ACED exercicios2015 eqdif

(1)

AN´

ALISE COMPLEXA E EQUAC

¸ ˜

OES DIFERENCIAIS

aulas te´orico-pr´aticas (Parte 2)

Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciˆ

encias, 2015

1 Revis˜

ao de um primeiro curso de equa¸

c˜

oes diferenciais:

modelos envolvendo equa¸

c˜

oes diferenciais de tipos simples

Exerc´ıcio 1.1 _{Uma objecto com o peso de 10kg suspenso de uma mola causa um alongamento de} 60cm e fica em equil´ıbrio. Depois a massa é elevada 10cm acima do seu equil´ıbrio e dá-se-lhe uma velocidade vertical (de cima para baixo) de 50cm/seg. Determinar a lei de movimento da massa. Qual é a sua posi¸cão 10seg depois de ter iniciado o movimento? E nesse instante está a subir ou a descer? Exerc´ıcio 1.2 _{O sangue transporta uma substância para determinado ´}_{orgão à razão de 3cm}3_{/seg e} sai do órgão à mesma razão. O órgão tem um volume de l´ıquido de 125cm3_{. Se a concentra¸cão da}

substância no sangue que entra é 0.2g/cm3_{, qual é a concentra¸cão da substância no órgão em fun¸cão}

do tempo? Supomos que inicialmente não há substância no órgão. Quando é que a concentra¸cão atinge o valor de 0.1g/cm3_?

Exerc´ıcio 1.3 _{Ao meio dia a temperatura era de 16}o

C no local do crime. O detective mede a temperatura do corpo e obt´em 34.5o

C. Uma hora mais tarde volta a medir a temperatura do cad´aver e obt´em 33.7o

C. A que horas se deu o crime? (A temperatura normal do corpo humano ´e 37o

C.) Exerc´ıcio 1.4 _{Uma certa espécie de peixe tem a massa inicial de 7 milh˜}_{oes de toneladas. Na ausência} de pesca, a massa aumentaria a uma taxa proporcional à massa com a constante de proporcionalidade 2 (por ano). A pesca comercial provoca diminui¸cão de massa à taxa constante de 15 milhões de toneladas por ano. Quanto tempo demora o peixe a extinguir-se? Qual deveria ser a taxa de pesca para que a quantidade de peixe se mantivesse constante?

Exerc´ıcio 1.5 _{Verificar que a solu¸c˜ao do problema de valor inicial correspondente ao modelo log´ıstico} p′

= ap − bp2_´e

p = ap0

bp0+ (a − bp0)e−at

.

Assumindo conhecidos os valores p1 = p(t1) e p2 = p(t2) com t2 = 2t1 (t1 > 0) mostrar que os

coeficientes s˜ao a = 1 t1 lnp2(p1− p0) p0(p2− p1) , b = a p1 p2 1− p0p2 p1p2− 2p0p2+ p0p1) .

Exerc´ıcio 1.6 _{Uma popula¸cão de 1000 indiv´ıduos de uma espécie de peixe é lan¸cada num lago em} 1990. Em 1997 a popula¸cão foi estimada em 3000, e em 2004 foi estimada em 5000. Utilizar o modelo log´ıstico para prever a dimensão da popula¸cão em 2011. Qual é a dimensão limite de acordo com este modelo?

(2)

Exerc´ıcio 1.7 _{Numa casa em que a temperatura interior ´e 25}o

C, o ar condicionado é desligado às 18 horas. A temperatura exterior mantém-se constante a -10o

C. `As 19 horas regista-se a temperatura de 19.5o

C no interior. Qual ser´a a temperatura no interior `as 6 horas?

2 Revis˜

ao de um primeiro curso de equa¸

c˜

oes diferenciais:

tipos simples de equa¸

c˜

oes diferenciais de primeira ordem.

Exerc´ıcio 2.1 _{Determinar as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes seguintes: y}′₌ y2

t log t− 1 t log t; t2y ′ = y2_et/y_{+ ty,} ty′ = y +_1+t2t22, y ′ = 1_ty − y2

Exerc´ıcio 2.2 _{Resolver o problema de valor inicial y}′₌ 1−e−y

2t+1 , y(0) = 1.

Exerc´ıcio 2.3 _{Resolver no intervalo ] − 2, 2[ o problema de valor inicial y}′

= _t23t−4|y|, y(0) = −1.

Exerc´ıcio 2.4 _{Determinar a solu¸c˜ao geral de y}′

sin 2t−2(y +cos t) = 0 no intervalo ]0, π/2[ e indicar uma solu¸c˜ao que seja limitada numa vizinhan¸ca de π/2.

Exerc´ıcio 2.5 _{Resolver o problema de valor inicial y}′_{= y +} t

y2, y(0) = 1.

Exerc´ıcio 2.6 _{Resolver o problema de valor inicial} y′′

(1+y′)3/2 = 8t 3

(t4₊₁₎2, y(1) = 0, y

′

(1) = 0.

Exerc´ıcio 2.7 _{Resolver o problema de valor inicial y}′₌ 4

y3, y(0) = 2, y

′

(0) = −√3.

Exerc´ıcio 2.8 _{Resolver o problema de valor inicial yy}′′_{= y}′2_{+ y}2_{log y,} _{y(0) = y}′_{(0) = 1.}

Exerc´ıcio 2.9 _{Dados n´}_{umeros reais a e b resolver y}′ _{= a}y

t + 3t

b_, _{y(2) = 1 no intervalo [2, +∞[.}

3 Equa¸

c˜

oes de primeira ordem: intervalos maximais de existˆ

encia.

