Modelagem Matemática

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Unidade 2

Livro Didático Digital

Glauco Antônio do Nascimento Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro

Modelagem Matemática

Glauco Antônio do Nascimento

Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro

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Diretora Editorial

CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA Projeto Gráfico

TIAGO DA ROCHA Autores

GLAUCO ANTÔNIO DO NASCIMENTO

RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO

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OS AUTORES

Glauco Antônio do Nascimento

Olá. Meu nome é Glauco Antônio do Nascimento. Sou formado em Gestão de Negócios e em Licenciatura em Matemática. Possuo MBA em Gestão Empresarial e experiência técnico-profissional na área de Tecnologia da Informação (TI) há mais de 29 anos. Na área da educação, atuei por seis anos como professor no ensino fundamental, médio, técnico e superior (graduação e pós-graduação) de grandes universidades. Como sou apaixonado pelo que faço e adoro transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões e estudos, fui convidado pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes. Estou muito feliz em ajudá-lo nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!

Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro

Olá. Meu nome é Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro. Sou formada em Matemática, especialista em Metodologia do Ensino de Matemática e pós-graduada em Design Educacional. Possuo uma ampla experiência no âmbito da educação, em sala de aula e na elaboração de material didático para diferentes níveis de ensino da Matemática. Apaixonada por esta disciplina e pelo processo de sua transmissão, busco a elaboração de um material de fácil compreensão. Por isso, fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder auxiliá-lo nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!

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ICONOGRÁFICOS

Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez que:

INTRODUÇÃO:

para o início do desenvolvimento de uma nova compe- tência;

DEFINIÇÃO:

houver necessidade de se apresentar um novo conceito;

NOTA:

quando forem necessários obser- vações ou comple- mentações para o seu conhecimento;

IMPORTANTE:

as observações escritas tiveram que ser priorizadas para você;

EXPLICANDO MELHOR:

algo precisa ser melhor explicado ou detalhado;

VOCÊ SABIA?

curiosidades e indagações lúdicas sobre o tema em estudo, se forem necessárias;

SAIBA MAIS:

textos, referências bibliográficas e links para aprofundamen- to do seu conhecimento;

REFLITA:

se houver a necessidade de chamar a atenção sobre algo a ser refletido ou dis- cutido sobre;

ACESSE:

se for preciso aces- sar um ou mais sites para fazer download, assistir vídeos, ler textos, ouvir podcast;

RESUMINDO:

quando for preciso se fazer um resumo acumulativo das últi- mas abordagens;

ATIVIDADES:

quando alguma atividade de au- toaprendizagem for aplicada;

TESTANDO:

quando o desenvolvimento de uma competência for concluído e questões forem explicadas;

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SUMÁRIO

Reconhecendo e Solucionando Equações Quadráticas ... 12

Equação Quadrática ou do Segundo Grau ... 12

Classificação das Equações do Segundo Grau ... 13

Fórmula de Bhaskara ... 14

Identificando e Compreendendo Funções Quadráticas... 19

Função Quadrática ... 19

Domínio, Contradomínio e Imagem ...22

Raízes ou Zeros de uma Função Quadrática ...25

Construindo e Interpretando Gráficos de Funções Quadráticas ...28

Gráfico de uma Função Quadrática ...28

Vértice de uma Parábola ... 30

Construção de uma Parábola ...32

Matrizes ...35

Operações com Matrizes ... 36

Adição entre Matrizes ... 36

Subtração entre Matrizes ...37

Multiplicação entre Matrizes ...37

Vetores ... 38

Medida de um Segmento ... 40

Operações com Vetores... 41

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Regra do Polígono ... 41

Regra do Paralelogramo ...42

Subtração de Vetores...44

Multiplicação por um Escalar ...44

Modulo de um Vetor ...47

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LIVRO DIDÁTICO DIGITAL

UNIDADE

02

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INTRODUÇÃO

A disciplina Modelagem Matemática faz parte da cadeia do ensino de exatas em todas as suas etapas. A sua principal responsabilidade consiste em promover a prática da aritmética, da álgebra elementar, da geometria plana e sólida e da trigonometria. Possui grande influência na área da física e da Tecnologia da Informação (TI), uma vez que necessita de ajustes e precisão nos resultados qualitativos e quantitativos. Assim, a matemática lhe proporcionará mais desenvoltura no seu raciocínio logico e na sua organização.

Ao longo desta unidade letiva, você vai mergulhar neste universo!

