MAT5711 - C´alculo Avan¸cado

MAT5711 - C´ alculo Avan¸cado

Aula 1

18 de mar¸co de 2020

Conte´ udo

0.1 Aula 1 - 18 de mar¸co . . . 4 0.2 Aula 2 - 20 de mar¸co . . . 8 0.3 Aula ? - 29 de Abril . . . 12

0.1 Aula 1 - 18 de mar¸ co

Na ´ultima aula que tivemos presencialmente, no dia 13, foi introduzido o conceito de imers˜ao.

Defini¸c˜ao 1. Seja A um aberto de Rⁿ e f:A → R^n+k (k ≥ 0) uma fun¸c˜ao de classe C¹. Dado x0∈A, dizemos quef ´e umaimers˜aoemx0 seDf(x0) ´e injetora.

Lembrar o que isso significa em termos da matriz jacobiana tamb´em ´e importante. Dizer quef

´

e uma imers˜ao emx₀ implica que a matriz jaccobiana possui um menorn×n com determinante n˜ao-nulo. e depois, foi apresentada uma proposi¸c˜ao (cuja demonstra¸c˜ao ´e baseada na forma vetorial do teorema do valor m´edio.

Proposi¸c˜ao 1. Sejam, como acima, A ⊆ Rⁿ aberto e f: A → R^n+k (k ≥ 0) uma fun¸c˜ao C¹. Suponhamos quef seja uma imers˜ao em um certo pontox0∈A.Ent˜ao existe uma vizinhan¸caU de x0, U ⊆Atal quef ´e injetora emU. Al´em disso, se chamo W =f(U),temos que f⁻¹: W →U ´e cont´ınua.

Exemplo 1. Considere a fun¸c˜aof:R²→R²⁺¹ dada por

f(x, y) = (x²+ 1,2x+ 3y, xy+ 5x²).

Observe quef ´e de classeC¹,pois todas as derivadas parciais existem e s˜ao cont´ınuas. Nesse caso, a matriz jacobiana num ponto (x₀, y₀)∈R²´e

Jf(x0, y0) =









∂ f₁

∂x(x0, y0) ^{∂ f}_∂y¹(x0, y0)

∂ f₂

∂x(x0, y0) ^{∂ f}_∂y²(x0, y0)

∂ f₃

∂x(x0, y0) ^{∂ f}_∂y³(x0, y0)









=





2x0 0

2 3

y0+ 10x0 x0





Suponha quef n˜ao ´e uma imers˜ao num certo ponto (x, y∈R².Ent˜ao, devemos ter todos os menores com determinante nulo, ou seja

2x 0 2 3

=

2x 0 y+ 10x x

=

2 3 y+ 10x x

= 0⇒









 6x= 0 2x²= 0

−28x−3y= 0

⇒(x, y) = (0,0).

Portanto, conclu´ımos quef ´e uma imers˜ao para todos os pontos deR²\ {(0,0,}.

Exemplo 2. DadoA= (0,7)²⊆R²,seja a fun¸c˜aog:A→R³dada por g(x, y) =

x^y, x,12y⁴−49y³+ 66xy²−35yx²+ 6x Veja queg ´e de classeC¹.A matriz jacobiana que representaDg(x0, y0) ´e dada por

J_g(x₀, y₀) =









∂ g₁

∂x(x0, y0) ^{∂ g}_∂y¹(x0, y0)

∂ g2

∂x(x0, y0) ^{∂ g}_∂y²(x0, y0)

∂ g3

∂x(x₀, y₀) ^{∂ g}_∂y³(x₀, y₀)









=





yx^y−1 x^ylogx

1 0

66y²−70xy+ 6 3y²(16y−49)−35x²+ 132xy





Como anteriormente, suponha quegn˜ao ´e uma imers˜ao num certo ponto (x, y)∈R².Ent˜ao, devemos ter todos os menores com determinante nulo, ou seja