Comportamento dos equil´ıbrios. Tempos de explos˜

ao

Exerc´ıcio 3.1 _{Considerar a equa¸cão de variáveis separáveis:} dx

dt = x − x

3_. _(E)

(a) Seja φ(t) a única solu¸cão de (E) que verifica a condi¸cão φ(0) = π. Verificar que φ está definida num intervalo da forma ]a, +∞[, a < 0. Indicar, justificando, o valor do seguinte limite

lim

t→+∞φ(t),

(Não é necessário determinar explicitamente φ.)

(b) Determinar a solu¸cão de (E) que satisfaz φ(0) = 1/2 indicando o intervalo máximo onde está definida.

(3)

Exerc´ıcio 3.2 _{Considere-se a equa¸c˜ao log´ıstica generalizada} u′(t) = u(b(t) − c(t)u)

onde b e c são cont´ınuas e positivas em R. Esta equa¸cão é de Bernoulli e por isso a mudan¸ca de incógnita u = 1/y transforma-a numa equa¸cão linear. Mostrar que uma solu¸cão comm u(t0) > 0 está

definida e mantém-se positiva para todo o t > t0. Além disso, se B(t) :=R t t0b(s) ds e assumirmos limt→+∞B(t) = +∞, então lim t→+∞u(t) = limt→+∞ b(t) c(t) desde que exista o limite do 2o

membro.

Exerc´ıcio 3.3 _{Descrever o comportamento das solu¸cões das equa¸cões diferenciais seguintes} (mono-tonia, dom´ınio maximal de existência, limites), em fun¸cão do valor inicial:

y′ _{= 3y}2_{− 10y + 6; y}′

= 8y − 4y3_{; y}′ ₌ 1 y2₊₁; y

′ _{= e}y _{− y − 2; y}′ ₌ _{p1 + y}2_{− 2; y}′ ₌

t2_{(p1 + y}2_{− 2).}

Exerc´ıcio 3.4 _{Uma certa popula¸c˜ao x(t) verifica a seguinte lei de crescimento} x′

= ax ln b x

em que a e b são constantes positivas (e, naturalmente, as solu¸cões tomam valores positivos). Deter-minar o valor do equil´ıbrio e indicar se é estável.

Exerc´ıcio 3.5 _{No estudo da activa¸c˜ao de um gene surge como modelo a seguinte equa¸c˜ao diferencial} y′

= λ − y − 4y

2

1 + y2.

Fazer o estudo das solu¸cões para λ = 1; discutir a existência e natureza dos equil´ıbrios em fun¸cão de λ. Exerc´ıcio 3.6 _{Problema análogo ao anterior para as equa¸cões y}′

= λ − 4 − y2_{, y}′

= y3_{(λ − y),}

y′

= y3_{− y + λ.}

Exerc´ıcio 3.7 _{Na queda de um objecto de grandes dimens˜}_{oes e massa m, um dos modelos admiss´ıveis} para a velocidade v(t) ´e a equa¸c˜ao mv′

= mg − kv2_{, onde k ´e constante positiva. H´a um equil´ıbrio}

assintoticamente estável? Supondo v(0) = v0, determinar a solu¸cão. Há limite quando t → +∞ ?

Exerc´ıcio 3.8 _{A equa¸c˜ao diferencial} N′

= rN (1 −N k) − λN

pode representar a evolu¸cão de uma popula¸cão que verifica a lei log´ıstica mas também em presen¸ca de colheita efectuada por factores externos – neste caso, colheita proporcional à dimensão da popula¸cão. Determinar equil´ıbrios e estabilidade se λ < r. Que se passa se λ > r?

Exerc´ıcio 3.9 _{Uma popula¸c˜ao de ratos satisfaz a equa¸c˜ao log´ıstica y}′

= 0.1y(25 −y) (tempo referido a semanas). Se decidirmos come¸car a eliminar os ratos à razão constante de λ ratos por semana, qual a nova equa¸cão diferencial para a evolu¸cão da popula¸cão? Discutir o futuro da popula¸cão em fun¸cão de λ.

(4)

4 Revis˜

ao de um primeiro curso de equa¸

c˜

oes diferenciais:

equa¸

c˜

oes lineares de ordem superior a 1.

Exerc´ıcio 4.1 _{Determinar a solu¸cão geral das equa¸cões x}(4)_{− 2x}′′_{+ x = 0; x}(4)_{+ x = 0.} Exerc´ıcio 4.2 _{Determinar a solu¸cão geral da equa¸cão x}′′′_{+ x}′′_{+ x}′_{= 0. Há solu¸cões limitadas?} Exerc´ıcio 4.3 _{Determinar a solu¸cão do PVI x}′′

+ x = t, x(0) = 0, x′

(0) = 0. Esta equa¸c˜ao tem alguma solu¸c˜ao limitada?

Exerc´ıcio 4.4 _{A fun¸cão φ}₁_{(x) = x é, em {x > 0}, solu¸cão da seguinte equa¸cão} x3y′′′

− 3x2y′′

+ 6xy′

− 6y = 0. (∗)

Determinar uma base de solu¸c˜oes para (*) em {x > 0}.

Exerc´ıcio 4.5 _{Sejam u, v, w as solu¸c˜oes de y}′′′_{+ y = 0 tais que u(0) = 1, u}′_{(0) = 0, u}′′_{(0) = 0;} v(0) = 0, v′

(0) = 1, v′′

(0) = 0; w(0) = 0, w′

(0) = 0, w′′

(0) = 1. Verificar que não é necessário determinar explicitamente as solu¸cões para concluir:

u′

= −w; v′

= u; w′

= v; W (u, v, w) = u3_{− v}3_{+ w}3_{+ 3uvw = 1.}

Exerc´ıcio 4.6 _{Sejam p, q, f cont´ınuas num intervalo I. Sejam φ(x), ψ(x) duas solu¸cões linearmente} independentes da equa¸cão homogénea de segunda ordem

u′′

+ p(x)u′

+ q(x)u = 0 e seja W (x) o seu Wronskiano. Mostrar que a solu¸c˜ao de

u′′+ p(x)u′+ q(x)u = f (x), u(α) = 0, u′(α) = 0 ´e dada por

u(x) = −_{W (x)}φ(x) Z x α ψ(t)f (t) dt + ψ(x) W (x) Z x α φ(t)f (t) dt.

