N ´umeros Naturais e Axiomas de Peano.

(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

rodrigo.uﬀ.math@gmail.com

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2

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N ´ umeros Naturais e Axiomas de Peano

Esse texto ainda n ão se encontra na sua vers ão final, sendo, por enquanto, cons- titu´ıdo apenas de anota¸c ões informais. Sugest ões para melhoria do texto, corre¸c ões da parte matem ática ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email rodrigo.uff.math@gmail.com.

1.1 Axiomas de Peano

Objetivos

Nosso objetivo nesse texto é construir os naturais usando os axiomas de Peano, definir as opera¸c ões de adi¸c ão , multiplica¸c ão e a rela¸c ão de ordem nos naturais, demonstrando as principais propriedades dessas rela¸c ões .

Assumimos como conceito primitivo a existência de um conjunto chamado con- junto dos n úmeros naturais ( cujos elementos s ão chamados n úmeros naturais) que denotaremos por N . Onde valem os seguintes axiomas:

Axioma 1. Existe uma fun¸c ão s :N→N injetiva, chamada de fun¸c ão sucessor, o n úmero natural s(n) é chamado sucessor de n.

3

(5)

$

Corol ário 1. Como s é uma fun¸c ão, ent ão o sucessor de um n úmero natural

é único, isto é, um n úmero natural possui apenas um sucessor.

Axioma 2. Existe um único n úmero natural que n ão é sucessor de nenhum outro natural, esse n úmero simbolizamos por 1.

Axioma 3 (Axioma da indu¸c ˜ao). Dado um conjunto A ⊂ N, se 1 ∈ A e ∀ n ∈ A tem-se s(n)∈A ent ˜ao A=N.

Demonstra¸c ões usando o axioma da indu¸c ão s ão chamadas demonstra¸c ões por indu¸c ão.

Um pouco de hist ´oria

Os axiomas apresentados aqui levam o nome do matem ´atico Italiano Giuseppe Peano (27 de Agosto de 1858-20 de Abril de 1932)

Figura 1.1: Giuseppe Peano

Peano foi um dos fundadores da l ´ogica matem ´atica e da teoria dos conjuntos.

Ele introduziu nota¸c ões como ∪ e ∩ para uni ão e interse¸c ão de conjuntos. Descobriu um tipo de curva cont´ınua que é chamada de curva de Peano em 1890 . Peano teve um papel importante na axiomatiza¸c ão da matem ática e foi um l´ıder pioneiro no desenvolvimento da l ógica matem ática.

Vamos agora ver algumas propriedades dos n ´umeros naturais.

(6)

Figura 1.2: Curva de Peano

b

Propriedade 1. Para todo n ´umero natural n, vale s(n)̸=n.

ê Demonstra ¸c ão. Para n=1, temos s(1)̸=1, pois 1 n ão é sucessor de nenhum outro n úmero. Supondo que s(n)̸=n, temos que provar que s(s(n))̸=s(n). Como a fun¸c ão sucessor é injetora se fosse s(s(n)) = s(n) ent ão s(n) =n o que contradiz a hip ótese, logo vale s(s(n))̸=s(n). Ent ão para todo n natural vale que s(n)̸=n.

m

Defini ¸c ˜ao 1 (Conjunto dos sucessores). Dado um subconjunto A ⊂ N n ˜ao vazio, definimos

S(A) = {s(x)|x∈A.}

b

Propriedade 2. S(N) = N\ {1}.

b

Propriedade 3. Supondo os axiomas 1 e 2 ent ão o axioma 3 é equivalente a proposi¸c ão: Para todo subconjunto n ão vazio A⊂N tem-se A\S(A)̸=∅.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇒). Supondo o axioma (3) v álido. Suponha por absurdo que exista A̸=∅, A⊂N tal que A\S(A) =∅ ent ão A⊂ S(A), isto é, ∀ x ∈A existe y∈A tal que x =s(y).

Sabemos que 1∈/ A, pois se n ˜ao 1∈A\S(A). Se n /∈A, vamos mostrar que s(n)∈/ A.

Se fosse s(n) ∈ A, chegar´ıamos em uma contradi¸c ˜ao com A ⊂ S(A), pois deveria

(7)

havery∈Atal que s(y) =s(n)e por injetividade seguiria y=n∈A, o que contraria a hip ótese, logo S(n)∈/ A, A é vazio pois n ão contém nenhum n úmero natural, mas consideramos que A n ão é vazio como hip ótese, absurdo!.

⇐).

Pelo axioma 2 temos que 1 ´e o ´unico elemento deN\S(N), pelo axioma 1 temos que S(N)⊂N da´ı temos N={1}∪S(N) o que implica 1∈A,∀ n∈Ns(n)∈A⇔A=N.