yx^y−1 x^ylogx

1 0

=

yx^y−1 x^ylogx

66y²−70xy+ 6 3y²(16y−49)−35x²+ 132xy

=

CONTE ´UDO 0.1. AULA 1 - 18 DE MARC¸ O

1 0

66y²−70xy+ 6 3y²(16y−49)−35x²+ 132xy

= 0⇒











−x^ylogx= 0 2x²= 0

3y²(16y−49)−35x²+ 132xy= 0 Do primeiro menor, devemos−x^ylogx= 0 o que implica que x= 0 oux= 1.Mas como o dom´ınio de g ´e A, segue que a ´unica op¸c˜ao poss´ıvel ´e x = 1. Analisemos agora o segundo menor. Sendo x= 1,temos y(3y²(16y−49) + 132y−35) = 0.Observando o 3y²(16y−49)−35x²+ 132xy = 0, ex= 1, logo 3y²(16y−49) + 132y−35 = 0. Precisamos analisar as ra´ızes da equa¸c˜ao de terceiro grau 48y³+ 147y²+ 132y−35 = 0. Dada uma equa¸c˜ao de terceiro graux³+a₂x²+a₁x+a₀= 0, se considerarmos

Q=3a1−a²₂

9 e R= 9a1a2−27a0−2a³₂

54 ,

temos 3 situa¸c˜oes poss´ıveis:

• SeQ³+R²>0,a equa¸c˜ao possui uma solu¸c˜ao real e duas imagin´arias e conjugadas;

• SeQ³+R²= 0,a equa¸c˜ao possui 3 solu¸c˜oes reais, e pelo menos duas delas s˜ao iguais;

• SeQ³+R²<0,todas as solu¸c˜oes s˜ao reais e distintas entre si, podendo ser obtidas por











x₁= 2√

−Qcos

θ 3

x₂= 2√

−Qcos

θ 3+^2π₃ x3= 2√

−Qcos

θ 3+^4π₃

, onde cosθ=− R p−Q³.

Para o nosso caso, temos a equa¸c˜aoy³−⁴⁹₁₆y²+¹¹₄y−³⁵₄₈ = 0,e assim Q= 3 ¹¹₄

− −⁴⁹₁₆2

9 =−

17 48

2

e R=9· ¹¹₄

−⁴⁹₁₆

−27 −³⁵₄₈

−2 −⁴⁹₁₆3

54 = 2737

110952. Como

− ¹⁷₄₈²3

+ ₁₁₀₉₅₂^{2737 2}

= ₍₂⁻¹⁷4·3)⁶⁶ + ⁷²₂^·1724²·3^{·236 2} = − ₂₃₀₄^{85 2}

< 0. Assim, a equa¸c˜ao admite 3 ra´ızes reais distintas, sendo elas











ξ₁= ¹⁷₂₄cos

θ 3

ξ₂= ¹⁷₂₄cos

θ 3+^2π₃ ξ₃= ¹⁷₂₄cos

θ 3+^4π₃

, onde cosθ=−10752 19363.

Vemos que 0 < ξi < 1, e portanto, (1, ξi) ∈ A. Assim g ´e uma imers˜ao para todo ponto de A\ {(1, ξ1),(1, ξ2),(1, ξ3)}.

Vejamos o que significa a proposi¸c˜ao 1. Dado qualquer ponto que n˜ao seja (1, ξ_i), vimos que a fun¸c˜aog acima ´e uma imers˜ao. Obviamente, isso n˜ao significa necessariamente que g seja injetora (basta ver queg(1,1) =g(1,2) =g 1,¹₃

=g 1,³₄

= (1,1,0)). Por´em, o fato degser uma imers˜ao implica uma injetividade local deg.Considere o ponto (2,3). g´e uma imers˜ao nesse ponto. Assim, a proposi¸c˜ao 1 nos garante que existe um abertoU ⊆A contendo (2,3) no qualg´e injetora. Nesse caso espec´ıfico, podemos tomarU = (1,3)×(2,4).

O Teorema faz uso de uma vers˜ao de tipo vetorial do teorema do valor m´edio.

No mesmo arquivo, os exemplos da p´agina 62-63 s˜ao interessantes e sugiro que vocˆes estudem eles.

Uma consequˆencia da proposi¸c˜ao 1 ´e o teorema seguinte:

Teorema 1 (Teorema da Imers˜ao). Sejam A ⊆Rⁿ aberto e f:Rⁿ →R^n+k (k >0) de classeC¹. Sejax₀∈Afixado. Sef ´e uma imers˜ao em x₀,ent˜ao existe um abertoU ⊆A, tal quex₀∈U (ou seja, uma vizinhan¸ca aberta de x₀ contida emA e tal que f(U) ´e gr´afico de uma fun¸c˜ao de classe C¹g:W →R^k, ondeW ´e um aberto em Rⁿ.