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OBJETIVOS

Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 2. Nosso propósito é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes objetivos de aprendizagem até o término desta etapa de estudos:

1. Explicar e resolver problemas envolvendo equações quadráticas ou equações de segundo grau.

2. Apontar a utilidade das funções quadráticas (de segundo grau), sendo capaz de interpretar situações em que elas são necessárias.

3. Aplicar funções de segundo grau na construção de gráficos quadráticos, e, reciprocamente, traduzir esses gráficos quadráticos em termos de funções de segundo grau.

4. Explicar o conceito, as aplicações e a importância dos vetores e das matrizes para a matemática e ciências afins, em suas várias situações- problema.

Então? Preparado para uma viagem sem volta rumo ao conhecimento? Ao trabalho!

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Reconhecendo e Solucionando Equações Quadráticas

INTRODUÇÃO

:

Ao término deste capítulo, você será capaz de reconhecer e diferenciar uma equação quadrática das demais. Ainda nesse contexto, conhecerá as relações existentes entre os seus coeficientes e será capaz de determinar as suas raízes, ou seja, identificará os valores que anulam tal expressão algébrica. Motivado para desenvolver essas competências?

Vamos lá. Avante!

Equação Quadrática ou do Segundo Grau

A equação do segundo grau é definida como uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado sempre ao quadrado, ou seja, dois. É representada por e conhecida, também, por equação quadrática.

As letras a, b e c recebem o nome de coeficientes da equação e são números reais. É importante ressaltar que o coeficiente a deve ser diferente de zero, pois, caso contrário, deparamo-nos com uma equação do primeiro grau.

Figura 1 – Composição de uma equação de primeiro grau

Fonte: Elaborado pelos autores.

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Para solucionarmos uma equação do segundo grau, devemos utilizar técnicas que possibilitem o descobrimento dos valores reais de x que tornem a equação válida, ou seja, verdadeira. Ainda, é necessário destacar que uma equação quadrática pode deter de nenhuma, uma ou duas raízes reais.

Classificação das Equações do Segundo Grau

Caro aluno, toda equação do segundo grau pode ser classificada de acordo com a composição de sua forma algébrica, que já aprendemos que é dada por

.. Existem duas categorias: as equações quadráticas completas e as equações quadráticas incompletas:

reconhecê-las consiste em identificar, ou não, todos os seus coeficientes.

Ainda em dúvida? Analisemos alguns exemplos dessa concepção:

Exemplo: Classifique as equações a seguir em quadrática completa ou em quadrática incompleta e justifique a sua resposta:

Observe que, para identificar a categoria correta de cada equação, basta identificar se cada uma possui, ou não, todos os coeficientes:

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Equação quadrática incompleta, pois c=0.

Equação quadrática completa, pois não há ausência de nenhum coeficiente.

Equação quadrática incompleta, pois b-0 e c=0.

Equação quadrática incompleta, pois b=0.

É importante ressaltar que, para determinar os valores que anulam a equação, existem procedimentos diferentes para verificar a ocorrência de uma equação quadrática completa ou incompleta. Esse será o assunto a ser abordado no próximo tópico.

Fórmula de Bhaskara

Projetada pelo famoso matemático indiano Bhaskara Akaria, que também era astrônomo e astrólogo, a fórmula de Bhaskara é um dispositivo utilizado na determinação das raízes de uma equação quadrática. Sua dinâmica se baseia na identificação dos coeficientes que compõem uma equação de segundo grau e a sua substituição na relação apresentada na figura a seguir:

Figura 2 – Composição da fórmula de Bhaskara

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Assim, para utilizar a fórmula de Bhaskara, basta identificar corretamente, na equação quadrática, os valores associados a cada coeficiente e, em seguida, substituí-los na igualdade . Lembre- se que, para esse passo, o discriminante que é obtido por já deve ter sido encontrado. De posse desses dados, será possível determinar efetivamente, se existir(em), a(s) raiz(ízes) da equação quadrática.

IMPORTANTE

:

Existem situações nas quais encontramos os coeficientes fora da ordem estabelecida. Para situações como essa, atente-se ao fato de que a é o valor que acompanha o termo ao quadrado, b é o que acompanha o termo de grau um e c é o termo independente.

Exemplo: Encontre as raízes das equações quadráticas a seguir:

Os coeficientes da equação são: a=1,b=-5 e c=6. Logo, substituindo tais valores no discriminante, encontramos:

Ao substituirmos na fórmula de Bhaskara, encontraremos duas raízes reais e distintas que serão dadas por:

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Assim, teremos como solução: {2,3}. .

Os coeficientes da equação são: a=1,b=-1 e c=-5. Logo, substituindo tais valores no discriminante, encontramos:

Nesse contexto, é possível concluir que não existem raízes reais para a equação em questão, pelo fato de o discriminante ser negativo.