1.2 Adi ¸c ˜ ao e suas propriedades

m

Defini ¸c ão 2 (Adi¸c ão). Definimos a opera¸c ão de adi¸c ão +, que associa dois n úmeros naturais a e b a outro n úmero natural a+b , recursivamente usando a fun¸c ão sucessor, da seguinte maneira

m+1:= s(m) m+s(n) =s(m+n)

para n, m∈N. A ´ultima propriedade diz que m+ (n+1) = (m+n) +1.

b

Propriedade 4 (Associatividade). Vale

(m+n) +p=m+ (n+p) para m, n e p naturais.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Para demonstrar essa identidade , vamos usar a defini¸c ˜ao m+ (n+1) = (m+n) +1

e indu¸c ˜ao.

Para p=1 a propriedade vale pela defini¸c ˜ao de adi¸c ˜ao

(m+n) +1=s(m+n) =m+s(n) =m+ (n+1).

Supondo a validade para p

(m+n) +p=m+ (n+p),

(8)

vamos mostrar para p+1

(m+n) + (p+1) =m+ (n+ (p+1)).

m+(n+(p+1)) = m+((n+p)+1) = (m+(n+p))+1= ((m+n)+p)+1= (m+n)+(p+1) . Na primeira e segunda passagem usamos a defini¸c ão de adi¸c ão, a terceira pela hip ótese de indu¸c ão e depois novamente pela defini¸c ão de adi¸c ão.

m

Defini ¸c ˜ao 3. Simbolizamos s(1) = 2, isto ´e 1+1=2.

b

Propriedade 5. Vale a propriedade

m+1=1+m para qualquer m natural.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Para m=1 vale

1+1=2=1+1.

Supondo a validade para m

m+1=1+m vamos provar para m+1

(m+1) +1=1+ (m+1). Tem-se que

1+ (m+1) = (1+m) +1= (m+1) +1 .

Na primeira passagem usamos associatividade e na segunda a hip ´otese de indu¸c ˜ao .

b

Propriedade 6 (Comutatividade da adi¸c ˜ao). Vale m+n=n+m

(9)

para todos m, n naturais.

ê Demonstra ¸c ão. Vamos provar por indu¸c ão sobre n .Vale para n =1, como j á mostramos m+1=1+m. Supondo validade para n

m+n=n+m vamos provar para n+1

m+ (n+1) = (n+1) +m.

m+ (n+1) = (m+n) +1= (n+m) +1=1+ (n+m) = (1+n) +m= (n+1) +m . Usamos as seguintes propriedades em ordem: Associatividade, hip ótese da indu¸c ão , caso base da indu¸c ão, associatividade e por fim o caso base da indu¸c ão.

b

Propriedade 7 (Lei do corte). Se m+n=m+pent ˜ao n=p, para quaisquer n, m e p naturais.

Seja A o conjunto dos naturais tal que {n+m=m+p⇒n=p}. Vamos provar queA é o conjunto dos naturais, para m=1 , se vale 1+n=1+pent ão s(n) = s(p), como a fun¸c ão sucessor é injetiva segue que n=p. 1∈A.

Supondo que m∈A

m+n=m+p⇒n=p vamos provar para m+1∈A

(m+1) +n= (m+1) +p⇒n=p.

(m+1) +n= (m+1) +p implica S(m+n) = S(m+p) da´ı por injetividade segue que m+n=m+p que pela hip ótese da indu¸c ão implica n =p, ent ão vale a lei do corte.

1.3 Multiplica ¸c ˜ ao e suas propriedades

(10)

m

Defini ¸c ão 4 (Multiplica¸c ão). Definimos o produto de dois n úmeros naturais recursivamente como

m.1=m

m(n+1) =m.n+m.

b

Propriedade 8 (Distributividade-Direita). Vale a propriedade m(n+p) =m.n+m.p

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c ˜ao sobre p. Para p=1 temos m(n+1) = m.n+m.1=m.n+m logo vale. Supondo a validade para p

m(n+p) =m.n+m.p vamos provar que vale para p+1

m(n+p+1) = m.n+m.(p+1).

Pela defini¸c ˜ao de produto tem-se

m(n+p+1) =m.(n+p) +m=m.n+m.p+m =m.n+m(p+1) .

b

Propriedade 9 (Distributividade -Esquerda).

(n+p)m=n.m+p.m.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c ˜ao sobre m, para m = 1 vale. Supondo validade para m

(n+p)m =n.m+p.m vamos mostrar para m+1

(n+p)(m+1) = n.(m+1) +p.(m+1).

Vale

(n+p)(m+1) = (n+p)m+n+p=n.m+p.m+n+p=n.m+n+p.m+p= (n)(m+1)+p(m+1) .

(11)

b

Propriedade 10 (Associatividade). Vale a associatividade pro produto

m.(n.p) = (m.n).p .

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c ˜ao sobre p, para p=1 tem-se m.(n.1) = (m.n).1.

