O que é a Te or ia da Re la t ivida de Ge r a l?
No século passado su rgiram na física várias t eorias m uit o im port ant es. A "Teoria da Relat ividade Rest rit a", a "Teoria Quânt ica" e a "Teoria da Relat ividade Geral" t ransform aram radicalm ent e nosso ent endim ent o sobre a nat ureza que nos cerca.
Dent re essa t eorias cert am ent e a Teoria da Relat ividade Geral de Albert
Ein st e in é a q ue m ais t em desper t ado a cur iosidade e o inter esse do público não profissional em ciências físicas. Talvez pelo carism a de seu descobridor, t alvez por est ar m ais int im am ent e ligada às nossas fant asias de avent uras espaciais, com seus buracos negros e viagens no t em po, a t eoria da Relat ividade Geral, que é um a t eoria da gravit ação, t em sido const ant em ent e cit ada na m idia, na m aioria das v ezes não de um a m aneira diret a m as em função de resultados que podem os ext rair dela.
" Um a t e or ia com plica da de m a is pa r a m im "
Inúm eras vezes ouvim os a frase cit ada acim a sendo dit a at é m esm o por pessoas que m ant ém cont ato periódico com a ciência. Será que a t eoria da gravit ação de Einstein é realm ent e t ão com plicada que som ent e alguns cér ebros bem dot ados são capazes de ent endê- la? Bem , seria t olice dizer que a t eoria da gravit ação de Einstein é t rivial, que qualquer um pode ent endê- la. I sso não é verdade. Essa t eoria é realm ent e com plicada, est á envolvida por um a m at em át ica bast ant e
sofist icada, int roduz conceit os que não fazem part e da nossa vida diária, apresent a conclusões que at é hoj e confundem os físicos... Ei! Espera ai! Não m ude de página não! Eu est ou falando da t eoria da gravit ação relat ivíst ica est udada por aqueles que são profissionais de física. Exist e várias form as de apresent ar a t eoria da gravit ação de Einstein sem que t enham os de falar em geom et ria riem anniana, variedades diferenciais, cálculo t ensorial, espaços fibrados, espaços de Hausdorff, t opologia, et c.
Tent arem os aqui m ost rar com o a t eoria da gravit ação de Einstein é int eressant e, fazer com que você ent enda alguns de seus princípios e consiga acom panhar os art igos que serão apresent ados nas próxim as edições da Revist a Café Orbit al sobre assunt os ast rofísicos ligados ao m undo relat ivíst ico. Mas com o t odos os leit ores da revist a elet rônica do ON são, por definição, ext rem am ent e int eligent es, usarem os, sem hesit ar, geom et ria riem anniana, variedades diferenciais, cálculo t ensorial, espaços fibrados, espaços de Hausdorff, t opologia, et c ; - )
" Um a t e or ia com plica da de m a is pa r a m im "
I núm eras vezes ouvim os a frase cit ada acim a sendo dit a at é m esm o por pessoas que m ant ém cont at o periódico com a ciência. Será que a t eoria da gravit ação de Einst ein é realm ent e t ão com plicada que som ent e alguns cérebros bem dot ados são capazes de ent endê- la? Bem , seria t olice dizer que a t eoria da gravit ação de Einst ein é t rivial, que qualquer um pode ent endê- la. Isso não é verdade. Essa t eoria é realm ent e com plicada, est á envolvida por um a m at em át ica bast ant e sofist icada, int roduz conceit os que não fazem part e da nossa vida diária, apresent a conclusões que at é hoj e confundem os físicos... Ei! Espera ai! Não m ude de página não! Eu est ou falando da t eoria da gravit ação relat ivíst ica est udada por aqueles que são profissionais de física. Ex ist e várias for m as de apresent ar a t eoria da gravit ação de Einst ein sem que t enham os de falar em geom et ria riem anniana, variedades diferenciais, cálculo t ensorial, espaços fibrados, espaços de Hausdorff, t opologia, et c.
