RESUMO DE CONTEÚDO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Prof. Rodrigo Neves
Conceitos Preliminares:
Subconjuntos Reais
Os subconjuntos mais comuns da reta real são os intervalos. Por exemplo, o intervalo aberto (a, b) ou ]a, b[ = {x ∈ℝ / a < x < b}. Neste caso, os extremos a e b do intervalo não estão contidos no mesmo. Logo ele é considerado um intervalo aberto. Intervalos que incluem seus dois extremos são denominados de intervalos fechados.
Tipo de Intervalos Notação de Intervalo Notação de Conjuntos Notação Gráfica
Aberto (a, b) ou ]a, b[ {x ∈ℝ / a < x < b}
Fechado [a, b] {x ∈ℝ/ a x b}
Semi-Aberto ou
Semi-Fechados
[a, b) {x ∈ℝ/ a x < b}
(a, b] {x ∈ℝ/ a < x b}
Infinitos Fechados
(−∞, b] {x ∈ℝ/ x b}
[a, ∞) {x ∈ℝ/ x a}
Infinitos Abertos
(−∞, b) {x ∈ℝ / x < b}
(a, ∞) {x ∈ℝ / x > a}
Abertos e Fechados ℝ = (−∞,∞) {x ∈ℝ }
Potenciação: Definição:
Potenciação significa multiplicar um número real a, chamado de base, por ele mesmo n vezes, onde n é denotado expoente da potência.
Simbolicamente,
an = a × a × a × ⋯× a n vezes
Propriedades de Potenciação:
Sejam a e b bases reais, e n e m expoentes reais. Então as seguintes propriedades sobre potenciação são válidas:
1) a1= a;
2) a0 = 1, desde que a ≠ 0;
3) an∙am = an+m (Produto de potências de mesma base: repete a base e soma os expoentes);
4) aamn = an−m (Divisão de potências de mesma base: repete a base e subtrai os expoentes);
5) (an)m = an∙m (Potência de potência: repete a base e multiplica os expoentes);
6) a−n = 1 an;
7) an∙bn = (a∙b)n (Produto de potências de expoente: multiplica as bases e repete o expoente);
8) bann = ba n (Divisão de potências de mesmo expoente: divide as bases e repete o expoente);
Radiciação: Definição:
A radiciação é a operação inversa da potenciação e, por isso, ela pode ser definida através da se-guinte relação:
a
n = b se, e somente se, bn = a
onde é o símbolo que indica a operação radiciação, denotado radical; a é um número real chamado radicando; n é um número natural diferente de zero, chamado índice da raiz. O resultado da operação é um número real b, chamado raiz n-ésima. Não existe raiz de radicando negativo se o índice for par.
Para facilitar as a manipulação das raízes, existe um meio de transformar uma raiz em uma potência. Desta forma fica muito mais fácil entender e aplicar as propriedades de radiciação, pois podemos utilizar as mesmas propriedades de potenciação.
Simbolicamente,
a
n = a1
n
(am)n≠a(mn)
(22)3 = 22∙3= 26= 64
2(23)
= 28= 256 Fique Alerta !
Por exemplo:
(a + b)n ≠an+ bn
2 + 3 3= (5)3= 125
23+ 33= 8 + 27 = 35 Fique Alerta !
Propriedades de Radiciação:
Sejam a e b radicandos reais, e n, m, x e y números reais. Então as seguintes propriedades sobre a radiciação são válidas:
1) n 0= 0;
2) n 1= 1;
3) 1 a= a;
4) n an
= a, (isto porque n an
= an 1n = an∙1n = ann = a1= a);
5) n am
= amn;
6) n am
∙ x ay
= amn +yx , (isto porque n am∙ x ay = amn ∙ayx = amn +yx);
7) n a
∙ n b= n ab , (isto porque n a
∙ n b= a1n ∙bn1 = (a∙b)1n = n ab );
8) n m a= mn a, (isto porque
m a n
= am1 n
= am1 1 n
= am1∙n1 = amn1 = mn a);
Números Racionais e Frações Definição:
Pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como a
b, designa o
n’mero a dividido em b partes iguais. Neste caso, a corresponde ao numerador, enquanto b cor -responde ao denominador, que não pode ser igual a zero.
a
b ←
Numerador ←Denominador
Logo, a fração designa o quociente de a por b . A divis~o é, note-se, a operação inversa da multiplicação. Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por ℚ.
Tipos de Frações:
1º) Própria: o numerador é menor que o denominador. Dentre os números reais, se encontram den-tro do intervalo (-1, 1). Exemplo: 13;
2º Imprópria: o numerador é maior que o denominador. Em sua distribuição no conjunto dos núme-ros reais se encontram foram do intervalo [-1, 1]. Exemplo: 73;
3º Mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Pode ser transformada facilmente em uma fração imprópria. Exemplo: 41;
a + b
n
≠ na +n b
9 + 16 = 25 = 5
9 + 16 = 3 + 4 = 7
2(23)
= 28= 256 Fique Alerta !