Antes de dar a demonstra¸c˜ao, observe queW n˜ao ser´a contido emA,nem ir´a conterx0.Temos um problema de dimens˜oes; g ser´a uma fun¸c˜ao de n vari´aveis, f ´e uma fun¸c˜ao de n+k vari´aveis.

Observe tamb´em a conclus˜ao do enunciado do teorema, a fun¸c˜aog cai em R^k, assimk precisa ser pelo menos 1.

Outra observa¸c˜ao antes de ver a demonstra¸c˜ao: Pegue uma fun¸c˜ao qualquer (pelo menos C¹);

por exemplo h(x) :R→R, h(x) =x². Veja que hn˜ao ´e injetora. E pegue o gr´afico dela, G(h) = {(x, y)∈R:y=x²}.Observe que tal gr´afico ´e imagem de uma fun¸c˜aof: R→R², f(x) = (x, x²).

(G(h) ´e imagem def,n˜ao gr´afico def,o gr´afico def est´a emR³e s˜ao os pontos (x, x, x²); ´e outra coisa e aqui n˜ao interessa). Observe quef ´e uma imers˜ao em todos os pontos do dom´ınio (verifique como exerc´ıcio). O teorema trara em geral deste tipo de fun¸c˜oes.

Demonstra¸c˜ao. considereDf(x)0 o operador diferencial, que ´e injetor por hip´otese. Seja a matriz jacobiana associada

Jf(x0) =











∂ f₁

∂x₁(x0) · · · _∂x^{∂ f1}

n(x0) ... . .. ...

∂ f_n+k

∂x₁ (x0) · · · ^{∂ f}_∂x^n+k

n (x0)











Jf(x0) ´e uma matriz retangular, n˜ao tem determinante. As linhas dela s˜ao vetores deRⁿ.Pelos resultados cl´assicos de ´Algebra Linear¹, temos nlinhas linearmente independentes emRⁿ.Ou seja, em outras palavras, essas linhas podem ser isoladas para formar uma matriz quadrada que ter´a determinante n˜ao-nulo.

• Caso 1: Suponhamos que tais linhas sejam asnprimeiras. Nesse caso,

J_f(x₀) =

∂ f₁

∂x₁(x0) . . . _∂x^{∂ f1}

n(x0) ... . .. ...

∂ f_n

∂x₁(x0) . . . ^{∂ f}_∂xⁿ

n(x0)

∂ f_n+1

∂x₁ (x₀) . . . ^{∂ f}_∂xⁿ⁺¹

n

(x₀) ... . .. ...

∂ fn+k

∂x₁ (x₀) . . . ^{∂ f}_∂x^n+k

n (x₀)

Imagine agora a identifica¸c˜ao natural deR^n+k comRⁿ×R^k (parece bobagem, mas ´e bom que seja declarada, porque vamos trabalhar comRⁿ×R^k,´e mais pr´atico). Podemos assim escrever

f(x) = (v(x), w(x)),

ondev:A→Rⁿ, w: A→R^k.Pela hip´otese deste caso 1,Dv(x₀) :Rⁿ→Rⁿ´e um isomorfismo.

Aplicamos o teorema da fun¸c˜ao inversa; existem uma vizinhan¸ca abertaU dex₀emRⁿ(U ⊆A) e uma vizinhan¸ca abertaV dev(x₀) emRⁿ tais que a restri¸c˜ao devaU, v: U →V ´e injetora e sobrejetora, C¹ e com inversaC¹.Seja agorag:V →R^k,ondeg(y) =w(v⁻¹(y)) definida em um aberto deRⁿ que cont´em v(x0) (n˜aox0).

1Vejam por exemplo o livro do Serge Lang ou muitos outros igualmente

CONTE ´UDO 0.1. AULA 1 - 18 DE MARC¸ O Agora, a imagem def emU ´e{(v(x), w(x)), x∈U}.O gr´afico deg´e

G(g) ={(y, g(y)) :y∈V};

assimy=v(x), x∈U eg(y) =w(v⁻¹(y)) =w(x), x∈U.Ou seja, os dois conjuntos s˜ao iguais.

• Caso 2: ConsidereDf(x₀) e imagine que, emJ_f(x₀),as linhase_j1, . . . , e_jnsejam linearmente independentes, ondei7→j_i´e uma aplica¸c˜ao crescente e injetora de{1, . . . , n}em{1, . . . , n+k}.