Supondo validade para p

m.(n.p) = (m.n).p , vamos provar para p+1

m.(n.(p+1)) = (m.n).(p+1).

m.(n.(p+1)) =m(np+n) =m.(np) +m.n = (m.n).p+m.n= (m.n)(p+1) .

b

Propriedade 11. Vale

m.1=1.m para qualquer m natural.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c ˜ao sobre m. Para m = 1 tem-se (1).1 = 1.(1) obviamente.

Supondo a validade para m

m.1=1.m vamos provar para m+1

(m+1).1=1.(m+1).

(m+1).1=m.1+1.1=1.m+1.1=1(m+1) .

b

Propriedade 12 (Comutatividade do produto). Vale m.n=n.m

para quaisquer m, n ∈N.

(12)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vamos demonstrar por indu¸c ˜ao sobre n, deixando m fixo.

Para n=1 temos m.1 =1.m que demonstramos na propriedade anterior. Supondo a validade para n

m.n=n.m vamos provar que vale para n+1

m(n+1) = (n+1).m.

m(n+1) =m.n+m.1=n.m+1.m= (n+1)m.

1.4 Rela ¸c ˜ ao de ordem

m

Defini ¸c ˜ao 5 (Rela¸c ˜ao de ordem). Definimos que

m < n quando existe p natural tal que

m+p=n.

Neste caso escrevemos também n > m. Dizemos nesse caso que n é maior que m ou m é menor que n. Dizemos que n≥m quando vale n > m ou n=m.

$

Corol ´ario 2. n+p > n pois existe p∈ N tal que n+p=n+p. Em especial n+1> n e 1+1:= 2>1.

b

Propriedade 13. Para todo n∈N vale 1≤n.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Para n=1 vale a igualdade 1=1. Suponha que vale n≥1 e com isso vamos provar que n+1≥1.

Se n≥1 ent ˜ao vale ou n =1 e da´ı n+1=1+1>1 provando a desigualdade ou n >1, que implica existir k ∈ N tal que 1+k = n logo 1+ (k+1)

| {z }

∈N

= n+1 de onde segue n+1>1, em qualquer dos casos.

(13)

1.4.1 Transitividade

b

Propriedade 14 (Transitividade). Se m < n e n < p ent ˜ao m < p.

ê Demonstra ¸c ão. Se m < nent ão existe s∈N tal que m+s =n e como n < p ent ão existe u∈N tal que n+u=p, porém n+u=m+ (s| {z }+u)

v∈N

ent ˜ao m < p.

b

Propriedade 15. J ´a mostramos que para todo n ∈ N vale n ≥ 1. Vamos mostrar agora que as possibilidadesn > 1 en=1 n ˜ao acontecem simultaneamente.

ê Demonstra ¸c ão. Suponha por absurdo que n = 1 e n > 1, 1 > 1 e ter´ıamos k∈N tal que k+1=1, isto é s(k) =1 para algum natural o que contraria o axioma de 1 n ão ser sucessor de nenhum n úmero natural. Ent ão ambas propriedades n ão podem ser verdadeiras.

b

Propriedade 16. n > n ´e uma propriedade falsa para todo n∈N.

ê Demonstra ¸c ão. Para n = 1 a propriedade é falsa, suponha que seja falsa para n ,n > n , vamos provar que é falsa para n+1, n+1 > n+1. Supondo que n+1> n+1, existiria k∈N tal que n+1+k=n+1 da´ı s(n+k) = s(n) implicando n+k =n e da´ı n > n o que contraria a hip ótese da indu¸c ão, ent ão n+1> n+1 é falsa, logo n > n é falsa para todo n∈N.

b

Propriedade 17 (Monotonicidade da adi¸c ˜ao). Se m < n ent ˜ao para qualquer p natural vale m+p < n+p.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se m < n ent ˜ao existe s natural tal que m +s = n, da´ı m+s+p=n+p que implica m+p < n+p .

b

Propriedade 18. N ˜ao existe n∈N tal que n <1.

ê Demonstra ¸c ão. Sabemos que vale n=1 ou n >1 para todo n∈ N. Se fosse n < 1 com n = 1 ent ão 1 < 1 que é falsa. Se fosse 1 < n com n < 1 ent ão por transitividade n < n que é falsa também.

(14)

1.4.2 N ˜ ao existe x ∈ N tal que n < x < n + 1.

b

Propriedade 19. N ˜ao existe x ∈N tal que n < x < n+1.

Essa propriedade nos mostra que todo n úmero natural diferente de 1 é sucessor de algum outro n úmero.

ê Demonstra ¸c ão. Suponha que exista x nas condi¸c ões dadas, ent ão x =n+p compnatural, pn ão pode ser 1 e também n ão pode ser p >1, pois de 1< p somando n, segue x < n+1< n+p chegar´ıamos em n+p < n+p que é falsa, resta ent ão a possibilidade de p <1 que n ão acontece pois 1 é o menor elemento de N.