4º Aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Podem ser interpretadas como nu-meros inteiros disfarçados de frações. Exemplo: 105;
5º Equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Nota: N~o existe uma
fração equivalente, mas sim um par de frações equivalentes. Exemplo: 48=24;
6º Irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si não possuindo fatores primos co-muns em suas respectivas fatorações, não permitindo simplificação. Exemplo: 7
9;
7º Unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Exemplo: 13;
8º Decimal: o denominador é uma potência de 10. Podem ser reescrita na forma decimal apenas com deslocamentos de vírgula. Exemplo: 10035;
9º Composta: fração cujo numerador e denominador são frações. Exemplo: 4510
12 29;
Operações com Frações:
Sejam ab e dc duas frações arbitrárias. São válidas as seguintes operações:
1) Soma: ba + dc = ad +cbbd ;
2) Subtração: ab−dc = adbd−cb;
3) Produto: a
b∙ c d =
a∙c b∙d;
4) Divisão: ab
c dou
a b÷
d c =
a b∙
d c =
a∙d
b∙c (Repete a primeira e multiplica pela inversa de segunda).
Observação: Caso as frações operadas possuam o mesmo denominador, na soma e na subtração, basta repetir o denominador e operar os numeradores, somando ou subtraindo. Sendo os denominadores das duas frações diferentes, é possível utilizar frações equivalentes à ambas para operar. Neste caso, deve-se trabalhar com o mmc dos denominadores para encontrar as equivalentes às originais de mesmo denominador.
Racionalização de Frações:
Existe uma propriedade matemática para representações de números, que impede a presença de raízes inexatas no denominador de uma fração.
Para mudarmos isso utilizamos uma técnica chamada de racionalização de frações. Considere a fração:
a b
onde seu denominador b é um número irracional.
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por b, obtendo uma fração equivalente:
a b∙
b b=
a b
b2=
a b
b
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com denomina-dor racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominadenomina-dor. Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante.
Principais Casos de Racionalização:
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2 (raiz quadrada), como por exemplo, ab :
b é o fator racionalizante de b, pois b ∙ b = b.
2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2, como por exemplo, a
b
n :
bn−1
n
é o fator racionalizante de n b, pois n b∙ n bn−1= n b∙bn−1= n bn
= b.
3º Caso: Soma ou subtração de irracionais com irracionais ou racionais:
a− b é o fator racionalizante de a + b; a + b é o fator racionalizante de a− b; a + b é o fator racionalizante de a−b; a−b é o fator racionalizante de a + b.
Limites:
Conceito de Limite:
O conceito de limite está profundamente ligado a propriedade da densidade dos números reais. Esta propriedade afirma que, entre dois números reais diferentes, sempre existirá uma quantidade infinita de outros números reais: tanto racionais, quanto irracionais; não importando o quão próximo eles estejam um do outro sobre a reta.
Isto implica que podemos analisar características desejadas do comportamento de uma função
quando ela se aproxima de um ponto, sem necessitar descobrir o que acontece exatamente nele , mas
apenas analisando o que ocorre a sua volta, em outros pontos muito próximos: tão próximos quanto nós desejarmos ou quanto for necessário para obter precisão.
Definição Informal de Limite:
Se f(x) se aproxima de um único número L na imagem, à medida que x se próxima de um número c no domínio, tanto pela esquerda quanto pela direita na reta real, diz-se que o limite de f(x) quando x tende a c é L, e se escreve:
lim
x→cf x = L
No que se referir a limites de funções reais, sempre que se escrever a definição simbólica de limite, serão assumidas como verdade duas afirmações: primeiro o limite existe; e segundo ele é L. Em outras palavras, pode até não existir o limite de uma função quando ela tende a um número, mas se existir, ele é único. Em muitos casos é possível se estimar o valor de um limite usando uma calculadora, como no caso dos exemplos a seguir.
→ c será a própria f(c), ou seja, a imagem de c por f(x). Porém a técnica de limite é muito mais útil no trata-mento dos pontos que são exceção a regra.
Obs2: A existência ou não-existência do limite de f(x) quando x tende a c, não tem nada a ver com a existência ou não da f(c), isto é, se c está ou não está no domínio de f(x).
Propriedades de Limites:
Considerando que freqüentemente uma função é construída a partir de funções mais simples, vale a pena aprender algumas propriedades de limites, com o objetivo de transformar limites, aparentemente um pouco mais complexos, em combinações de outros mais simples.
Sejam u(x) e v(x) funções reais, de forma que
L ) x ( u lim a
x e limxav(x)M,
e seja C uma constante real.