A ideia mais natural aqui ´e tentar dar um jeito de fazer essas linhas se tornarem as primeiras e aplicar o caso anterior. Para isso, vamos fazer uma multiplica¸c˜ao de matrizes que resolva nosso problema. Considere o isomorfismo linear T:R^n+k → R^n+k, definido da seguinte maneira:

chame ej o j-´esimo elemento da base canˆonica de R^n+k. T(ej₁) = e1, . . . , T(ej_n) =en; al´em disso, sobramkvetores da base canˆonica deR^n+k (tirando osej) que devem ser aplicados em en+1, . . . , en+k.

Considere ˜f =T◦f:A→R^n+k.Observe queJf˜(x0) possui as primeirasnlinhas linearmente independentes, recaindo no caso 1.

UseT para obterg que funcione paraf.

Ao lado do conceito de imers˜ao tem aquele de submers˜ao:

Defini¸c˜ao 2. SejamAaberto emRⁿ ef: A→R^mde classeC¹.Dadox₀∈A, f ´e ditasubmers˜ao emx₀seDf(x₀) ´e sobrejetora.

Neste caso, a matriz jacobiana

J_f(x₀) =











∂ f₁

∂x₁(x0) · · · _∂x^{∂ f1}

n(x0) ... . .. ...

∂ f_m

∂x₁(x0) · · · ^{∂ f}_∂x^m

n(x0)











tem estritamente mais colunas do que linhas, porquen≥m,sendoDf(x0) sobrejetora. EJf(x0) possuimcolunas linearmente independentes.

Teorema 2 (Teorema da Submers˜ao). Sejam A ⊆ R^n+p aberto e f: A → R^n+p de classe C¹, submers˜ao em um ponto x0 ∈A. Suponhan >0.Ent˜ao existe um abertoU deR^n+p, x0∈U ⊆A tal quef(U) ´e aberto emR^p.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que a matriz jacobiana deDf(x0) seja da forma J_f(x₀) = J₁ J₂

, onde

J1=











∂ f₁

∂x₁(x0) · · · _∂x^{∂ f1}

n(x0) ... . .. ...

∂ fp

∂x₁(x₀) · · · _∂x^{∂ fp}

n

(x₀)









 e

J₂=











∂ f₁

∂x_n+1(x0) · · · _∂x^{∂ f1}

n+1(x0) ... . .. ...

∂ f_p

∂x_n+p(x0) · · · _∂x^{∂ fp}

n+p(x0)











Observe que J1 ´e retangular, e suponhamos que estamos num caso an´alogo ao caso 1 do teorema anterior, ou seja, detJ₂6= 0.

Se n˜ao for assim, podem primeiro ver a demonstra¸c˜ao deste caso onde as colunas linearmente independentes est˜ao ordenadas nas ´ultimas posi¸c˜oes, para depois proceder de um jeito parecido ao caso 2 geral do teorema anterior.

Assim, considere F:A → Rⁿ×R^p. Imagine R^n+p = Rⁿ×R^p e os pontos apresentados como pares (s, t), s∈ Rⁿ, t ∈ R^p. Portanto, definimos F:A → Rⁿ×R^p, por F(s, t) = (s, f((s, t)). Seja (s0, t0) =x0. F ´e claramenteC¹,e temos

JF(s0, t0) =

Id_Rⁿ 0 J1 J2

.

O determinante deJF(s0, t0) ´e n˜ao-nulo.

Portanto, podemos aplicar o teorema da fun¸c˜ao inversa. Existem um abertoU de R^n+p, com x0= (s0, t0)∈U ⊆Ae um abertoW deRⁿ×R^p, F(s0, t0)∈W tais queF ^U:U →W ´e biun´ıvoca.

Observe quef(U) ´e a proje¸c˜ao deW sobre o segundo espa¸co, ou seja,P: Rⁿ×R^p→R^p, P(w1, w2) = w2ef(U) =P(W) ´e aberto e este fato conclui a prova.

Exerc´ıcio 1. Prove queP manda abertos em abertos.

0.2 Aula 2 - 20 de mar¸ co

Como consequˆencia do Teorema da Submers˜ao 2, temos o seguinte

Corol´ario 1. SejaA⊆R^n+p aberto, ef:A→R^pde classeC¹uma submers˜ao em todos os pontos deA. Sen >0,ent˜aof ´e aberta e n˜ao ´e injetora.