Assim, teremos como solução: .

Os coeficientes da equação são: a=1,b=-10 e c=25. Logo, substituindo tais valores no discriminante, encontramos:

Ao substituirmos na fórmula de Bhaskara, encontraremos uma raiz real obtida por:

Assim, teremos como solução: .

Atente-se, estimado aluno, ao fato de que o valor encontrado no discriminante, que também recebe o nome “delta”, é fundamental para a determinação das raízes. Isso se deve, uma vez que, se obtermos um discriminante negativo, será obtida uma raiz real, já que, nesse contexto, somente trabalhamos com a extração de raízes de valores positivos. Já se

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a raiz for retirada de um número real positivo diferente de zero, obteremos suas raízes reais e distintas.

Observe a figura a seguir, que apresenta um esquema referente à esse tópico:

Figura 3 – Comportamento das raízes de uma equação quadrática

Bem, mas vamos pausar um pouco a teoria e partir para a prática?

Agora exercitaremos tudo o que aprendemos sobre a determinação de zeros de uma equação quadrática.

Exemplo: Determine o valor de p, para que a equação do segundo

grau definida por tenha:

A) Nenhuma raiz real.

B) Uma raiz real.

C) Duas raízes reais.

Para solucionar situações como essa, é necessário conhecer a relação existente entre o valor encontrado no discriminante e a quantidade de raízes reais de uma equação quadrática. Logo:

A) Nenhuma raiz real:

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A inexistência de uma raiz real equivale ao discriminante ser menor que zero . Portanto:

B) Uma raiz real:

A existência de uma raiz real equivale ao discriminante ser igual à zero . Portanto:

C) Duas raízes reais:

Existir duas raízes reais equivale ao discriminante ser maior que zero . Portanto:

RESUMINDO

:

Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo?

Agora, só para confirmarmos que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter aprendido que uma equação quadrática deve possuir um termo de maior grau com expoente dois. Além disso, aprendeu a identificar os coeficientes que compõem uma equação desse formato e recordou como se determinam as raízes de uma equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara, que, por meio de seu discriminante, possibilita, também, a análise da quantidade de raízes reais pertencentes a uma equação dessa categoria.

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Identificando e Compreendendo Funções Quadráticas

INTRODUÇÃO

:

Ao término deste segundo capítulo, você terá compreendido o que é uma função do segundo grau ou quadrática. Além disso, estará capacitado para relacionar elementos que compõem esse fundamento matemático. Animado(a) para desenvolver essas novas competências? Vamos lá!

A noção de função de segundo grau ou função quadrática está associada à ideia de equações do segundo grau. Ela foi abordada na história da Matemática desde a época dos egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses.

Função Quadrática

A importância do estudo da função não é limitada apenas ao âmbito da matemática, mas é colocado em prática em outras ciências, tais como a física e a química. As funções do 2º grau estão conectadas a inúmeras aplicações no cotidiano: na biologia, são aplicadas no processo de fotossíntese das plantas; na administração, estão diretamente relacionadas às funções custo, receita e lucro; e, na engenharia, especificamente na civil, modelam diversas concepções interligadas a construções.

Matematicamente, uma função polinomial do segundo grau ou função quadrática é definida por:

DEFINIÇÃO

:

Uma função é denominada quadrática

quando existirem a, b e c≠0 , tal que para todo .

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É necessário destacar que a lei de formação viabiliza a relação estabelecida entre a variável x e o seu correspondente em y. Nesse caso, pelo fato de que a função é quadrática, a expressão algébrica será polinomial de grau dois.

São exemplos de funções quadráticas:

Observe que é necessário que o coeficiente a seja diferente de zero, uma vez que é ele quem acompanha o termo quadrático. Não cumprindo essa condição, a função se torna linear. De modo geral, os coeficientes a, b e c são identificados da mesma maneira que em uma equação quadrática e, por isso, destacaremos esses valores nos exemplos já apresentados:

Tenha cuidado ao identificar os coeficientes quando a função quadrática estiver representada de uma maneira menos explicita, ou seja, de forma fatorada ou simplificada. Para situações como essa, resolvemos a fim de explicitar esses valores.

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Exemplo: Determine os coeficientes das funções quadráticas a seguir:

Para determinar os valores de de cada função, realizaremos as multiplicações e os agrupamentos necessários. Observe:

Logo, concluímos que os coeficientes são:

VOCÊ SABIA?