Então, são válidas as seguintes propriedades sobre limites:
1) limC C
a
x ;
2) limx a
a x
3) lim
u(x) v(x)
limu(x) limv(x) L Ma x a
x a
x ;
4) lim
C u(x)
C limu(x) C La x a
x ;
5) lim
u(x) v(x)
limu(x) limv(x) L Ma x a x a
x ;
6) ,
M L ) x ( v lim ) x ( u lim ) x ( v ) x ( u lim a x a x a x
desde que M ≠ 0 ;
7) ,
M 1 ) x ( v lim 1 ) x ( v 1 lim a x a x
desde que M ≠ 0 ;
8)
m ma x m
a
x u(x) limu(x) L
lim
; 9) m m a x m a
x u(x) limu(x) L
lim
;
10) lim
log u(x)
log
limu(x)
logaL
a x a a
a
x ;
11)
limv(x) Ma x ) x ( v a
x u(x) limu(x) L
lim xa
.
Substituição Direta:
Como afirmado anteriormente, o limite de f(x) quando x tende a c não depende do valor de f(x) no ponto c. Entretanto, se o limite é precisamente f(c), diz-se que o limite pode ser calculado por substitui-ção direta, isto é, basta substituir x por c na funsubstitui-ção. Simbolicamente,
lim
Estas funções bem comportadas em c são ditas serem funções contínuas no ponto c. O conceito de continuidade será trabalhado com profundidade mais adiante em outra lista.
Obs3: Sempre que a substituição direta produzir um valor real como resposta, ou seja, um valor nu-mérico real qualquer, sendo positivo, negativo ou zero; esta será a resposta do problema.
Limites Indeterminados de Funções Algébricas:
Uma função algébrica é uma função que pode ser obtida através de um número finito de operações algébricas (adição, multiplicação, subtração, divisão e radiciação). Como exemplos, encontramos as funções polinomiais, racionais e radicais, ou suas combinações.
As funções restantes, ou seja, as que não são algébricas, são denominadas funções transcendentes. Por exemplo, são transcendentes as funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e hiperbólicas.
Técnica do Cancelamento (Funções Racionais): Definição:
Uma função polinomial, ou polinômio com coeficientes reais na variável x, é uma função matemática p:ℝ → ℝ definida por: p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn, onde a0, a1, a2,..., an são
números reais denominados coeficientes do polinômio.
O coeficiente a0 é o termo constante. Se an≠ 0, ent~o é dito que o polinômio possui grau n e xn é
chamado de termo dominante. Caso os coeficientes sejam números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x. Observe ainda que, se p(a) = 0, o número a é chamado raiz ou zero de p(x). O valor numérico de um polinômio p = p(x) em x = a é obtido pela substituição da incógnita x pelo número real a, para obter p(a).
Uma das funções polinomiais mais importantes é f: ℝ → ℝ definida por f(x) = ax2 + bx + c, cujo
gráfico é a curva denominada parábola, que possui características muito utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros.
Suas raízes r1 e r2 são dadas pela fórmula de Bhaskara:
r1,2 =−b ± b2−4ac 2a Notas:
1º) O polinômio do p(x) = 0 é denotado polinômio nulo, e não possui grau, uma vez que não tem um termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo.
2º) Se o coeficiente do termo dominante for igual a 1, o polinômio será chamado Mônico.
3º) Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências tanto em ordem crescente quanto em ordem decrescente.
4º) Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências desde o grau mais alto até o termo constante.
5º) Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1. No entanto, se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.
Divisão de Polinômios:
Efetuar a divisão de um polinômio p(x), por outro polinômio d(x) não nulo, significa determinar um único par de polinômios q(x) e r(x) que satisfazem às condições:
Notas:
1º) Se r(x) = 0, então dizemos que p(x) é divisível por d(x).
2º) Se grau p(x) > grau d(x) então grau q(x) = grau p(x) – grau d(x). 3º) Se grau p(x) < grau d(x) então q(x) = 0 e r(x) = p(x).
4º) Não esquecer que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor.
Teorema de D`Alembert ou da Fatoração em Álgebra:
Seja p(x) um polinômio qualquer. Se p(a) = 0, então p(x) é divisível por x – a. Em outras palavras, se a é raiz de um polinômio p(x), então existe outro polinômio q(x) de tal maneira que, p(x) = q(x)∙(x –
a). Também vale a afirmação que (x – a) é fator do polinômio p(x).
Definição:
A função f ℝ → ℝ definida pela equação f(x) = p(x)/q(x), onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q(x) não é uma função constante nula, é denominada função racional. Para a representação da função racional, não é necessário efetuar a divisão de p(x) por q(x).
Obs1: As funções polinomiais são casos particulares de funções racionais, onde q(x) = 1. Logo, toda função polinomial é racional.