Observa¸c˜ao 1. Uma fun¸c˜aof ´e dita aberta se manda conjuntos abertos do dom´ınio em conjuntos abertos do contradom´ınio. A condi¸c˜ao n > 0 serve unicamente para provar que f n˜ao pode ser injetora.

Demonstra¸c˜ao. Vamos provar quef ´e aberta. Seja B ⊆A um aberto (sendo A aberto ou R^n+p, B ⊆A ´e aberto emA se e somente se ´e aberto em R^n+p, diferente seria a hist´oria se falamos B fechado ouAn˜ao aberto; nesses casos, ´e necess´ario dizer claramente em qual topologia). Queremos provar que f(B) ´e aberto em R^p. Seja q ∈ f(B) e seja p∈ B tal que f(p) =q. Pelo Teorema da Submers˜ao 2, existe uma vizinhan¸ca abertaUp ⊆A, comp∈ Up, tal quef(Up) ´e aberto. Assim, f(Up) ´e um aberto deR^p que cont´emqe est´a contido emf(B).Pela arbitrariedade dep,isso prova quef(B) ´e aberto. A fun¸c˜ao n˜ao pode ser injetora pela raz˜ao seguinte: sejap0∈A; sabemos que Df(p₀) :R^n+p → R^p ´e sobrejetora. Se n > 0, aplicamos o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita e existe uma vizinhan¸caU dep₀ tal que o conjunto {x∈U_p :f(x) =f(p₀)}´e gr´afico de uma fun¸c˜ao de n vari´aveis, ou seja, n˜ao se reduz ao ´unico pontop₀.

Vamos agora concluir esta parte do c´alculo diferencial multidimensional com o Teorema do Posto.

Consideramos primeiramente uma matriz

M =









a11 . . . a1n

... . .. ... am1 . . . amn









CONTE ´UDO 0.2. AULA 2 - 20 DE MARC¸ O que possuimlinhas encolunas, naturalmente associada a um operador linear que tamb´em chama- remos de M:Rⁿ →R^m, abusando um pouco da nota¸c˜ao. Em ´Algebra Linear, se define o posto de M como o n´umero m´axiom de linhas ou colunas linearmente independentes. Se prova que se max_L´e o n´umero m´aximo de linhas linearmente independentes (como vetores deRⁿ,no caso daM acima) e max_C ´e o n´umero m´aximo de colunas linearmente independentes, como vetores em R^m, ent˜ao max_L= max_C.Tal n´umerok≤min{m, n}´e chamado posto deM.

Sabemos que, se o posto de M ´e k, ent˜ao existe uma submatriz de M, quadrada k×k, com determinante n˜ao-nulo. Mas ´e necess´ario definir uma submatriz. Seja ent˜aoM como acima. Seja k≤mek≤n.Sejam duas fun¸c˜oes injetoras crescentesi→ji, i→ei,onde i= 1, . . . , k ji inteiro entre 1 emeei inteiro entre 1 e n.De fato, estamos fazendo uma sele¸c˜ao de klinhas e k colunas.

A nova matriz quadrada ´e

N =









a_j1e₁ . . . a_j1e_k ... . .. ... aj_ke1 . . . aj_kek







 .

Esta ´e uma submatriz (tamb´em dita um menor) quadrada. Em outras palavras, n˜ao se pode escolher de qualquer maneira os elementos da nova matriz. Os resultados da ´Algebra Linear dizem que se M tem postok, ent˜ao existe uma submatriz quadradak×kcom deterinante n˜ao nulo e n˜ao existe uma submatriz quadrada (k+ 1)×(k+ 1) com determinante n˜ao nulo.

Do ponto de vista linear, temos trˆes resultados (entre outros):

1. SeM ´e uma matrizm×n,ondem=ne tem posto m´aximo, ent˜ao o operador linear associado

´

e um isomorfismo;

2. Sem≥neM tem poston,ent˜ao operador linear associado ´e sobrejetor;

3. Sem≤neM tem poston, ent˜ao o operador linear associado ´e injetor.

Os trˆes casos anteriores sempre contemplam a situa¸c˜ao de M de posto m´aximo poss´ıvel. Do ponto de vista n˜ao linear, quando temos uma fun¸c˜aof de classe C¹ eDf(x0) tem posto m´aximo, temos o Teorema da Fun¸c˜ao Inversa, o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, o Teorema da Imers˜ao e o Teorema da Submers˜ao, dependendo sen=mou maior ou menor. Trata-se de teoremas n˜ao lineares e locais.