Exerc´ıcio 4.7 _{Dados n´}_{umeros reais a}₁_{, a}₀_{, suponha-se que as ra´ızes da equa¸c˜ao r}2_{+ a}

1r + a0= 0

têm parte real negativa. Mostrar que, se f é uma fun¸cão cont´ınua e limitada em [0, +∞[, então qualquer solu¸cão de

u′′

+ a1u′+ a0u = f (t) (∗)

´e limitada em [0, +∞[. Se, al´em disso,

lim

t→+∞f (t) = 0

então qualquer solu¸cão de (*) tende para 0 quando t → +∞. Exerc´ıcio 4.8 _{Seja z(x) a solu¸cão de}

u′′

+ a1u′+ a0u = 0, u(0) = 0, u′(0) = 1

onde os coeficientes ai s˜ao constantes. Mostrar que

y(x) = Z x α z(x − t)f(t) dt ´e a solu¸c˜ao de u′′ + a1u′+ a0u = f (x), u(α) = 0, u′(α) = 0.

(5)

Exerc´ıcio 4.9 _{Mostrar que} y(x) = Z x α (x − t)f(t) dt ´e a solu¸c˜ao de u′′ = f (x), u(α) = 0, u′ (α) = 0. Exerc´ıcio 4.10 _{Mostrar que}

y(x) = Z x α sin(x − t)f(t) dt ´e a solu¸c˜ao de u′′ + u = f (x), u(α) = 0, u′ (α) = 0.

5 Estimativas; aproxima¸

c˜

ao; quest˜

oes de unicidade;

nova-mente as solu¸

c˜

oes n˜

ao continu´

aveis

Exerc´ıcio 5.1 _{Tomando a constante} π

4 como primeira aproxima¸c˜ao da solu¸c˜ao do problema

y′

= tan y, y(0) = π 4

calcular as duas iteradas de Picard seguintes. Qual ´e o dom´ınio da ´ultima?

Exerc´ıcio 5.2 _{Seja f cont´ınua e Lipschitziana em rela¸cão à segunda variável em D = I × R. Mostrar} que a solu¸cão do problema

y′′

= f (x, y), y(x0) = y0, y′(x0) = y1

´e o limite (uniforme em qualquer compacto ⊂ I) do m´etodo iterativo

zn+1(x) = y0+ (x − x0)y1+

Z x

x0

(x − t)f(t, zn(t)) dt, n = 0, 1, 2, · · · , z0(x) ≡ y0.

SUGEST˜AO: Representando por T o operador definido pelo 2o

membro em C[x0, x0+ ∆], a equa¸c˜ao

integral é zn+1= T zn. Apesar de T poder não ser uma contraçcão (para a norma usual) tem-se

|(Tn+1_{y − T}n_{y)(x)| ≤ L}n_∆2n_/(2n)!

o que ´e suficiente para garantir a convergˆencia de Tn_{y. O mesmo num intervalo do tipo [x}

0− ∆, x0].

Exerc´ıcio 5.3 _{Seja f cont´ınua e Lipschitziana em rela¸cão à segunda variável em D = I × R. `}_A semelhan¸ca do problema anterior, verificar que se obtém uma sucessão de aproxima¸cões à solu¸cão do problema

y′′

+ y = f (x, y), y(x0) = y0, y′(x0) = y1

como limite do m´etodo iterativo zn+1(x) = y0+ (x − x0)y1+

Z x

x0

(6)

Exerc´ıcio 5.4 _{Qual é o dom´ınio da solu¸cão não continuável dos problemas (i) y}′₌ cos y 1−x2, y(0) = y0? (ii) y′₌ cos y 1−x2, y(3) = y0? (iii) (5.1)      x′ ₌_{p1 + x}2_{+ y}2 y′ = arctan(x + y) x(0) = x0, y(0) = y0?

Exerc´ıcio 5.5 _{Mostrar que todas as solu¸cões não continuáveis do sistema plano}

(5.2) (

x′

= U (x, y) y′ _{= V (x, y)}

onde U, V ∈ C1_(R2_{) satisfazem xU (x, y) + y}3_{V (x, y) = 0 ∀x, y, tˆem dom´ınio R.}

Exerc´ıcio 5.6 _{Verificar que o sistema aut´}_onomo

(5.3) ( x′ = _1+3xy2_+5y4 y′ =_1+3x−x2_+5y4

possui um integral prim´ario em R2 _{e determin´a-lo.}

Exerc´ıcio 5.7 _{Mesma quest˜ao para}

(5.4) ( x′ = 4x2_y3_{+ 2xy} y′ = −2xy4_{− y}2

Exerc´ıcio 5.8 _{Mostrar que as solu¸cões não continuáveis do problema y}′

= ty sin y − y3, y(0) = k, est˜ao definidas em [0, +∞[.

Exerc´ıcio 5.9 _{Mostrar que as solu¸cões não continuáveis do problema y}′′_{+ ty}′ _{+ y}3 _{= 0, y(0) =}

k, y′

(0) = l, est˜ao definidas em [0, +∞[.

Exerc´ıcio 5.10 _{Mostrar que s˜ao limitadas todas as solu¸c˜oes do sistema} (

x′ _{= ye}x

y′

= −xex

Exerc´ıcio 5.11 _{Mostrar que s˜ao limitadas para t > 0 todas as solu¸c˜oes do sistema} (

x′

= y − x3

y′

= −x − y3

Exerc´ıcio 5.12 _{Indicar todas as solu¸c˜oes do problema de valor inicial y}′_{= y}1/3_{, y(0) = 0. Notar que} h´a uma maior que todas as outras e uma menor que todas as outras.