Limite de Funções Racionais:
Seja f(x) uma função racional dada por f(x) = p(x)/q(x). Se limx→cp x = k1e limx→cq x = k2,
on-de k1 e k2 são constantes reais, então temos que limx→cf x é igual a:
i) �1
�2 , se k1≠0 e k2≠0; ii) 0 se k1= 0 e k2≠0;
iii ∞ se k1≠0 e k2= 0 e
iv) Indeterminado se k1= 0 e k2= 0. (Neste caso deve ser usada alguma técnica de limite)
Técnica do Cancelamento:
Quando o limite de uma função racional é uma constante real, zero ou tende a infinito (neste caso o limite não existe), o problema já está resolvido. A única dificuldade é quando o limite gera uma indeterminação, ou seja, zero dividido por zero.
Porém, vale observar que, se uma função racional f(x) = p(x)/q(x) gera uma indeterminação quando x tende a c, temos que p(c) = 0 e q(c) = 0. Isto implica que c é raiz tanto do polinômio p(x) do numerador, quanto do polinômio q(x) do denominador. Logo, pelo teorema da fatoração em álgebra, (x
– c) é fator de p(x) e de q(x).
A técnica do cancelamento é baseada nesta idéia, de buscar cancelar os fatores iguais antes de calcular o limite, aplicando o limite em uma função igual a original:
1) Se limx→cp(x)q x =00;
2) Pelo teorema de D`Ambert, p(x) = p1(x)∙(x – c) e q(x) = q1(x)∙(x – c), onde p1(x) e q1(x) são os
quocientes da divisão de p(x) e q(x) por (x – c), respectivamente.
3) Logo, podemos escrever limx→cp(x)qx = limx→cpq1 x ∙(x−c)
1 x ∙(x−c)= limx→c
p1 x q1 x
Técnica da Racionalização (Funções com Radicais):
Uma outra forma de se determinar um limite de uma função, para qual a substituição direta leva a uma forma indeterminada 0/0, é usar a técnica de racionalização. Esta técnica pode ser usada tanto no numerador, quanto no denominador da função.
Como o objetivo aqui é trabalhar com radicais, a forma mais simples de desfazer uma raiz
quadrada é aplicando sua operação inversa, ou seja, elevando ao quadrado. Por isto esta técnica é baseada na propriedade de produtos notáveis, dada por:
(a + b)(a – b) = a2– b2
Note que se algum dos termos a ou b for uma raiz quadrada, a2 ou b2 não o será mais. Para tal basta
multiplicar a expressão pelo fator com sinal trocado, mas sem se esquecer de dividir a expressão final pelo mesmo fator para não alterar o resultado inicial:
a−b = a−b ∙1 = a− b a + b
a + b =
(a−b) a + b
a + b =
a2– b2
a + b
Logo a técnica de racionalização se baseia na multiplicação por 1, reescrito de forma conveniente para forçar aparecer um produto notável, 1 =(a+b )
(a+b ).
Obs1: Algumas vezes, é necessário racionalizar uma função duas vezes, uma racionalização para o numerador e outra para o denominador, como na letra (d) do exercício 6.
Limites Laterais:
Nesta lista iremos nos aprofundar mais um pouco no conceito de limite, trazendo para estudo os conceitos de limites laterais. Estes conceitos servem para tratar da análise de assíntotas de uma função.
Comportamentos Diferentes à Direita e à Esquerda:
Fazendo com que x se aproxime de um número c pela direita (simbolizado como c-) e pela
esquerda (simbolizado por c+) deve-se observar que limites por laterais diferentes podem apresentar valores diferentes. Logicamente, esta aproximaç~o se refere { reta real.
Neste caso, também dizemos que o limite não existe.
Notação:
Direita = valores maiores que c na reta, isto é, x → c+;
Esquerda = valores menores que c na reta, isto é, x → c-;
Obs1: Este tipo de não-existência de limite é muito comum em funções definidas por várias sentenças
aquelas definidas usando chaves e v|rios se`s , nos pontos em que a equaç~o muda. Porém n~o é
uma situação que sempre deve acontecer ou é obrigatório que aconteça. O fato da função ser definida por partes ou sentenças não implica que o limite nunca vai existir nos pontos de permutação da lei de correspondência.
Definição de Limites Laterais:
Quando x tende no domínio ao número real c pela esquerda, isto é, por valores menores que c, vale que f(x) tende ao número L1 na imagem, então dizemos que existe o limite lateral à esquerda e ele é igual a L1. Matematicamente este fato é indicado por:
1 c
Quando x tende no domínio ao número real c pela direita, isto é, por valores maiores que c, vale que f(x) tende ao número L2 na imagem, então dizemos que existe o limite lateral à direita e ele é L2.
Matematicamente este fato é indicado por:
2 c
xlim f(x)L
Os números L1 e L2, são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de f(x) em c e limite à
di-reita de f(x) em c, e referidos como limites laterais de f(x) em c.
O resultado abaixo faz uma ligação entre a existência do limite usual, do qual estamos acostumados a trabalhar, e a existência dos limites laterais.