Tent arem os aqui m ost rar com o a t eoria da gravit ação de Einstein é int eressant e, fazer com que você ent enda alguns de seus princípios e consiga acom panhar os art igos que serão apresent ados nas próxim as edições da Revist a Café Orbit al sobre assunt os ast rofísicos ligados ao m undo relat ivíst ico. Mas com o t odos os leit ores da revist a elet rônica do ON são, por definição, ext rem am ent e int eligent es, usarem os, sem hesit ar, geom et ria riem anniana, variedades diferenciais, cálculo t ensorial, espaços fibrados, espaços de Hausdorff, t opologia, et c ; - )
A e v olu çã o do con h e cim e n t o sob r e gr a v it a çã o
Ao contrário do que m uit os declaram , a t eoria relat ivíst ica d a gravit ação não surgiu do nada. Sua elaboração é um a longa hist ória de erros e acert os que se alt ernaram at é que, em um det erm inado m om ent o, cient ist as conseguiram est abelecer a form a corret a final que ela deveria t er. Com o qualquer out ra t eoria descobert a na física, a const rução da t eoria da relat ividade geral se apoiou em
conhecim ent os prev iam ent e est abelecidos ou, com o disse m uit o bem Isaac Newt on, ela foi criada "sobre os om bros de gigant es". I sso de m odo algum é um a t ent at iva de t irar o m érit o cient ífico de Albert Einst ein m as é preciso desm ist ificar a hist ória e aceit ar que m uit os out ros grande nom es da física part iciparam do problem a e cont ribuiram para a sua solução.
Toda a hist ória da gravit ação com eça com as t ent at ivas de
com preender o m ovim ent o dos corpos. Esse problem a j á fazia part e do pensam ent o dos ant igos filósofos gregos. Muit os deles se m anifest aram sobre o assunt o m as som ent e alguns m ar caram a ciência com suas idéias. O filósofo grego Arist ót eles ( ~ 300 a.C.) foi um deles. Ele acredit ava que para que um corpo fosse m ant ido em m ovim ent o uniform e era necessário que um a força const ant e fosse aplicada sobre ele. Além disso Arist óteles acredit ava que forças só podiam ser aplicadas at ravés do cont at o ent re corpos. Para ele era inadm issível o conceit o de força à dist ância.
Para Aristót eles a equação de m ovim ent o era:
A part ir disso Arist ót eles concluiu que o v ácuo não podia exist ir na nat ureza um a v ez que no v ácuo não haveria resist ência e qualquer que fosse a força aplicada a um corpo ela sem pre produziria v elocidades infinit as.
As conclusões de Arist ót eles est avam err adas m as com o sua ciência foi considerada "oficial" por aqueles que regiam o m undo naquela época, suas idéias im peraram por quase 2000 anos, im pedindo a com preen são corret a dos fenôm enos gravit acionais.
Os t rabalhos de N icola u Copernico ( 1473- 1543) sobre o Sist em a Solar foram m uit o im port ant es por m ost rarem o papel que a gravit ação ex ercia nos corpos celest es. Em seguida Joha nnes Kepler ( 1571-1630) nos apresent ou suas leis do m ovim ent o planet ário e Ga lileo Ga lilei ( 1564- 1642) n os fez com preender o m ovim ent o e a queda dos corpos.
Com base nesses conhecim ent os, I sa a c N ew t on apresent ou em 1687 no seu fam oso livro Philosophiae
Nat ur alis Pr incipia Mat hem at ica, ou sim plesm ent e Pr incipia, suas t r ês leis do m ov im ent o e suaTe or ia da Gr a v it a çã o Un iv e r sa l.
Newt on m odificou a equação de m ovim ent o de Arist ót eles, que dom inou o cenário da física durant e t ant o t em po, propondo um a nova equação de m ovim ent o:
força = m assa x aceleração
No seu Principia Newt on est abeleceu axiom as capazes de descrever com o os corpos int eragiam por m eio da força gravit acional.
A form a analít ica definit iva dos ax iom as propost os por I saac Newt on foi elaborada pelo grande m at em át ico alem ão Leonhard Euler. Esses axiom as t am bém foram t rabalhados por t rês grandes nom es da ciência, o m at em át ico francês ( ou it aliano! ) Joseph- Louis La gr a nge ( Giuseppe Lodovico Lagrangia) , o m at em át ico irlandês William Rowan H a m ilt on e o m at em át ico alem ão Carl Gust av Jacob Jacobi.
Esses grandes cient ist as t ransform aram os axiom as do m ovim ent o criados por Newt on em m ét odos gerais e m uit o poderosos. Graças ao t r abalho deles os físicos passaram a em pregar novas quant idades analít icas em suas análises dos problem as de m ovim ent os. Surgiu nessa época o conceit o de pot encial, grandeza física int im am ent e associada às forças m as que não faz part e da nossa experiência diária.
Dizem os que um a força é conservat iva se o t rabalho realizado por ela sobre um a part ícula que se
m ove ent re dois pont os depende som ent e desses dois pont os e não de qual o t ipo ou t am anho da t rajet ória percorrida. Toda força conservat iva aplicada a um corpo é igual ao negat ivo da variação da energia pot encial desse corpo ao longo de um deslocam ent o.