Quando, no caso linear, o posto da matriz n˜ao ´e o m´aximo poss´ıvel temos o cl´assico resultado (que assume nomes diferentes em pa´ıses diferentes)

Teorema 3 (Teorema de Rouch´e-Capelli, Teorema de Rouch´e-Frobenius). Seja M: Rⁿ → R^m o operador linear asssociado `a matri que chamamos ainda deM. Sejak o posto da matriz. Ent˜ao, a dimens˜ao do espa¸co de solu¸c˜oes do sistemaM v= 0 coincide comn−k.

No caso n˜ao linear a situa¸c˜ao ´e diferente, mas temos um resultado que cuida dos casos em que Df(x₀) n˜ao tem posto m´aximo.

Teorema 4 (Teorema do Posto). SejaA⊆R^m aberto ef:A→Rⁿ de classeC¹.Seja constante o posto deDf(x), ∀x∈A, sendoptal valor. Suponhamosp >0 (Df(x0) n˜ao ´e o operador nulo) e p < n, p < m.Dados0∈A,ent˜ao existe um abertoW ⊆A, s0∈W tal quef(W) ´e gr´afico de uma fun¸c˜aoC¹ definida em um aberto deR^p com valores emR^n−p.

Teorema 5. SejaP uma pergunta. Ent˜ao,P deve ser feita no Posto Ipiranga.

Demonstra¸c˜ao. Sejasum gen´erico ponto deA(spode ser qualquer). A matriz a ssociada aDf(s)

´ e

Jf(s) =











∂ f1

∂x₁(s) . . . _∂x^{∂ f1}

m

(s) ... . .. ...

∂ fn

∂x₁(s) . . . _∂x^{∂ fn}

m(s)











Suponhamos que o menor com determinante n˜ao nulo, fixado um pontos0 ∈A, seja embaixo `a direita:

Jf(s0) =



























∂ f1

∂x₁(s₀) . . . _∂x^{∂ f1}

n−p(s₀) _∂x^{∂ f1}

n−p+1(s₀) . . . _∂x^{∂ f1}

n

(s₀)

... . .. ... ... . .. ...

∂ fm−p

∂x₁ (s0) . . . ^{∂ f}_∂x^m−p

n−p(s0) _∂x^{∂ fm−p}

n−p+1(s0) . . . ^∂_∂x^m−p

n (s0)

∂ fm−p+1

∂x₁ (s0) . . . ^{∂ f}_∂x^m−p+1

n−p (s0) ^{∂ f}_∂x^m−p+1

n−p+1(s0) . . . ^∂m−p+1_∂x

n (s0)

... . .. ... ... . .. ...

∂ f_m

∂x₁(s0) . . . _∂x^{∂ fm}

n−p(s0) _∂x^{∂ fm}

n−p+1(s0) . . . _∂x^∂m

n(s0)



























Seja, nesse caso particular, a matriz

Jf(s0) =











∂ fm−p+1

∂x_n−p+1(s₀) . . . ^{∂ fm−p+1}_∂x

n

(s₀) ... . .. ...

∂ f_m

∂x_n−p+1(s0) . . . ^{∂ f}_∂x^m

n(s0)











com determinante n˜ao nulo. Vamos agora representarR^mcomoR^m−p×R^p,RⁿcomoR^n−p×R^p. Os pontoss∈Acomos= (x, y),ondex∈R^m−p, y∈R^p,e

f(s) =f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), ondeu:A→R^n−p, v: A→R^p.

A submatriz acima, que estamos supondo invers´ıvel ´e de fato a matriz de^{∂ v}_∂y(s0),matrizp×p.O determinante ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua (e aqui estamos usando a continuidade das derivadas, ou seja, o fato de f se C¹.) Pela conserva¸c˜ao s₀ ∈U vaso, tal que ∀(x, y)∈U, tenhamos det^{∂ v}_∂y(x, y)6= 0.

Considere agoraF:U →R^n−p×R^p,dada porF(x, y) = (x, v(x, y)).Para todo (x, y)∈U,temos JF(x, y) = Id_R^n−p 0

∂ v

∂x(x, y) ^{∂ v}_∂y(x, y)

!