Teorema:
O limite da funç~o f x quando x → c existe se, e somente se, os limites laterais { direita e { esquer -da existem e são iguais, ou seja:
i) Se lim f(x) lim f(x) L,entãolimf(x) L
c x c
x c
x
ii) Se
f(x) L L limf(x),entãolimf(x)
lim c x c x 2 1 c x
Obs2: Sobre limites de funções definidas por partes: Quando o limite pedido estiver exatamente na fronteira entre as partes, deve-se calcular o limite à direita e o limite à esquerda, mas como já visto, o limite na fronteira só existirá caso os limites laterais sejam iguais.
Limites Infinitos e Assíntotas Verticais: Infinito como Tendência:
Em cálculo usa-se o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos" ou números suficientemente grandes para que nós j| n~o consigamos mais imagin|-los).
Neste caso, usa-se como notação simbólica operacional, os conceitos de operações básicas definidas sobre o conjunto dos reais para definir o sentido (+∞ para indicar crescimento positivo sobre a reta real e −∞ para crescimento negativo sobre a reta reta real) da tendência.
Sendo k uma constante real, vale que:
a) k k b) 0 k se , 0 k se , ) ( k 0 k se , 0 k se , ) ( k
c) k 0,inclusiveparak0
d) ()n
) sese nn ééímparpar
( n e)
Você já perguntou a alguém o que é o infinito? Certamente lhe deram uma resposta poética a
res-peito como, o infinito é algo fascinante ou É algo muito além da compreens~o humana . Agora,
imagine um número tão alto quanto é possível de se conceber... Pois bem, por maior que seja o número escolhido, ele não é infinito. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que cresce tanto em valor ab-soluto, que jamais poderíamos atingir.
Porém, não confunda infinito com um número real. O símbolo ∞ representa um ente matemático.
Isto porque o infinito n~o é um lugar para se chegar , mas sim um caminho sem fim para se trilhar .
Errado: ... o valor é infinito.
Correto: ... o valor est| indo para infinito.
Formas Indeterminadas:
As sete formas clássicas de indeterminação são:
0 0, 1 e
0 , 0 , , , 0 0
Uma indeterminação significa que qualquer número real pode satisfazer o limite, e sendo assim, nada podemos afirmar sobre seu valor. Logo, a resposta desejada ainda não foi encontrada.
Aparecendo uma destas formas no cálculo de um limite, devem-se adotar técnicas com o intento de encontrar uma expressão equivalente à forma original, a fim de, substituí-la e evitar tal situação, como por exemplo, as técnicas do cancelamento ou da racionalização.
Obs3: Resolver um limite e encontrar uma indeterminação não significa que se pode afirmar se o limite
existe ou que n~o existe. Simplesmente n~o se sabe, ainda , a resposta. Desta forma, nunca deixe uma indeterminação como a resposta final para um problema ou exercício: ela estará incompleta.
Comportamento Ilimitado (Não-Existência do Limite)
Dado que o limite de uma função f(x), quando x → c, assume um comportamento ilimitado, ou seja, cresce sem restrições em valor absoluto, dizemos que este limite não existe. Caso em um determinado problema de limite a resposta for +∞ ou −∞, dizemos que a função possui um limite infinito.
Neste caso o problema já está resolvido, só que não existe o limite.
Obs4: Quando calculamos um limite de uma função f(x), com x tendendo c, e encontramos um com-portamento ilimitado, podemos afirmar, com toda a certeza, que o ponto c não faz parte do domínio de f(x). Conseqüentemente, não existe f(c), isto é, a função f não produz imagem do ponto c..
Comportamento Ilimitado à Direita e à Esquerda
Afirmar que uma função possui um comportamento ilimitado em torno de um determinado ponto do domínio é afirmar que quanto mais nos aproximamos dele no domínio, mais a imagem da função se afasta do eixo x, crescendo ou decrescendo.
Porém sobre uma reta podemos nos aproximar de um ponto por dois caminhos diferentes, à direita e à esquerda do ponto. Por outro lado, nada impede que o comportamento ilimitado seja de crescimento por um lado e de decrescimento pelo outro, ou vice-versa. Por isto temos que fazer um estudo através de limitas laterais para analisar o comportamento da função em volta do ponto desejado.
Independente dos comportamentos laterais serem iguais ou diferentes, quando um ponto x apresenta uma ilimitação ele é chamado de assíntota vertical.
Geralmente as assíntotas verticais podem ocorrer em pontos para os quais o denominador de uma função se anula, pois a imagem da função se aproxima de uma divisão por zero. Por isto dizemos que as raízes do denominador de uma função são candidatas a assíntota.
Continuidade:
Informalmente, o que significa uma função ser contínua? Como se faz para reconhecer, a partir do gráfico, se uma função é contínua ou não? Resposta: o gráfico não pode ter saltos, quebras e nem furos, ele deve ser interrupto.
Numericamente, uma função é contínua se valores da variável independente próximos entre si, Ge-ram valores da função que estão tão próximo um do outro quanto desejarmos.