O famoso matemático Leibniz (1646 -1716) foi o primeiro a usar, em 1673, o termo “função” em um manuscrito em latim. Além desse termo, outras palavras constantemente utilizadas no contexto matemático, tais como “constante”,

“variável” e parâmetro”, também foram implantadas por ele.

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Domínio, Contradomínio e Imagem

Uma função é uma aplicação entre conjuntos, uma vez que relaciona elementos de dois conjuntos A e B por uma lei de formação y=f(x). Perante os parâmetros matemáticos, uma função é apresentada como:

Para compreendermos melhor esses conjuntos envolvidos em toda função, definiremos separadamente cada um desses conceitos:

Pela definição formal, , o domínio de uma função é indicado pelo conjunto A e é caracterizado por ser o maior subconjunto de R, em que a sentença aberta y = f (x) está definida. Em outras palavras, esse conjunto contém todos os elementos de x nos quais a função é definida. Matematicamente, é descrito por:

DEFINIÇÃO

:

O domínio de uma função é um subconjunto do conjunto dos números reais constituído por todos os valores de x para os quais as operações indicadas nas expressões embutidas na lei de formação são possíveis, o que resulta em um número real.

É importante destacar que é possível determinar o domínio de uma função real conhecendo apenas a lei de correspondência entre seus elementos, uma vez que será verificada a existência de restrições, ou não, para os valores de x.

DEFINIÇÃO

:

O conjunto chamado “contradomínio de uma função” é o conjunto no qual a função toma valores. Além disso, é dentro dele que é definido o conjunto imagem.

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Ainda nesse contexto, encontraremos o conjunto “imagem”, que nada mais é que um subconjunto do contradomínio.

Imagem é o conjunto formado por todos os elementos que se relacionam a algum elemento do domínio, ou seja, cada elemento x pertencente ao domínio de uma função y = f(x) corresponde a um único valor de y do contradomínio dessa função, denominado imagem de x pela função f.

É importante ressaltar que, em detrimento do fato de que x representa todos os elementos do domínio da função, o seu valor varia.

Isso se deve, pois, como há, para cada elemento x do domínio, uma imagem y no contradomínio, o valor de y também sofre variação e varia na dependência de x.

SAIBA MAIS

:

Observe que, a partir da concepção de função, concluímos que cada elemento do domínio deve ser associado a um único e exclusivo elemento da imagem. A razão dessa exigência não é justificada por nenhuma restrição matemática, mas é, na verdade, uma convenção que tem por origem as descrições de fenômenos físicos e biológicos que são feitas por funções do tempo, isto é, funções cuja variável independente é o tempo. O tempo, assim como os físicos descrevem, é uma grandeza monótona estritamente crescente, ou seja, que não volta, retrocede. Portanto, as relações que descrevem os fenômenos físicos associam, a cada tempo, um único evento, dando origem à definição de função no formato o qual utilizamos atualmente.

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De maneira a compreender melhor esses conceitos, observemos um exemplo que utilizará, como suporte, o diagrama de flechas para facilitar a identificação desses três conjuntos estudados:

Exemplo: Admita uma função representada pelo diagrama de flechas de uma função :

Fonte: Carneiro, Custódio e Brandão, 2011.

Com base nessa representação, quais são os valores que constituem os conjuntos domínio, contradomínio e imagem?

O conjunto imagem corresponde a quem dá o comando para a lei de formação, de modo a encontrar a sua respectiva imagem. Portanto, o conjunto imagem é: D={-3,1,2,3} . O contradomínio equivale ao conjunto B; assim, é CD={ 1,4,5,9}. Já o conjunto imagem é dado pelos valores que estabelecem alguma relação com os elementos do conjunto A e é subconjunto do conjunto B. Note que somente o número 5 não tem conexão com o conjunto domínio, logo, o conjunto imagem é dado por I={1,4,9}.

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Raízes ou Zeros de uma Função Quadrática

As raízes ou zeros de uma função quadrática, isto é, os valores que anulam a expressão algébrica característica dessa relação, são determinados pela resolução de uma equação quadrática. Dessa forma, utilizamos os mesmos recursos, ou seja, recorremos novamente à fórmula de Bhaskara.

DEFINIÇÃO

:

Zeros ou raízes de uma função quadrática são os valores de x que anulam a função, ou seja, tornam f(x)=0.

Uma função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, as quais são determinadas quando igualamos a equação quadrática à zero. Diante disso, é possível encontrar nenhuma raiz real, uma raiz real e duas raízes reais e distintas, assim como é apresentado na figura a seguir:

Figura 4 – Discriminante e raízes de uma função quadrática

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Agora que já aprendemos o modo e sabemos as características de uma função quadrática, pratiquemos o conteúdo estudado!

