Números Complexos Número complexo. Operações com números complexos Plano complexo. Forma trigonométrica de um número complexo Potenciação e radiciação

Números Complexos

Número complexo.

 Operações com números complexos

 Plano complexo.

 Forma trigonométrica de um número complexo

 Potenciação e radiciação

Números Complexos

Definição:

 Um número complexo é um número da forma: z = 𝑎 + 𝑏𝑖 em que 𝑎 e 𝑏 são

números reais e 𝑖 é chamado número imaginário.

 o número 𝑎 é chamado parte real e o número 𝑏 é a parte imaginária.

 o número imaginário é a raiz quadrada de

− 1, isto é, 𝑖 = −1 ⟺ 𝑖

= −1

Números Complexos

 Notação: o conjunto dos números complexos é designado pela letra 𝑪.

O conjunto 𝑪 é o maior conjunto, pois, temos que:

𝑵 ⊂ 𝒁 ⊂ 𝐐 ⊂ 𝑹 ⊂ 𝑪

 𝑵 é o conjunto dos números naturais

 𝒁 é o conjunto dos números inteiros

 𝐐 é o conjunto dos números racionais

 𝑹 é o conjunto dos números reais

 𝑪 é o conjunto dos números complexos

Números Complexos

Exemplos de números complexos:

a)

𝑧 = 3 + 2𝑖: a parte real do número é 3 e a parte imaginária o número 2.

b)

𝑧 = −1 + 𝑖: −1 é a parte real e 1 é a parte imaginária.

c)

𝑧 = −5𝑖 a parte real é 0 e a parte imaginária é 5.

d)

𝑧 = 4 : a parte real é 4 e a parte imaginária é 0.

Obs.



um número complexo com parte imaginária nula é chamado real puro e



um número complexo com a parte real nula é

chamado de imaginário puro.

Números complexos

Representação geométrica

Todo número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 pode ser

representado no plano cartesiano como um ponto

𝑃(𝑎, 𝑏) onde a abcissa é a parte real e a ordenada a parte

imaginária.

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Módulo e argumento de um número complexo

 O módulo de um número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é dado por:

𝑧 = 𝑎 ² + 𝑏 ²

 O argumento de um número 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é o ângulo que o número 𝑧 faz com o

semi-eixo positivo das abcissas.

Números Complexos

arg 𝑧 =

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 _𝑎 ^𝑏 , 𝑎>0

𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ^𝑏 _𝑎 , 𝑎 < 0, 𝑏 > 0

−𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ^𝑏 _𝑎 , 𝑎 < 0, 𝑏 < 0

𝜋

2 , 𝑎 = 0, 𝑏 > 0

; 𝜋

2 , 𝑎 = 0, 𝑏 < 0

Números complexos

Exemplos:

a) Seja o número complexo 𝑧 = 2 + 2𝑖



O seu séu módulo é:

𝑧 = 2 + 2𝑖 = 2

+ 2

= 8



O seu argumento é:

arg 𝑧 = arg 2 + 2𝑖 = 45°

b) Seja o número complexo 𝑧 = −1 + 𝑖



O seu módulo é

𝑧 = −1 + 𝑖 = 1

+ 1

= 2



O seu agumento é:

arg 𝑧 = arg −1 + 𝑖 = 135°

Números complexos

Operações com números complexos Igualdade de números complexos:

Dois números complexos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 são iguais se as partes reais e as partes imaginárias são iguais, ou seja:

𝑧 = 𝑤 ⟺ 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑 Exemplo: determine 𝑥 e 𝑦 de modo que:

𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 6𝑖 e 𝑤 = 5 + 𝑥 + 4𝑦 𝑖 sejam iguais

Resolução:

𝑧 = 𝑤 ⇔ 2𝑥 + 𝑦 = 5

𝑥 + 4𝑦 = 6 ⟺ 2𝑥 + 𝑦 = 5

−2𝑥 − 8𝑦 = −12 ⟺ −7𝑦 = −7

⟺ 𝑦 = 1

Substituindo 𝑦 = 1 em 2𝑥 + 𝑦 = 5, temos 𝑥 = 2

Números Complexos

Adição

Sejam 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖

 Soma de dois números complexos é:

𝑧 + 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + (𝑐 + 𝑑𝑖)

= 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖

Exemplos:

Sejam 𝑧 = 2 + 3𝑖 e 𝑤 = 5 + 4𝑖 Adição 𝑧 + 𝑤 = 2 + 3𝑖 + 5 + 4𝑖

= 7 + 7𝑖

Números Complexos

Subtracção de número complexo Chama-se diferença de dois números complexos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ao número.