Suponha que f(x) seja uma função contínua de x, em algum intervalo, e que x = a esteja nesse inter-valo. Então, se x está próximo de a, sabemos que f(x) está próximo de f(a). De fato, quanto mais x se aproxima de x, mais f(x) se aproxima de f(a). Assim, quando x→a, o limite de f(x) deve ser f(a). Os matemáticos usam esta idéia e a notação de limites para dar uma definição formal de continuidade.
Definição:
Diz-se que uma função f(x) é contínua em um ponto de abscissa a, quando se tem
lim
x→af x = f(a)
Observemos que esta definição tem implícitas três condições:
2) Existe o limite de f(x) quando x→a (Existem os limites laterais e são iguais). 3) O limite anterior coincide com o valor da função.
Portanto, uma função pode deixar de ser contínua em um ponto, por não cumprir alguma destas condições descritas graficamente:
f não está definida emx0 f não tem limite em x0
(Não-Removível)
0
lim
x x
f x f x
(Removível)
Outro tipo comum de não continuidade são as assíntotas verticais.
Quando a função não é contínua em um ponto, dizemos que ela é descontínua nele.
A definição de continuidade possui um caráter local ou pontual. Caso a função seja contínua em um todos os pontos do domínio, a função é dita ser simplesmente contínua ou não possuir pontos de descontinuidade.
Obs1: A maioria das funções que conhecemos é contínua em todo seu domínio, como por exemplo os polinômios, retas, parábolas, senos, cossenos, logaritmos, exponenciais e etc...
Obs2: As funções que possuem pré-disposição para possuir pontos de descontinuidade são aquelas em forma de fração (e justamente nos pontos onde o denominador se anula) e àquelas definidas por várias
sentenças, usando chaves no começo e diversos se s .
Derivada:
Acréscimos de Variáveis:
Em uma função que possui a lei de correspondência dada por y = f(x), temos que y é chamado de variável dependente da função e x de variável independente.
Quando a variável independente x assume os valores x = x1 e x = x2,o acréscimo de x é obtido pela
expressãox = x2– x1.
Da mesma forma, quando a variável dependente y, assume valores y = y1 e y = y2, cujo acréscimo
de y é calculado por y = y2 – y1, onde y é chamado de acréscimo da variável dependente ou taxa de
variação da função.
Taxa de Variação da Função:
Considerando x variando no intervalo [x1, x2], a taxa média de variação da função ou razão
incre-mental de uma função y = f(x) definida e contínua nesse intervalo é dada pelo quociente y/x.
Obs3: Se no lugar de y, tivermos f(x), então, y = y2 – y1 pode ser dado por f(x) ou simplesmente por
x f
= 2 1
1 2 x x ) x ( f ) x ( f
Obs4: Se x é dado por x = x2 – x1, então x2 = x1 + x. Desta forma podemos reescrever f(x) = f(x2)–
f(x1) como f(x) = f(x1 + x) – f(x1) e taxa de variação média pode ser dada como:
x ) x ( f ) x x (
f 1 1
Definição Informal de Derivada:
Denomina-se derivada de uma função y = f(x) num ponto de abscissa x1, o limite, se existir e for
finito, da razãoy xquandoxtende a zero.
Notamos que à medida que
x
diminui, a taxa y xdá informações cada vez mais precisa sobrea variação do valor de y próximo do valor de x.
Este limite fornece a taxa instantânea de variação da grandeza y em relação a grandeza x.
Definição de Derivada:
Dada uma função y = f(x) a função derivada da variável y em relação a x, denotada por dy/dx, é a função que fornece a taxa de variação instantânea de y (imagem) em relação a x (domínio), sendo obtida por meio do seguinte limite:
x ) x ( f ) x x ( f lim x y lim 0 x 0 x Conceitos:
A Derivada de uma função y = f(x) é uma outra função real que possui as seguintes interpretações: a) Física: É a relação instantânea entre a taxa de variação da imagem e do domínio da função f(x), ou o
impacto proporcional que um pequena variaç~o no domínio vari|vel x ter| na imagem vari|vel y .
Geralmente a notação é dy/dx. Criada por Isaac Newton.
b)Geométrica: É a inclinação da reta que tangencia a função f(x), em torno de cada ponto estudado,
chamada de reta tangente. Geralmente a notaç~o pode ser f x ou y . Criada por Leibnitz.
Equação da Reta Tangente:
Seja a função y = f(x), e sua derivada f x . Dado um ponto P = x0, y0) pertencente ao gráfico de
f(x), ou seja, y0 = f(x0), a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em x = x0 será dada por:
(y – y0 = f x0)∙(x – x0)
Crescimento da Função:
Seja a função y = f(x), e sua derivada f x . Logo, para o ponto x = x0temos que f x0) pode ser
tanto a taxa de variação instantânea de f(x) em x0, quanto coeficiente angular da reta tangente à f(x) em
x0.