Exerc´ıcio 5.13 _{Sejam y e z duas solu¸c˜oes, definidas no mesmo intervalo, de y}′

= f (x, y), onde f é real cont´ınua num dom´ınio aberto de R2_{. Mostrar que min(y(x), z(x)) e max(y(x), z(x)) são também}

(7)

Exerc´ıcio 5.14 _{Seja u uma fun¸c˜ao positiva e C}1 _{tal que u}′

(t) ≤ Ku(t) ln u(t), a ≤ t ≤ b. Mostrar que u(t) ≤ u(a)eK(t−a)

.

Exerc´ıcio 5.15 _{Seja f (y) = −y ln y se 0 < y < 1 e defina-se f(y) = 0 noutro caso. Determinar os} equil´ıbrios para a equa¸c˜ao diferncial y′ _{= f (y) e mostrar que cada problema de valor inicial y(0) = c}

tem uma e uma s´o solu¸c˜ao.

Exerc´ıcio 5.16 _{Seja g uma fun¸c˜ao cont´ınua em R e positiva em R \ 0. Mostrar que o problema} y′

=p|y| + g(t), y(0) = 0 tem uma s´o solu¸c˜ao.

Exerc´ıcio 5.17 _{Seja g uma fun¸c˜ao cont´ınua em [0, 1]. Mostrar que o problema y}′₌ √

y(2−y) 1−y + g(t),

y(1) = 0 tem uma s´o solu¸c˜ao.

Exerc´ıcio 5.18 _{Seja f ∈ C}1_(Rn_{, R}n_{) e y(t) uma fun¸cão diferenciável com valores em R}n _{que é} solu¸cão de y′ _{= f (y) definida em [0, β], tal que y(0) = y(β). Mostrar que y(t) se prolonga a R como}

solu¸cão periódica, de per´ıodo β, da mesma equa¸cão.

Exerc´ıcio 5.19 _{Seja p(t) uma fun¸cão cont´ınua de per´ıodo 2π. Há solu¸cões 2π-peri´}_{odicas para as} equa¸cões lineares de primeira ordem seguintes? (i) y′ _{= (sin}2_{t)y, (ii) y}′ _{= (sin}2_{t)y + p(t), (iii)}

y′_{= (cos t)y, (iv) y}′_{= (cos t)y + b(t).}

Exerc´ıcio 5.20 _{Seja f uma fun¸c˜ao real de classe C}1 _{e y(t) uma solu¸c˜ao de y}′′

= f (y) definida em [0, β] tal que y′

(β) = 0. Mostrar que y(t) se prolonga a [0, 2β] como solu¸cão da mesma equa¸cão, simétrica a respeito da recta t = β.

Exerc´ıcio 5.21 _{Seja y(t) uma solu¸c˜ao de y}′

= cos(y) definida em [0, β] tal que y(0) = 0. Mostrar que y(t) se prolonga a [−β, β] como solu¸c˜ao ´ımpar da mesma equa¸c˜ao.

Exerc´ıcio 5.22 _{Seja h uma fun¸c˜ao cont´ınua com per´ıodo T e 0 < h(t) < 1/4 ∀t ∈ R. Mostrar que} a equa¸c˜ao x′

= x(1 − x) − h(t) tem duas solu¸c˜oes T -peri´odicas.

Exerc´ıcio 5.23 _{Consideremos as equa¸cões diferenciais y}′ _{= f (x, y), y}′ _{= g(x, y), em que f e g são} fun¸cões cont´ınuas, y-Lipschitzians definidas numa faixa I × R. Supomos ainda f < g em todos os pontos. Se x0∈ I sejam y(x) e z(x) solu¸cões em I da primeira e da segunda equa¸cões, respectivamente,

com y(x0) ≤ z(x0). Provar que y(x) < z(x) ∀x > x0.

6 Sistemas lineares no plano com matriz constante

Exerc´ıcio 6.1 _{Esquematizar as traject´orias das solu¸c˜oes dos sistemas seguintes no plano, descrevendo} o comportamento das mesmas perto da origem e no infinito.

( x′ = −5x + 2y y′ = x − 4y ( x′ = 2x − y y′_{= x + 2y}

(8)

( x′ = −x − 4y y′ = 9x + 11y ( x′ _{= x + y} y′ = −4x + y ( x′ = 4x − y y′ = 14x − 5y

Exerc´ıcio 6.2 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema} y′ = 1 1 0 1 y, y(0) = 4 0 .

Exerc´ıcio 6.3 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema}

y′ = 2 1 −1 4 y, y(0) = t2 1 .

y′= 3 1 0 1 y, y(0) = −1 2 .

y′= 0 −7 7 0 y, y(0) = 3 1 .

Exerc´ıcio 6.6 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema} y′ = 3 1 0 3 y + 0 et , y(0) = 1 1 .

Exerc´ıcio 6.7 _{Dada uma matriz constante 2×2, A, com valores próprios λ}₁_{≤ 0 < λ}₂_{, que condi¸cõess} iniciais garantem que uma solu¸cão y(t) de y′

= Ay satisfa¸ca limt→+∞|y(t)| = +∞?

Exerc´ıcio 6.8 _{Dada uma matriz constante 2×2, A, que se pode afirmar sobre os valores pr´oprios de A} se soubermos que para o sistema y′ _{= Ay: (a) existe uma solu¸c˜ao y(t) tal que lim}

t→+∞|y(t)| = +∞?

(b) toda a solu¸c˜ao y(t) n˜ao trivial satisfaz limt→+∞|y(t)| = +∞?

