Quest˜ao 1 Calcule as integrais abaixo:
(a)
˛
C
xy2dx−x2ydy, em que C ´e a fronteira da regi˜ao entre as curvas y=x2 e y2 =x.
Utilizando o Teorema de Green: A curvaCdelimita uma regi˜ao no planoD={(x, y); 0 ≤ x≤1, x2 ≤y ≤√
x} e pelo Teorema de Green temos
˛
C
P dx+Qdy=
¨
D
∂Q
∂x − ∂P
∂y
dxdy.
Com P(x, y) = xy2 e Q(x, y) = −x2y, temos
˛
C
xy2dx−x2ydy =
¨
D
−2xy−2xy dxdy
= ˆ 1
0
ˆ √x
x2
−4xy dydx
= ˆ 1
0
−4x y2
2
√x
x2
dx
= ˆ 1
0
−2x2+ 2x5dx
= 1 3 −2
3 =−1 3.
(b)
¨
σ
x2+y2dS, ondeσ ´e a parte do paraboloidez = 1−x2−y2 acima do plano xy.
Uma parametriza¸c˜ao paraσ ´e dada porσ(u, v) = 1−u2−v2, comK ={(u, v); u2+v2 ≤ 1}. Assim, segue queσu = (1,0,−2u),σv = (0,1,−2v) e σu∧σv = (2u,2v,1). A integral de superf´ıcie pode ser calculada por
¨
σ
x2+y2dS =
¨
K
(u2+v2)kσu∧σvkdudv
= ˆ
K
(u2+v2)√
1 + 4u2+ 4v2dudv
= ˆ 1
0
ˆ 2π
0
r2√
1 + 4r2rdrdθ
= 2π ˆ 1
0
r3√
1 + 4r2dr
= 2π ˆ 5
1
1
32[u3/2−u1/2]du
= π
60(1 + 25√ 5),
em que fizemos a mudan¸ca de coordenadas polares emK e depois a mudan¸ca u= 1 + 4r2, du= 8rdr.
(c)
˚
B
e(x2+y2+z2)3/2dV, em queB ={(x, y, z)∈R3;x2+y2 +z2 ≤1 e z ≥0}.
Observe que o conjunto B pode ser parametrizado, utilizando as coordenadas esf´ericas, por Bρθφ ={(ρ, θ, φ); 0 ≤ρ ≤1,0≤θ ≤ 2π,0≤φ ≤ π/2}. Lembrando que o Jacobiano da mudan¸ca de vari´aveis ´e |J|=ρ2senφ, segue que
˚
B
e(x2+y2+z2)3/2dV =
˚
Bρθφ
e(ρ2)3/2ρ2senφ dρdθdφ
= ˆ 1
0
ˆ 2π 0
ˆ π/2 0
eρ3ρ2senφ dρdθdφ
= 2π ˆ 1
0
eu 3 du,
= 2π
3 (e−1),
onde utilizamos a mudan¸ca de vari´aveis u=ρ3, du= 3ρ2dρ.
Quest˜ao 2 Sejam y=f(x),x ∈[a, b], uma fun¸c˜ao positiva continuamente diferenci´avel e S a superf´ıcie obtida pela revolu¸c˜ao do gr´afico y=f(x) pelo eixo dos x.
(a) Determine uma parametriza¸c˜ao de S.
As se¸c˜oes transversais deS por planos perpendiculares ao planoz = 0 pelo ponto (x,0,0), comx∈[a, b], s˜ao circunferˆencias no espa¸co. Estas circunferˆencias tˆem raiof(x) e, dessa maneira, podem ser parametrizadas considerandoσ: [a, b]×[0,2π]→R3 por
σ(x, θ) = (x, f(x) cosθ, f(x) senθ).
(b) Descreva uma f´ormula para obter a ´area de S atrav´es da fun¸c˜ao f e da parametriza¸c˜ao dada.
A f´ormula de ´area de superf´ıcie dada por uma parametriza¸c˜ao σ ´e obtida fazendo A(S) =
¨
σ
dS =
¨
K
kσu∧σvkdudv.