Exemplo: Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50 m de corda. Determine a área desse terreno expressa como função do comprimento x de um dos lados.

Vamos pensar juntos! Se o terreno pode ser cercado por 50 m de corda, logo, seu perímetro, ao chamar de x, a largura, e y, o comprimento, equivale a esse valor da seguinte forma:

.

A área é dada pelo produto entre as dimensões do retângulo.

Portanto, será calculada por:

Como já sabemos que x+y=25, logo, x=25-y , que, substituído na área, é:

Observe que a relação de área encontrada é um exemplar de função quadrática.

Aproveitando o resultado encontrado, ou seja, , vamos determinar a sua raiz?

Observe que os coeficientes são a=-1,b=25 e c=0

Assim, substituindo na fórmula de Bhaskara, encontraremos:

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Logo, existe apenas uma raiz real para a função em questão: o respectivo valor 25.

RESUMINDO

:

Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo?

Agora, só para termos a certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter aprendido que uma função quadrática possui, necessariamente, como o termo de maior grau, um expoente dois. Também verificou que existe o conjunto domínio, contradomínio e imagem, os quais compõem obrigatoriamente a dinâmica de toda função, e soube que os zeros ou raízes de uma função são encontrados a partir da utilização da fórmula de Bhaskara ou de técnicas de fatoração.

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Construindo e Interpretando Gráficos de Funções Quadráticas

INTRODUÇÃO

:

Ao término deste capítulo, você saberá como é a representação gráfica de uma função quadrática e identificará seus elementos e propriedades. Este tópico é de suma importância, uma vez que possibilita o cálculo de valores mínimos e máximos de funções polinomiais do segundo grau. Motivado(a) para desenvolver essas competências? Vamos lá. Avante!

Gráfico de uma Função Quadrática

A representação gráfica de uma função quadrática possui um formato característico. A curva existente recebe o nome “parábola” e seu posicionamento no plano cartesiano depende unicamente dos valores e dos sinais dos coeficientes a, b e c.

Observe, na figura a seguir, o gráfico de uma função quadrática, isto é, uma parábola.

Figura 5 – Representação gráfica de uma função polinomial do segundo grau

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Uma característica marcante desse tipo de gráfico é a sua concavidade, que pode ser descrita como o sentido no qual a curva é delineada. Essa característica é determinada pelo sinal do coeficiente a, dada uma função de formato . Assim, é possível concluir que, quando:

• a > 0 : parábola será côncava para cima.

Figura 6 – Gráfico da função , com a>0

• a < 0 : parábola será côncava para baixo.

Figura 7 – Gráfico da função , com a<0.

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Agora que aprendemos a identificar a concavidade de uma função, coloquemos esse conhecimento em prática.

Exemplo: Classifique as funções a seguir quanto a sua concavidade:

Note que, para estabelecermos essa classificação, é necessário identificar o sinal que acompanha o coeficiente a na lei de formação da função. Logo:

Vértice de uma Parábola

O vértice da parábola é o ponto de máximo absoluto ou o ponto de mínimo absoluto de uma parábola, isto é, do gráfico de uma função polinomial do segundo grau. É possível determinar as coordenadas do vértice por meio de relações específicas, destinadas a essa finalidade.

A parábola da função passa por um ponto V, o qual recebe o nome de vértice, cujos valores de abscissa (x do vértice) e ordenada (y do vértice) são calculados por:

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Interessante, não é mesmo? Vamos exercitar esse novo conceito?

Atente-se à resolução do exemplo a seguir:

Exemplo: Determine as coordenadas do vértice da função definida por

Inicialmente, identificamos que os coeficientes da função são:

a=1,b=-5 e c=6 . Portanto, utilizando as relações já apresentadas, temos:

Logo, o vértice dessa função é .

É importante ressaltar que, de acordo com a concavidade da parábola, encontraremos valores máximos ou mínimos para a função.