𝑧 − 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 − (𝑐 + 𝑑𝑖)

= 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖 Exemplo:

𝑧 = 2 + 5𝑖 e 𝑤 = −4 − 7𝑖

𝑧 − 𝑤 = 2 + 5𝑖 − (−4 − 7𝑖)

= 6 + 12𝑖

Números Complexos

Produto de dois números Chama-se produto de dois números

complexos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ao número

𝑧 ∙ 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∙ 𝑐 + 𝑑𝑖

= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 Exemplo:

𝑧 ∙ 𝑤 = (2 + 3𝑖) ∙ (5 + 4𝑖)

= 2 ∙ 5 − 3 ∙ 4 + (2 ∙ 4 + 3 ∙ 5)𝑖

= 10 − 12 + (8 + 15)

Númeeros complexos

 O conjugado do número complexo

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 denotado por 𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝑖), é 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖.

Exemplo:

O conjugado complexo do número 𝑧 = −1 + 𝑖 é 𝑧 = −1 − 𝑏𝑖.

O conjugado complexo de

Números Complexos

 Quociente

Para determinar o número complexo de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖, ^𝑧

𝑤, multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado denominador, 𝑤.

𝑧

𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖 ∙ 𝑐 − 𝑑𝑖

𝑐 − 𝑑𝑖 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑖 𝑐² + 𝑑²

Exemplo: determine ^𝑧

𝑤, sendo 𝑧 = 1 + 3𝑖 e 𝑤 = 2 − 𝑖.

𝑧

𝑤 = 1 + 3𝑖

2 − 𝑖 = 1 + 3𝑖

2 − 𝑖 ∙ 2 + 𝑖

2 + 𝑖 = 2 + 𝑖 + 6𝑖 + 3𝑖²

2² − 1 = 2 + 7𝑖 − 3 3

= −1 + 7𝑖 3

Números complexos

Potências da unidade imaginária 𝑖

𝑖

= 𝑖, 𝑖

= −1, 𝑖

= −𝑖, 𝑖

= 1 𝑖

= 𝑖, 𝑖

= −1, 𝑖

= −𝑖, 𝑖

= 1 Em geral,

se 𝑛 = 4𝑝 + 𝑟; (0 < 𝑟 < 4) tem-se:

𝑖

= 𝑖

= 𝑖

+ 𝑖

Exemplo:

𝑖

=

Note que 219 = 4 ∙ 54 + 3, então

𝑖

= 𝑖

=

∙ 𝑖

= 1

. −𝑖 = −𝑖

Números complexos

Forma trigonométrica do número complexo

Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

Usando o módulo e o argumento do número complexo a sua forma

trigonométrica é:

𝑧 = 𝑧 (cos 𝜃 + isen 𝜃)

Números complexos

Exemplo: encontre a forma trigonométrica do número complexo 𝑧 = 1 + 𝑖

Resolução:

O número complexo na forma trigonométrica é:

𝑧 = 𝑧 (cos 𝜃 + isen 𝜃)

Para 𝑧 = 1 + 𝑖, temos que 𝑎 = 1 e 𝑏 = 1, então:

𝑧 = 2 𝜃 = arctan ^𝑏

𝑎 = arctan 1 ⟺ θ = ^𝜋

4 Na forma trigonométrica é:

𝑧 = 2 (cos𝜋

4 + isen𝜋 4)

Números Complexos

Operações com números complexos na forma trigonomética.