E imediato observar que o determinante ´´ e n˜ao nulo. A menos de restringir eventualmenteU,podemos apliccar o Teorema da FUn¸c˜ao Inversa e dizer que existe um aberto W ⊆A, (x0, y0) =s0 ∈W,e dois abertosU1⊆R^n−p,x0 ∈U eV1⊆R^p,comv(s0)∈V,tais queF(W) =U1×V1. F ´e injetora e sobrejetora e com inversaC¹. Chamamos deGtal inversa. Se (α, β) ´e uma vari´avel em U1×V1, ent˜ao pode-se verificar que

v(h(α, β)) =β e v(h(U1×V1)) =v(W) =V.

Portanto

f(W) =f(h(U1×V1)) ={(f◦h)(α, β)|α∈U1, β∈V1},

CONTE ´UDO 0.2. AULA 2 - 20 DE MARC¸ O que ´e um conjunto do tipo

{(λ(α, β), β),∀(α, β)∈U₁×V₁},

ondeλ´e de classeC¹ sendo composi¸c˜ao de fun¸c˜oes de classeC¹.Considere agora f◦h: U₁×V₁⊆ R^n−p×R^p →Rⁿ num ponto gen´erico (α, β)∈U₁×V₁,h´a D(f◦h)(α, β) associado `a matriz

Jf◦h(α, β) =

∂ λ

∂α(α, β) ^{∂ λ}_∂β(α, β) 0 Id_R^p

!

Tal matriz ´e produto, pela regra da cadeia, Jf(h(α, β))

| {z } tem postop

· Jh(α, β)

| {z }

´e um isomorfismo .

Portanto, o posto de J_f◦h(α, β) n˜ao ultrapassape isso significa que ^{∂ λ}_∂α(α, β) deve ser identica- mente nula (n˜ao determinante nulo, mas sim toda a matriz completamente zerada, sen˜ao ela iria aumentar o posto deJ_f◦h(α, β),somente tendo um elemento n˜ao nulo).

Portantoλn˜ao depende de sua primeira coordenada e f(W) ={(λ(β), β)|β ∈V1}, ou seja, ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao definida em um aberto deR^p.

Para concluir, a t´ecnica ´e parecida `a demonstra¸c˜ao do Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita e, como naquele caso, podemos passar ao caso geral removendo a condi¸c˜ao inicial de que a submatrizp×p com determinante n˜ao nulo fosse aquela embaixo e `a direita ouJf(s0).

0.3 Aula ? - 29 de Abril

SejaE⊆Rⁿ e sejaf :E→Rlimitada e sejax∈E fixado eδ >0 fixado. Definimos:

M(f, x, δ) = sup{f(y) :y∈E,|y−x|< δ}, e tamb´em:

m(f, x, δ) = inf{f(y) :y∈E,|y−x|< δ}.

E f´´ acil ver que a fun¸c˜ao:

δ7→M(f, x, δ)

´

e crescente, e a fun¸c˜ao:

δ7→m(f, x, δ)

´

e decrescente. Assim podemos definir aoscila¸c˜ao def em xcomo:

o(f, x) = lim

δ→0 M(f, x, δ)−m(f, x, δ) .

Ent˜ao temoso(f, x)≥0 para todox∈E.

Exerc´ıcio 2. Mostre quef ´e cont´ınua em xse e s´o seo(f, x) = 0.

Lema 1. Seja Q⊆Rⁿ retˆangulo. Seja f :Q →R limitada. Seja ε >0 tal que o(f, x)< ε para todox∈Q. Ent˜ao existe uma parti¸c˜aoP deQtal que:

S(f, P)−s(f, P)< ε·v(Q).

Demonstra¸c˜ao. Sejax∈Qfixado. Ent˜ao existe um retˆangulo Qx tal que:

sup

t∈Qx

f(t)− inf

t∈Q_xf(t)< ε.

A fam´ılia{Qx}x∈Q´e uma cobertura do conjuntoQ, o qual ´e compacto. Assim existe uma subcober- tura finita deQ. Posso definir uma parti¸c˜ao P deQtal que cada Rsubretˆangulo determinado por P seja contida em algum Q_x da subcobertura finita. Assim para todo subretˆangulo Rde P temos o seguinte:

sup

t∈R

f(t)−inf

t∈Rf(t)< ε.

Logo:

S(f, P)−s(f, P)< ε·v(Q).