Desse modo, uma função côncava para cima deterá um ponto mínimo, enquanto uma função cuja concavidade é voltada para baixo possuirá um ponto máximo. Observe, nas figuras 8 e 9, as representações gráficas dessas concepções:

Figura 8 – Vértice de uma parábola côncava para cima

Fonte: https://bit.ly/356vrlz

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Figura 9 – Vértice de uma parábola côncava para baixo

Fonte: https://bit.ly/3jRKsMg

Construção de uma Parábola

Para construir um gráfico de uma função quadrática, é necessário identificar os pontos que delineiam essa curva. Contudo, será preciso encontrar todos esses pontos? Eis a questão. A resposta é, categoricamente, não! Uma justificativa válida e plausível é a de que os pontos, geralmente, são infinitos, o que seria uma missão quase impossível mensurar e plotar todos os pontos em um plano cartesiano. Assim, adotaremos os seguintes passos para a construção do gráfico de uma função polinomial do segundo grau:

1. Encontrar as raízes da função, isto é, calcular f(x)=0.

2. Reconhecer a concavidade da função mediante o sinal do coeficiente a.

3. Calcular o vértice da função.

4. Determinar onde a curva corta o eixo y, ou seja, calcular f(x)=0, que sempre será o coeficiente c.

5. Plotar os pontos encontrados nos passos anteriores no plano cartesiano;

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Pronto! Agora já sabemos como delinear uma parábola. Seguiremos todas as orientações apresentadas para a resolução dos exemplos a seguir.

Exercícios:

Construa o gráfico das seguintes funções quadráticas:

Seguindo os mesmos passos já indicados:

I)

II) Como a>0, a função possui concavidade voltada para cima.

III) O vértice é dado por e . Logo,

V=(-3,0) . IV)

Ao plotar os pontos no plano cartesiano, obtemos o seguinte gráfico:

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Seguindo os mesmos passos já indicados:

I) .

II) Como a<0, a função possui concavidade voltada para baixo.

III) O vértice é dado por e . Logo,

.

IV) .

Ao plotar os pontos no plano cartesiano, obtemos o seguinte gráfico

RESUMINDO

:

Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter aprendido que, para construir o gráfico de uma função quadrática, é necessário descobrir alguns pontos específicos, inclusive a concavidade, que pode ser decifrada pelo sinal que acompanha o coeficiente a, o qual compõe a lei de formação da função polinomial do segundo grau.

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Conhecendo Matrizes e Vetores

INTRODUÇÃO

:

Ao término deste capítulo, você conhecerá, com mais propriedade, a dinâmica das matrizes e dos vetores, cujos conceitos fundamentam diversas concepções da matemática e outras ciências. Motivado(a) para desenvolver essa inédita competência? Vamos lá. Avante!

Vetores e matrizes são estruturas de dados muito simples que podem nos ajudar quando temos diversas variáveis do mesmo tipo em um algoritmo. Imagine a seguinte situação: você precisa criar um algoritmo que leia os nomes e as quatro notas de disciplinas diferentes de uma turma composta por 50 alunos; calcule a média de cada aluno; e informe quais discentes foram aprovados ou reprovados.

Conseguiu imaginar quantas variáveis serão necessárias? Muitas, não é mesmo? 50 variáveis para armazenar os nomes dos alunos (4 x 50);

200 variáveis para armazenar as quatro notas de cada aluno, 300, no total, sem contar a quantidade de linhas de código necessárias para ler todos os dados do usuário, calcular as médias e disponibilizar os resultados. Agora, o positivo de todo esse contexto é o fato de que não precisamos criar essa quantidade de variáveis! Podemos utilizar vetores e matrizes, os quais também são conhecidos como arrays. O vetor (array unidimensional) é uma variável que armazena variáveis do mesmo tipo. Assim, na situação- problema apresentada, poderíamos utilizar um vetor de 50 posições para armazenar os nomes de 50 alunos.

Compreendamos os conceitos de vetores e matriz separadamente.

Matrizes

As matrizes organizam os elementos de maneira lógica, a fim de facilitar a visualização e a consulta das informações. Desse modo, sua

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função é a de relacionar dados numéricos e é por isso que o conceito de matriz tem diversas aplicações.

A definição de matriz é dada por:

DEFINIÇÃO

:

Matriz é uma tabela constituída de linhas e colunas de acordo um formato m x n, em que m indica a quantidade de linhas e n é o número de colunas.

Uma matriz qualquer, representada por m x n, é composta de elementos aij, em que i representa o número da linha e j é o número da coluna que localiza o valor.

Considere que a quantidade de peças fabricadas nos dois semestres de 2020, denominadas x, y e z, estejam disponibilizadas em uma matriz 3 x 2, ou seja, três linhas e duas colunas. A sua representação matricial será dada por:

Cada elemento que compõe a matriz possui um formato em que i se refere à linha e j à coluna. Por exemplo, o número 110 equivale ao elemento , pois ele se localiza na segunda linha e na primeira coluna.

Operações com Matrizes

Entre as quatro principais operações aritméticas (soma, subtração, multiplicação e divisão), quando trabalhamos com matrizes, apenas a soma, a subtração e a multiplicação podem ser executadas.