Os im port ant íssim os t rabalhos desses cient ist as se condensaram nas cham adas e qu a çõe s de Eu le r Lag r a n ge , pub licadas em 1788, e na t e o r ia de H a m ilt on -Ja co bi, poder osos instr um ent os conhecidos p or t odos que est udam a m ecânica clássica.
As equações de Euler- Lagrange são o m eio m ais econôm ico de escreverm os as equações de m ovim ent o de um corpo pois, além de envolverem o núm ero m ínim o de coordenadas, elas lidam apenas com duas funções escalares, energia cinét ica ( T) e energia pot encial ( V) , em v ez das forças e acelerações vet oriais que caract erizam a abordagem feit a ant eriorm ent e por Newt on.
Com o as equações de Euler- Lagrange podem ser deduzidas a part ir da segunda lei de Newt on, que só vale em referenciais inerciais, as funções T e V t am bém t êm que ser ex pressas em relação a um m esm o referencial inercial.
Com o as equações de Euler- Lagrange podem ser deduzidas a part ir da segunda lei de Newt on, que só vale em referenciais inerciais, as funções T e V t am bém t êm que ser ex pressas em relação a um m esm o referencial inercial.
As equações de Euler- Lagrange ut ilizam um t erm o dado por L = T - V. Esse L é a cham ada
lagr angiana. Todos os " cam pos" ex ist ent es na
nat ureza são descrit os por um a lagrangiana. É m uit o com um verm os os cam pos exist ent es na nat ureza, t ais com o o cam po elet rom agnét ico, o cam po elet rofraco e at é m esm o do cam po gravit at ional, serem represent ados por suas lagrangianas.
A t eoria de Ham ilt on- Jacobi é um m ét odo que nos perm it e realizar um cert o t ipo de t ransform ação, cham ado t ransform ação canônica, que é capaz de sim plificar drast icam ent e as equações de
m ovim ent o de um dado sist em a.
Dois grandes físicos franceses, Alex is Cla iraut e Pierre- Sim on Laplace , publicaram v ários t rabalhos m ost rando que a t eoria da gravit ação universal propost a por I saac Newt on est ava corret a.
Laplace se int eressou pelo problem a da est abilidade do Sist em a Solar no seu Trait é du Mécanique Célest e publicado em 1799. Na verdade o cham ado "problem a de t rês corpos" foi int en sam ent e est udado no século XI X m as só foi ent endido m uit o m ais t arde.
Ein st e in e a g r a v it a çã o
A t eoria da gravit ação universal apresent ada por I saac Newt on funcionava ext rem am ent e bem nos
problem as apresent ados pela m ecânica clássica. Havia m uit o pouco m ot ivo para quest ioná- la m as, e sem pre há um "m as" nas boas hist órias, um a pergunt a perm anecia na m ent e dos cient ist as: no processo de
int eração gravit acional ent re dois corpos com o podem os explicar que cada um deles saiba que o out ro est á present e?
Em 1900 H endrik Ant oon Lorent z conject urou que a gravit ação poderia ser at ribuida a ações que se propagavam com a velocidade da luz. Hen ri Poin caré , em um art igo de j ulho de 1905 enviado para a revist a alguns dias ant es do t rabalho de Einst ein sobre a relat ividade rest rit a, sugeriu que t odas as forças deviam se t ransform ar de acordo com as cham adas "t ransfor m ações de Lorent z- Fit zgerald". Ele t am bém afirm ou que, se essa regra é verdade, a lei de Newt on da Gravit ação não é m ais válida pois ela não a obedece. Poincaré t am bém propôs a exist ência de ondas gravit acionais que se propagavam com a v elocidade da luz.
Em 1907, dois anos após t er apresent ado sua t eoria da relat ividade rest rit a, Einst ein est ava preparand o um art igo de revisão sobre essa t eoria. Durant e esse t rabalho ele ficou curioso em saber com o a gravit ação Newt oniana t eria que ser
m odificada para se aj ust ar dent ro da est rutura da sua t eoria da relat ividade especial. Nest e m om ento ocorreu a Einstein o que ele m esm o descreveu com o "o m ais feliz pensam ent o de m inha vida" ou sej a, que um observador que est á caindo do t elhado de um a casa não sent e o cam po gravit acional. Com o
conseqüência disso ele propôs ent ão o cham ado p rin cíp io d a equiva lência:
Exist e um a com plet a equivalência física ent re um cam po gravit acional e a correspondent e aceleração do sist em a de referência. Est a suposição est ende o princípio da relat ividade para o caso de m ovim ent o uniform em ent e acelerado do
O princípio da equivalência é o responsável pela sensação que t em os quando est am os dent ro de um
elevador que desce em grande velocidade. Todos sent im os com o se est ivessem os sendo puxados para cim a, com o se fossem os ser t irados do chão do elevador. Na v erdade, se o elevador rom per seus cabos e
despencar em queda livre por um a dist ância suficient em ent e longa, v ocê ( não eu! ) irá flut uar dent ro dele at é se esborrachar no poço do elevador ( cert am ent e essa será sua últ im a experiência com a física m as você irá m orrer pensando em um princípio relat ivíst ico o que cert am ent e t e dará acesso diret o ao céu) .