Exerc´ıcio 6.9 _{Escrever a solu¸c˜ao geral do sistema} (

x′

= −4x + 3y y′

= −2x + 3y + 1

(9)

Exerc´ıcio 6.10 _{Verificar que o sistema} ( x′ = x + 10y y′ = −5x − y

é Hamiltoniano e esquematizar as trajectórias das suas solu¸cões, com indica¸cão do sentido em que são descritas. Qual é o per´ıodo das solu¸cões?

Exerc´ıcio 6.11 _{Verificar que todas as solu¸c˜oes do sistema} (

x′

= 4x − 8y y′

= 4x − 4y

são periódicas. Qual é o per´ıodo das solu¸cões? Para a trajectória que passa em (1, 0), qual é o ponto mais afastado da origem?

Exerc´ıcio 6.12 _{Verificar que todas as solu¸c˜oes (x(t), y(t)) do sistema} (

x′

= 3x − 8y y′

= 4x − 5y

têm limite 0 quando t → +∞. Esquematizar num gráfico a trajectória da solu¸cão que passa em (0, 1). SUGESTÃO: pode-se aproveitar cálculos do problema anterior, comparando as respectivas matrizes. Exerc´ıcio 6.13 _{Para o seguinte sistema linear}

( x′

= −x + 2y y′

= 2x + 2y

(a) Esquematizar no plano xy as trajectórias de solu¸cões que são semi-rectas, com indica¸cão do sentido. Determinar a solu¸cão (x(t), y(t)) tal que x(0) = 0, y(0) = 1.

(b) Para esta solu¸c˜ao calcular o valor dos limites limt→±∞y(t)_x(t), limt→−∞[y(t)+1₂x(t)] e limt→+∞[y(t)−

2x(t)]. Interpretá-los na esquematiza¸cão da trajectória correspondente.

Exerc´ıcio 6.14 _{Verificar que a matriz A =}

−1 −1/4 1 −2

tem um só valor próprio. Através do cálculo de eAt_{, ou por outro método, dar a solu¸cão do problema de valor inicial}

( x′ = −x −1 4y − 1 y′ = x − 2y + 1 x(0) = 1, y(0) = 0. SUGEST˜AO: este sistema tem uma solu¸c˜ao particular constante.

(10)

7 Outros sistemas lineares

Exerc´ıcio 7.1 _{Calcular e}tA_{, sendo A =}   −1 1 0 0 −1 2 0 0 −1  , SUGEST˜AO: decompor A = −I + B.

Exerc´ıcio 7.2 _{Se X(x, t) ´e a matriz especial do sistema linear homog´eneo y}′

= Ay no ponto t, mostrar que

∂X(x, t)

∂t = −X(x, t)A.

Exerc´ıcio 7.3 _{Verificar que a matriz A =}   2 1 −1 −3 −1 1 9 3 −4 

tem apenas um valor pr´oprio e que a

sua exponencial é eAx₌ 1 2e −x   2 + 6x − 3x2 _2x _{−2x + x}2 −6x 2 2x 18x − 9x2 _6x _{2 − 6x + 3x}2  . Exerc´ıcio 7.4 _{Se A =} a −b b a , mostrar que eAx_{= e}ax cos(bx) − sin(bx) sin(bx) cos(bx) . (SUGESTÃO: A actua no plano, identificado com C, como a multiplica¸cão por z = a + ib.) Ver notas teóricas, seçcão 5, Apêndice 1.

Exerc´ıcio 7.5 _{(i) Seja A uma matriz 2 × 2 constante tal que a}₁₂ _{> 0 e a}₂₁ _{> 0. Mostrar que para} qualquer solu¸c˜ao do sistema

x′ y′ = A x y

que tenha condi¸c˜ao inicial no primeiro quadrante Q = {(u, v) | u ≥ 0, v ≥ 0} [i.e. (x(0), y(0)) ∈ Q] tem-se (x(t), y(t)) ∈ Q ∀t ≥ 0.

(ii) Mais geralmente, seja A uma matriz constante tal que aij ≥ 0 sempre que i 6= j. Mostrar

que o sistema Y′

= AY tem a propriedade referida em (i) relativamente a Q = {(u1, · · · un) | u1 ≥

0, · · · un≥ 0}. Deduzir que eA tem todas as entradas ≥ 0.

Exerc´ıcio 7.6 _{Seja A uma matriz 3 × 3 com valores pr´oprios λ}₁_{(de multiplicidade alg´ebrica 2) e λ}₂_. Suponhamos calculados vectores ~u, ~v, ~w, linearmente independentes, tais que

(A − λ1)~u = 0, (A − λ1)~v = ~u, (A − λ2) ~w = 0. Mostrar que eAx_{= S}   eλ1x _xeλ1x ₀ 0 eλ1x ₀ 0 0 eλ2x  S −1

onde S ´e a matriz cujas colunas s˜ao ~u, ~v, ~w.

Exerc´ıcio 7.7 _{Dada a matriz A =}   1 0 0 1 2 −4 0 2 −2 

verificar que o sistema linear homog´eneo y

′

= Ay tem solu¸cões periódicas, que constituem um espa¸co vectorial de dimensão 2. Qual é o per´ıodo m´ınimo das solu¸cões? O sistema completo y′

= Ay +   e−t 0 0 

(11)

Exerc´ıcio 7.8 _{Dada a matriz A =}   −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 

 consideremos o sistema linear homog´eneo y′

= Ay.

(a) Verificar que o sistema tem uma solu¸cão constante, não nula, e determinar a sua solu¸cão geral. (b) Sabendo que o sistema não homogéneo z′

= Az+   sin t 0 0  possui a solu¸cão   1 5(sin t − 3 cos t) 1 5(− sin t − 2 cos t) 0   explicar porque é que todas as solu¸cões deste sistema são limitadas em [0, ∞) mas nenhuma tem limite quando t → +∞.