Se f x0) > 0, dizemos que em x0 a função f(x) possui taxa de variação positiva e, graficamente,
sabemos que a função f(x) está crescendo quando passa por x0.
Se f x0) < 0, dizemos que em x0 a função f(x) possui taxa de variação negativa e, graficamente,
Propriedades de Derivada ou Derivação:
i) Se f x = c, então f′ x = 0; (Derivada da Constante é Zero) ii) Se f x = xn, então f′ x = n∙xn−1;
iii) Se f x =x1n, fazemos f x = x−n, e então f′ x = (−n)∙x −n+1 ;
iv) Se f x = n x, fazemos f x = x 1n, e então f′ x = 1
n ∙x
1 n−1 ;
v) [f x + g(x)]′= f ′(x) + g ′(x); (Regra da Soma ou Adição)
vi) [f x ∙g(x)]′= f ′(x)∙g(x) + f(x)∙g ′(x); (Regra do Produto ou Multiplicação)
vii) gfxx ′ =f′ x ∙gxg −2(x)f(x)∙g′(x); (Regra da Divisão ou Quociente)
viii) fog x ′ = [f(g x )]′= f ′(g(x))∙g′ ′(x); (Regra da Cadeia ou Composição)
Derivadas de Ordem Superior:
Seja a funç~o y = f x , e sua derivada f x . Derivar mais uma vez a funç~o f x , significa determinar
sua derivada segunda ou derivada de segunda ordem, denotada f x , que nada mais é do que derivar
nova-mente f x . Matematicamente, f x = f x = f x . Este conceito se estende a derivadas de ordens superiores. Notação:
Derivada Primeira f x dydx Derivada Segunda f x ddx2y2
Derivada Terceira f x ddx3y3 ... ... ... Derivada Enésima f(n)(x) dny
dxn
Diferenciabilidade:
Seja a funç~o y = f x , e sua derivada f x . Dizemos que f x é deferenci|vel em x = x0, se x0 está no domínio de f x , isto é, se é possível determinar ou calcular f x0). Caso seja possível se calcular a
derivada de todos os pontos da função f(x), dizemos que f é diferenciável. A diferenciabilidade, bem como a continuidade, é um conceito local.
Máximos e Mínimos:
Seja a função y = f(x) definida em uma intervalo [a, b] contendo o número real c, então: i)F(c) é o mínimo absoluto de f em [a, b] se f(c) f(x), para todo elemento x em [a, b]. ii)F(c) é o máximo absoluto de f em [a, b] se f(c) f(x), para todo elemento x em [a, b].
Os valores de máximo e mínimo de uma função podem ser chamados também de extremos ou valores extremos. Podem ocorrer no interior ou na fronteira do intervalo [a, b], e ainda existir mais de um de cada simultaneamente.
Se existe um intervalo aberto ao redor de c, onde f(c) atinge um máximo (ou mínimo), então f(c) é um máximo relativo (ou mínimo relativo). Todo extremo absoluto é relativo, mas nem todo extremo relativo é absoluto.
Existindo f(c), então c será um ponto crítico de f se uma das duas condições forem satisfeitas: f c =
extremos relativo só pode ocorrer em um ponto crítico. Por isto dizemos que os pontos críticos são os candidatos em po-tencial para extremos relativos e eles que devem ser analisados.
Regra para Determinação de Extremos Absolutos: 1)Derive a função e determine seus pontos críticos. 2)Calcule a imagem deles ou a f(x) deles.
3)Caso o domínio da função seja um intervalo [a, b], calcule f(a) e f(b).
4)O menor dentre todas as imagens calculadas nos itens 2 e 3 será o mínimo absoluto e o maior, o máximo absoluto.
Teste da Taxa de Crescimento:
Seja f(x) uma função diferenciável no intervalo ]a, b[:
i) Se f x > 0, para todo x em a, b , f é crescente neste intervalo. ii) Se f (x) < 0, para todo x em ]a, b[, f é decrescente neste intervalo. iii)Se f x = 0, para todo x em a, b , f é constante neste intervalo.
Teste da Primeira Derivada:
1)Derive a função f(x) e determine seus pontos críticos.
2)Determine ainda todos os pontos de descontinuidade da função original f(x).
3)Monte uma tabela de análise contendo todos os intervalos compreendidos entre os pontos obti-dos nos itens 1 e 2.
4)Para cada intervalo, escolha um ponto qualquer em seu interior e calcule sua derivada. 5)Entre um intervalo e seu consecutivo, se o sinal da derivada
a. Muda de negativo para positivo; o extremo é um mínimo relativo. b. Muda de positivo para negativo; o extremo é um máximo relativo. c. Não muda de sinal; então não é nada.
Dizemos que o gráfico de uma função f(x) é convexo se sua concavidade é voltada para cima (), e di-zemos que ele é côncavo se sua concavidade é voltada para baixo (). Um número real c no domínio de f(x) é um ponto de inflexão se o gráfico da função muda de concavidade nele. Se f c = 0 ou f c → ∞, então c é um candidato em potencial para ser um ponto de inflexão.