Depois de criar o princípio da equivalência em 1907, um im port ante passo, Einst ein não publicou nada m ais sobre gravit ação at é 1911. Ele sabia desde 1907 que um raio lum inoso se curvaria na presença de um cam po gravit acional fort e. Esse encurvam ent o da luz era um a conseqüência do princípio da equivalência m as era difícil fazer um a v erificação experim ent al disso por m eio de observações t errest res. Em 1911 Einstein com preendeu que a curvat ura do raio lum inoso em um cam po gravit acional poderia ser v erificada por m eio de observações ast ronôm icas.
Tam bém foi discut ido nessa época o deslocam ent o para o verm elho gravit acional, o "redshift " gravit acional, que ocorr e
quando o com prim ent o de onda da luz que sai de um corpo de grande m assa ( um a est rela por ex em plo) é deslocado na direção do verm elho devido à perda de energia necessária para escapar do cam po grav it acional do corpo.
Einst ein publicou out ros art igos sobre gravit ação em 1912. Nest es ele com preendeu que as t ransform ações de Lorent z não se aplicariam na est rut ura m ais geral que ele est ava desenvolvendo. Ele t am bém not ou que as equações do cam po gravit acional est avam lim it adas a ser não lineares e o princípio da equivalência parecia ocorrer som ent e localm ent e. Nessa época Einst ein verificou que se t odos os sist em as acelerados são equivalent es ent ão a geom et ria Euclidiana não pode ser usada em t odos eles. Lem brando o est udo da t eoria das superfícies de Gauss que havia feit o quando est udant e, Einstein logo com preendeu que os fundam ent os da geom et ria t inham significado físico. Ele consult ou seu am igo, o grande m at em át ico húngaro M a rcell Grosm a nn, que pront am ent e lhe m ost rou os im portant es desenvolvim ent os que haviam sido feit os em geom et ria pelos alem ães Bernha rd Riem a nn e Elw in Chr ist offel, o norueguês Sophus Lie e os it alianos Gregorio Ricci- Cur bast ro e
Tu llio Le vi- Civit a, algun s dos nom es m ais im por t ant es da m at em ática naquela época. Pode- se dizer que foi Marcell Grossm ann quem descobriu a im portância que o cálculo t ensorial desenvolvido por esses
m at em át icos t eria para a fut ura t eoria da relat ividade geral de Einst ein.
Em 1913 Einstein e Grosm ann publicaram um art igo j unt os ( "Ent wurf einer verallgem einert en Relat ivit ät st heorie und der Theorie der Gravit at ion", Zs.
Mat h. und Phy s.,6 2 , 225 ( 1913) ) onde o cálculo t en sorial d esenvolvido por Ricci e Levi- Civit a é em pregado. Grosm ann m ost rou a Einstein o t ensor de Riem ann- Christ offel, ou t ensor de curvat ura, que j unto com o t ensor de Ricci, que é deduzido a part ir dele, iriam se t ornar ferram ent as im port ant es na fut ura t eoria relat ivíst ica da gravit ação. Em bora a t eoria apresent ada est ivesse ainda errada, pela prim eira vez a gravit ação era descrita por um t ensor m ét rico, o que significava um grande avanço.
Em out ubro de 1914 Einst ein escreveu um art igo em que m et ade dele é um t rat ado sobre análise t ensorial e geom et ria diferencial. Esse art igo fez com que fosse iniciada um a correspondência ent re Einstein e Levi- Civit t a na qual o grande m at em át ico it aliano apont ou erros t écnicos no t rabalho sobre t ensores apresent ado por Einst ein. Einstein est av a m aravilhado em ser capaz de t rocar idéias com Levi- Civit t a, u m m at em át ico m uit o m ais
recept ivo às suas idéias sobre a relat ividade do que um grande núm ero de seus colegas físicos.