Adição entre Matrizes

Adicionar duas matrizes ou mais consiste em agrupar os elementos seguindo a disposição de seus elementos. Assim, o termo , que se

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localiza na primeira linha e na primeira coluna de uma matriz A, deve ser somado ao elemento , que também ocupa a mesma posição da matriz B.

Exemplo: Calcule a soma entre as matrizes A e B, indicadas por

Para identificar a matriz resultante da soma, basta adicionar elemento por elemento, mantendo a ordem estabelecida e a regra de sinais:

Subtração entre Matrizes

Efetuar a diferença entre duas matrizes acontece de modo análogo à adição. Assim, basta efetuar a subtração entre cada elemento de acordo com a sua posição.

Exemplo: Calcule a subtração entre as matrizes A e B, indicadas

por

Para identificar a matriz resultante da soma, basta adicionar elemento por elemento, mantendo a ordem estabelecida e a regra de sinais:

Multiplicação entre Matrizes

A multiplicação entre duas matrizes só pode ser realizada se o número de elementos da linha de uma matriz for igual ao número de elementos da coluna da outra matriz. Desse modo, uma matriz no formato de duas linhas e quatro colunas só poderá ser multiplicada por outra

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que contenha quatro linhas e duas colunas, de modo a assegurar essa condição.

O produto entre duas matrizes é calculado por meio da soma entre os produtos de seus elementos. Parece confuso, não é mesmo? Mas não é! Observe atentamente o exemplo a seguir e compreenda essa dinâmica:

Exemplo: Determine o produto entre a matriz A e a matriz B, indicadas por

De acordo com as orientações repassadas, sabemos que:

Vetores

Passiveis de aplicação em diversas áreas do conhecimento, os vetores podem ser definidos por:

DEFINIÇÃO

:

Vetores são grandezas matemáticas que indicam módulo, direção e sentido.

São utilizados para expressar grandezas físicas vetoriais, isto é, aquelas que só podem ser definidas se identificado o seu valor numérico, a direção em que atuam (horizontal e vertical), bem como o seu o sentido (para cima, para baixo). Posição, velocidade, aceleração, força e quantidade de movimento são bons exemplos de grandezas vetoriais.

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Figura 10: Vetores

Outros conceitos importantes nesse contexto são o de reta orientada, segmento orientado, segmento nulo e segmentos opostos.

Compreendamo-los.

DEFINIÇÃO

:

Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso considerado positivo e indicado por uma seta. Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, sendo, o primeiro, chamado “origem” e o segundo “extremidade”.

Figura 11 – Reta orientada

DEFINIÇÃO

:

Um segmento orientado consiste em ser um par ordenado de pontos em que o primeiro é chamado de origem do segmento e o segundo de extremidade do segmento.

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Figura 12 – Segmento orientado

DEFINIÇÃO

:

Segmento nulo é um segmento cuja extremidade coincide com a origem.

Figura 13 – Segmento nulo

DEFINIÇÃO

:

Segmentos orientados são aqueles cujos sentidos são opostos, isto é, contrários.

Figura 14 – Segmentos opostos

Medida de um Segmento

Existe uma unidade de comprimento para cada segmento orientado.

Desse modo, podemos apresentar um número real não negativo que indicará a medida do segmento em relação à unidade definida. Assim,

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saberemos que a medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu próprio módulo.

Observe que o comprimento do segmento AB, assim como é apresentado na figura a seguir, é indicado por pontos. Uma maneira de contabilizar esse tamanho consiste em preencher o segmento por essa medida de unidade e, dessa forma, identificar o resultado.

Figura 15 – Medida de um segmento

Operações com Vetores

As operações vetoriais, isto é, as operações realizadas com vetores, são distintas das operações algébricas. Só é possível realizar soma ou subtração com os módulos dos vetores se as suas direções forem iguais.

Se as direções forem diferentes, é preciso utilizar outras regras para determinar o vetor resultante.

Adição de Vetores

Por intermédio da adição vetorial, encontramos o vetor resultante, equivalente à ideia de que se todos os vetores envolvidos na soma fossem substituídos por um.

Existem duas maneiras de se efetuar essa operação: regra do polígono e regra do paralelogramo.

Regra do Polígono

A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer quantidade de vetores. Para isso, basta posicionar os vetores juntos aos outros, de maneira que a extremidade de um vetor esteja junto à origem

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do outro. O vetor soma ou resultante é o vetor que une a origem do primeiro com a extremidade do último, formando, assim, um polígono.