Teste da Concavidade:
Seja f(x) uma função duas vezes diferenciável no intervalo ]a, b[:
i) Se f x > 0, para todo x em a, b , ent~o o gr|fico de f é convexo neste intervalo. ii) Se f x < 0, para todo x em a, b , ent~o o gr|fico de f é côncavo neste intervalo.
Teste da Segunda Derivada:
1)Derive a funç~o f x e determine seus pontos críticos c, do tipo f c = 0.
2)Calcule a derivada segunda de f(x), ou seja, f x .
a. Se f c > 0, a funç~o f x é convexa em c e ele ser| um ponto de mínimo relativo. b. Se f c < 0, a funç~o f x é côncava em c e ele ser| um ponto de m|ximo relativo.
c. Se f c = 0, nada podemos afirmar.
Traçado de Gráficos:
Regra para o Esboço de Gráficos:
1) Faça um esboço preliminar do plano cartesiano. 2) Determine o domínio de f(x).
3) Calcule e marque no plano as interseções com os eixos y (fazendo x = 0) e x (marcando as raízes da função f(x), isto é, valores de x para o qual f(x) = 0).
4) Encontre todos os pontos de descontinuidade de f(x).
6) Determine e marque as assíntotas horizontais (usando limites no infinito, ±∞). 7) Derive f x e encontre os pontos onde f c) → ∞ onde se formam os bicos .
8) Determine os pontos críticos e extremos relativos (Teste da Primeira Derivada). 9) Faça a segunda derivada e estude a concavidade da função f(x).
10)Determine os pontos de inflexão. 11)Trace o esboço final do gráfico.
Integral:
Noções de Integral Indefinida
Dada uma função f(x), definida num intervalo I, uma primitiva de f(x) ou antiderivada de f(x) neste intervalo I é uma função F(x), tal que
F`(x) = f(x),
para todo x em I.
Dessa maneira, observamos que o processo de primitivação é o inverso do processo de derivação. Se duas funções contínuas têm derivadas iguais em I, então elas diferem apenas por uma constante. Por outro lado, se F(x) é uma primitiva de f(x) num intervalo I, então F`(x) = f(x), para todo x em I e, portanto, para cada C constante real, a função dada por F(x) + C também é uma primitiva de f.
Devido à relação existente entre anti-derivadas e integrais, garantida pelo Teorema Fundamental do Cálculo, utiliza-se a notação:
C dx ) x ( f C ) x (
F
para representar o conjunto de todas as primitivas ou anti-derivadas de f.
O símbolo ∫ é denominado integral indefinida de f e, para cada C real fornece uma funç~o cuja
derivada é a função integrando f.
Neste caso dependemos de saber encontrar anti-derivadas. Dessa maneira, poderemos elaborar uma tabela onde, em cada linha teremos, na coluna à esquerda, uma dada função e na coluna à direita, sua integral indefinida, isto é, o conjunto de suas primitivas.
A função integrando e suas primitivas
para
Noções de Integral Definida:
O objetivo aqui é chegar a uma definição precisa da integral definida. Seja inicialmente f(x) uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que f(x) não é negativa em nenhum ponto do intervalo [a, b].
Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x variando em [a, b]. Para tanto, vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos, cada um deles de mesmo tamanho, que chamaremos dex.
Aproximaremos a área colorida da seguinte forma: somando a área de cada retângulo formado tomando como base x(tamanho de cada subintervalo) e como altura a imagemf(xi*)de algum pontoxi*
de cada um dos n subintervalos.
Desta forma, temos que a área aproximada da figura é a soma das áreas dos retângulos, dada pela seguinte fórmula:
Quando fazemos crescer indefinidamente ou crescer o tanto quanto for necessário o número de sub-intervalos, isto é, fazemos n; tendemos a obter uma área cada vez mais próxima da área original.
Assim, a integral definida da função f, sendo f x 0 no intervalo [a, b], é igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses retângulos tende a infinito. Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal e o gráfico da função f, para x no intervalo [a, b].
Definição de Integral:
Entretanto, a definição de integral definida de uma função contínua num intervalo pode ser naturalmente estendida, sem a condição a respeito do sinal da função no intervalo dado.
Propriedades de Integral:
Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função f+g também será e
Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k.f é integrável em [a,b] e
Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e f x 0 em [a,b] então
Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c um número em [a,b], então
Propriedade 5: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b] e f x g x em [a,b]
Teorema Fundamental do Cálculo:
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b], onde G(x) é uma qualquer primitiva de f(x), isto é, tal que G'(x) = f(x).
Então, podemos calcular
Obs1: Não se deve confundir integral definida com integral indefinida. Uma integral definida
b af(x)dx
A
é um número, pois representa uma área A, enquanto uma integral indefinida