Exerc´ıcio 7.9 _{A matriz A =}   −3 12 0 0 −1 0 −12 0 2 

tem como valores pr´oprios os elementos da diagonal principal.

Representemos a solu¸c˜ao y(t) do sistema y′

= Ay, tal que y(0) = ~c por y(·,~c). (a) Qual ´e a dimens˜ao do subespa¸co formado pelos vectores ~c ∈ R3_{tais que lim}

t→+∞y(t, ~c) = 0?

(b) Qual ´e a dimens˜ao do subespa¸co formado pelos vectores ~c ∈ R3_{tais que lim}

t→+∞e2ty(t, ~c) = 0?

(c) Determinar ~c tal que a solu¸cão t 7→ y(t,~c) não é limitada em [0, +∞).

Exerc´ıcio 7.10 _{Dada a matriz A =}   0 1 0 0 0 1 −2 −5 −4 

 consideremos o sistema linear homog´eneo y′_{= Ay.}

(a) Verificar que o sistema tem uma solu¸c˜ao da forma z(t) = e−t_{~v, onde ~v ∈ R}3_{, e determin´a-la.}

(b) Explicar porque ´e que para toda a solu¸c˜ao y(t) do sistema se tem limt→+∞e

t

2y(t) = 0.

(c) Quantas solu¸c˜oes linearmente independentes y(t) tem o sistema, com a propriedade et_{y(t) ´e}

limitada em_{[0, +∞)?}

Exerc´ıcio 7.11 _{Dada a matriz A =}   2 1 −1 −3 −1 1 9 3 −4 

consideremos o sistema linear n˜ao homog´eneo

y′ = Ay +    t 0 1   .

Observando que este sistema possui a solu¸c˜ao   e−t_{+ t + 2} 7 − 3t 3e−t_{+ 10} 

 (a) Determinar a solu¸c˜ao geral do sistema. (b) Para que valores reais de s se tem

lim

t→+∞e

st_{y(t) = 0}

qualquer que seja a solu¸c˜ao y(t) do sistema?

Exerc´ıcio 7.12 _{Considerar a matriz A =}   1 2 2 0 −1 1 0 3 1  .

(a) Observando que a primeira coluna ´e vector pr´oprio da matriz (ou utilizando qualquer outro processo conveniente), determinar eAt_{, t ∈ R.}

(12)

(b) Observando que o sistema n˜ao homog´eneo u′ = Au +    0 e−t 0  

possui uma solu¸c˜ao da forma e

−t_~v

em que ~v ´e um vector constante de R3_{, verificar que qualquer solu¸c˜ao u(t) =}

   x(t) y(t) z(t)    deste sistema (n˜ao homog´eneo) que tem limite finito quando t → +∞ satisfaz: x(0) = 1/3 e y(0) + z(0) = −1/3.

8 Equa¸

c˜

oes escalares de segunda ordem redut´ıveis a

pri-meira ordem. Solu¸

c˜

oes peri´

odicas. Quest˜

oes de

estabili-dade

Exerc´ıcio 8.1 _{Determinar as solu¸c˜oes do problema de valor inicial y}′′₌ 4

y3, y(0) = 2, y

′

(0) = −√3. Exerc´ıcio 8.2 _{Para cada uma das seguintes equa¸c˜oes}

u′′

+ u − 2u3= 0; u′′

− u + 2u3= 0

determinar quais das seguintes condi¸cões iniciais determinam uma solu¸cão periódica e nesse caso indicar como se calcula o valor m´ınimo de tal solu¸cão:

u(0) = 0, u′(0) = 0; u(0) = 1/3, u′(0) = 0; u(0) = 1/√2, u′(0) = 1/2; u(0) = 2/3, u′(0) = 0; u(0) = 1, u′

(0) = −1.

Exerc´ıcio 8.3 _{(a) Para que valores de k ´e limitada a solu¸c˜ao do seguinte problema?} u′′

− 3u5+ 2u3= 0, u(0) = 0, u′

(0) = k

Uma tal solu¸cão tem máximo e m´ınimo? Em caso afirmativo, como se calculam? Exerc´ıcio 8.4 _{Considerar a solu¸cão do problema}

u′′− 2u + 3u2= 0, u(0) = 1/3, u′(0) = b.

(i) Para que valores de b se pode garantir que a a solu¸cão é limitada? E quando tem máximo e m´ınimo? Como podem estes ser determinados a partir de b?

(ii) Seja b = 0. Mostrar que a solu¸cão obtida é periódica com m´ınimo 1/3 e máximo 1/3 + 1/√3. (iii) Com referência à al´ınea anterior seja S > 0 tal que u(S) = 1/3 + 1/√3 e 1/3 < u(t) < 1/3 + 1/√3 se 0 < t < S. Exprimir o valor de S sob a forma de integral.

Exerc´ıcio 8.5 _{Considerar a solu¸c˜ao do problema} u′′

+ a sin u = 0

(a > 0) que, num dado instante (t = 0, por exemplo) atinge um m´ınimo local com valor −π

2. De que

tipo de solu¸cão se trata? Qual é o seu máximo? Se o máximo é atingido no instante t1 > 0 e no

(13)

Exerc´ıcio 8.6 _{Considerar a solu¸c˜ao do problema} u′′+u 2_eu 2 + ue u_{= 0, u(0) = 1/2, u}′ (0) = 0.

Mostrar que se trata de uma solu¸cão periódica. Como podem o máximo e o m´ınimo da solu¸cão ser determinados? Seja S < 0 tal que u(S) = 0 e 0 < u(t) < 1/2 se S < t < 0. Dar uma expressão de S como integral. OBSERVAÇ ÃO: u2_eu_{é uma primitiva de u}2_eu_{+ 2ue}u_.