$

Corol ário 3. Se m > n ent ão m ≥ n+1, m poderia ser igual à n+1 , mas n ão pode ser menor, pois se n ão n < m < n+1 o que contraria a propriedade anterior.

b

Propriedade 20. n+p < n ´e falsa para qualquer n, p ∈N.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se fosse n+p < n , ter´ıamos com n < n+p que n+p <

n < n+p ent ˜ao n+p < n+p que ´e falsa.

b

Propriedade 21 (Monotonicidade da multiplica¸c ˜ao). Se n > m ent ˜ao np >

mp∀p∈ N. Isto ´e, podemos multiplicar de ambos lados por um n ´umero natural de uma desigualdade.

ê Demonstra ¸c ão. Para p = 1 a propriedade vale . Suponha validade para p , np > mp ent ão temos que mostrar que vale para p+1, n(p+1) > m(p+1). Da hip ótese da indu¸c ão temos que existet ∈Ntal que mp+t=np e da hip ótese n > m tem-se que existev∈Ntal que m+v=n, isso implica que mp+m+(v| {z }+t)

h∈N

=np+n, m(p+1) +h= (n)(p+1) de onde segue finalmente que n(p+1)> m(p+1).

b

Propriedade 22.

pn≥n∀n, p∈N.

(15)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale p≥1, se p=1 ent ˜ao pn =n se p >1 segue np > n.

b

Propriedade 23. Se m > n ent ˜ao p.m > n∀p ∈N.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale m > n da´ı p.m > p.n, por´em p.n ≥ n logo por transitividade p.m > n.

$

Corol ´ario 4. Vale n+1> n da´ı (n+1)m > n.

Outra demonstra¸c ˜ao dessa propriedade pode ser feita como: Vale n ≥ 1 da´ı multiplicando por m+1 segue (m+1)n≥m+1> m logo (m+1)n > n.

1.4.3 Tricotomia

b

Propriedade 24 (Tricotomia). Dados n, m ∈Nvale uma e somente uma das rela¸c ˜oes

m=n, m < noun < m.

• N ão vale n=m e n < m. Se valessem ambas rela¸c ões ent ão existiria p∈Ntal que n+p=m, da´ı substituindo n por m ter´ıamos m=m+p e m < m que é uma propriedade falsa. Da mesma maneira n ão vale n=m e m < n.

• N ão vale n < m e m < n, pois se n ão por transitividade valeria n < n que é uma propriedade falsa.

Seja m ̸=n, vamos mostrar que vale uma das possibilidades m > n ou m < n.

Para m = 1 sabemos que vale n > 1. Suponha a validade para m, vamos mostrar que vale para m+1. Se vale m > n ent ão m+1 > n+1 > n. Se vale m+1 = n nada temos a fazer, se vale m < n segue m+1< n+1, n ão pode ser n < m+1 pois ter´ıamos n < m+1< n+1 o que é absurdo, ent ão vale m+1< n.

1.4.4 Lei do corte e desigualdade

(16)

b

Propriedade 25 (Lei do corte para multiplica¸c ˜ao). Se m.n = m.p ent ˜ao n=p.

Por tricotomia temos que n=p, ou n > p ou n < p .

Suponha que m.n = m.p e n > p ent ão multiplicando por m de ambos lados segue que m.n > m.p o que contraria m.n = m.p. Se n < p multiplicando por m segue que nm < pm o que contraria m.n = m.p . Como n ão vale n > p ou n < p, ent ão deve valer que n=p o que demonstra o resultado .

b

Propriedade 26 (Lei do corte da adi¸c ˜ao). Se n+p < m+p ent ˜ao n < m.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por tricotomia vale uma das propriedadesm > n da´ım+p >

n+p que contradiz a hip ´otese. m =n que implica m+p=n+p da´ı segue o absurdo com n+p > n+p. Como n ˜ao pode valer nenhuma das anteriores segue que n < m.

b

Propriedade 27 (Lei do corte no produto). Se np < mp ent ˜ao n < m.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por tricotomia vale uma das propriedades m > n da´ı m.p >

n.p que contradiz a hip ´otese. m = n que implica m.p = n.p da´ı segue o absurdo com n+p > n+p. Como n ˜ao pode valer nenhuma das anteriores segue que n < m.

b

Propriedade 28. Se x > t ent ˜ao x ≥t+1.

ê Demonstra ¸c ão. Por tricotomia , vale uma das possibilidades para t +1, t+1=x ou x < t+1 ou t+1< x n ão pode valer t+1> x pois se n ão t+1> x > t, vale ent ão t+1=x ou t+1< x que se escreve como x ≥t+1.

b

Propriedade 29. Seja a ∈ N, se a ∈ A e dado qualquer n ∈ A implica n+1∈A, ent ˜ao para todo t≥a tem-se t∈A.