Figura 16 – Regra do polígono

Observe a explicação apresentada na resolução do exemplo a seguir:

Exemplo: Realize a soma entre os vetores indicados por u=(-1,0,2) e v=(0,-1,3).

A soma entre os vetores será dada por:

u+v=(-1,0,2)+(0,-1,3)=(-1+0,0+(-1),2+3)=(-1,-1,5)

Regra do Paralelogramo

A regra do paralelogramo se restringe a soma realizada entre apenas dois vetores. A dinâmica consiste em posicionar a origem dos dois vetores no mesmo ponto e construir uma reta paralela para cada vetor passando pela extremidade da outra. O vetor resultante dessa operação será o que une a origem desses dois vetores com a interligação entre essas duas retas paralelas a cada vetor, constituindo, assim, um paralelogramo.

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Figura 17 – Regra do paralelogramo

O resultado referente a esse vetor resultante será dado por:

Inicialmente, pode parecer um pouco complicada essa relação, não é mesmo? Para tanto, resolveremos um exemplo referente a esse assunto:

Exemplo: Dois vetores de módulos iguais a 4 e 7 formam, entre si, um ângulo de 60º. Determine o módulo da resultante desses vetores.

De modo a encontrar o vetor resultante, utilizaremos a relação apresentada. Portanto:

Na adição de vetores, há as propriedades comutativa e associativa, além da inserção do elemento neutro (0) e do elemento inverso aditivo.

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Essas propriedades, considerando os vetores como u e v, são, nessa ordem:

• u+v=v+u

• (u+v)+w=(v+w)+u

• 0+v=v+0=v

• -v+v=v-v=0

Subtração de Vetores

A diferença entre dois vetores se baseia na subtração entre cada elemento de sua composição. Destaca-se que um sinal negativo, associado a um vetor, representa a inversão do sentido desse valor.

Exemplo: Realize a subtração entre os vetores indicados por u=(- 1,0,2) e v=(0,-1,3).

A diferença será dada por:

u-v=(-1,0,2)-(0,-1,3)=(-1-0,0-(-1),2-3)=(-1,1,-1)

SAIBA MAIS

:

É possível simular a soma e a subtração de vetores. Para saber mais, acesse:https://bit.ly/2R2MqwA

Multiplicação por um Escalar

O produto de um vetor por um número real é obtido por intermédio da multiplicação de cada componente desse vetor por esse escalar, considerando k, a e b, números reais, ou seja:

k∙u=k(a,b,c)=ka,kb,kc

Para esclarecer melhor essa explanação, observe a resolução de um exemplo:

Exemplo: Considere um vetor dado por v=(5,2,-3). Qual é o resultado de sua multiplicação por 4?

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Exemplo: Determine a norma dos vetores:

Para calcular o que é solicitado na questão, é necessário utilizar a relação já disponibilizada. Logo:

RESUMINDO

:

Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter aprendido que a matriz consiste em organizar diversos dados e que é possível efetuar a soma, a subtração e a multiplicação nelas. Também soubemos que os vetores são usados para expressar grandezas físicas, indicam direção, módulo e sentido, e que é possível determinar a sua soma e subtração, bem como calcular a sua norma ou módulo.

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REFERÊNCIAS

BOULOS, P.; CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial.

3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005.

CARNEIRO, C. de P.; CUSTÓDIO, I. A.; BRANDÃO, S. A. O que são funções?

Universidade Federal de Lavras, 2011. Disponível em: http://www.dex.ufla.

br/Ivana/funcoesdefinicao/html/funcao.html. Acesso em: 21 ago. 2020.

DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2011. v. 1.

DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2011. v. 3.

SANTOS, N. M. Vetores e matrizes: uma introdução à álgebra linear. São Paulo: Thomson Pioneira, 2007.

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v∙4=(5,2,-3)∙4=(5∙4,2∙4,-3∙4)=(20,8,-12)

Para essa operação, valem-se as propriedades de comutatividade, distributividade, associatividade e a existência de elemento neutro, indicadas, respectivamente, por:

• u∙k=k∙u

• k(u+v)=ku+kv

• k(j∙v)=k∙j∙v

• v∙1=v∙1

Modulo de um Vetor

Representados geometricamente por segmentos de reta orientados e capazes de indicar direção e sentido, qualquer vetor pode ter seu comprimento mensurado. Para essa medida, destinamos o nome

“módulo” ou “norma de um vetor”. Sua definição é dada por:

DEFINIÇÃO

:

Módulo de um vetor é a distância entre o ponto final desse vetor e a origem.

Indicada por |v|, essa medida é calculada pela distância entre o ponto (a,b) e o ponto (0,0), o que gera a relação: