (2.35) e (2.36) em (4.7) temos:
cs
∂~vˆ ∂t +cs
2(ˆ~v
· ∇)ˆ~v =−cs
2
2 [6ˆρ(∇ρˆ)−4(∇ρˆ)]−
3gV2ρ0
2MmV4∇
Fazendo as substitui¸c˜oes de (2.39), (2.40) e (2.41) em (4.8) chegamos a:
cs
∂vˆ
∂t +cs
2vˆ∂ˆv
∂x =− cs2
2
6ˆρ∂ρˆ ∂x −4
∂ρˆ
∂x
−
3g
V2ρ0
2MmV4
∂3ρˆ
∂x3 (4.9)
que ser´a combinada com (2.37) para a obten¸c˜ao de KdV3. Utilizando ent˜ao (2.44) `a (2.48) em (4.9) temos:
−σ 1/2c
s2
R ∂ˆv ∂ξ +
σ3/2c
s2
R ∂vˆ
∂τ + σ1/2c
s2
R vˆ ∂vˆ
∂ξ =
=−3σ
1/2c
s2
R ρˆ ∂ρˆ
∂ξ + 2 σ1/2c
s2
R ∂ρˆ
∂ξ −
3g
V2ρ0
2MmV4
σ3/2
R3
∂3ρˆ
∂ξ3 (4.10)
O pr´oximo passo conforme descrito no cap´ıtulo 2 ´e utilizar as expans˜oes (2.51) e (2.52) em (4.10) acima, que se transforma em:
−σ 1/2c
s2
R ∂
∂ξ(σv1 +σ
2v
2+. . .) +
σ3/2c
s2
R ∂
∂τ(σv1+σ
2v
2+. . .)+
+σ
1/2c
s2
R (σv1+σ
2v
2 +. . .)
∂
∂ξ(σv1+σ
2v
2+. . .) =
=−3σ
1/2c
s2
R (1 +σρ1+σ
2ρ
2+. . .)
∂
∂ξ(1 +σρ1+σ
2ρ
2+. . .)+
+2σ
1/2c
s2
R ∂
∂ξ(1 +σρ1+σ
2ρ
2+. . .)− 3g
V2ρ0
2MmV4
σ3/2
R3
∂3
∂ξ3(1 +σρ1+σ
2ρ
2+. . .)
Igualando os coeficientes dos termos proporcionais a σ na equa¸c˜ao acima reobteremos a identidade (2.60):
σ
− ∂ρ∂ξ1 +∂v1
∂ξ
= 0 =⇒ ρ1 =v1 (4.11)
Dos coeficientes dos termos proporcionais a σ2 temos a seguinte identidade:
∂v1
∂τ +v1 ∂v1
∂ξ + 3ρ1 ∂ρ1
∂ξ +
3g
V2ρ0
2Mcs2mV4R2
∂3ρ 1
∂ξ3 =− ∂ρ2
∂ξ + ∂v2
Usando agora (4.11) em (4.12) temos:
−∂ρ1 ∂τ −ρ1
∂ρ1
∂ξ −3ρ1 ∂ρ1
∂ξ −
3g
V2ρ0
2Mcs2mV4R2
∂3ρ 1
∂ξ3 = ∂ρ2
∂ξ − ∂v2
∂ξ (4.13)
que, substitu´ıda em (2.61), resulta finalmente em
∂ρ1
∂τ + 3ρ1 ∂ρ1
∂ξ +
3g
V2ρ0
4Mcs2mV4R2
∂3ρ 1
∂ξ3 = 0 (4.14)
A equa¸c˜ao acima ´e conhecida como equa¸c˜ao de Korteweg-de Vries (KdV) para a densidade ρ1 conforme mencionada no cap´ıtulo 1. Neste caso ela
pode ser chamada de KdV3 porque cont´em um termo proporcional `a terceira derivada de ρ1 em rela¸c˜ao `a ξ.