ê Demonstra ¸c ão. Temos a ∈ A, vamos mostrar ent ão que para todo t > a tem-se t ∈ A. Se t > a ent ão existe p ∈ N tal que a+p = t, vamos mostrar ent ão que para todo p natural tem-se a+p∈ A. Como a ∈ A segue que a+1 ∈A, ent ão

(17)

a proposi¸c ão é verdadeira para p=1. Suponha que a+p∈A ent ão a+p+1∈ A o que implica por indu¸c ão que a+p∈A para todo p natural.

1.4.5 Soma de desigualdades

b

Propriedade 30. Se a < c e b < d ent ˜ao a+b < c+d.

ê Demonstra ¸c ˜ao. De a < c somamos b de ambos lados e de b < d somamos c de ambos lados, da´ı tem-se a+b < c+b e c+b > d+c por transitividade segue a+b < c+d.

1.4.6 Produto de desigualdades

b

Propriedade 31. Se a < b e c < d ent ˜ao a.c < b.d.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Multiplicamos por c a primeira desigualdade ac < bc e b na segunda b.c < b.d da´ı por transitividade segue ac < b.d.

m

Defini ¸c ão 6 (Antecessor). m∈N é antecessor de n∈N quando m < n mas n ão existe c∈N tal que m < c < n.

b

Propriedade 32. 1 n ˜ao possui antecessor e qualquer outro n ´umero natural possui antecessor.

ê Demonstra ¸c ão. N ão vale m < 1 para algum natural m, logo 1 n ão possui antecessor. Agora para todo outro n ∈ N vale n > 1 logo existe p ∈ N tal que p+1 = n, vamos mostrar que p = m é o antecessor de n. Vale p < p+1, logo a primeira condi¸c ão é satisfeita, a segunda condi¸c ão também é satisfeita pois n ão existe c ∈ N tal que p < c < p +1. Vamos mostrar agora que existe um único antecessor. Suponha existência de dois antecessores m e m^′ distintos ent ão existe um deles que é o maior, digamos m^′, da´ı m < m^′ e m^′ < n por transitividade segue m < m^′ < n o que contraria a defini¸c ão de antecessor, ent ão existe um único.

(18)

b

Propriedade 33 (Lei do corte da multiplica¸c ˜ao). Se ac < bc ent ˜ao a < b.

ê Demonstra ¸c ão. Pela tricotomia vale a = b ou a > b ou a < b, se fosse a primeira, multiplicando por c ter´ıamos ac = bc que é falsa, se fosse a segunda ter´ıamos ac > bc que é falsa, ent ão a única possibilidade é a terceira a < b.

b

Propriedade 34. A rela¸c ão ≤ é uma rela¸c ão de ordem em N, isto é, satisfaz as propriedades

1. ´E reflexiva: a≤a.

2. É anti-simétrica: a≤b e b≤a ent ão a=b.

3. ´E transitiva: a≤b e b≤c implica a≤c.

$

Corol ´ario 5. Se a < b ent ˜ao a ≤ b, pois a segunda acontece se a < b ou a=b.

1. Vale a reflexividade pois a=a se verifica.

2. Se a ≤ b e b ≤ a ent ão a < b ou a = b e a > b ou a = b. Na primeira proposi¸c ão n ão pode valer a < b pois entra em contradi¸c ão com a=b e a > b, logo vale a=b.

3. Se a < b e b < c ent ão a < c pela transitividade. Se a < b e b=c ent ão ent ão a < c. Se a = b e b < c ent ão a < c. E finalmente se a = b e b = c ent ão a=c.

$

Corol ário 6. Se a < b e b ≤ c ent ão a < c. Segue da propriedade anterior pois s ó poderia acontecer a=c se a=b e b=c. Da mesma forma a≤b e b < c ent ão a < c.

(19)

1.4.7 Nega ¸c ˜ oes

$

Corol ário 7. A nega¸c ão de a < b e a ≥ b pois por tricotomia se n ão vale a < b vale a=b ou a≥b que é equivalente à a≥b.

$

Corol ário 8. A nega¸c ão de a=b é a > b ou a < b.

$

Corol ´ario 9. Se a ≤ b ent ˜ao a+c ≤ b+c, pois se vale a < b ou a = b a propriedade se verifica, da mesma forma a.c≤b.c.

$

Corol ´ario 10. Se a≤b e c≤d ent ˜ao a+c≤b+d e a.c≤b.d pois somamos c a primeira desigualdade e b a segunda

a+c≤b+c, b+c≤b+d por transitividade a+c≤b+d.

O mesmo com a multiplica¸c ˜ao

a.c≤b.c, b.c≤b.d por transitividade a.c≤b.d.

1.5 Subtra ¸c ˜ ao

Vamos definir a subtra¸c ˜ao de dois n ´umeros naturais a e b quando a > b.

m

Defini ¸c ão 7 (Subtra¸c ão). Dados dois n úmeros naturais a e b, com a > b ent ão existe p∈N tal que b+p=a. Definimos

b−a:=p.

(20)

1.6 Boa ordena ¸c ˜ ao e o segundo princ´ıpio de indu ¸c ˜ ao.

Iremos denotar o princ´ıpio da indu¸c ˜ao finita por P1.

⋆ Teorema 1 (Princ´ıpio da boa ordena¸c ˜ao-PBO). Todo subconjunto n ˜ao vazio de N, possui um menor elemento.

ê Demonstra ¸c ˜ao. P1⇒PBO.

Seja A um conjunto n ão vazio de N, se 1 ∈ A ent ão A possui menor elemento, que é o n úmero natural 1. Agora vamos analisar o caso de 1∈/ A.

Seja B={n|In⊂N\A}, temos que 1∈B, porémB n ão é o conjunto dos n úmeros naturais pois A é n ão vazio, ent ão existe n tal que n∈B e n+1∈/ B, logo In⊂N\A e In+1 n ão é subconjunto de N\A, ent ão n+1 ∈ A, sendo no caso n+1 o menor elemento de A.

b

Propriedade 35 (Segundo princ´ıpio da indu¸c ˜ao-P2). Seja A⊂N. Se∀n∈N, m ∈A, ∀m |m < nimplicarn∈Aent ˜aoA=N.

ê Demonstra ¸c ˜ao. PBO⇒P2.

SejaB=N\A, vamos mostrar que seAsatisfaz as condi¸c ões do segundo princ´ıpio da indu¸c ão ent ão B=∅. Se B n ão for vazio ele possui um menor elemento, digamos c, para todo m < c temos m ∈A, logo pela hip ótese tem-se que c∈A, o que é uma contradi¸c ão.

b

Propriedade 36. O princ´ıpio da boa ordena¸c ão é equivalente ao axioma de indu¸c ão.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[ Prova direta] PBO⇒P1.

Seja B um conjunto que satisfa¸ca as condi¸c ˜oes do axioma de indu¸c ˜ao, 1 ∈ B e

∀ k ∈ B, k+1 ∈ B, vamos provar que B = N. Suponha por absurdo que B ̸= N, definimos A=N\B, tal conjunto é n ão vazio ent ão possui um elemento m´ınimo, tal elemento n ão pode ser 1 pois 1∈B, ent ão esse elemento é sucessor de algum n úmero natural e podemos denotar tal elemento como t+1 , isso implica que t ∈ B e por indu¸c ão t+1∈B que é um absurdo .

(21)

b

Propriedade 37. P2⇔PBO.

Seja A⊂N n ão vazio, ent ão A possui menor elemento. Suponha por absurdo queA n ão possua elemento m´ınimo. Seja Bn a proposi¸c ão n /∈A. B1 é verdadeira, pois se 1∈A ent ão Ateria elemento m´ınimo . Suponha que Bn seja verdadeira de k=1 até n, ent ão Bn+1 também deve ser verdadeira, pois caso contr ário n+1∈A e A teria menor elemento. Pelo segundo principio da indu¸c ão segue que Bn é verdadeira para todo n, logo para todo n natural vale n̸∈A o que implica que A

´e vazio! absurdo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Falta mostrar que P2⇒PBO.

b

Propriedade 38. Seja n0∈N. SeA⊂Ntal que n0∈A e n∈A⇒n+1∈A ent ˜ao todo x∈N com x≥a pertence `a A.

ê Demonstra ¸c ão. Se a = 1 nada temos a fazer pois A = N. Se a > 1 ent ão a = b+1 é sucessor de b. Vamos mostrar que b+n ∈ A ∀ n ∈ N. Sabemos que b+1∈A. Supondo que b+n∈ A ent ão b+ (n+1)∈A da´ı por indu¸c ão segue que b+n ∈ A ∀ n ∈ N. Lembrando que x > b significa que existe p natural tal que b+p = x, como b+p ∈ A ∀ p ∈ N ent ão x ∈ A. Outro fato que usamos é que se x > b ent ão x ≥b+1=a pois n ão existe natural entre b e b+1, b∈N.

1.6.1 Existˆencia do m ´aximo em conjuntos limitados

b

Propriedade 39. Se A ̸= ∅ ⊂ N é limitado superiormente ent ão A possui m áximo.

ê Demonstra ¸c ão. Seja B = {n ∈ N | n > x,∀ x ∈ A.} , B é um conjunto n ão vazio de n úmeros naturais, logo pelo princ´ıpio da boa ordena¸c ão B possui um elemento m´ınimo, tal elemento n ão pode ser o n úmero 1 ent ão ele é sucessor de algum n úmero natural, que denotaremos por t+1, logo t tem que satisfazer uma das propriedades, existe y ∈A tal que t < y ou existe y∈ A tal que t =y . A primeira op¸c ão n ão pode valer pois ter´ıamos t < y < t+1 que é absurdo . Vamos mostrar

(22)

que tal y realmente é o m áximo do conjunto. Seja z ̸=y elemento de A, ent ão z < y, pois se t=y < z, ent ão t < z < t+1 que é absurdo.

b

Propriedade 40. Um conjunto A̸=∅ , A⊂N ´e finito sse ´e limitado.