Exerc´ıcio 8.7 _{Verificar que o sistema} (

x′

= x(4 − 2x − y) y′

= y(5 − 5y − x) tem as solu¸cões constantes (“equil´ıbrios”) (0, 0), (2, 0), (0, 1) e (5/3, 2/3). Pode afirmar-se que algum deles é exponencialmente estável?

Nota: sistemas deste tipo aparecem em modelos matemáticos para duas espécies em competi¸cão. Exerc´ıcio 8.8 _{Verificar que, para a equa¸cão do pêndulo simples com atrito}

u′′

+ cu′

+ a sin u = 0

(onde c e a são números positivos), a solu¸cão nula é exponencialmente estável. Exerc´ıcio 8.9 _{Considerar o problema de valor inicial}

u′′+ cu′− u2+ u = 0, u(0) = 1/2), u′(0) = b.

Para que valores de b se pode garantir que a solu¸cão tem limite quando t → +∞? Qual é o limite? Exerc´ıcio 8.10 _{Seja f uma fun¸cão de classe C}1 _{tal que f (u)(u}2_{− 1) > 0 ∀u 6= ±1. Suponha-se} ainda que F (u) =Ru

0 f (s) ds satisfaz: ∃k > 1 F (k) = F (−1). Considere-se a solu¸c˜ao de u′′ + cu′ + f (u) = 0 (onde c > 0) que satisfaz u(0) = a, u′

(0) = 0. Mostrar que se −1 < a < k a solu¸c˜ao tem limite quando t → +∞ e indic´a-lo.

Exerc´ıcio 8.11 _{Considere-se o seguinte modelo de predador-presa} ( x′ = rx(1 − x K) − axy y′ = bxy − cy

onde r, K, a, b, c são parâmetros positivos. Sob que condi¸cão há um equil´ıbrio estável no primeiro quadrante?

Exerc´ıcio 8.12 _{Considerar a equa¸c˜ao de segunda ordem n˜ao linear} u′′+ ue−u2− u3e−u2 = 0.

Indicar as suas solu¸cões constantes. Que condi¸cão deve satisfazer o número a para que a solu¸cão com condi¸cões iniciais u(0) = 0, u′_{(0) = a seja peri´}_{odica? Como se calculam o máximo e o m´ınimo desta}

solu¸cão? OBSERVAÇ ÃO: u2_e−u2

´e uma primitiva de 2ue−u2

− 2u3_e−u2

(14)

(b) A solu¸c˜ao do problema u′′

+ u′

+ ue−u2_{− u}3_e−u2 _{= 0, u(0) = 1/2, u}′

(0) = 0 tem limite quando t → +∞? Qual ´e o valor do limite?

Exerc´ıcio 8.13 _{(a) A matriz A =}   −1 −1 5 1 −5 1 0 1 −4 

 tem valores pr´oprios λ1 ≈ −4.57638 +

0.549684i, λ2≈ −4.57638 − 0.549684i, λ3≈ −0.847242.

(a) Qual é a dimensão do espa¸co das solu¸cões U (t) do sistema linear homogéneo U′ _{= AU tais que}

lim

t→+∞e

4t_{U (t) = 0 ?}

(b) Seja u(·, β) = (x(·, β), y(·, β), z(·, β)) a solu¸c˜ao do sistema n˜ao linear      x′ = −x − y + 5z + sin(xy) y′ = x − 5y + z + y(ex_{− 1)} z′ = y − 4z − yz

tal que u(0, β) = β. H´a valores de β ∈ R3 _{e s > 0 tais que lim}

t→+∞est|u(t, β)| = 0? Explicar.

Exerc´ıcio 8.14 _{Estudar a estabilidade do equil´ıbrio (−3, 1) para o sistema} (

x′

= 3xy − 2y2_{+ 11}

y′_{= x + 3y}

9 Quest˜

oes elementares sobre algumas equa¸

c˜

oes com

deri-vadas parciais

Exerc´ıcio 9.1 _{Determinar a solu¸c˜ao geral de xu}_x_{− yu}_y_{+ u = x; xyu}_x_{− x}2_u

y− yu = xy.

Exerc´ıcio 9.2 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema u}_x_{+ u}_y_{+ u = e}x+2y_, _{u(x, 0) = 0.}

Exerc´ıcio 9.3 _{Determinar a solu¸cão do problema xu}_y_{− yu}_x_{= u,} _{u(x, 0) = h(x), onde h ∈ C}1_(R). Exerc´ıcio 9.4 _{Mostrar que não existe solu¸cão u, de classe C}1 _{numa vizinhan¸ca da origem, para a}

equa¸c˜ao xux+ yuy= 1.

Exerc´ıcio 9.5 _{Seja u solu¸cão de a(x, y)u}_x_{+b(x, y)u}_y_{+u = 0 num aberto que contém a bola unitária} fechada ¯B de R2_{. As fun¸cões a e b satisfazem a(x, y)x + b(x, y)y > 0 ∀(x, y) tais que x}2_{+ y}2 _{= 1.}

Provar que u ≡ 0. SUGEST˜AO: min_B¯u = max_B¯u = 0.

Exerc´ıcio 9.6 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema misto}      ut= βuxx, 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0 ux(0, t) = ux(π, t) = 0, t ≥ 0

(15)

Exerc´ıcio 9.7 _{Determinar a solu¸cão do problema misto (onde p é uma fun¸cão dada, cont´ınua em} [0, L])      ut= βuxx+ p(x), 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = U1, u(L, t) = U2, t > 0 u(x, 0) = f (x), 0 < x < L SUGESTÃO: a solu¸cão é da forma

u(x, t) = v(x) + w(x, t)

onde v, w são solu¸cões da equa¸cão diferencial e v verifica as condi¸cões de fronteira. Portanto w verificará as condi¸cões de fronteira homogéneas (U1e U2 substitu´ıdos por 0) e a condi¸cão inicial.