Pode-se reescrever (4.14) na seguinte forma para facilitar a nota¸c˜ao em sua solu¸c˜ao:
∂ρ1
∂τ +Aρ1 ∂ρ1
∂ξ +B ∂3ρ
1
∂ξ3 = 0 (4.15)
com:
A= 3 e
B =
3g
V2ρ0
4Mcs2mV4R2
4.3
Solu¸c˜
ao da equa¸c˜
ao de KdV3
Para resolver (4.14) (ou (4.15)) ´e interessante retornar ao espa¸co x−t para uma melhor an´alise da solu¸c˜ao e da largura do s´oliton na dimens˜ao correta (f m). Assim ´e poss´ıvel comparar a largura do s´oliton com as dimens˜oes do n´ucleo alvo. Ent˜ao basta utilizar os operadores das express˜oes (2.46), (2.47) e (2.48) para volta ao espa¸co x−t:
∂ ∂ξ =
R σ1/2
∂ ∂x, ∂
∂τ = R σ3/2c
s
∂ ∂t +
R σ3/2
∂ ∂x
e
∂3
∂ξ3 = R3
σ3/2
∂3
∂x3
de tal maneira que (4.15) adquire a forma:
∂ρˆ1
∂t +cs ∂ρˆ1
∂x +Acsρˆ1 ∂ρˆ1
∂x +BcsR
2∂3ρˆ1
∂x3 = 0 (4.16)
onde:
ˆ
ρ1 ≡σρ1 (4.17)
A equa¸c˜ao (4.16) ´e a equa¸c˜ao de KdV3 modificada no espa¸co x−t, que possui uma solu¸c˜ao particular que ´e a de um pulso bem definido se pro-pagando sem alterar sua forma e velocidade de propaga¸c˜ao. Tal solu¸c˜ao ´e obtida pela imposi¸c˜ao de:
ˆ
ρ1 = ˆρ1(χ)
com
χ=x−ut,
onde u ´e a velocidade de propaga¸c˜ao desse pulso (s´oliton). ´E f´acil verificar que:
∂ρˆ1
∂t =−u dρˆ1
dχ (4.18)
∂ρˆ1
∂x = dρˆ1
e
∂3ρˆ 1
∂x3 = d3ρˆ
1
dχ3 (4.20)
Substituindo agora (4.18), (4.19) e (4.20) em (4.16) encontramos:
−udρˆ1 dχ +cs
dρˆ1
dχ +Acsρˆ1 dρˆ1
dχ +BcsR
2d3ρˆ1
dχ3 = 0
que integrada em rela¸c˜ao `a χ fornece:
−u
Z dρˆ 1
dχdχ+cs
Z dρˆ 1
dχdχ+Acs
Z
ˆ
ρ1
dρˆ1
dχdχ+BcsR
2Z d3ρˆ1
dχ3 dχ= 0
e
(cs−u)ˆρ1+
Acs
2 (ˆρ1)
2+ (Bc
sR2)
d2ρˆ 1
dχ2 +C = 0
onde C ´e uma constante de integra¸c˜ao. Integrando a equa¸c˜ao acima em rela¸c˜ao `a ˆρ1 temos:
(cs−u)
Z
ˆ
ρ1dρˆ1+
Acs
2
Z
(ˆρ1)2dρˆ1+ (BcsR2)
Z d2ρˆ 1
dχ2 dρˆ1+
Z
Cdρˆ1 = 0
e
(cs−u)
2 (ˆρ1)
2+Acs
6 (ˆρ1)
3+ (Bc
sR2)
Z d2ρˆ 1
dχ2 dρˆ1
dχdχ+Cρˆ1+D= 0
com D sendo mais uma constante de integra¸c˜ao. Continuando a integra¸c˜ao da express˜ao acima:
(cs−u)
2 (ˆρ1)
2+Acs
6 (ˆρ1)
3+ (Bc
sR2)
Z 1
2
d dχ
dρˆ 1
dχ
2
dχ+Cρˆ1 +D= 0
e assim:
(cs−u)
2 (ˆρ1)
2+ Acs
6 (ˆρ1)
3+(BcsR2)
2
dρˆ 1
dχ
2
Para determinarC eD, basta aplicar as condi¸c˜oes de contorno em (4.21) para que a solu¸c˜ao seja um s´oliton:
ˆ
ρ1 →0,
dρˆ1
dχ →0
e
d2ρˆ 1
dχ2 →0
quando |χ| → ∞, encontramos D = 0 e podemos escolher C = 0, uma vez que o s´oliton ´e uma solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ao de KdV3. Com estas escolhas (4.21) se transforma em:
(cs−u)
2 (ˆρ1)
2+Acs
6 (ˆρ1)
3+ (BcsR2)
2
dρˆ 1
dχ
2
= 0 (4.22)
que fornece:
dρˆ1
dχ =±ρˆ1
s
(u−cs)
BcsR2 −
A
3BR2ρˆ1 ,
ou ainda:
±
Z dρˆ 1
ˆ
ρ1 q
(u−cs)
BcsR2 −
A
3BR2ρˆ1
=
Z
dχ (4.23)
Impondo para (4.23) uma solu¸c˜ao do tipo:
ˆ
ρ1 = ˆρ1(θ) =
3(u−cs)
Acs
sech2(θ) (4.24)
e usando o fato de que A= 3 encontramos:
dρˆ1 =−
2(u−cs)
cs
senh(θ)