ê Demonstra ¸c ão. Se A é finito, ent ão A = {x1,· · · , xn} e vale x1+· · ·+xn >

x∀x∈A, logo A ´e limitado.

Se A é limitado ent ão ele é menor que n para algum n, da´ı A ⊂ In, sendo subconjunto de um conjunto finito A é finito.

$

Corol ário 11. Se A ̸= ∅ é finito ent ão A possui elemento m áximo, pois A é limitado.

1.6.2 Axioma de eudoxius e divis ˜ ao euclidiana

b

Propriedade 41 (Axioma de Eudoxius). Dados m e n naturais com n > m ent ˜ao existe q∈N tal que

qm≤n < (q+1)m.

ê Demonstra ¸c ão. Seja A = {x.m | xm > n, x ∈ N}, tal conjunto é n ão vazio pois (n+1).m > n, pelo PBO ele possui um menor elemento. Sabemos também que m n ão pertence a esse conjunto, ent ão x >1, x sempre é sucessor de algum n úmero natural , ent ão podemos tomar o elemento m´ınimo de A da forma (q+1)m. Tem-se (q+1)> q logo (q+1).m > q.m, assim q.m n ão pode pertencer ao conjunto A, pois iria contrariar o PBO, logo por tricotomia vale q.m≤n e

q.m≤n < (q+1).m.

b

Propriedade 42 (Divis ˜ao Euclidiana). Dados n > m, ent ˜ao existe q tal que n=q.m ou qm+r=n com r < m.

Pelo axioma de Eudoxius existe q tal que q.m ≤ n <(q+1).m. da´ı q.m =n ou q.m < n, se a primeira vale a demonstra¸c ˜ao termina, se vale a segunda existe r∈N

(23)

tal que q.m+r=n. Agora analisamos as possibilidades para r, se r=m,q.m+m= n, m(q+1) =n que é absurdo. Se r > m ent ão q.m+r=n > q.m+m =m(q+1) que também é absurdo, como n ão vale r≥m ent ão por tricotomia vale r < m .

b

Propriedade 43. Seja A̸=∅ subconjunto de N, com propriedade

n, m∈A⇔m, m+n∈A ent ˜ao existe t ∈N tal que A={tn |n∈N}.

ê Demonstra ¸c ão. A é n ão vazio, ent ão ele possui um elemento m´ınimo t.

Primeiro vamos mostrar que B = {tn | n ∈ N} ⊂ A. t ∈ A, supondo tn ∈ A vamos mostrar quet(n+1)∈A. A propriedade vale pois t(n+1) =tn+t a adi¸c ão é fechada em A. Ent ão os m últiplos de t pertencem ao conjunto A.

Agora dado um elemento m ∈ A, tomamos a divis ão euclidiana de m por t, da´ı existe q ∈ N tal que m = q.t ou ∃r ∈ N tal que m = q.t+r. Se vale para todo m a primeira possibilidade ent ão A ⊂ B implicando A = B. Vamos mostrar que a segunda n ão ocorre. Sem ∈A é da forma qt+r, como qt∈A segue que r∈A, mas vale r < t o que contraria a minimalidade de t, ent ão essa possibilidade n ão pode acontecer e vale sempre m =q.t .

b

Propriedade 44. Dado um conjunto n ão vazio A⊂N ent ão {t}⊂A\S(A) onde t é o m´ınimo de A.

ê Demonstra ¸c ão. A possui m´ınimo pois A é n ão vazio, além disso t ∈A\S(A) pois se t ∈ S(A) ent ão existiria x ∈ A tal que S(x) = x +1 = t da´ı x < t o que contraria a minimalidade de t.

1.7 N ´ umeros naturais e n ´ umeros primos

m

Defini ¸c ão 8 (N úmero primo). Um n úmero natural n >1 é primo quando n n ão pode ser escrito como n=t.s com t < n e s < n.

(24)

m

Defini ¸c ão 9 (N úmero composto). Um n úmero n >1 é composto se pode ser escrito como n=t.s com t < n e s < n.

Z

Êxemplo ^1. 2 é um n úmero primo. 2 n ão é composto, pois se fosse po- der´ıamos escrever 2 =t.s com t <2 e s <2, da´ı t=s=1, ent ão chegar´ıamos no absurdo de 2=1.1=1 . Conclu´ımos ent ão que 2 é primo.

b

Propriedade 45. Todo n ´umero natural maior que 1 se decomp ˜oe como produto de primos.