Exerc´ıcio 9.8 _{Determinar a solu¸c˜ao generalizada do problema misto}      ut= uxx+ e−x, 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = sin 2x, 0 < x < π seguindo a sugest˜ao do problema anterior.

Exerc´ıcio 9.9 _{Determinar a solu¸c˜ao dos problemas}      ut= uxx, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = L/2 − |x − L/2|, 0 < x < L e      ut= uxx, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 u(x, 0) = x(L − x), 0 < x < L Exerc´ıcio 9.10 _{Considerar o problema}

         ut= kuxx, 0 ≤ x ≤ 2π, t ≥ 0 u(0, t) = u(2π, t), t > 0 ux(0, t) = ux(2π, t), t > 0 u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ 2π

onde k > 0 e u0 é uma fun¸cão dada. Usar a fun¸cão E(t) = 1₂R₀2πu(x, t)2dx, definida a partir de

solu¸c˜oes u do problema, para provar a unicidade de solu¸c˜ao. Exerc´ıcio 9.11 _{Considerar o problema}

     ut= kuxx+ 1, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0 u(0, t) = 0, u(L, t) = 1 u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ L

(16)

Exerc´ıcio 9.12 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema}      utt= uxx, x ∈ R, t ∈ R u(x, 0) = sin x, ut(x, 0) = 1

Exerc´ıcio 9.13 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema}      utt= 4uxx+ xt, x, t ∈ R u(x, 0) = sin 5x, ut(x, 0) = 0.

Exerc´ıcio 9.14 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema}      utt= c2uxx+ eat, x, t ∈ R u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0.

Exerc´ıcio 9.15 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema}      utt= c2uxx+ cos x, x, t ∈ R u(x, 0) = sin x, ut(x, 0) = 1 + x.

Exerc´ıcio 9.16 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema}      utt= uxx+ sin x, x, t ∈ R u(x, 0) = cos x, ut(x, 0) = x.

Exerc´ıcio 9.17 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema}      utt= uxx+ x2, x, t ∈ R u(x, 0) = cos x, ut(x, 0) = 0.

Exerc´ıcio 9.18 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema}          utt= 4uxx, 0 < x < π, t ∈ R u(0, t) = u(π, t) = 0 ∀t u(x, 0) = sin 5x, ut(x, 0) = x(π − x); ∀x ∈ (0, π)

(17)

Exerc´ıcio 9.19 _{Determinar a solu¸c˜ao generalizada do problema}          utt= 4uxx, 0 < x < 1, t ∈ R u(0, t) = u(1, t) = 0 ∀t u(x, 0) = x(1 − x), ut(x, 0) = x(1 − x2); ∀x ∈ (0, 1).

Qual é a regularidade da solu¸cão que se obteve? Qual é o valor de u(1/2, 2)? Exerc´ıcio 9.20 _{Determinar a solu¸cão do problema}

         utt= uxx+ 2 sin t sin x, 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R u(0, t) = u(π, t) = 0 ∀t u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = sin x; ∀x ∈ [0, π]

SUGEST˜AO: Prolongar a solu¸c˜ao (suposta existir) ao semiplano onde t ≥ 0 por 2π periodicidade em x...

Exerc´ıcio 9.21 _{Determinar a solu¸c˜ao do problema}          utt= uxx+ 5e−tsin 2x, 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R u(0, t) = u(π, t) = 0 ∀t u(x, 0) = sin 2x + sin 3x, ut(x, 0) = 0. ∀x ∈ [0, π]

Come¸car por prolongar a solu¸cão (suposta existir) de maneira periódica e ´ımpar em x; então ela admite pelo menos formalmente um desenvolvimento de Fourier u(x, t) =P∞

n=1bn(t) sin nx...

Exerc´ıcio 9.22 _{Considerar o problema}      utt= c2uxx, x ∈ R u(x, 0) = φ0(x), ut(x, 0) = φ1(x); ∀x.

Supondo que φ0, φ1 se anulam fora do intervalo (−1, 1), para que valores de x pode ser a solu¸c˜ao u

diferente de zero quando t = 1, 2 ou 10?

Exerc´ıcio 9.23 _{Determinar a fun¸c˜ao harm´}_{onica no disco B}_R _{que tem na fronteira os valores dados} pela fun¸c˜ao:

(a) g(Reit_{) = 1 + 3 sin t; (b) g(Re}it_{) = sin}3_{t; (c) g(x, y) = x}2_.

Exerc´ıcio 9.24 _{Verificar que log}px2_{+ y}2_{é harm´}_{onica em R}2_{\0. Determinar uma fun¸cão harmónica}

no anel a < |(x, y)| < b e que tome em cada uma das circunferˆencias que constituem a fronteira um valor constante, dado.

(18)

Exerc´ıcio 9.26 _{Exprima-se uma fun¸cão harm´}_{onica em coordenadas polares: u(r, θ). Mostrar que, se} u não depende de θ (dizemos que é uma fun¸cão radial) então

urr+

1 rur= 0.

Utilizar esta equa¸cão para identificar as fun¸cões harmónicas radiais.

Exerc´ıcio 9.27 _{Se uma fun¸cão u é harm´}_{onica num aberto D do plano e (x}₀_{, y}₀_{) ∈ D, então}

u(x0, y0) = 1

2π Z

γ

u(x, y) ds

onde γ é uma circunferência de centro (x0, y0) e raio r tal que o disco Br(x0, y0) está contido em D.

(ds representa a integra¸cão com respeito ao comprimento de arco). NOTA: o mesmo resultado é válido supondo apenas u harmónica em Br(x0, y0) e cont´ınua em Br(x0, y0).

Exerc´ıcio 9.28 _{Do exerc´ıcio anterior concluir: uma fun¸c˜ao harm´}_{onica num aberto D e cont´ınua em} ¯