Na segunda m et ade de 1915 Einst ein finalm ent e apront ou sua t eoria. Ent ret ant o, o passo final para a t eoria da relat ividade geral foi t om ado por Einst ein e Da vid H ilbert quase ao m esm o t em po. Am bos hav iam reconhecido falhas no t rabalho de Einstein publicado em out ubro de 1914. Um a correspondência ent re est es dois cient ist as ocorreu em novem bro de 1915. É difícil saber quant o um deles aprendeu com o out ro m as o fat o de am bos descobriram a m esm a form a final das equações do cam po gravit acional e publicarem seus art igos com u m int ervalo de apenas alguns dias cert am ent e indica que a t roca de idéias ent re eles foi v aliosa.
No dia 20 de novem bro de 1915 David Hilbert subm et eu seu art igo, com o t ít ulo "Os fundam ent os da física", ( "Die Grundlagen der Physik", Nachr. Königl. Gesellsch. Wiss.
Göt t ingen, m at h.- phys. Kl. 1915, Heft 3, p. 395) , a p ublicação.
Nesse art igo Hilbert obt inha as equações de cam po corret as para a gravit ação. Cinco dias depois de Hilbert , no dia 25 de novem bro de 1915, Albert Einstein subm et eu seu art igo, " Die Feldgleichungen der Gravit at ion", sobre a t eoria da gravit ação. Em 1916 Einst ein publicou out ro art igo, " Die Grundlage der allgem einen Relat ivit ät st heorie" ( Ann. Phys. ( Leipzig), 4 9 , 769, 1916) , onde am pliava sua discussão sobre o assunt o. A t eoria relat ivíst ica da gravit ação era apresent ada ao m undo cient ífico em duas brilhant es v ersões.
O art igo de Hilbert cont ém algum as im port ant es cont ribuições à relat ividade não encont radas no art igo de Einst ein. Hilbert aplicou o princípio variacional à gravit ação e at ribuiu a Em m y N oet h er a descobert a de um dos principais t eorem as que dizem respeit o a ident idades que aparece no seu art igo.
Na verdade o t eorem a de Em m y Noet her só foi publicado com um a dem onst ração em 1918 em um art igo que ela escreveu sob seu próprio nom e ( nessa época m ulheres não t inham acesso à Academ ia de Ciências e Em m y Noet her ent regava seus art igos para serem lidos perant e os acadêm icos por algum de seus colegas hom ens) . Seu t eorem a se t ornou um a ferram ent a v it al na física t eórica. Um caso especial do t eorem a de Noet her foi escrit o por H erm a nn W eyl ( 1885-1955) em 1917 quando o ut ilizou para deduzir ident idades que, m ais t arde foi verificado, j á haviam sido independent em ent e descobert as por Ricci em 1889 e por Luigi Bian chi, aluno do m at em át ico alem ão Felix Klein ( 1849- 1925) , em 1902. Logo depois dos art igos de Einstein e Hilbert com as equacões de cam po corret as o físico alem ão Karl Sch w a r z sch ild encont r ou, em 1916, u m a solução m at em át ica para as equações que corresponde ao cam po gravit acional de um obj et o com pact o
esfericam ent e sim ét rico. Pela prim eira v ez era obt ida um a solução exat a das equações de cam po da gravit ação relat ivística. Na época o result ado apresent ado por Schwarzschild foi considerado com o um exercício puram ent e t eórico. No ent ant o, anos m ais t arde, verificou- se que est a solução descrevia um a est rela reat ivíst ica e, dest e m odo, inaugurav a- se um a nova área de pesquisa em ast rofísica, a a st rofísica rela t ivíst ica. Todos os t rabalhos que hoj e vem os sobre est relas de nêut rons, pulsares e buracos negros se apoiam
int eiram ent e nas soluções obt idas por Karl Schwarzschild.
Hoj e conhecem os m u it as soluções das equações relat ivíst icas do cam po gravit acional. Algum as dessas soluções est ão associadas a est ranhos corpos celest es. Por exem plo, a
própria solução obt ida por Schwarzschild nos in t roduz o con ceit o de buracos negros. Um a out ra solução, conhecida com o "solução de Kerr" nos descreve buracos negros em rot ação. Muit as soluções das equações relat ivíst icas do cam po gravit acional nos dão as cham adas "soluções cosm ológicas", am biciosos result ados que descrevem possíveis est ruturas geom ét ricas para o Universo.
Te or ia da R e la t iv ida de Ge r a l = Te o r ia da Gr a v it a ção d e Ein st e in = Te o r ia Re la t iv íst ica da Gr a vit a çã o