ê Demonstra ¸c ão. Por indu¸c ão da segunda forma sobre n. O primeiro n úmero maior que 1 é 2 que é um n úmero primo. Suponha a propriedade v álida para todo m < n, vamos provar que é satisfeita para n . Se n é primo n ão temos nada a fazer, se n ão, n é composto, da´ı n=t.scom t < n e s < nlogo por hip ótese da indu¸c ão t e s de decomp õe como produto de primos, ent ão s.t=n também é produto de primos.

1.8 N ´ umeros naturais e n ´ umeros reais

b

Propriedade 46. O conjunto dos n ´umeros naturais ´e ilimitado em R.

Suponha que N seja limitado superiormente, ent ão ele possui um supremo s e vale para qualquer n natural n < s. Como s é a menor cota superior, ent ão s−1 n ão é cota superior, logo existe n ∈ N tal que s−1 < n, como n+1 é natural pela motonocidade da adi¸c ão segue que s < n+1 logo encontramos um n úmero natural maior que seu supremo, o que é um absurdo.

m

Defini ¸c ˜ao 10 (Segmento inicial In). Definimos o conjunto In, como In ={k∈N|1≤k≤n.}

(25)

E chamaremos de segmento inicial definido por n.

1.9 Unicidade do conjunto dos n ´ umeros naturais

b

Propriedade 47. Sejam (N, s)e (N^′, s^′)dois pares formados por um conjunto e uma fun¸c ˜ao em que ambos cumprem os axiomas de Peano. Ent ˜ao existe uma

´unica bĳe¸c ˜ao f:N→N^′ tal que f(1) =1^′, f(n+1) =f(n) +1^′ e vale ainda que

• f(m) +f(n) = f(m+n)

• f(m.n) =f(m)f(n)

• m < n⇔f(m)< f(n).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Primeiro vamos provar que f deve ser obrigatoriamente da forma f(n) = n^′ ∀ n ∈ N, por indu¸c ˜ao sobre n, a propriedade vale para n = 1, suponha a validade para n, vamos provar para n+1

f(n+1) =f(n) +1^′ =n^′+1^′ =s^′(n) = (n+1)^′.

Ent ão para todo n∈ N fica provado que f(n) =n^′, f é única por constru¸c ão, sendo também sobrejetora.

• Vale que f(m) +f(n) =f(m+n), vamos provar por indu¸c ão sobre n. Paran=1 ela vale por defini¸c ão da fun¸c ão, supondo a validade para n, vamos provar para n+1

f((m+n) +1) =f(m+n) +f(1) =f(m) + (f(n) +f(1)) =f(m) +f(n+1) logo fica provada a propriedade. f é injetiva, pois se houvessem dois valores distintos m > n tais que f(m) = f(n) ent ão existe p ∈ N tal que n+p = m, aplicando a fun¸c ão temos f(n) +f(p) =f(m) = f(n), isto é n^′ +p^′ =n^′ ent ão n^′ > n^′ o que é absurdo, portanto a fun¸c ão é injetiva.

• f(m.n) =f(m)f(n). Por indu¸c ˜ao sobre n, paran=1 ela vale. Suponha validade para n, vamos provar para n+1

f(m.(n+1)) = f(mn+m) =f(m)f(n) +f(m) =f(m)[f(n) +1] =f(m)f(n+1) como quer´ıamos provar.

(26)

• m < n⇔f(m)< f(n). ⇒). Se vale m < n ent ˜ao existe p∈N tal que m+p=n e da´ı aplicando ftem-sem^′+p^′ =n^′ o que implican^′ > m^′, isto ´e,f(n)> f(m).

⇐) Da mesma forma se f(m) < f(n) ent ˜ao m^′ < n^′ e da´ı existe p^′ tal que m^′+p^′ =n^′ ⇒ f(m+p) =f(n) que por injetividade segue m+p=n, portanto n > m.

1.10 Bibliografia Comentada

Curso de an ´alise volume I

• Autor: Elon Lages Lima

• Editora:Impa

• Ano:2004

Um dos principais textos de an álise no Brasil, tem sido muito importante na forma¸c ão de estudantes de matem ática. Adotado em muitas faculdades Brasilei- ras. Nele encontramos os axiomas de Peano enunciados e definidas as opera¸c ões e rela¸c ão de ordem nos naturais, sendo que a maioria das propriedades é deixada como exerc´ıcio.

Elementos de aritm ´etica

• Autor: A. Hefez

• Editora:Sociedade Brasileira de matem ´atica

• Ano:2004

Livro que aborda as principais propriedades dos n úmeros naturais, possui ótimos exerc´ıcios e explica¸c ão clara. Livro cuja leitura pode ser muito agrad ável. Neste livro n ão se parte dos axiomas de Peano, mas de outro conjunto de axiomas( mais nume- rosos do que o de Peano) que tem objetivo de tornar mais r ápido o desenvolvimento dos n úmeros naturais.