Multiplicação

Sejam 𝑧

= 𝜌

(cos 𝜃

+ 𝑖 sen 𝜃

) e 𝑧

= 𝜌

(cos 𝜃

+ 𝑖 sen 𝜃

)

Então 𝑧

∙ 𝑧

= 𝜌

cos 𝜃

+ 𝑖 sin 𝜃

∙ 𝜌

cos 𝜃

+ sen 𝜃

= 𝜌

∙ 𝜌

(cos 𝜃

cos 𝜃

− sin 𝜃

sin 𝜃

)

+ (sin 𝜃

cos 𝜃

+

cos 𝜃

sin 𝜃_2)

= 𝜌

∙ 𝜌

𝑐𝑜𝑛 𝜃

+ 𝜃

+ 𝑖 sin(𝜃

+ 𝜃

)

Números Complexos

Exemplo:

Sejam 𝑧₁ = 5 cos − ^𝜋

3 + 𝑖 sin − ^𝜋

3 e 𝑧₂ = 0,3 cos ^3𝜋

4 + 𝑖 sin ^3𝜋

4

Encontre 𝑧₁ ∙ 𝑧₂

Resolução 𝑧₁ ∙ 𝑧₂ =

= 5 cos −^𝜋

3 + 𝑖 sin − ^𝜋

3 ∙ 0,3 cos ^3𝜋

4 + 𝑖 sin ^3𝜋

4

= 1,5 cos 5𝜋

12 + 𝑖 sen 5𝜋 12

Números Complexos

Divisão

Sejam 𝑧 ₁ = 𝜌 ₁ (cos 𝜃 ₁ + 𝑖 sen 𝜃 ₁ ) e 𝑧 ₂ = 𝜌 ₂ (cos 𝜃 ₂ + 𝑖 sen 𝜃 ₂ )

Temos então:

𝑧 ₁

𝑧 ₂ = 𝜌 ₁

𝜌 ₂ (cos 𝜃 ₁ − 𝜃 ₂ + 𝑖 sin(𝜃 ₁ − 𝜃 ₂ ))

Números Complexos

Exemplo: dados os números 𝑧

= 8 cos

2

+ 𝑖 sen

2

𝑒 𝑧

= 0,25 cos

3

+ 𝑖 sen

3

encontre

𝑧₂

resolução

𝑧₁

𝑧₂

=

0,25

cos

2

−

3

+ 𝑖 sen

2

−

3

= 32 cos 𝜋

6 + 𝑖 sen 𝜋

6

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Potenciação

Seja 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 um número complexo.

A potência de índice 𝑛 é dado por:

𝑧 = 𝑧 ^𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃

Dado 𝑧 = 1 + 𝑖 𝑧 = ( 2) ³ cos 3 ^𝜋

4 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛3 ^𝜋

4 𝑧 = 2 2 cos 3 ^𝜋

4 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛3 ^𝜋

4

Números complexos

Radiciação Seja 𝑧 um número complexo e.

Raiz de índice 𝑛 de 𝑧 (𝑛 ∈ 𝐼𝑁) é qualquer número complexo 𝑧 tal que: 𝑤^𝑛 = 𝑧 e pode escrever-se

𝑤 = ^𝑛 𝑧

Escrevendo z = 𝑧 cos 𝜃 + isen 𝜃 , temos 𝑤_𝑘 = ^𝑛 𝑧 cos 𝜑 + 2𝑘𝜋

𝑛 + 𝑖 sin 𝜑 + 2𝑘𝜋 𝑛

𝑘 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1 Se 𝑘 = 0, 𝑤₀ = ^𝑛 𝑧 ^{cos 𝜑}

𝑛 + 𝑖 ^{sin 𝜑}

𝑛

Se 𝑘 = 1, 𝑤₁ = ^𝑛 𝑧 ^{cos 𝜑:2𝜋}

𝑛 + 𝑖 ^{sin 𝜑:2𝜋}

𝑛 …

Números complexos

Exemplo: encontre a raiz de índice 4 de 𝑧 = 1 + 𝑖

Resolução

Sendo 𝑧 = 2 e 𝜃 = ^𝜋

4

𝑤_𝑘 = ^𝑛 𝑧 cos 𝜑 + 2𝑘𝜋

𝑛 + 𝑖 sin 𝜑 + 2𝑘𝜋 𝑛

𝑘 = 0, 1, 2, 3.

Para 𝑘 = 0 𝑤₀ = ⁴ 𝑧 ¹

4 cos ^𝜋

4 + 𝑖 s𝑒𝑛 ^𝜋

4 para

𝑤₁ = ⁴ 𝑧 ¹

4 cos ^𝜋:2𝜋

4 + 𝑖 s𝑒𝑛 ^𝜋:2𝜋

4 Para 𝑘 = 1