No nosso caso temos:
σx(x, θ) = (1, f0(x) cosθ, f0(x) senθ), σθ(x, θ) = (0,−f(x) senθ, f(x) cosθ),
σx∧σθ = (f(x)f0(x), f(x) cosθ,−f(x) senθ) kσx∧σθk=p
f(x)2(1 +f0(x)2).
Da´ı,
A(S) = ˆ b
a
ˆ 2π
0
f(x)p
1 +f0(x)2dθdx= 2π ˆ b
a
f(x)p
1 +f0(x)2dx.
Quest˜ao 3 Considere #»
E um campo el´etrico criado por uma carga q localizada no centro do sistema de coordenadas:
E#»(x, y, z) = q
(x2+y2 +z2)3/2 ·(x, y, z).
(a) Mostre que #»
E ´e livre de divergente e irrotacional para todo (x, y, z)6= 0.
Escreva P = qx
(x2+y2+z2)3/2, Q= qy
(x2+y2+z2)3/2 e R = qz
(x2+y2+z2)3/2, da´ı #»
E = P~i+Q~j+Q~k.
N˜ao ´e t˜ao dif´ıcil ver que
∂P
∂x = q(x2 +y2+z2)1/2[−2x2+y2+z2] (x2+y2+z2)3 ,
∂Q
∂y = q(x2+y2+z2)1/2[x2−2y2+z2] (x2 +y2 +z2)3 ,
∂R
∂z = q(x2+y2+z2)1/2[x2+y2−2z2] (x2+y2+z2)3 . Assim, como div#»
E = ∂P∂x + ∂Q∂y + ∂R∂z, segue que div #»
E = 0.
Para o rotacional, temos rot#»
E = ∂R
∂y − ∂Q
∂z
~i+ ∂P
∂z − ∂R
∂x
~j+ ∂Q
∂x −∂P
∂y
~k.
Note que
∂R
∂y =−3qzy(x2+y2+z2)−5/2,
∂Q
∂z =−3qzy(x2+y2+z2)−5/2.
Logo, a componente~i do rotacional ser´a nula e, de modo an´alogo, pode-se mostrar que as outras componentes tamb´em s˜ao todas nulas.
(b) Calcule o fluxo de #»
E atrav´es da superf´ıcie esf´erica de raioR >0.
Note que a esfera ´e dada por x2+y2+z2 =R2 e~n= R1(x, y, z). Da´ı #»
E ·~n= q
R2. Segue que
¨
σ
E#»·~n dS =
¨
σ
q R2 dS
= q R2
¨
σ
dS
= 4πq,
uma vez em que a ´area superficial da esfera de raio R´e 4πR2. (c) Discuta se o resultado acima contradiz o teorema da divergˆencia.
Note que se o Teorema da Divergˆencia pudesse ser aplicado, ter´ıamos 4πq =
¨
σ
E#»·~ndS =
˚
B
div#»
EdV =
˚
B
0dV = 0!
Por´em n˜ao podemos utilizar o Teorema da Divergˆencia neste caso. Nas hip´oteses do Teorema o campo vetorial #»
E deve ser de classeC1 em B! Por´em, observe que #»
E n˜ao est´a definido na origem e, portanto, n˜ao ´e de classeC1 na esfera. Sendo assim, o Teorema da Divergˆencia n˜ao ´e v´alido para #»
E na esfera.
Quest˜ao 4 Seja B um s´olido com uma fronteira suave por partes S. Expresse o volume de B via uma integral sobre S.
Lembremos que V ol(B) =˝
BdV. Por outro lado, como B tem fronteira suave por partes dada por S, podemos aplicar o Teorema da Divergˆencia em B e, dessa forma, se #»
f(x, y, z) ´e um campo vetorial qualquer com div#»
f = 1, temos V ol(B) =
˚
B
dV =
˚
B
div#»
f dV =
¨
S
#»f ·~n dS,
a ´ultima integral sendo uma integral de superf´ıcie sobreS. Assim, tome, por exemplo#»
f(x, y, z) =
1
3(x, y, z). Vale que div#»
f = 1, para todo (x, y, z), e, consequentemente V ol(B) = 1
3
¨
S
(x, y, z)·~n dS.