Teorema 6. Seja Q um retˆangulo de R^N. Seja f : Q → R limitada. Chame B o conjunto dos pontos deQnas quaisf ´e descont´ınua. Ent˜aof ´e integr´avel se e s´o seB tem medida nula.

Demonstra¸c˜ao. (⇐) Suponhamos queB tenha medida nula. Sejaε >0 fixado. Basta cobrirBcom interiores de retˆangulos fechados U_i tais queP∞

i=1v(U_i)< ε, e escolher para cada x∈Q\B um retˆangulo fechadoVx, contendoxem seu interior, com:

sup

t∈Vx

f(t)− inf

t∈Vx

f(t)< ε.

CONTE ´UDO 0.3. AULA ? - 29 DE ABRIL Pela compacidade de Q, ent˜ao existem Ui1, . . . , Ui_k, Vx1, . . . , Vx_l que cobrem Q. Considere uma parti¸c˜aoP tal que todo subretˆangulo esteja contida em algum dosU_i1, . . . , U_ik, V_x1, . . . , V_xl. Sendo M tal que∀x∈Q:

f(x)

≤M, ent˜ao:

S(f, P)−s(f, P)< εv(Q) + 2M ε.

Portantof ´e integr´avel.

(⇒) Suponhamos quef seja integr´avel. Paraε >0 seja:

Bε={x∈Q:o(f, x)≥ε}.

Ent˜ao:

B=

∞

[

n=1

B1 n. E suficiente mostar que cada´ B¹

n tem medida nula. De fato mostraremos que cadaB¹

n tem conte´udo nulo. Sejak≥1 um natural fixado. Sejaε >0 fixado. Pela integrabilidade def, existe uma parti¸c˜ao P deQtal que:

S(f, P)−s(f, P)< ε k.

Podemos encerrar a demonstra¸c˜ao de pelo menos duas maneiras diferentes:

Maneira 1:

Seja P1 o conjunto dos subretˆangulos R deP que contˆem algum ponto deB1

k no interior. Ent˜ao P1 cobre os pontos deB1

k que estiverem no interior de algum subretˆangulo de P, enquanto que as bordas dos subretˆangulos deP cobrem o restante dos pontos deB1

k. ´E f´acil ver que a reuni˜ao das bordas dos subretˆangulos deP tem conte´udo nulo, assim pode ser coberto por uma cole¸c˜ao finita de retˆangulosS1, . . . , Sl tais quev(S1) +· · ·+v(Sl)< ε. Al´em disso, paraR∈P1, ent˜ao temos:

sup

t∈R

f(t)−inf

t∈Rf(t)≥ 1 k. Assim:

1 k · P

R∈P₁

v(R) ≤ P

R∈P₁

sup

t∈R

f(t)−inf

t∈Rf(t)

! v(R)

≤ P

R∈P

sup

t∈R

f(t)−inf

t∈Rf(t)

! v(R)

= S(f, P)−s(f, P)

< _k^ε, de modo que:

X

R∈P1

v(R)< ε.

PortantoB¹

k pode ser coberto porS1, . . . , Sle osR∈P1e:

l

X

i=1

v(S_i) + X

R∈P1

v(R)<2ε.

Maneira 2:

SejaP₂o conjunto dos subretˆangulosRdeP tais que:

sup

t∈R

f(t)−inf

t∈Rf(t)> 1 4k. Parax∈B1

k, ent˜ao existem pontosa, b∈Qtais que:

f(a)−f(b) > 1

2k

e tamb´em{x, a}esteja contido em algumR∈P e{x, b}esteja contido em algumS ∈P (os ReS podem ser iguais). Ent˜ao existe umc∈ {a, b} tal que:

f(x)−f(c) > 1

4k, a´ı existe umR∈P tal que{x, c} ⊆R, de modo que:

sup

t∈R

f(t)−inf

t∈Rf(t)> 1 4k, assimx∈R∈P2. Portanto os retˆangulos deP2 cobremB1

k. Agora temos o seguinte:

1 4k · P

R∈P2

v(R) ≤ P

R∈P2

sup

t∈R

f(t)−inf

t∈Rf(t)

! v(R)

≤ P

R∈P

sup

t∈R

f(t)−inf

t∈Rf(t)

! v(R)

= S(f, P)−s(f, P)

< _k^ε, de modo que:

X

R∈P₁

v(R)<4ε.